New decompositions of 2-structures

Texte intégral

(1)New decompositions of 2-structures Michael Rao. To cite this version: Michael Rao. New decompositions of 2-structures. 2007. �hal-00141480v2�. HAL Id: hal-00141480 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00141480v2 Preprint submitted on 13 Apr 2007. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2)

(3) ! 2 "$#&%(')+*-,/.0)+1 243658795;:=< >@?&A(BCDE?GFIHKJML(CN?ODQP:R7@CSL(>4TSB U@VXWZY9[R\]V-^9V=_E`ba+cZc9\]d(a!_6^-U ∗. ge fhjik(l@mbi nporq@sNojtuovXw xzy{x]|~}]y 9ojb|~q+-tu}wN}-vRt]y tEwusNRSwN@suotbovRosx]}j}v@0wuRo|~Z @@xbs 9ob|~q+ tu}wu}bv4xbvR O(n ) wu}|Qoxb-bsN}wN@|rt/wNb|~q@@wuo2x]wu@otEo @oj-|~qXtE}wu}bvRtj!RojtuoQsNojtu@wNt;jx]v+o xbq@q@}o pwuvRbv bsN}ojvXwuoj 4bsN}ovXwuo pxbvR 9}suoSwNoj bsx]qRRtz} b}v 9ojb|~q+-tu}wN}-vpbyv@bv bsN}ovXwuo -sNxbq@Rtx]v by=wNb@sNvRx]|~ojv-wt;x]sNo w6tEq+oj}xbMx-tEot]y=wN@}Oty{x]|~ }by! @oj-|~qXtE}wu}bv4r bwu@ojsNt tuq+oj}Ox]4jxbtuojtxbsuobojv@osx]}tNx(wN}-vRt]y wu@o;@} b}v @oj-|~qXtE}wu}bv0bv 9}suoSwuo g-sNxbq@Rtj ¡£¢¤¥¦r§0¨z©M¤ª¦¢ «¬4r®°¯±¯O²6³´4µb®;´·¶µ+¸£¹º¯{»X¼ ¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´ÃµXÄÅ9¼»X¾º¬Æ¬»Z¿¶»X´RÇÈ»X¾º¾º¯±ÀÂ½]»XÁSÀÂµZ´4¿À±´Å9¼»X¾º¬ÆÁS¬4(µZ¼SÇÈ»X´4¸È»X¯±Å@µX² ¼SÀ±ÁS¬º¶¿]ÉÆÊEÁÀÂ¿0¹º´ºÀÂË¹4ÆÌÎÍ-Ï;»X´4¸$½]»X´ÑÐ½(µZ¶¾º¹ºÁ(¸ÒÀ±´Ñ¯±À±´4]»X¼zÁSÀ±¶ÆÓNÔ6Õ&Ö]ÕÈÀ±´ + m)× µZ´Ò´4µZ´£²EµZ¼SÀÂ°´Á(¸ µZ´ ²E¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼(¿ÌÎÛXÏEÉ«¬40ÐºÀO² Å9¼»X¾º¬4¿zÌ±Ø9Ø°ÏEÙµZ´·¸£À±¼(½°Á(¸ÈÅ9¼»X¾º¬4¿zÌ±Ø]ÚXÏEÙ »X´4¸ÈÀ±´È¯±À±´4]»X¼QÁSÀ±¶ÓNÔ6Õ&ÖbÕÀ±´ O(n )× O(n Ü µZÀ±´¸º(½(µZ¶¾µ9¿À±ÁSÀÂµZ´ÀÂ¿8»rÅ@°´4°¼»X¯±ÀÂ¿»XÁSÀÂµZ´pµXÄÁS¬4;¶µ+¸£¹º¯{»X¼8¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´pµZ´´4µZ´£2²EµZ¼SÀÂ°´RÁ(¸Å9¼»X¾º¬4¿QÌ±Ø]Ý£Ù4Ø°Þ9Ï »X´4¸µZ´ÁµZ¹º¼S´»X¶°´Á¿zÌÎß-ÏEÉ«¬4(¿rÁE®µ¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´4¿ ½]»X´Ðr½(µZ¶¾º¹ºÁ(¸À±´¯±À±´4]»X¼ ÁSÀ±¶9É àá¾º¼(¿°´RÁ»Äâ»X¶À±¯±ÇµXÄ¸º(½(µZ¶¾µ9¿À±ÁSÀÂµZ´4¿;µXÄ 2²E¿ÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼(¿®;¬ºÀÂ½¬Å@°´4°¼»X¯±À±ã]QÁS¬4 ¶µ+¸£¹º¯{»X¼;¸º(½(µZ¶¾µ9¿ÀO² ÁSÀÂµZ´MÉàá¿S¬4µb®äÁS¬»XÁKÁS¬4(¿;¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´4¿»X¼;¹º´ºÀÂË¹49Ù»X´4¸®;¾º¼(¿°´RÁ»X´»X¯±Å@µZ¼SÀ±ÁS¬º¶åÁµr½(µZ¶¾º¹ºÁ ÁS¬4°¶ À±´ÒÁSÀ±¶ O(n ) Ó&ÄIµZ¼»æºçº(¸Ò¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´èÀ±´ÒÁS¬4Äâ»X¶À±¯±Ç × Éàá»X¾º¾º¯±ÇÒÁS¬4(¿¼(¿S¹º¯±Á¿0ÁµÈµZ¼SÀÂ°´Á(¸é»X´4¸ ¸£À±¼(½°Á(¸pÅ9¼»X¾º¬4¿]É!àáÅ9À±ê@ÁE®µz´4°®ë¸£ÀOì°¼°´RÁ¸º(½(µZ¶¾µ9¿À±ÁSÀÂµZ´4¿KÄâµZ¼¸£À±¼(½°Á(¸Å9¼»X¾º¬4¿®;¬ºÀÂ½¬Å@°´4°¼»X¯±À±ã]ÁS¬4 ÐºÀO² Ü µZÀ±´á¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´$µXÄ8´4µZ´£²EµZ¼SÀÂ°´RÁ(¸$Å9¼»X¾º¬4¿g»X´4¸ÃÁµZ¹º¼S´»X¶°´Á¿]Ù»X´4¸Ã®Å9À±ê@»´4°®å¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´ ÄâµZ¼µZ¼SÀÂ°´RÁ(¸íÅ9¼»X¾º¬4¿]ÉïîÀO² Ü µZÀ±´ï¸º(½(µZ¶¾µ9¿À±ÁSÀÂµZ´íµXÄ~´4µZ´ïµZ¼SÀÂ°´RÁ(¸íÅ9¼»X¾º¬4¿»X´4¸éÐºÀO² Ü µZÀ±´ï¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´íµXÄ ÁµZ¹º¼S´»X¶°´RÁr»X¼»X¯Â¿µ¿¾(½°À{»X¯M½]»Z¿(¿ µXÄÁS¬ºÀÂ¿Ä6»X¶À±¯±ÇµXÄ!¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´4¿]É ð ÄGÁ°¼r¿µZ¶¾º¼°¯±À±¶À±´»X¼SÀÂ(¿gÀ±´ñ¿(½°ÁSÀÂµZ´Òß£Ù®8À±´ÁS¼µ¸£¹4½(À±´Ã¿(½°ÁSÀÂµZ´ÒÝÁS¬4òQ² Ü µZÀ±´4¿»X´4¸ñ¿S¬4µb®óÁS¬»XÁ0ò² Ü µZÀ±´4¿¬»(ê@gÁS¬4rÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@0¾º¼µZ¾°¼SÁuÇ@É8Êu´È¿(½°ÁSÀÂµZ´Þ®8g¸ºæ4´4gÁS¬40ò² Ü µZÀ±´È¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´MÉô4µZ¼»X´RÇæºçº(¸ »XÐ°¯±À{»X´Å9¼µZ¹º¾È®;À±ÁS¬È¿µZ¶~¾º¼µZ¾°¼SÁSÀÂ(¿]ÙÁS¬4°¼rÀÂ¿ »¸£ÀOì°¼°´RÁrò² Ü µZÀ±´¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´MÉÊu´¿(½°ÁSÀÂµZ´Æõ®rÅ9À±ê@ ¿µZ¶p¿S¾(½°À{»X¯½]»Z¿(¿zµXÄQ¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´4¿µZ´è´4µZ´£²EµZ¼SÀÂ°´Á(¸Ù8µZ¼SÀÂ°´Á(¸ä»X´4¸$¸£À±¼(½°Á(¸èÅ9¼»X¾º¬4¿]ÉñôÀ±´»X¯±¯±Ç@Ù® ¾º¼(¿°´Á»X´ O(n ) »X¯±Å@µZ¼SÀ±ÁS¬º¶öÁµz½(µZ¶¾º¹ºÁ ÁS¬4rò² Ü µZÀ±´¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´À±´¿(½°ÁSÀÂµZ´÷£Ù@ÄâµZ¼»X´Çæºçº(¸»XÐ°¯±À{»X´ Å9¼µZ¹º¾MÉ ø ùè¥úûªüýª¢0þ;¥ªúÿ 3. 2. 3. 3.

