TS Exercices sur la fonction exponentielle (2)

(1)

TS Exercices sur la fonction exponentielle (2)

Dans les exercices 1 à 3, on demande de déterminer les ensembles de définition def et de dérivabilité def puis de calculer la dérivée def.

1 f :xe² ²³

x x



 2 f :x ₂

e^x 1 x

 3 f :x e^x1

Dans les exercices 4 à 9, on demande de déterminer la limite def en +.

Dans le cas de transformations d’écriture, bien préciser pour quelles valeurs dex ces transformations d’écriture sont valables.

4 f :x e₂

2 3

x

x  5 f :x



²^x^^{5 e}



^⁴^x ^{6 f :}^x^ ² ³ ¹

e^x 1 x  x

 7 f :x2e^x₂ x x



8 f :x x³e^ ^x 9 f :x x e^^x

10 On considère la fonctionf :x xe³^x^⁴. Déterminer la limite def en –.

11 On considère la fonctionf :xe²^x x 3 et l’on note

C

sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé



^{O, ,}^{i j}^{ }



^.

1°) Étudier le sens de variation def (on détaillera le signe de ^f^'

 

^x ) et les limites def.

Calculer l’extremum def (valeur exacte).

2°) Démontrer que

C

admet une asymptote oblique.

3°) Démontrer que

C

admet une branche parabolique de direction Oy en +.

4°) Faire un petit tableau de valeurs puis tracer

C

^et en prenant 1 cm pour unité graphique.

Tracer la tangente horizontale ainsi que la tangenteT au point A d’abscisse 0.

Bien mettre les pointillés pour les coordonnées du point correspondant au minimum (en abscisse et en ordonnée avec les valeurs exactes sur les axes).

Vérifier sur la calculatrice graphique.

(2)

Corrigé

1 f : xe² ²³

x x





 

f \ 2

D

^;f est dérivable sur

D

_f en tant que composée de fonction dérivables.

x f

 

D  

 

2 3 2 2

' 7 e

2

x

f x x

x



  



Solution détaillée :

 

f x existe si et seulement si x– 20 si et seulement si x2

 

f \ 2

D

f est dérivable sur

D

_f en tant que composée de fonction dérivables.

On pose

 

² ³

2 u x x

x

 

 .

x f

 

D

^f^'

 

^x ^^{u x}^'

 

^^e^{u x}^{ } (formule de dérivation d’une fonction du type e^u *) x f

 

D      

 

2 3 2 2

2 2 1 2 3

2

' e

x

x x

x

f x    x _^

 

 x f

 

D    

2 3 2 2

2 4

' 2 3

e 2

x

x x x

x f x



   

 

 x f

 

D  

 

2 3 2 2

7 e

2 '

x

f x x

x



  



* C’est un cas particulier de la formule de dérivation d’une composée



^v^u



^' ^u^'



^v^'^u



qui s’écrit :



^v^^u

  

^' ^x ^{u x}^'

 

 ^{v u x}^'

 

. On l’applique ici avec

 

² ³

2 u x x

x

 

 et ^{v x}

 

^^e^x^.

2 f : x ₂ e^x 1

x



* f 

D

^;

 

2 2

e 1 2 e

'

e 1

x x

x

f x   x

 

 

f x existe si et seulement si e²^x 1 0 si et seulement si e²^x1 si et seulement si 2x0 si et seulement si x0

* f 

D

f est dérivable sur

D

_f^.

x *

 

   

 

2 2

1 e 1 2e

'

e 1

x x

x

f x    

  (formule dérivation d’un quotient)

x *

 

 

2 2

e 1 2 e

e '

1

x x

x

f x

x   



3 f : x e^x1 Solution détaillée :

 x e^x0 donc

D

_f ^. f est dérivable sur.

 x ^'

 

^e

2 1 e

x x

f x 



L’idée pour les limites est toujours se ramener à des limites de référence avec exponentielle pure.

4 f : x e₂

2 3

x

x 

f 

D

^;

 

₂

2

e 1

2 3

x

f x x

x

 



pour tout réelx0 ; on ne peut pas appliquer la règle sur les monômes carf n’est pas une fonction rationnelle.

