Processus empiriques dans le cadre des sondages

(1)

Processus empiriques dans le cadre des sondages

E. Chautru • P. Bertail • S. Clémençon

Télécom ParisTech, UMR CNRS 5141 LTCI, Groupe TSI Unité Met@risk, INRA ANSES Modal’X, Université Paris X Laboratoire de Statistique du CREST

7^ecolloque francophone sur les sondages • 5 novembre 2012

(2)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Population

PN:={1, . . . , N}de tailleN

ècaractéristiques ? Variable d’intérêtX: PN −→ X

i 7−→ X_i

!

èévaluer X, etc.

Modèle de surpopulation

Hypothèse: Xv.a. à valeurs dans (X,k.k)Banach de tribu engendrée BX et X₁, . . . , X_N ^i.i.d.; P≡P_X

Mesure empiriqueP_N :=_N¹ PN

i=1δ_X_i èX=R

XxP_N(dx), etc.

Problème

On n’a pas accès à toutPN (coût, accessibilité, etc.)

èéchantillon

(3)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Population

PN:={1, . . . , N}de tailleN ècaractéristiques ?

Variable d’intérêtX: PN −→ X i 7−→ X_i

!

èévaluer X, etc.

Modèle de surpopulation

i=1δ_X_i èX=R

XxP_N(dx), etc.

Problème

èéchantillon

(4)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Population

PN:={1, . . . , N}de tailleN ècaractéristiques ? Variable d’intérêtX: PN −→ X

i 7−→ X_i

!

èévaluerX, etc.

Modèle de surpopulation

i=1δ_X_i èX=R

XxP_N(dx), etc.

Problème

èéchantillon

(5)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Population

i 7−→ X_i

!

èévaluerX, etc.

Modèle de surpopulation

i=1δ_X_i èX=R

XxP_N(dx), etc.

Problème

èéchantillon

(6)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Population

i 7−→ X_i

!

èévaluerX, etc.

Modèle de surpopulation

Hypothèse:Xv.a. à valeurs dans (X,k.k)Banach de tribu engendrée BX et X1, . . . , XN

i.i.d.

; P≡PX

i=1δ_X_i èX=R

XxP_N(dx), etc. Problème

èéchantillon

(7)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Population

i 7−→ X_i

!

èévaluerX, etc.

Modèle de surpopulation

i.i.d.

; P≡PX

i=1δ_X_i èX=R

XxP_N(dx), etc.

Problème

èéchantillon

(8)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Population

i 7−→ X_i

!

èévaluerX, etc.

Modèle de surpopulation

i.i.d.

; P≡PX

i=1δ_X_i èX=R

XxP_N(dx), etc.

èéchantillon

(9)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Population

i 7−→ X_i

!

èévaluerX, etc.

Modèle de surpopulation

i.i.d.

; P≡PX

i=1δ_X_i èX=R

XxP_N(dx), etc.

Problème

On n’a pas accès à tout PN (coût, accessibilité, etc.) èéchantillon

(10)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Echantillon

S(PN de taille n < N

ètiragealéatoire

Variables d’inclusion :i:=I{i∈ S} i∈ PN

Probabilités d’inclusion:πi:=P(i=1) =E(i) i∈ PN

Au second ordre :πi,j:=P(i=1, j=1) =E(ij) (i, j)∈ P_N²

Comment tirer les unités ?

Plan de sondage:=loipsurS ≡(₁, . . . , _N) SASSR :nfixé etP(S =s) =I{#s=n}/Cⁿ_N

BERN :naléatoire,π1=. . .=πN=π, etP(S=s) =πⁿ(1−π)^N−n

(11)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Echantillon

S(PN de taille n < Nètiragealéatoire

Comment tirer les unités ?

(12)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Echantillon

Comment tirer les unités ?

(13)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Echantillon

Comment tirer les unités ?

(14)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Echantillon

Comment tirer les unités ?

(15)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Echantillon

Comment tirer les unités ?

Plan de sondage:=loipsurS ≡(₁, . . . , _N)

SASSR :nfixé etP(S =s) =I{#s=n}/Cⁿ_N

(16)

Introduction

Cadre Général – De la population à l’échantillon Echantillon

Comment tirer les unités ?