(4) 2 ! #"%$ ' & #(*)+ 4365238795 G =3 $ (V, '&A) #(*)+. ð Ô Ö EÖ Éð u ∈ V} ∗. ÔâÖ EÖ. ÀÂ¿»¾»XÀ±¼µXÄ/»¿°ÁµXÄ-,XÖ./$IÔ0"Ö.1 V »X´4¸È»¿°ÁµXÄ-(2#".1 A ⊆ V × V \ {(u, u) : ÃÀÂ¿r»p¸£À±¼(½°Á(¸ÃÅ9¼»X¾º¬á¿S¹4½¬ÃÁS¬»XÁQÄIµZ¼»X¯±¯ (u, v) ∈ V Ù®;À±ÁS¬ u 6= v ÙÁS¬4°´ 2. :<;9=>;#?A@CBEDF=>GIHIHJK@>LC;#MON%PQLCDI;SRT@C;9UBEDOH@CJAV0;9BWLYXSZS:[Y:YXSXY\^]!_`WB9J.a-HJ*=>bcLCbcJ*UI=dM;feK@?*HDI;9=d;WLS?*gce*J*@CbhLCDIa-;9=0i. Ø.

(5) OÀ Ä»X´4¸ÆµZ´º¯±ÇÀOÄ É ð ´ 5 ÔâÖ 3 $EÖ Å9¼»X¾º¬ÆÀÂ¿r»¸£À±¼(½°Á(¸·Å9¼»X¾º¬Ã¿S¹4½¬·ÁS¬»XÁÄIµZ¼r»X¯±¯ Ù Éð Ö !ÀÂ¿K»rµZ¼SÀÂ°´Á(¸Å9¼»X¾º¬¿S¹4½¬ÁS¬»XÁK°À±ÁS¬4°¼ (u, v) ∈ A µZ¼ (v, u)(u,∈ v)A É M°Á Ð»¿°Á]É ð Ö ÀÂ¿g»p¾»XÀ±¼ e) ¿S¹4½¬áÁS¬»XÁ e : V × V → D ÉÊE´ñÁS¬ºÀÂ¿¾»X¾°¼]Ù °ê@°¼SÇ ²E¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼ÀÂ¿~æ4´ºÀ±ÁÆÓNÔâÕGÖ]Õ ÀÂ¿~æ4´ºÀ±Á × É ð 2²E¿S(V, ÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼ÀÂ¿ 1Ö/$0Ô0"ÀOÄ e(u, v) = e(v, u) ÄâµZ¼0»X¯±¯ Ù É M°Á Ð»X´À±´Rê@µZ¯±¹ºÁSÀÂµZ´ÃµZ´ D ÓNÔ6ÕGÖg»ÐºÀ Ü (½°ÁSÀÂµZ´È¿S¹4½¬ÁS¬»XÁ σ(σ(x)) ÄIµZ¼Q»X¯±¯ x ∈ D × É =x ð ²E¿ÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼ Ö Ô ~ÀOÄ v) = σ(e(v, u)) ÄIµZ¼ »X¯±¯ u, v ∈ D Ù u 6= v É µZ´ ÀÂ¿ ð ¸£À±¼(½°Á(¸áÅ9¼»X¾º¬Ò½]»X´ÒÐê+ÀÂ°®8(¸$»Z¿0» 2²E¿Se(u, ÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼µZ´ Z Ù»´4µZ´$µZ¼SÀÂ°´RÁ(¸áÅ9¼»X¾º¬Ñ»Z¿0»¿SÇ+¶¶°ÁS¼SÀÂ½ ²E¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼µZ´ Ù»X´4¸Ã»ÁµZ¹º¼S´»X¶°´RÁ»Z¿~» ²E¿SÇ+¶¶°ÁS¼SÀÂ½ ²E¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼0µZ´ ®;À±ÁS¬ É«¬4°¼0ÀÂ¿ 2 »p®»]ÇÃÁµÁS¼»X´4¿ÄIZµZ¼S¶ » 2²E¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼µZ´ D À±´ÁσµÈ» σ²E¿SÇ¶¶°2ÁS¼SÀÂ½ 2²E¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼ZµZ´ D ×σD= Á[»X³@ ] e (u, v) = »X´4¸ σ((i, j)) = (j, i) ÄâµZ¼»X¯±¯ i, j ∈ D ÉÃô4µZ¼hç4»X¶¾º¯Â»È¸£À±¼(½°Á(i¸èÅ9¼»X¾º¬é½]»X´ä»X¯Â¿µÆÐ (e(u, v), e(v, u)) ê+ÀÂ°®8(¸È»Z¿ » σ²E¿Ç¶¶°ÁS¼SÀÂ½ 2²E¿ÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼gµZ´ Z × Z Ù4®;À±ÁS¬ σ = É (u, v) ∈ A (v, u) ∈ A $ 5 3 ( 3 $ (u, v) ∈ A ⇒ (v, u) 6∈ A 7 1.$0 "%$ 523 D 2 D 2 V u, v ∈ V u 6= v σ 7 1 /$0 0" 2 (V, e) D σ. 2. 2. 2. !. 01 10. 2. 0. (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (0,0) (1,0) (0,1) (1,1). 2. C

