TD M7 Mouvement dans un champ de force central

D.Malka – MPSI 2021-2022 – Lycée Jeanne d’Albret

Données générales

— constante de gravitation universelleG= 6,67×10⁻¹¹N·m²·kg⁻²,

— période de rotation propre de la Terre (jour sidéral)Js= 86 164 s.

Astre Masse (kg) Rayon Demi-grand moyen (m) axe (m) Soleil 1,99×10³⁰ 6,96×10⁸ x Terre 5,98×10²⁴ 6,37×10⁶ 1,50×10¹¹ Lune 7,35×10²² 1,74×10⁶ 3,844×10⁸

On suppose que les astres présentent une répartition sphérique de masse.

M7.1 – Satellite géostationnaire

On considère un satellite de masse men orbite circulaire de rayonr₀ autour de la Terre de masseM.

1. Donner l’expression de l’énergie mécanique du satellite sur son orbite.

2. En déduire que le mouvement est uniforme et exprimer la vitesse v0 du satellite.

3. Montrer que le mouvement du satellite vérifie la la 3^ème loi de Kepler.

On appelle satellite géostationnaire un satellite survolant à chaque instant le même point de la Terre.

4. Dans quel plan, par rapport à la Terre, la trajectoire d’un satellite géosta- tionnaire est-elle nécessairement comprise ?

5. Calculer l’altitudehd’un satellite géostationnaire. Commenter. Application numérique.

M7.2 – Paramètres d’une orbite elliptique

On considère un satellite, de massem= 2,0×10³kg, largué au pointBà une altitudeh= 1800 km au dessus de la Terre avec une vitesse orthoradialev~_B avec v_B = 4,9 km·s⁻¹.

Données :

— masse du satellite :

— constante de gravitation universelleG= 6,67×10⁻¹¹USI ;

— masse de la Terre :M ≈6×10²⁴kg ;

— rayon de la Terre :R= 6,4×10³km

1. Montrer que le satellite décrit nécessairement une trajectoire elliptique.

2. Représenter cette trajectoire, y faire figurer le point B et la vitesse ~vB, indiquer la distancer du satellite au centre de la Terre et l’angle θ formé par le rayon-vecteur à un instant quelconque avec le rayon-vecteur initial, la base polaire (~e_r, ~e_θ) associé.

La trajectoire vérifie la deuxième loi de Binet :

~

γ=−C²u² d²u

dθ² +u

~er avecu=1 r

où~γest l’accélération du satellite etC=|~r∧~v|est la constante de la loi des aires.

3. Montrer quer(θ) = p

1 +ecos(θ),eetpétant des constantes à exprimer en fonction des conditions initiales entre autres.

4. Calculer la valeur numérique dep.

5. En déduire la valeur deepuis calculer sa valeur numérique. Vérifier qu’elle est inférieure à 1 et que la trajectoire est donc bien une ellipse.

6. Calculer la longueur du demi-grand axe de l’orbite elliptique.

M7.3 – Vitesse de libération et rayon classique d’un trou noir

On appelle seconde vitesse de libération cosmique, la vitesse minimale qu’il faut donner à un corps à la surface d’un astre pour qu’il échappe à l’attraction gravitationnelle de ce dernier.

1. Exprimer la vitesse de libération vl en fonction de la masse M de l’astre, de son rayonR et de la constante de gravitation universelleG.

2. Calculer la valeur numérique devlpour la Terre.

On appelle horizon d’un trou noir la distance au trou noir en deçà de laquelle aucun corps ne peut échapper à l’attraction du trou noir c’est-à-dire en deçà de laquelle la vitesse de libération devient supérieure à la célérité de la lumière c dans le vide. C’est un concept de relativité générale. Nous en proposons ici une approche classique.