 

lim

x f x

     

(3)

f 

D



²



lim e

lim 2 3

x x

  

   



    

donc en +, on rencontre une F.I. du type « 

 ».

x *

 

 

₂

2 2 2

e e 1

3 3 2 2

x x

f x x

x x x

  

   

 

 

2

lim e (limite de référence, croissance comparée)

1 1

lim 2 3 2

x x

x

  

   



 



 

donc par limite d’un produit lim

 

x f x

     .

5 f : x



²^x^^{5 e}



^⁴^x

f 

D

^; ^X ⁴^x ;

 

^e ^5e

2

X

X X

f x    ; lim

 

0

x_{  }f x  . Méthode :

On effectue un changement de variable.

On prend l’exposant de l’exponentielle comme nouvelle variable : X 4x. Solution détaillée :

f 

D

 

4

lim 2 5

lim e 0 (limite déduite par changement de variable de la limite de référence lim e 0)

x

x x

   x



     



   



   donc en

+, on rencontre une F.I. du type « 0´ ».

On pose X– 4x d’où 4 x X.

(x® +)Û (X® –)

 

^{5 e} ^e ^5e

2 2

X X X

x X X

f       

 

 

lim e 0 (limite de référence, croissance comparée) 2

lim 5e 0

X X

X

  

  

  

  

  

  

donc par limite d’une somme

 

lim 0

X f x

    .

On en déduit que ^lim

 

⁰

x f x

    .

Il n’y a aucune autre méthode satisfaisante.

6 f : x ² 3 1

e^x 1 x  x



f 

D

^;

 

² ² ²

2

3 1 3 1

1 1

1

1 1

e 1 e 1

e e

x x

x x x x x

f x

x

   

   

 

pour tout réel x0 ; ^lim

 

⁰

x f x

    .

f 

D

 

lim 2 3 1

lim e 1

x x x

x x

  

     

     donc en +, on rencontre une F.I. du type « 

 ».

x *

 

 

² ²

3 1

1 e 1 1

e

x x

x x x

f x

   



x *

 

 

²

2

3 1

1 1

e 1 1

e

x

f x x

x x

 

 



2

lim 1 0

e

3 1

lim 1 1

lim 1 1 1

e

x x

x

x x

x x x

  

 



    

  

  

   

  

  



donc _x^lim_{  }^{f x}

 

^⁰^.

(4)

Autre méthode pas satisfaisante proposée par Diego Blétry le mardi 4-2-2014 :

On pose X x d’où x X. (x® +)Û (X® –)

   

² ³ ¹

1 e e

X X

f x   

 

 

²^e ^{3 e} ^e

1 e

X X X

X

X X

f x   



 

lim 2e 3 e e 0

lim 1 e 1

X X X

X

X X

  

   



   donc par limite d’un quotient _x^lim_{  }^{f x}

 

^⁰^.

Autre méthode pas satisfaisante proposée par Diego Blétry le mardi 4-2-2014 :

 

² ³ ¹

e^x 1 e^x 1 e^x 1

x x

f x   

  

7 f : x2e^x₂ x x



* f 

D

^; ^lim

 

x f x

     

* f 

D

Au numérateur, on rencontre une F.I. du type « – ».

On effectue une réécriture en séparant en deux quotients.

x *

  ^{f x}

 

²^e₂^x ¹

x x

  (en effet,

2

1 x

x x  )

2

lim 2e (théorème de croissance comparée)

lim 1 0

x x

x

x x

  

  

   

  

  

  

  

  

donc par limite d’une somme _x^lim_{  }^{f x}

 

^{  }^.

Autre démonstration : à éviter

 

^e₂ ²

e

x x

f x x x

 

   

 

 

^e₂ ² ¹

e

x

x x

x f x

 

 

 

 

 

2

lim e (théorème de croissance comparée)

lim 2 1 2

e

x x

x

  

   



  

   

  

 

  

  

donc par limite d’une somme ^lim

 

x f x

     .

8 f : x x³e^ ^x

f 

D

^; ^lim

 

⁰

x f x

    (changement de variable X  x ; on a donc : X²x ; ^{f x}

 

^^X⁶^e^X⁾

 

f x existe si et seulement si x0

f 

D

En +, on rencontre une forme indéterminée du type « 0´ ».