(6) >

(7) <9 C. ð Ô ) (2/$IÔ $IÔ 523 µXÄM»¿°Á V ÀÂ¿»~¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀÂµZ´ {X, Y } µXÄ V ¿S¹4½¬ÁS¬»XÁ X 6= ∅ »X´4¸ Y 6= ∅ Éàá ®;¼SÀ±Á¿µZ¶°ÁSÀ±¶(¿ À±´4¿SÁ]»Z¸ÈµXÄ {X, V \ X} ÉQ«M®8µÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀÂµZ´4¿ {X, Y } »X´4¸ {X , Y } 5 ,XÖ. (.)ëÓIµZ¼ {X, Y } 5 ,XÖ. (.)1 {X, −} ÀOÄ X ∩ X Ù X ∩ Y Ù Y ∩ X »X´4¸ Y ∩ Y »X¼´4µZ´°¶¾ºÁEÇ@É ð Äâ»X¶À±¯±Ç F µXÄÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀÂµZ´4¿QµXÄ V ÀÂ¿ {X , Y } × Ö#( Ô ) (2/$IÔ $IÔ ,XÖgÀOÄ ÄâµZ¼ »X¯±¯ v ∈ V Ù {{v}, V \ {v}} ÀÂ¿À±´ F Ù»X´4¸ • ÄâµZ¼»X¯±¯ {X, Y } »X´4¸ {X , Y } À±´ F ¿S¹4½¬ÁS¬»XÁ {X, Y } µ]ê@°¼S¯{»X¾4¿ {X , Y } ÙÁS¬4°´ {X ∩ X , Y ∪ Y } Ù • Ù »X´4¸ {Y ∩ Y , X ∪ X } »X¼rÀ±´ F É {X ∩ Y , Y ∪ X } {Y ∩ X , X ∪ Y } ·µZ¼(µ]ê@°¼g»®8]»X³+¯±ÇÈÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@zÄ6»X¶À±¯±Ç F ÀÂ¿ Ô ) (2/$IÔ $IÔ ,XÖÀOÄ/ÄIµZ¼r»X¯±¯ {X, Y } »X´4¸ {X , Y } ®;¬ºÀÂ½¬ñµ]ê@°¼S¯{»X¾ À±´ Ù ÀÂ¿ À±´ ÓG®;¬4°¼ ÉîÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@rÄ6»X¶À±¯±ÀÂ(¿Q»X¼g½°¯Âµ9¿Áµ ) (2/$FI0Ô $I!Ô {X∆X ,X Ö !%("Ô ,Ô6X∆Y *Ö 1ÌÎÝ£ÙMØ]}ß-ÏMÐº¹ºÁ F¸º]»X¯Â¿®;À±ÁS¬A∆B ÐºÀ±¾»X¼S=ÁSÀ±ÁS(AÀÂµZ´4\¿QB) µXÄ V∪ (B À±´4¿SÁ\]»ZA)¸× µXÄ¿S¹ºÐ4¿°Á¿ µXÄ V É ð ¶°¶gÐ°¼µXÄ»·ÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@Ä6»X¶À±¯±Ç$ÀÂ¿ 1/$0 53 & ÀOÄQÀ±Áµbê@°¼S¯{»X¾4¿´4µñµZÁS¬4°¼¶°¶0Ð°¼À±´éÁS¬4Äâ»X¶À±¯±Ç@É ð ¶°¶gÐ°¼ {X, Y } ÀÂ^¿ $0Ô!,]>Ô (ÀOÄ |X| = 1 µZ¼ |Y | = 1 #É M°Á T = (V, E) Ð»zÁS¼(9Éàár¸º°´4µZÁrÐRÇ Leaves(T ) ÁS¬4Æ¯Â]»(ê@(¿µXÄ T É ô4µZ¼ β ∈ V Ù¯Â°Á {A , . . . , A } ÐÈÁS¬4·½(µZ´º´4(½°Á(¸ ½(µZ¶¾µZ´4°´Á¿µXÄ T − β $ É M°Á Éô4µZ¼ e ∈ E Ù¯Â°Á A »X´4¸ A ÐzÁS¬4½(µZ´º´4(½°Á(¸á½(µZ¶¾µZ´4°´RÁ¿gµXÄ T − e Ù»X´4¸Ã¯Â°Á C = A ∩ Leaves(T ) É«¬40ÄIµZ¯±¯Âµb®;À±´ºÅ¼(¿S¹º¯±Ár½]»X´ÃÐgÄâµZ¹º´4¸ÆÀ±´éÌ±Ø°Þ9Ï/µZ¼~À±´éÌÎ÷-Ï {C , C } = {A ∩ Leaves(T ), A ∩ Leaves(T )} ¹4¿SÀ±´ºÅñ»È¸£ÀOì°¼°´RÁzÄâµZ¼S¶»X¯±ÀÂ¿S¶ÉÃ«¬ºÀÂ¿z¼(¿S¹º¯±Áz½]»X´é»X¯Â¿µÆÐp]»Z¿SÀ±¯±ÇÒ¿¬4µ]®8(¸$ÄI¼µZ¶ ³+´4µ]®;´è¼(¿S¹º¯±Á¿µXÄ®]»X³¯±Ç ¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@rÄ6»X¶À±¯±ÀÂ(¿ÌÎÝ£ÙMØ]ß-ÏEÉ Ö ( #Ö ( cÔ ) (2.$I0Ô $IÔ ,XA Ö !%(BÔ F 523 V Õ C<+£Ö 3 $ +£.Ö ÖgÔ 1 ( 3 Ô D Ö 3 5 5 $EÖ %'&)(+*-,(/.103254768:9<;>=@? /Ö $ F $0ÖÖ 8 "A(E" $ +£Ö¼°¾º¼(¿°´RÁ»XÁSÀ±ê@ÁS¼( 8 1 ".+ $ + ($ 8 ( 36 AÖ ( ".+ñÔ 3 $E.Ö 3 ( 365 Ö 5 VU N TW )I 8 =1 V".+ $ +( $X +(I1 (T$:Â=#Ö (I(V 1.$ , 3 EÖÔ & )+ #5 *1 ( 36 Ô 1F (2ZÖ HGJI>KLIM3INPO/Q

(8) I 8SRT M3IJON Leaves(T 3 5 F(B !Ô 1O( 1.$0 523 & <Ö .Ö 5 ! ( 36 $ +£.Ö ÖQ!Ô 1 365 5 $ +£/Ö 1/$0 523& Ö .Ö *1Ô 3 Õ 8 • Y e ∈ E {C , C } F F Ö ( 3 Ô 3 $E.Ö 3 ( 365 Ö 8 ( 36 Â/Ö $ Ö $ +£Ö Ö & ÖÖ 5 ! Õ ? /Ö $ • β∈V k β Z[ ! β Ô 1 GJI>KLIM3INPO/Q

(9) I+G 8 $ +£Ö 3 ! 5 (" ∅ ( I ( {1, . . . , k} 8 {∪ C , −} !Ô 1rÔ 3 F Õ Z[ ! β !Ô 1 R\T M3IJON 8 $ +£/Ö SÖÔ 1 ( 5 .Ö Ô 3& C , . . . , C 1 ".+ $ +($! 5 (" a, b ∈ {1, k} 0Ô $ + a ≤ b ( 36 !Ô 1~Ô 3 Õ 8 (a, b) 6= (1, k) {∪ C , −} F C<+£/Ö SÖ0!Ô 1 3 5 5 $ +º.Ö SÖ .Ö *1gÔ 3 Õ • F ß 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. d(β) β 2 e. 1 β. i β. 1 e. i β. 1 e. 2 e. 1 e. T. 2 e. T. T. 1 e. 2 e. T. i∈I. 1 β. i∈{a,...,b}. i β. k β. i β. 0. 0.