3. Expliquer la dénomination « trou noir » d’un corps possédant un tel horizon.

4. Si le Soleil, à sa mort, venait à devenir un trou noir¹, quel serait son hori- zon ?

5. Minorer alors la masse volumique de ce trou noir. Commenter.

M7.4 – Trajectoire d’une comète

La Terre décrit autour du Soleil (de centreS) une orbite quasiment circulaire de rayonr₀= 1,5×10⁸km à la vitesse moyennevT = 30 km·s⁻¹.

Une comète C passe extrêmement près du Soleil : distance au périhélierp= αr0 avecα= 5×10⁻³.

Des mesures précises ont montré que la trajectoire de la comète est une ellipse de grande excentricitée. On posee= 1−xavecx= 1×10⁻⁴.

On redonne l’équation polaire d’une ellipse d’excentricité e et de paramètre p:

r(θ) = p

1 +ecos(θ) avec 0< e <1

1. Calculer la vitesse maximalev_maxde la comète en supposant sa trajectoire parabolique.

2. Représenter la trajectoire en faisant figurer l’aphélie A et le périhélie P ainsi que les distancesr_P =SP et r_a =SA.

1. On sait qu’en fait, il deviendra une naine blanche

3. Jusqu’à quelle distancera la comète va-t-elle s’éloigner du Soleil ? Évaluer sa vitesseva à cette distance.

4. Quelle durée τ la comète met-elle pour atteindre cette position extrême depuis le périhélie ?

M7.5 – Modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène

1. Modèle planétaire

L’expérience de Rutherford a mis en défaut le modèle de Thomson de l’atome. Le premier propose donc un modèle planétaire de l’atome d’hy- drogène : il est constitué d’ un électron (masse m, charge −e) en orbite circulaire de rayonr autour d’un proton P (charge +e) supposé fixe dans le référentiel d’étude (voir fig.1). A cette échelle, la force de gravitation est négligeable.

P

e^- r

Orbites autorisées n=1

n=2

v

Figure 1 – Modèle de Bohr de l’atome H

Données : h= 6,63×10⁻³⁴J·s⁻¹, célérité de la lumière dans le vide c= 2,99×10⁸m·s⁻¹, charge élémentairee= 1,6×10⁻¹⁹C, masse de l’électron m = 9,0×10⁻³¹kg, définition de l’électron-Volt : 1 eV = 1,6×10⁻¹⁹J, permittivité diélectrique du videε₀= 8,85×10⁻¹²F·m⁻¹.

1.1 Exprimer la force exercée par le proton sur l’électron. En déduire l’énergie potentielle associée à l’atome.

1.2 Exprimer alors l’énergie mécanique de l’électron en fonction du rayon de l’orbite r.

L’électron étant en accélération, classiquement il doit céder de l’énergie par rayonnement.

1.3 Dans le modèle planétaire, la trajectoire de l’électron peut-elle rester circulaire ? Cet atome est-il théoriquement stable ?

2. Modèle de Bohr

Pour rendre compte du spectre de raies discret de l’atome d’hydrogène et de sa stabilité, Bohr postule que l’électron ne peut occuper que certaines orbites stables de rayons rn telles que le moment cinétique est quantifié : L_P(n) =n h

2π avecnun entier naturel≥1 appelé nombre quantique prin- cipal.

2.1 Exprimer le moment cinétique de l’électronLP(n) en fonction de rn. 2.2 En déduire, en fonction den, les rayonsrn des orbites autorisées pour

l’électron.

2.3 En déduire que l’ énergie En de l’électron occupant l’orbite n peut s’écrire−E₀

n². Calculer numériquementE0 en électron-Volt.

M7.6 – Satellite en altitude basse

On considère un satellite, de masse m = 3 t initialement en orbite circulaire autour de la Terre. Ce satellite évolue à basse altitude : initialementh0= 40 km.

A cause de l’atmosphère terrestre, il subit une force de frottementf~=−µv²~eθ

avecµ >0 supposé constant pendant toute la durée du mouvement.

