Université de Strasbourg
TP SCILAB
Agrégation Externe de Mathématiques Année 2012-2013
TP8: Etude de schémas numériques pour l’équation des ondes On considère l’équation des ondes en dimension un
∂2u
∂t2 −c2∂2u
∂x2 = 0dans[0,1], avec une condition initiale
u(0, x) =f(x), ∂tu(0, x) = 0 et des conditions de Dirichlet homogènes
u(t,0) = u(t,1) = 0.
On prendra comme données initiales
(i) f(x) = sin(kπx)aveck ≥1un entier (ii) f(x) =x(1−x)
et par défautc= 1.
1. Utilisation des séries de Fourier
(a) Chercher la solution exacte dans le cas de la donnée initiale (i) et faire une représentation graphique (animation)
(b) Sachant que
x(1−x) =
∞
X
k=0
2 (2k+ 1)π
!3
sin((2k+ 1)πx),
traiter le cas de la donnée initiale (ii) 2. Différences finies
un+1j −2unj +un−1j
∆t2 − c2
∆x2
unj+1−2unj +unj−1= 0
On se fixe un nombre de Courantσ= c∆t∆x.
(a) Faire une représentation graphique. Comment choisit-onσ?
(b) Valider le programme en calculant l’erreur dans le cas de la donnée initiale (i) 3. Reprendre l’étude avec des conditions limites de type Neumann
∂xu(t,0) = ∂xu(t,1) = 0.
Au lieu de prendre la donnée initiale (i), on prendra la donnée initiale compatible f(x) = cos(kπx)aveck ≥0, un entier.
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