(10) £Ö SÖ0Ô ! F Ô 1 Ô ) (2/$IÔ0$IÔ!,XÖ 8 $ +£Ö 3 T +(I1 365 R\T M-I+ON 3 5 Ö]Õ ~(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´4¿ Ð»Z¿(¸ÈµZ´ÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@gÄâ»X¶À±¯±ÀÂ(¿¬»(ê@gÐ(°´·¿SÁS¹4¸£ÀÂ(¸À±´$ÌÎ÷-Ï¹º´4¸º°¼Q»ÄIµZ¼S¶»X¯±ÀÂ¿S¶ ½]»X¯±¯Â(¸ Ö#" 5 O) 5 1j0Ô $IÔ 523 !.9(EÖ8®;À±ÁS¬¿µZ¶K¾º¼µZ¾°¼SÁSÀÂ(¿] É +µZ¶çº»X¶¾º¯Â(¿µXÄ4ÁS¬ºÀÂ¿¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´0ÄG¼»X¶8½]»X´0ÐÄâµZ¹º´4¸ À±´èÌ Þ4Ùõ-ÏEÉî8À±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@0Ä6»X¶À±¯±ÀÂ(¿QÐ»Z¿(¸È¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´4¿»X¼0À±´RÁ°¼(¿SÁSÀ±´ºÅ¿SÀ±´4½(0ÁS¬4gÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê+À±ÁEÇÆÀ±¶¾º¯±ÇÆ»X´ ¹º´ºÀÂË¹4¸º(½(µZ¶¾µ9¿À±ÁSÀÂµZ´MÉôº¹º¼SÁS¬4°¼S¶µZ¼9Ù+ÁS¬ºÀÂ¿/À±¶¾º¯±ÇzÁS¬»XÁ8»~Å9¼((¸£Ç»X¯±Å@µZ¼SÀ±ÁS¬º¶åÁµ¸º(½(µZ¶¾µ9¿;ÁS¬4 ¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼ ®;À±¯±¯»X¯±®»(Ç£¿g®µZ¼S³ ÀOÄ;®8½]»X´áæ4´4¸áÀ±´$¾µZ¯±Ç+´4µZ¶À{»X¯KÁSÀ±¶p»¸º(½(µZ¶¾µ9¿»XÐº¯ÂÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀÂµZ´èÀ±´áÁS¬4¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼9Ù ÁS¬4°´®½]»X´È¸º(½(µZ¶¾µ9¿rÁS¬4~®;¬4µZ¯Âg¿ÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼rÀ±´¾µZ¯±Ç+´4µZ¶À{»X¯MÁSÀ±¶9É /$ + . 5. Y. ð. . f:C ) S C