On pose X  x donc xX². (x® +)Û (X® –)

x _

  ^{f x}

 

^^X⁶^e^X



⁶



lim e^X 0

X X

    (limite de référence) donc ^lim

 

⁰

x f x

    .

Remarque signalée par Théo Regnier-Vigouroux (élève de Terminale 4 spécialité durant l’année scolaire 2020- 2021) le vendredi 5 février 2021 :

Lorsque l’on trace la fonction sur la calculatrice, on a l’impression qu’elle tend vers + ∞ en + ∞.

Il ne faut pas se fier à la calculatrice.

Néanmoins, on voit que la limite def en + ∞ est bien 0 en dézoomant.

9 f : x xe^^x

f 

D

^; _x^lim_{ }^{f x}

 

^⁰ (pas de changement de variable ; faire la réécriture

 

¹ ¹ ¹

e^x e^x

f x x

x x

x

   

pour x0)

(5)

Autre façon de faire :

 

ê ê ê ê

1

x x x

x x x x x

f x x

x x

  

 

   

f 

D

En +, on rencontre une forme indéterminée du type « 0´ ».

x *_

 

 

¹

e^x f x  x x *_

 

 

e^x f x  x x *_

 

 

e^x

x x

f x x

 

 x *_

 

 

e^x

f x x

 x

 x *_

 

 

¹

e^x

x x

f   x

Version initiale x ^*_

 

¹ ¹ ¹ ¹

e^x e^x e^x

f x x x

x x

x

     

x *_

 

 

¹ ¹

e^x

f x x

x

 

lim e

x

x^{  } x    (limite de référence) donc 1

lim 0

e^x

x

    .

lim 1 0

e

lim 1 0

x x

x

x x

  

 



 



donc par limite d’un produit _x^lim_{  }^{f x}

 

^⁰^.

Autre démonstration possible (mais à éviter) : On pose X x Ûx X.

(x® +)Û (X® –)

x _

  ^{f x}

 

^{ }^X^e^X

donc ^lim

 

⁰

x f x

   .

Idée : ex ^x xe^x0 théorème des gendarmes 10 f : x xe³^x^⁴

f 

D

^; ^lim

 

⁰

x f x

    (changement de variableX3x ;

 

^e₄

3e X X

f x  )

f 

D

En –, on rencontre une forme indéterminée du type « 0´ ».

On pose X3xÛ 3 xX. (x® –)Û (X® –)

 x

 

^e ⁴

3 X X

f x  ^

 x

 

^e ^e⁴

3 f x  X X 

 x

 

^e⁴ ^e

3 X X

f x

  

 x

 

¹₄ ^e

3e

f x  X X (2 dernières lignes pas forcément utiles, on peut s’arrêter à la ligne

 

^e ⁴ ^e

3

f x X X

   )

 x

 

4

e 3e

X

x X

f  (étape facultative)

 

lim e^X 0

X X

    (limite de référence) donc ^lim

 

⁰

x f x

    (car 3e⁴ est une constante, elle ne contient pas de x)

Remarques :

(6)

1. Pour la fin, on peut aussi écrire (mais ce n’est pas très utile) :

 

⁴ ⁴

lim e 0

lim 3e 3e

X X

X

   X

  

 

  donc par limite d’un quotient ^lim

 

⁰

x f x

    .

2. On peut aussi poser X3 – 4x .

Les calculs sont un peu plus longs (la démarche est un peu maladroite).

 

⁴^e ^e ^4e

3 3

X X

X X X

f x    

11 f : xe²^x x 3

1°)

D

_f 

f est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur.

 x ^f^'

 

^x ^^2e²^x^¹

Il faut résoudre deux inéquations et une équation.

2e2^x 1 0

 

¹ 2e²^x 1 0

 

² 2e²^x 1 0

 

³

 

1 Û ² 1

e 2

x

 

¹ Û ² 1

ln e ln 2

x

 

¹ Û2x ln 2

 

¹ ^Û ^{ln 2}

x  2

 

2 Û ² 1

e 2

x

 

² Û ² 1

ln e ln 2

x

 

² Û2x ln 2

 

² ^Û ^{ln 2}

x  2

 

3 Û ² 1

e 2

x

 

³ Û ² 1

ln e ln 2

x

 

³ Û2x ln 2

 

³ ^Û ^{ln 2}

x  2 Rappel : 1

ln lna

a 

Ordre plus logique ? : 2e²^x 1 0

 

² 2e²^x 1 0

 

³ 2e²^x 1 0

 

¹

f est strictement décroissante sur l’intervalle ln2

; 2

   

 

  et strictement croissante sur l’intervalle ln2;

2

  

 

 .

x – ln 2

 2 + Signe de ^f^'

 

^x – 0 +

Variations def

+ + ln 2 7

2



ln2 7 ln2

2 2

f   (le calcul du minimum global n’est pas très difficile ; il nécessite de bien utiliser les règles).