Plan de sondage:=loipsurS ≡(₁, . . . , _N)

SASSR : fixé et I{# }

(17)

Introduction

Cadre Général – De l’échantillon à la population Estimation à partir de l’échantillon

Mesure empirique Horvitz-Thompson :P^π_N:= 1 N

XN

i=1

i

πi

δ_X_i

Estimateur sans biais dePN

(X1, . . . , XN)

Consistence et normalité asymptotiques (N→+∞)ponctuelles (Hájek, 1964 - Berger, 1998 - Robinson, 1982)

Convergencesfonctionnellespour les plans stratifiés (Saegusa & Wellner, 2012)

Notre Objectif

Convergence fonctionnelle pour d’autres plans de sondage ?

(18)

Introduction

Cadre Général – De l’échantillon à la population Estimation à partir de l’échantillon

XN

i=1

i

πi

δ_X_i

(X1, . . . , XN)

Notre Objectif

(19)

Introduction

Cadre Général – De l’échantillon à la population Estimation à partir de l’échantillon

XN

i=1

i

πi

δ_X_i

(X1, . . . , XN)

Notre Objectif

(20)

Introduction

Cadre Général – De l’échantillon à la population Estimation à partir de l’échantillon

XN

i=1

i

πi

δ_X_i

(X1, . . . , XN)

Notre Objectif

(21)

Introduction

Cadre Général – De l’échantillon à la population Estimation à partir de l’échantillon

XN

i=1

i

πi

δ_X_i

(X1, . . . , XN)

Notre Objectif

(22)

Introduction

Plan de l’exposé

1 Processus Empirique et plan Poissonnien Plan de sondage Poissonnien

Convergence vers un processus gaussien Covariance du processus limite

2 Du plan Poissonnien au plan Réjectif Plan de sondage Réjectif

Distance au plan Poissonnien Résultat de convergence

(23)

Processus Empirique et plan Poissonnien

Plan de l’exposé

(24)

Processus Empirique et plan Poissonnien Plan de sondage Poissonnien

Plan de sondage Poissonnien – Rappels

Définition

₁⊥. . .⊥_N _i;B(p_i) E(n) =PN i=1p_i

TN(s) :=P(S=s) =Y

i∈s

pi

Y

i /∈s

(1−pi)

Avantages

Entièrement caractérisé par les probabilités d’inclusion du1^er ordre Indépendance entre lesi ècadre simple

pipeut dépendre d’une v.a.auxiliaireW;PW observée sur toutPN : pi(w) =E i

Wi=w

≡p(Wi)

(25)

Plan de sondage Poissonnien – Rappels

Définition

₁⊥. . .⊥_N _i;B(p_i) E(n) =PN i=1p_i

TN(s) :=P(S=s) =Y

i∈s

pi

Y

i /∈s

(1−pi)

Avantages

pi peut dépendre d’une v.a.auxiliaireW;PW observée sur toutPN : pi(w) =E i

Wi=w

≡p(Wi)

(26)

Plan de sondage Poissonnien – Rappels

Définition

₁⊥. . .⊥_N _i;B(p_i) E(n) =PN i=1p_i

TN(s) :=P(S=s) =Y

i∈s

pi

Y

i /∈s

(1−pi)

Avantages

pi peut dépendre d’une v.a.auxiliaireW;PW observée sur toutPN :

(27)

Plan de sondage Poissonnien – Processus d’intérêt Processus d’intérêt

(G^pT_Nf)f∈F

G^pTNf:=√ N

Z

f(x) (P^p_N−PN) (dx) = 1

√N XN

i=1

i

p_i −1

f(Xi)

Hypothèses fondamentales

H1 ∃λ > 0, N0∈N^?:

∀N≥N0, ∀i∈ PN, pi> λ

H2 W nonproportionnelle àX H3 Faible échangeabilité de

(_i, W_i)_1≤i≤N

H4 F ⊂L2(P) :={h:X →R, hmesurable et EP h²(X)

<∞} H5 ∃RH:X →Rmesurable t.q.

H²(x)P(dx)<∞et

∀x∈ X, f∈ F,|f(x)|≤H(x)

Exemple : F={fy(x) :=I{x≤y},(x, y)∈ X²} è f.d.r. empirique

(28)

Plan de sondage Poissonnien – Processus d’intérêt Processus d’intérêt

(G^pT_Nf)f∈F

G^pTNf:=√ N

Z

f(x) (P^p_N−PN) (dx) = 1

√N XN

i=1

i

p_i −1

f(Xi)

Hypothèses fondamentales

H1 ∃λ > 0, N0∈N^?:

∀N≥N₀, ∀i∈ P_N, p_i> λ

H2 W nonproportionnelle àX H3 Faible échangeabilité de

(_i, W_i)_1≤i≤N

H²(x)P(dx)<∞et

∀x∈ X, f∈ F,|f(x)|≤H(x)