(11). <

(12) : E . < >

(13) <. . ÂÖgÀ±´È» 2²E¿ÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼ G = (V, e) ÀÂ¿»z´4µZ´£²E°¶¾ºÁEÇ X ⊆ V ¿S¹4½¬ÁS¬»XÁÄIµZ¼ »X¯±¯ v 6∈ X »X´4¸ u, u ∈ X Ù »X´4¸ v) = e(u , v) É«¬4~Ä6»X¶À±¯±ÇµXÄ¶µ+¸£¹º¯Â(¿µXÄ/» 2²E¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼0ÀÂ¿®]»X³¯±Ç¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@9Ù e(v, u) = e(v, u ) ²E¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼ÀÂ¿¿SÇ+¶¶°ÁS¼SÀÂ½ÌbÏEÉÊ6Ä»~¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼ G ¬»Z¿8»Q´4µZ´£²6ÁS¼SÀ±êÀ{»X¯4¶µ+¸£¹º¯Â X Ù9ÁS¬4°´ »X´4¸ÀÂ¿¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@;ÀOÄÁS¬4 2e(u, À±Á½]»X´Ð~¸º(½(µZ¶¾µ9¿(¸À±´RÁµ »X´4¸ G[V \ X ∪ {x}] Ù4®;¬4°¼ x ∈ X ÉµZÁ~ÁS¬»XÁÁS¬4r¿ÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼ G ½]»X´ Ð0]»Z¿SÀ±¯±ÇÈ¼(½(µZ´4¿SÁS¼S¹4½°Á(¸ÃÄI¼µZ¶ G[X] »X´4¸ G[V \ X ∪ {x}] Ér«¬4 5 (2 ÖA" 5 O) 5 1Ô $IÔ 523 ÀÂ¿Q¸ºæ4´4(¸ÃÐÇ G[X] ¼(½°¹º¼¿SÀ±ê@°¯±Ç·¸º(½(µZ¶¾µ9¿0ÁS¬4z¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼zÐRÇÆ»´4µZ´£²6ÁS¼SÀ±êÀ{»X¯!¶µ+¸£¹º¯Â9ÉÊuÁ~½]»X´ÆÐg¼°¾º¼(¿°´RÁ(¸·ÐRÇÆ»ÁS¼(9Ù½]»X¯±¯ ÁS¬4 5 (2 #Ö " 5 O) 5 1j0Ô $IÔ 523 $0SÖÖ(Ù®;¬ºÀÂ½¬ÀÂ¿ç4»Z½°ÁS¯±ÇÁS¬4r¼°¾º¼(¿°´RÁ»XÁSÀ±ê@0ÁS¼(µXÄÁS¬4QÄ6»X¶À±¯±ÇµXÄ¶µ+¸£¹º¯Â(¿]É ð Ô 7/5 Ô 3 À±´é»·´4µZ´£²EµZ¼SÀÂ°´Á(¸éÅ9¼»X¾º¬ G = (V, E) ÀÂ¿»ÆÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀÂµZ´ {X, Y } µXÄ V ¿S¹4½¬éÁS¬»XÁzÄâµZ¼»X¯±¯ Ù É ð Ô 7/5 Ô 3 À±´È»0ÁµZ¹º¼S´»X¶°´RÁ ÀÂ¿ v, v ∈ X {N (v) ∩ Y, Y \ N (v)} = {N (v ) ∩ Y, Y \ N (v )} A) »ÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀÂµZ´ {X, Y } µXÄ V ¿S¹4½¬ÆÁS¬»XÁÄâµZ¼»X¯±¯ v, v ∈ X Ù {N (v) ∩ Y, Y \ N (v)} = {N G(v=) (V, ∩ Y, Y \ É N (v )} 5 E. . . 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. +. +. +. +. 0. 0. X1. Y1. X1. Y1. X2. Y2. X2. Y2. ôÀ±Å9¹º¼Ø ð ÐºÀO² Ü µZÀ±´À±´·»z´4µZ´£²EµZ¼SÀÂ°´RÁ(¸ÆÅ9¼»X¾º¬Æ»X´4¸È»zÁµZ¹º¼S´»X¶°´RÁ]É X = X ∪ X »X´4¸ Y = Y ∪ Y É ÊEÄ ÀÂ¿8»¶µ¸£¹º¯ÂµXÄ ÙRÁS¬4°´À±ÁKÀÂ¿8»ÐºÀO² Ü µZÀ±´pµXÄ É«¬4 Ä6»X¶À±¯±ÇµXÄÐºÀO² Ü µZÀ±´4¿8µXÄ=»¹º´4¸£À±¼(½°Á(¸Å9¼»X¾º¬ ÀÂ¿/ÐºÀ±¾»XX¼SÁSÀ±(ÁSÀ±ê@V0Ì±Ø]ÝXÏEÙ»X´4¸ÁS¬4Ä6»XG¶À±¯±ÇµXÄÐºÀO² Ü µZÀ±´4¿KµXÄ=»~ÁµZ¹º¼SG´»X¶°´Á8ÀÂ¿K®8]»X³+¯±ÇÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@gÌÎßXÏEÉ!ÊEÄ»~Å9¼»X¾º¬¬»Z¿ »´4µZ´£²6ÁS¼SÀ±ê+À{»X¯!ÐºÀO² Ü µZÀ±´MÙ ÁS¬4°´·À±ÁQ½]»X´·Ð0¸º(½(µZ¶¾µ9¿(¸ÈÀ±´ÁµÁu®8µpÅ9¼»X¾º¬4¿]Ù»X´4¸ÈÁS¬4 Ô 7%5 Ô 3 ¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´·ÀÂ¿ ÁS¬4¼(½°¹º¼¿À±ê@ ¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´ÐÇ»¿SÁS¼µZ´ºÅ0´4µZ´£²6ÁS¼SÀ±êÀ{»X¯ ÐºÀO² Ü µZÀ±´MÉ À±´4½( ÁS¬4;Ä6»X¶À±¯±ÇµXÄÐºÀO² Ü µZÀ±´ÀÂ¿KÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@9Ù ÁS¬4rÐºÀO² Ü µZÀ±´¸º(½(µZ¶¾µ9¿À±ÁSÀÂµZ´ÈÁS¼(rÀÂ¿;¹º´ºÀÂË¹4Óâ»X´4¸ÀÂ¿ÀÂ¿µZ¶µZ¼S¾º¬ºÀÂ½ÁµÁS¬4~¼°¾º¼(¿°´Á»XÁSÀ±ê@gÁS¼( × É 1. . 2. 1. -3 Cd<. 2. àár¼(½]»X¯±¯»-ç£ÀÂµZ¶¿µXÄ/»X´Æ»XÐ°¯±À{»X´Å9¼µZ¹º¾ (D, u) É (! ,#"%$ (&$B(J. (&'(*) «¬4°¼rÀÂ¿»X´°¯Â°¶°´RÁ ˙ À±´ ¿S¹4½¬ÁS¬»XÁ;ÄâµZ¼ »X¯±¯ a À±´ D Ù 0˙ u a = a u 0˙ = a É 0 D + '(,-(J,.- (H(&$B(J. (&'(*) ô4µZ¼]»Z½¬ À±´ ÁS¬4°¼~ÀÂ¿ »X´°¯Â°¶°´RÁ a À±´ D ¿S¹4½¬ÁS¬»XÁ a u a = a u a = 0˙ Ù a D ®;¬4°¼ 0˙ ÀÂ¿;ÁS¬4r´4°¹ºÁS¼»X¯=°¯Â°¶°´Á]ÉÓGàár®;À±¯±¯M®;¼µZÁ −a˙ ÄâµZ¼ a É × / -0- *21435"63,7398) ô4µZ¼»X¯±¯ Ù »X´4¸ À±´ Ù É a b c D (a u b) u c = a u (b u c) : *-. .!0"63,7398) ô4µZ¼»X¯±¯ »X´4¸ À±´ Ù É a b D aub = bua Ý −1. −1. −1. −1.

(14) 4¦ª¢zÿ CE < «¬º¼µZ¹ºÅ9¬4µZ¹ºÁ~ÁS¬ºÀÂ¿¿(½°ÁSÀÂµZ´MÙ®æºçÆ»X´Ã»XÐ°¯±À{»X´ÆÅ9¼µZ¹º¾ (D, u) É@M°Á (V, e) Ð0» 2²E¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼zµZ´ D É ð ¾»XÀ±¼ ®;À±ÁS¬ Ù »X´4¸ ÓNÔ6ÕGÖ]Õ »X´4¸ ÀÂ¿ » 7/5 Ô 3 ÀOÄÁS¬4°¼rÀÂ¿ (X, Y ) ¾»XÀ±¼S®;ÀÂ¿r¸£ÀÂ¿ Ü µZXÀ±´ 6=X∅ »XY´4¸ 6=Y∅ Ó&ÄâµZ¼ iV∈=DX× ¿S]¹4½Y¬ÁS¬»XÁ XX =∪ UY = VX Ù Y X= ∩UY =Y∅×Ùº»X´4¸pÄâµZ¼»X¯±¯ (i, j) ∈ D »X´4¸ (u, v) ∈ (X , Y ) Ù e(u, v) = i u j Éàá¿SÁ»X¼SÁ;®;À±ÁS¬Æ¿µZ¶r]»Z¿SÇµZÐ4¿°¼SêZ»XÁSÀÂµZ´4¿bÉ ,* #

(15) * -6363B* ' 2 [ ! (X, Y ) !Ô 1 ( 7/5 Ô 3 5 ! G ( 36 V ⊆ V 1 ".+ $ +( $ V ∩ X 6= ∅ ( 36 V ∩ Y 6= ∅8 $ +£Ö 3 Ô 1 ( 7%5 Ô 35 ! G[V ] Õ (X ∩ V , Y ∩ V ) ,* #