Calcul du minimum global :

2 ln 2

ln 2 2 ln 2

e 3

2 2

f

 

  

   

 

 

ln 2 ln 2 ln 2

2 e 3

f  ^  2 



ln 2

1 ln 2 2 ln 2

2 3

f e  



1 ln 2 2 2 3 ln 2

f 2  

 



1 ln 2 2 l

2

6 f n 2

 



ln 2 2

ln 2 7 f  2

 



En + , on rencontre une forme indéterminée du type « – ».

Ecrire ^{f x}

 

^x ^e²^x ¹ ³

x x

 

    

  pour x0 puis éventuellement changement de variable pour déterminer e2

lim

x x^{  } x .

2

e *

lim (théorème de croissance comparée)

lim 1 3 1

x x

x

x x

  

   

    

  

  

donc par limite d’une somme

e2 3

lim 1

x

x^{  } x x

     

 

  .

* Avec le changement de variable X2x.

2

lim (théorème de croissance comparée)

e 3

lim 1

x x x

x

x x

  

   



      

 



  

donc par limite d’un produit ^lim

 

x f x

     .

En – , pas de changement de variable.

 

lim e2 0

lim 3

x x

  

 

      donc par limite d’une somme _x^lim_{  }^{f x}

 

^{  }^.

Les limites def en + et en – sont égales à +.

(7)

2°)Démontrons que la courbe

C

admet une asymptote oblique.

On observe l’expression def (méthode pour démontrer qu’une courbe admet une asymptote quand cette asymptote n’est pas donnée) :

 

f x   x 3  e²^x

partie affine partie qui tend vers 0 lorsquex tend vers –

 x ^{f x}

  

^{   }^x ³



^e²^x

   

²

lim 3 lim e^x 0

x f x x x

          

On en déduit que la courbe

C

admet la droited'équation y  x 3 pour asymptote oblique en –.

N.B. : Il est inutile d’écrire que lim

  

3



x f x x

        . L’étude de la branche infinie en + sera faite à la question suivante.

3°)Démontrons que la courbe

C

admet une branche parabolique de direction (Oy) en +.

On applique la méthode du cours pour démontrer qu’une courbe admet une branche parabolique.

On étudie

 

lim

x

f x

   x . x *

 

 

e² 3 e² 3

1

x x

f x x

x x x x

     

Pour déterminer e2

lim

x

x^{  } x , il y a 2 possibilités : - changement de variable ;

- réécriture e2 e

e

x x

x

x  x . On trouve :

e2

lim

x x^{  } x   . e2

lim

lim 1 3 1

x x

x

x x

  

   

    

  

  

donc

 

xlim f x

   x   .

On en déduit que

C

admet une branche parabolique de direction Oy en +.

4°)

C

admet une tangente horizontale au point de coordonnées ln 2 ln 2 7

2 ; 2

  

 

 .

ln2 0,346573590

2 ...

  

ln2 3,8465735 f 2  ...

L’ordonnée du point A est donné par ^f

 

⁰ ^⁴^.

T a pour coefficient directeur ^f^{' 0}

 

^2e^{2 0}^  ^{1 1}. On utilise le coefficient directeur pour tracerT.

[T a donc pour équation y x 4 ; cette équation n’est cependant pas utile pour tracerT]

On pourra remarquer queT .

x – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

 

f x 10 9 8 7 6 5 4,1 4 9,3 55,6 403

4



O C

ln 2

 2

C

admet une branche parabolique de direction (Oy) en +.

ln 2 7 2



i



j

4

(8)

Croissances comparées pour les fonctions logarithme népérien, exponentielle et puissances en +

Logarithme + faible

Fonction puissance

Fonction exponentielle + fort