(29)

Plan de sondage Poissonnien – Processus d’intérêt Processus d’intérêt

(G^pT_Nf)f∈F

G^pTNf:=√ N

Z

f(x) (P^p_N−PN) (dx) = 1

√N XN

i=1

i

p_i −1

f(Xi)

Hypothèses fondamentales

H1 ∃λ > 0, N0∈N^?:

∀N≥N₀, ∀i∈ P_N, p_i> λ H2 W nonproportionnelle àX

H3 Faible échangeabilité de (_i, W_i)_1≤i≤N

H²(x)P(dx)<∞et

∀x∈ X, f∈ F,|f(x)|≤H(x)

(30)

Plan de sondage Poissonnien – Processus d’intérêt Processus d’intérêt

(G^pT_Nf)f∈F

G^pTNf:=√ N

Z

f(x) (P^p_N−PN) (dx) = 1

√N XN

i=1

i

p_i −1

f(Xi)

Hypothèses fondamentales

H1 ∃λ > 0, N0∈N^?:

∀N≥N₀, ∀i∈ P_N, p_i> λ H2 W nonproportionnelle àX H3 Faible échangeabilité de

( , W )

H²(x)P(dx)<∞et

∀x∈ X, f∈ F,|f(x)|≤H(x)

(31)

Plan de sondage Poissonnien – Processus d’intérêt Processus d’intérêt

(G^pT_Nf)f∈F

G^pTNf:=√ N

Z

f(x) (P^p_N−PN) (dx) = 1

√N XN

i=1

i

p_i −1

f(Xi)

Hypothèses fondamentales

H1 ∃λ > 0, N0∈N^?:

(_i, W_i)_1≤i≤N

H4 F ⊂L2(P) :={h:X →R, hmesurable etEP h²(X)

<∞}

H5 ∃RH:X →Rmesurable t.q. H²(x)P(dx)<∞et

∀x∈ X, f∈ F,|f(x)|≤H(x)

(32)

Plan de sondage Poissonnien – Processus d’intérêt Processus d’intérêt

(G^pT_Nf)f∈F

G^pTNf:=√ N

Z

f(x) (P^p_N−PN) (dx) = 1

√N XN

i=1

i

p_i −1

f(Xi)

Hypothèses fondamentales

H1 ∃λ > 0, N0∈N^?:

( , W )

<∞}

H5 ∃RH:X →Rmesurable t.q.

H²(x)P(dx)<∞et

∀x∈ X, f∈ F,|f(x)|≤H(x)

(33)

Plan de sondage Poissonnien – Processus d’intérêt Processus d’intérêt

(G^pT_Nf)f∈F

G^pTNf:=√ N

Z

f(x) (P^p_N−PN) (dx) = 1

√N XN

i=1

i

p_i −1

f(Xi)

Hypothèses fondamentales

H1 ∃λ > 0, N0∈N^?:

(_i, W_i)_1≤i≤N

<∞}

H5 ∃RH:X →Rmesurable t.q.

H²(x)P(dx)<∞et

∀x∈ X, f∈ F,|f(x)|≤H(x)

Exemple : F={f (x) :=I{x≤y},(x, y)∈ X²} è f.d.r. empirique

(34)

Processus Empirique et plan Poissonnien Convergence vers un processus gaussien

Convergence – Etude d’un processus recentré

Hájek (1964)

G~^pTNf= 1

√ N

XN

i=1

(_i−p_i) f(Xi)

pi

−θ_N,p

, où

θN,p= 1 DN

XN

j=1

(1−pj)f(Xj) et DN= XN

j=1

pj(1−pj)

åàf∈ F fixée, normalité asymptotique

(X₁, . . . , X_N)

Remarque

nfixé (plan de sondage Réjectif) :PN

i=1(i−pi) =n−n=0 åon retrouve le processus initial

(35)

Convergence – Etude d’un processus recentré

Hájek (1964)

G~^pTNf= 1

√ N

XN

i=1

(_i−p_i) f(Xi)

pi

−θ_N,p

, où

θN,p= 1 DN

XN

j=1

pj(1−pj)

(X₁, . . . , X_N)

Remarque

nfixé (plan de sondage Réjectif) :PN

i=1(i−pi) =n−n=0 åon retrouve le processus initial

(36)

Convergence – Etude d’un processus recentré

Hájek (1964)

G~^pTNf= 1

√ N

XN

i=1

(_i−p_i) f(Xi)

pi

−θ_N,p

, où

θN,p= 1 DN

XN

j=1

pj(1−pj)