(16) * -6363B* ' 2 [ ! M Ô 1 ( 5 ±Ö 5 ! (V, e)8 $ +£Ö 3 (M, V \ M ) ( 36 (V \ M, M ) (2Ö 7%5 Ô 3 1 5 ! (V, e) Õ ,* #

(17) * -6363B* ' 2 Y 5 Ö/,X.Ö ) (ZÔ !Ô 1(Ö Ô .Ö Ö 3 $ a, b, c, d ∈ V 1 ".+$ +($ $ +£/Ö SÖÔ 1 ( 7/5 Ô 3 {X, Y } Ô $ + (3 Õ 8 $ +£Ö 3 ˙ {a, c} ⊆ X {b, d} ⊆ Y e(c, d) = e(c, b) u e(a, d) −e(a, b) (/. . " 2 ? %Ö $ (V, e) Ö ( 2 7 1/$0 "%$ SÖ 523 D Õ ? /Ö $ (X, Y ) ( 36 (X , Y ) Ö $ 5 7%5 Ô 3 1 5 ! (V, e) 1 ".+ $ +($ ( 36 Õ C<+£Ö 3 (X ∩ X , Y ∪ Y ) !Ô 1 ( 7/5 Ô 3 5 ! (V, e) Õ X ∩ X 6= ∅ Y ∩ Y 6= ∅ 5 5 !]Õ M°Á X »X´4¸ Y Ó&ÄâµZ¼ i ∈ D × ¿¹4½¬ÁS¬»XÁ X = U X Ù Y = U Y ÙR»X´4¸ÄâµZ¼K»X¯±¯ (u, v) ∈ (X , Y ) Ù É À±¶À±¯{»X¼S¯±ÇÈ¯Â°Á »X´4¸ Ó ¿S¹4½¬·ÁS¬»XÁ X = U X Ù Y = U Y Ù»X´4¸ÄâµZ¼ e(u, v) = i u j »X¯±¯ (u, v) ∈ (X , Y ) Ù e(u, v) = iXu j É Y i ∈ D × À±´4½( ÀÂ¿r´4µZ´£²E°¶¾ºÁEÇ@Ù¯Â°Á Ù=»X´4¸ñ¯Â°Á ¿S¹4½¬ñÁS¬»XÁ É ¹º¾º¾µ9¿ ÁS¬»XÁ w ∈YX∩∩Y X Ù;»X´4¸ï¯Â°Á i, i ∈ vD ∈¿S¹4Y½¬í∩ÁSY¬»XÁ w ∈ Xj,∩j X∈ DÉ «¬4°´ e(w,vv)∈=Y i∩uYj = i u j É «¬R¹4¿ X ∩ X = U X ∩ X 'É ÆµZ¼(µbê@°¼]ÙÄIµZ¼»X¯±¯ u ∈ Y ∩ Y Ù e(w, u) = i u k = i u k ÓG®;À±ÁS¬ Ù4ÁS¬R¹4¿ k = i−i˙ u k = j −j˙ u k Ù4»X´4¸ Y ∩ Y = U Y ∩ Y É u∈Y ∩Y × ô4µZ¼g»X¯±¯ k ∈ D Ù¯Â°Á X = X ∩ X ÙM»X´4¸·¯Â°Á Y = Y ∪ Y É X ∩ X = U X »X´4¸ U Éáô4µZ¼»X¯±¯ u ∈ X »X´4¸ v ∈ Y Ù e(u, v) = i u k ÉÒ«¬¹4¿ (X ∩ X , Y ∪ Y ) ÀÂ¿» Y ∪Y = Y ò² Ü µZÀ±´MÉ ! E # + 2 σ ð ÄI¹º´4½°ÁSÀÂµZ´ f ÀÂ¿r»ÆÔ 1 5 5 )+R!Ô 1 ÄIµZ¼ (D, u) ÀOÄ f (a u b) = f (a) u f (b) ÄâµZ¼r»X¯±¯ (a, b) ∈ D Érôº¼µZ¶ ´4µb® ®;À±¯±¯!¸º°´4µZÁ»X´ÈÀ±´Rê@µZ¯±¹ºÁSÀÂµZ´áµZ´ D ¿S¹4½¬ÆÁS¬»XÁQÁS¬4rÄI¹º´4½°ÁSÀÂµZ´ f : a → σ(a)−σ( ˙ ÀÂ¿~»X´ÆÀÂ¿µZ¶µZ¼S¾º¬ºÀÂ¿¶ ÄâµZ¼ ˙ 0) σ ÓG®;¬4°¼ 0˙ ÀÂ¿ÁS¬4r´4°¹ºÁS¼»X¯°¯Â°¶°´RÁ × É (D, u) (/. . " 2 ? /Ö $ (V, e) Ô 1 ( σ 7 1 /Ö $0Ô>" 2 7 1.$0 "%$ Ö 8 ( 36 ±%Ö $ X ( 3 Y 1 "/+ $ +($ V = X ] Y Õ C<+£Ö 3 !Ô 1 ( 7/5 Ô 3 Ô ! ( 36 523 Ô ! !Ô 1^( 7/5 Ô 3 Õ (X, Y ) (Y, X) 5 5 !]Õ M°Á X »X´4¸ Y Ó&ÄâµZ¼ a ∈ D × ¿S¹4½¬éÁS¬»XÁ X = U X Ù Y = U Y Ù/»X´4¸$ÄIµZ¼»X¯±¯ (u, v) ∈ Ù É M°Á X = X »X´4¸ Y = Y # Ù£ÄâµZ¼ »X¯±¯ a ∈ D É À±´4½( σ ÀÂ¿»ÐºÀ Ü (½°ÁSÀÂµZ´MÙ (X , Y ) e(u, v) = a u b U »X´4¸ Y = U Y É ·µZ¼(µ]ê@°¼]ÙZÄâµZ¼»X¯±¯ u ∈ X »X´4¸ v ∈ Y Ù e(u, v) = σ(a)uσ(b)−σ( ˙ = ˙ 0) X= X Ù X » 4 ´ ¸ É « ¬ 4 ¹ ¿ Â À. ¿ » ò ² Z µ ± À M ´ É Ü ˙ ˙ f (a) u f (b) u σ(0) = f (a u b) u σ(0) = σ(a u b) e(v, u) = a u b (Y, X) àá;¿»]ÇgÁS¬»XÁ {X, Y } ÀÂ¿/»~òQ² Ü µZÀ±´µXÄ (V, e) ÀOÄ (X, Y ) ÀÂ¿»ò² Ü µZÀ±´µXÄ (V, e) É M°¶¶»Z¿Kõr»X´4¸÷Q¿S¬4µb®éÁS¬»XÁ ÀOÄ {X, Y } »X´4¸ {X , Y } »X¼~ÁE®µò² Ü µZÀ±´4¿;¿S¹4½¬ÁS¬»XÁ {X, Y } µbê@°¼S¯{»X¾4¿ {X , Y } Ù£ÁS¬4°´ {X ∩ X , Y ∪ Y } ÀÂ¿ »ò² Ü µZÀ±´MÉ/«¬4°¼ÄâµZ¼r®8¬»(ê@ : *3,* $$5" ,.8"-! 2 C<+£ Ö !%("Ô 5 !# 7%5 Ô 3 1 5 ! ( σ 7 1/Ö $0jÔ>" 2 7 1.$0 "%$ Öz!Ô 1 #Ö (\ cÔ ) (.$I0Ô $I!Ô ,ZÖ]Õ Þ i. i. i. i. i∈D. j. 0. 0. 0. 0. 0. 0. i. 0. 0 i. 0 j. 0. 0. 0. i. 0. 00 k. 0 ˙ 0 iuj −j. k. 00 k. k∈D. i. i∈D. 0 i. 0. 0. j. j∈D. i. 0 i. i∈D. 0. i. 0. 0. 0 ˙ 0 kuj −j 00 i. 00 k. 00 k. 0 j0. j. 0 i0. 0. 0. 0. 0 ˙ k∈D k kuj 0 −j 0 k kuj 0 uj −1. 0. j. 0 j. j∈D. 0. 0. i∈D 0. 0 k0. 0. 0. i. 0. k. 0. 0. 0. 0 i. 2. j. j∈D. 0. 0. i∈D. 0. 00 i 0. 2. a. a. a. b. a∈D. 0 a. a∈D. 0. 0. 0 a 0 a. σ(a). 0 a. a∈D a 0 ˙ ˙ 0) σ(a)−σ( 0 a. a∈D. a. 0 b. 0. 0. 0. 0.