1. Que se passe-t-il qualitativement ?

2. Écrire les équations du mouvement dans la base cartésienne fixe par rapport au référentiel géocentrique.

3. Adimensionner les équations en opérant le changement de variablet^∗=t/T, x^∗=x/RT ety^∗=y/RT avecRT le rayon de la Terre etT la période d’un satellite en orbite de rayonr=R_T.

4. La simulation conduit aux courbes fig.2a et 2b. Interpréter, commenter.

0 2000 4000 6000 8000

t (h) 0

100 200 300 400 500 600

h (km)

(a) Altitude

0 2000 4000 6000 8000

t (h) 7550

7600 7650 7700 7750 7800 7850 7900 7950 8000

v (m/s)

(b) Vitesse

Figure2 – Mouvement du satellite soumis aux forces de frottements atmosphé- riques.

M7.7 – Interaction entre deux molécules de dioxyde de carbone

On considère une particule M de masseµplongée dans le potentiel : U(r) = a

r¹² − b r⁶

oùrest la distance deM à un pointGfixe dans le référentiel d’étude, supposé galiléen, etaet bdes constantes. On admet que la trajectoire de cette particule est plane et on repère cette dernière par les coordonnées (r, θ).

Données :

— opérateur gradient en coordonnées polairesgradf~ =∂f

∂r~er+1 r

∂f

∂θ~eθ,

— a=ε.σ¹² etb=ε.σ⁶,

— ε= 9×10⁻²eV avec 1 eV = 1,6×10⁻¹⁹J,

— σ= 3,7×10⁻¹⁰m,

— µ= 6,65×10⁻²⁶kg.

1. Exprimer la force d’interactionF~ subie par la particule. Sur quelle distance est-elle répulsive ? Attractive ? Commenter.

2. Justifier que la trajectoire est plane. Que dire de la grandeurC =r²θ˙ au cours du mouvement ?

3. Montrer que l’énergie mécanique de la particule s’écrit E_m= 1

2µr˙²+E_p,eff(r)

où on exprimeraEp,eff(r) en fonction dea,betCnotamment. Commenter.

4. En justifiant puis exploitant la conservation de l’énergie mécanique, montrer quer(t) vérifie l’équation différentielle :

d²r dt² = 1

µ 6

r⁷− 12

r¹³ −µC² r³

5. En exploitant la conservation du moment cinétique, écrire l’équation diffé- rentielle vérifiée par θ(t).

On cherche à résoudre le problème numériquement. Pour cela, il faut adimen- sionner les équations précédentes. On adimensionne les longueurs en posantxtel quer=σ.xet les énergies en posantE^∗telle que E=εE^∗

6. Montrer que :

E_p,eff^∗ (x) = 1 x¹² − 1

x⁶ + p

x² avec p = µC² εσ²

7. Montrer qu’il est cohérent de proposer le temps caractéristique τ = rµ

εσ pour adimensionner le temps. On pose alorst=u.τ.

8. Montrer qu’il faut alors résoudre numériquement le système adimensionné :





 d²x

du² =−12 x¹³ + 6

x⁷ − p x³ dθ

du =√ p1

x²

La fonction énergie potentielle effectiveE_p,eff^∗ (x) est représenté fig.3 pour deux valeurs dep.

0 1 2 3 4 5

x

0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

E

p , ef f

p=0.2 p=0.8

Figure 3 – Fonction énergie potentielle effective admiensionnée E_p,eff^∗ (x) pour p= 0,2 et pourp= 0,8.

9. Pour laquelle des deux valeurs deppeut-il exister un état lié pour la par- ticule ? On se place dans ce cas par la suite.

10. À l’aide de la fonction odeintdu module scipy.integrate, résoudre les système d’équations différentielles et tracer la trajectoire de la particule dans le casE_m^∗ = 0. On pendrax(0) = 1,2,dx

du(0) =−p

2(E_m^∗ −E_p,eff(x(0)) et θ(0) = 0 comme conditions initiales.

