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TP SCILAB

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Université de Strasbourg

TP SCILAB

Agrégation Externe de Mathématiques Année 2012-2013

TP8: Etude de schémas numériques pour l’équation des ondes On considère l’équation des ondes en dimension un

2u

∂t2 −c22u

∂x2 = 0dans[0,1], avec une condition initiale

u(0, x) =f(x), ∂tu(0, x) = 0 et des conditions de Dirichlet homogènes

u(t,0) = u(t,1) = 0.

On prendra comme données initiales

(i) f(x) = sin(kπx)aveck ≥1un entier (ii) f(x) =x(1−x)

et par défautc= 1.

1. Utilisation des séries de Fourier

(a) Chercher la solution exacte dans le cas de la donnée initiale (i) et faire une représentation graphique (animation)

(b) Sachant que

x(1−x) =

X

k=0

2 (2k+ 1)π

!3

sin((2k+ 1)πx),

traiter le cas de la donnée initiale (ii) 2. Différences finies

un+1j −2unj +un−1j

∆t2 − c2

∆x2

unj+1−2unj +unj−1= 0

On se fixe un nombre de Courantσ= c∆t∆x.

(a) Faire une représentation graphique. Comment choisit-onσ?

(b) Valider le programme en calculant l’erreur dans le cas de la donnée initiale (i) 3. Reprendre l’étude avec des conditions limites de type Neumann

xu(t,0) = ∂xu(t,1) = 0.

Au lieu de prendre la donnée initiale (i), on prendra la donnée initiale compatible f(x) = cos(kπx)aveck ≥0, un entier.

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