(18) . . E # + 2 ( 1 /$0 >" 7 1/$0 "%$ (/. . " 25? /$ (V, e) 2 5 , . (*)1 1 ." + $ +($ C<+ 3 0 0 . . Ö jÔ SÖbÕ ? Ö/$ {X, Y } ( 36 {X , Y } Ö^$ 5 7%5 Ô 3 1 5 ! (V, e) Õ º Ö Ô 1^( 7%5 Ô 3 5 ! (V, e) Õ {X, Y } {X , Y } {X∆X , X∆Y } 5 5 !]Õ M°Á Ù Ùº»X´4¸p¯Â°Á ¿S¹4½¬ÁS¬»XÁ »X´4¸ É ð ¿;®80¿S¬4µ]® v À±∈´È¾ºY¼µ∩µXYÄ/µXÄAwM°∈¶X¶»∩ õ£YÙ X ∩ X =(j,Uj , l, lX) ∈∩DX »X´4¸ vY ∈∩YY ∩=Y U Yw ∈∩ XY ∩ Y É Q¿SÀ±´ºÅ¿SÀ±¶À±¯{»X¼»X¼SÅ9¹º¶°´Á]Ù Y ∩ X = U Y ∩ X »X´4¸ X ∩ Y = U X ∩ Y É M°Á »X´4¸ Y = (Y ∩ X ) ∪ (X X = (X ∩ X ) ∪ (Y ∩Y ) ∩ U U / É ô Z µ ¼ X » ± ¯ ¯ X » 4 ´ ¸ Ù É « R ¬ 4 ¹ ¿ Â À ¿ » ò ² Z µ ± À M ´ É Ü Y ) u∈X v ∈ Y e(u, v) = k u l { X , Y } àëÀ±ÁS¬ M°¶¶»õ£Ù4®8µZÐºÁ»XÀ±´ : *3,* $$5" ,.82 C<+£ Ö !%("Ô 5 !# 7%5 Ô 3 1 5 ! ('1%Ö $0jÔ>" 2 7 1.$0 "%$ ÖzÔ 1 Ô ) (2/$I0Ô $I!Ô ,XÖbÕ 4¦ª¢ §0ú©¦ ü p¦ÿª¤ª¦¢ Êu´ÁS¬ºÀÂ¿ ¿(½°ÁSÀÂµZ´MÙº®~æºçÈ»X´È»XÐ°¯±À{»X´ÈÅ9¼µZ¹º¾ (D, u) »X´4¸Æ»X´À±´Rê@µZ¯±¹ºÁSÀÂµZ´ σ ¿S¹4½¬ÈÁS¬»XÁ f : a → σ(a)−σ( ÀÂ¿ »X´ÀÂ¿µZ¶µZ¼S¾º¬ºÀÂ¿¶ ÄIµZ¼ (D, u) É/ô4µZ¼¶µ9¿SÁ;¾»X¼SÁ]ÙµZ¹º¼Á°¼S¶À±´4µZ¯ÂµZÅ9ÇÄIµZ¯±¯Âµb®¿;Á°¼S¶À±´4µZ¯ÂµZÅ9Ç¹4¿(¸À±´áÌ Þ4Ù ˙÷-ÏEÉ 0)˙ . Ö. Ö. ZÖ. 0. 0. 0. 0 ˙ kuj 0 −j. . . . k∈D. 0 ˙ 0 kuj −j 00 k. k. 0. 4. k. 0 j0. j. 0 ˙ 0 kuj −j. k∈D k 0 ˙ 0 kul−l 0 ˙ kul0 −l. ˙ 0 ul0 −l ˙ kuj −j 00 l. 0. 0. 0. 0. 00 k. 0. 0. 0. 0. k 0 ˙ 0 kul−l 00 k∈D k. k∈D. 00 k. k∈D. k 00 k. 0 l l0 0 ˙ kuj 0 −j. k∈D k 0 ˙ kul0 −l. ˙ ˙ 0 kuj 0 −jul −l. :C ) S C

(19). < $0 !, 0(. ð ò² Ü µZÀ±´ {X, Y } ÀÂ¿ Ô bÔ ÀOÄ |X| = 1 µZ¼ |Y | = 1 É À±´4½(°ê@°¼SÇ¿SÀ±´ºÅ9¯Â°ÁµZ´ÀÂ¿»r¶µ+¸£¹º¯Â9ÙR°ê@°¼SÇÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀÂµZ´ ®;À±ÁS¬ |X| = 1 µZ¼ |Y | = 1 ÀÂ¿ »òQ² Ü µZÀ±´MÉ {X, Y } M°Á Ð» ²E¿Ç¶¶°ÁS¼SÀÂ½ ¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼»X´4¸ Y } Ð»´4µZ´£²6ÁS¼SÀ±ê+À{»X¯ò² Ü µZÀ±´MÉ M°Á x ∈ X »X´4¸ y ∈GY =É ð (V,1"Ô e)O)-ÂÖ Ö#" σ5 O) 5 1jÔ0$IÔ 523 µXÄ 2(V, e) ÐÇÁS¬4zò²{X, Ü µZÀ±´ (X, Y ) ÀÂ¿ÁS¬4g¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´ÃÀ±´RÁµ G = X » 4 ´ ¸ ; ® ± À S Á Ò ¬ X » ´á»Z¸º¸£À±ÁSÀÂµZ´»X¯5 (2ZÖ. $0Ôc)-ÂÖ/$ (x, y, α) ÙM®;¬4°¼ G = (Y ∪ {x}, e| ) (X ∪ {y}, e| ) Ó ¼°¾º¼(¿°´RÁ¿gÁS¬40ÄG¹º´4½°ÁSÀÂµZ´ À±´4¸£¹4½((¸ÃÐÇ É0àá®;¼SÀ±Á G → (G , G , (x, y, α)) É α = e(x, y) e| QµZÁ~ÁS¬»XÁÁS¬ºÀÂ¿ ¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´ÀÂ¿;´4µZÁ ¹º´ºÀÂËR¹4e~ÄâµZ¼ »0æºçº(¸ X × XÉ × «¬4 1jBÔ )L±Ö " 5 O) 5 1Ô $IÔ 523 µXÄ (V , e ) Ù (V , e ) »X´4¸äÁS¬4{X, ¶Y»X}¼S³@°¼ÁS¼SÀ±¾º¯Â°Á (x, y, α) Ù®;À±ÁS¬ V ∩ V Ù4ÀÂ¿ÁS¬4 ²E¿SÁS¼S¹4½°ÁS¹º¼ ∪ V , e) ®;¬4°¼ e(a, b) = e (a, b) ÄâµZ¼ »X¯±¯ a, b ∈ V \ {y} Ù e(a, b) = e (a, b) {x, y} ÄâµZ¼z»X¯±¯ a, b ∈ 2V \ {x} Ù/»X´4(V¸ e(a, ÄâµZ¼z»X¯±¯ a ∈ V \ {y} »X´4¸ b ∈ V \ {x} É ˙ u e (x, b) b) = e (a, y)−α î Ç /¼µZ¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´ÈÞ4ÙºÀOÄ ((V , e ), (V , e ), (x, y, α)) ÀÂ¿ »¿SÀ±¶¾º¯Â¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´ÈµXÄ (V, e) ÙÁS¬4°´ÁS¬4r¿SÀ±¶¾º¯Â ½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´ÈµXÄ (V , e ) Ù (V , e ) »X´4¸ (x, y, α) ÀÂ¿ (V, e) É (/. . " 0