En fait, ce problème modélise l’interaction deux molécules de dioxyde de car- bone de massem= 2µ. Le potentielU(r) est le potentiel de l’interaction de Van der Waals.

11. Sachant que les molécules sont chacune situées en permanence à la distance r(θ)

2 de leur centre de masse G, représenter l’allure des trajectoires des molécules dans le casE_m^∗ = 0.

M7.8 – Diffusion de Rutherford

En 1909, Ernest Rutherford, procède à une série d’expériences dans lesquelles un faisceau de particules alpha (noyaux d’hélium 4 :⁴₂He), ayant toutes la même énergie cinétique, est lancé contre une mince feuille d’or. Il observe que la majo- rité des particules alpha traversent la feuille d’or, mais qu’une faible proportion d’entre elles « rebondit » sur celle-ci. Le noyau d’or, de charge positive ponctuelle Z.e, supposé ponctuel et immobile dans le référentiel galiléen du laboratoire, se situe au pointO, origine d’un repère cartésien orthonormé (O, ~e_x, ~e_y, ~e_z).

Nous considérons qu’à l’instant initial t = 0 s, la particule alpha, de masse m_α et de charge électriqueq_α = +2.e, vient de « l’infini » avec un mouvement rectiligne uniforme caractérisé par un vecteur vitessev~₀=~v(t= 0) =v₀·e~_x. On désigne parbla distance du pointOà la trajectoire de la particule à l’infini (figure 4). À chaque instantt, on noted(t) la distance entre la particule alpha et le point O. La particule alpha est donc repérée par le vecteur position−−→

OM(t) =d(t)·e~r, avec (e~r, ~eθ, ~ez) une base cylindrique locale directe.

Au plus proche du point O, la particule alpha est au point S, la distance minimale en ce point est notéedm. La particule alpha est non relativiste.

Figure4 – Expérience de Ernest Rutherford

1. Écrire l’expression de la force subie par la particuleα. On poseraK=2Ze² 4π₀. 2. Exhiber deux grandeurs conservatives du problème et donner leurs expres-

sions en fonction des paramètres du problème.

3. Déterminer une relation entred,b, ˙θ etv₀.

4. Au sommet S de la trajectoire, le vecteur vitesse v~_s, de norme v_s, de la particule alpha est perpendiculaire au rayon vecteur −→

OS, de norme dm. Déterminer l’équation algébrique du second degré vérifiée par d_m et en déduire l’expression de d_m en fonction deK,b,m_αet v₀.

5. Le paramètre d’impactbest inaccessible à la mesure. Par contre, l’angle de déviationϕest facilement mesurable. Il faut donc trouver la relation qui lie ϕàb.

5.1 Écrire l’équation différentielle vérifiée par la composantevx de la vi- tesse suivantx.

5.2 Réécrire cette équation en fonction uniquement devx,θ, ˙θ,K,b,mα

et v0.

5.3 En intégrant cette équation, montrer que : tanϕ

2

= K

b·m_α·v₀²

Nous nous proposons maintenant d’évaluer une borne supérieure à la dimen- sion de ce noyau.

6. Montrer que la relation qui lied_màϕ, est :d_m= K m_αv²₀



1 + 1 sinϕ

2



.

7. Pour quelle valeur ϕm de l’angle ϕ, la distance d’approche est-elle mini- male ? Déterminer, dans ce cas, l’expression de dm en fonction de K, mα

et v0.

8. Que vautbpourϕ=ϕm? Représenter l’allure de la trajectoire de la parti- cule alpha pour cet angle et faire figurerdmsur votre schéma. Justifier que dmconstitue une borne supérieure du rayon du noyau.

9. Sachant que l’énergie typique d’une particule alpha est de 5 MeV et que le numéro atomique de l’or est Z = 79, déterminer numériquement la valeur dedm.