(20) 2@? %Ö $ {X, Y } Ö ( 7%5 Ô 3 5 ! G 8 ( 36 (G , G , (x, y, α)) Ö $ +£Ö 1jBÔ O)-ÂÖ AÖ " 5 O) 5 1Ô $IÔ 5235 ! G Õ ? %Ö $ {X , Y } Ö ( cÔ ) (.$I0Ô $IÔ 53 5 ! V 0Ô $ + Y ( Y Õ C<+ºÖ 3 {X , Y } !Ô 1 ( 7/5 Ô 3 5 ! G Ô ! ( 3 Y) 523 (X, Ô ! !Ô 1 ( 7/5 Ô 3 5 ! Õ {{x} ∪ Y \ Y , Y } G 5 5 !]ÕÊ6Ä {X , Y } ÀÂ¿»áò² Ü µZÀ±´äµXÄ G ÁS¬4°´éÐRÇ ¼µZ¾µ9¿À±ÁSÀÂµZ´íß {{x} ∪ Y \ Y , Y } ÀÂ¿»áòQ² Ü µZÀ±´éµXÄ G É Qµ]® ¿S¹º¾º¾µ9¿ÁS¬»XÁ ÀÂ¿»áò² Ü µZÀ±´äµXÄ G É =°Á X »X´4¸ Y Ó&ÄâµZ¼ a ∈ D × ¿S¹4½¬éÁS¬»XÁ {{x} U ∪ Y \UY , Y } »X´4¸ ÄIµZ¼/»X¯±¯ u ∈ X »X´4¸ v ∈ Y É À±´4½( {X, Y } ({x}∪Y \Y , Y ) = ( v) =Uaub U ÀÂ¿»pò² Ü µZÀ±´ÈµXÄ G Ù¯Â°Á X »X´4X¸ Y, ¿S¹4½¬ÆYÁS¬)»XÁ (X,e(u, »X´4¸ e(u, v) = a u b ÄIµZ¼~»X¯±¯ Y)=( X , Y ) »X´4¸ v ∈ Y É M°Á c, d ∈ D ¿S¹4½¬ÁS¬»XÁ x ∈ X »X´4¸ y ∈ Y É M°Á X = (X \ {x}) ∪ X »X´4¸ u∈X É A M°Á X » 4 ´ ¸ É E Ê Ä S Á 4 ¬ ° ´ É S Á 4 ¬ ° S ¼ ; ® Â À ¿ X » 4 ´ ¸ ÐRÇ Y =Y v) = a u b u∈X ¸ºæ4´ºÀ±ÁSÀÂµZ´µXÄ¿SÀ±¶u ¾º∈¯ÂKX¸º(½(µZ¶¾vµ9¿S∈À±ÁSYÀÂµZ´MÙ e(u,u v)∈ X= e(u, y)e(u, S ¿ ± À 4 ´ ( ½ ˙ ˙ −cuαud ˙ v) = aub e(u, y) = a−d »X´4¸ e(x, v) = c u b É«¬4°´ {U X , U Y } = −αue(x, Â À. ¿ » ò ² Z µ ± À È ´ X µ Ä É Ü {X , Y } G 1. 2. X∪{y}. Y ∪{x}. 1. X. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 2. 2. 1. 0. 2. 0. 2. 0. 0. 2. a. 0 a. 0. a∈D. 00 a. a. 00 b. a∈D. a∈D. a. a∈D. 0 c. 0 a. 00 a. 0 a. 2. 0 a. b. 0 a. 1. 0. a∈D. 2. 2. 0. 00 a. 2. 0. 0. 2. 1. 2. 0. 0. a. 1. 1. 1. 1. 0. 2. 2. 2. 0. 2. 2. d. a∈D a 00 a. 0 a. 0. 0 a. 2. 0 b. 0 a. ˙ −cuα ˙ a−d. ˙ −cuα ˙ a−d. 00 a. õ. 0. 0.

(21) ð ò² Ü µZÀ±´ Y } ÀÂF¿ 1.$0 523 & ÀOÄÀ±ÁÀÂ¿»z¿SÁS¼µZ´ºÅ¶°¶0Ð°¼µXÄÁS¬4~ÐºÀ±¾»X¼SÁSÀ±ÁSÀ±ê@~Äâ»X¶À±¯±ÇpµXÄò² Ü µZÀ±´4¿;µXÄ G ÓNÔ6ÕGÖ]Õ SÁ ¬4°¼rÀÂ¿;´4µpò{X, ² Ü µZÀ±´ {X , Y } ¿S¹4½¬ÁS¬»XÁ {X, Y } µ]ê@°¼S¯{»X¾4¿ {X , Y }× É ð ¿SÀ±¶¾º¯Â¸º(½(µZ¶¾µ9¿SÀ±ÁSÀÂµZ´ÀÂ¿¿ÁS¼µZ´ºÅ ÀOÄ!À±Á;ÀÂ¿;À±´4¸£¹4½((¸ÐÇ»¿ÁS¼µZ´ºÅò² Ü µZÀ±´MÉK«¬4~ÄIµZ¯±¯Âµb®;À±´ºÅµZ¼µZ¯±¯{»X¼SÇÄâµZ¯±¯Âµ]®¿ÄI¼µZ¶ ¾º¼°ê+ÀÂµZ¹4¿@M°¶¶»£É Ö ( 7/5 Ô 3 5 ! Ö $ +£Ö 1Ô"O)-ÂÖ Ö#" 5 O) 5 1jÔ0$IÔ 523 5 ! : *3,* $$5" ,.8 03032 ? /Ö $ 8 ( 36 {X, Y } G (G , G , (x, y, α)) Õ ? /Ö $ {X , Y } Ö ( cÔ ) (2.$I0Ô $IÔ 523 5 ! V 0Ô $ + Y ∩ Y Õ C<+£Ö 3 {X , Y } !Ô 1 ( 1.$0 523 & 7/5 Ô 3 5 ! G (X, Y ) Ô !^( 36 523 Ô ! Ô 1 ( 1.$0 523 & 7%5 Ô 3 5 ! G Õ G {{x} ∪ Y \ Y , Y } 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. !. . . )6 ". . 0. 0. 0. 2. 0. 0. 2. < >