(X₁, . . . , X_N)

Remarque

P

(37)

Convergence – Résultat asymptotique

Van der Vaart & Wellner (1996)

On étudie la collection triangulaire des v.a. indépendantes

ZN,i(f) := 1

√N(i−pi)

f(Xi)

p_i −θN,p(f)

, 1≤i≤N

f∈F

åVérifie les conditions duThéorème 2.11.1sur les “Triangular arrays” TLC Fonctionnel pour le plan de sondage Poissonnien Sous les hypothèses H₁– H₅et sous respect de conditions de type

Lindeberg-Feller et d’entropie uniforme, G~^p_T_N ⇒

N→∞G faiblement dansl_∞(F) Gprocessus Gaussien de covarianceΣ

(38)

Convergence – Résultat asymptotique

Van der Vaart & Wellner (1996)

ZN,i(f) := 1

√N(i−pi)

f(Xi)

p_i −θN,p(f)

, 1≤i≤N

f∈F

åVérifie les conditions duThéorème 2.11.1sur les “Triangular arrays”

TLC Fonctionnel pour le plan de sondage Poissonnien Sous les hypothèses H₁– H₅et sous respect de conditions de type

(39)

Convergence – Résultat asymptotique

Van der Vaart & Wellner (1996)

ZN,i(f) := 1

√N(i−pi)

f(Xi)

p_i −θN,p(f)

, 1≤i≤N

f∈F

åVérifie les conditions duThéorème 2.11.1sur les “Triangular arrays”

TLC Fonctionnel pour le plan de sondage Poissonnien Sous les hypothèses H₁– H₅ et sous respect de conditions de type

(40)

Processus Empirique et plan Poissonnien Covariance du processus limite

Covariance du processus limite Covariance de ( G ~

^pT_N

)

f∈F

X

₁

, . . . , X

_N

C_N,p(f, g) = 1 N

XN

i=1

f(X_i)g(X_i) (1/p_i−1) −θ_N,p(f)θ_N,p(g)D_N N

Covariance limite Sous les hypothèsesH1–H5 et si0 <R

p²(w)PW(w)<∞, alors∀(f, g)∈ F²,CN,p(f, g) −→

N→∞Σ(f, g) Σ(f, g) :=

Z

f(x)g(x) (1/p(w) −1)P_X,W(dx, dw) −θp(f)θp(g)Dp

θp(f) := Z

(1−p(w))f(x)PX,W(dx, dw) Dp:=

Z

p(w)(1−p(w))PW(dw)

(41)

Covariance du processus limite Covariance de ( G ~

^pT_N

)

f∈F

X

₁

, . . . , X

_N

C_N,p(f, g) = 1 N

XN

i=1

Covariance limite Sous les hypothèsesH1–H5et si0 <R

N→∞Σ(f, g) Σ(f, g) :=

Z

f(x)g(x) (1/p(w) −1)PX,W(dx, dw) −θp(f)θp(g)Dp

θp(f) :=

Z

(42)

Covariance du processus limite Covariance de ( G ~

^pT_N

)

f∈F

X

₁

, . . . , X

_N

C_N,p(f, g) = 1 N

XN

i=1

f(X_i)g(X_i) (1/p_i−1)−θ_N,p(f)θ_N,p(g)D_N N

N→∞Σ(f, g) Σ(f, g) :=

Z

f(x)g(x) (1/p(w) −1)PX,W(dx, dw)−θp(f)θp(g)Dp

θp(f) :=

Z

(1−p(w))f(x)PX,W(dx, dw) Z

(43)

Covariance du processus limite Covariance de ( G ~

^pT_N

)

f∈F

X

₁

, . . . , X

_N

C_N,p(f, g) = 1 N

XN

i=1

N→∞Σ(f, g) Σ(f, g) :=

Z

θp(f) :=

Z

(44)

Covariance du processus limite Covariance de ( G ~

^pT_N

)

f∈F

X

₁

, . . . , X

_N

C_N,p(f, g) = 1 N

XN

i=1

N→∞Σ(f, g) Σ(f, g) :=

Z

θp(f) :=

Z

(1−p(w))f(x)PX,W(dx, dw) Z

(45)

Du plan Poissonnien au plan Réjectif

Plan de l’exposé

(46)

Du plan Poissonnien au plan Réjectif Plan de sondage Réjectif

Plan de sondage Réjectif

Définition

nfixé probabilités d’inclusionπ^R₁, . . . , π^R_N

R_N:= argmax

p:(π1,...,πN)=(π^R₁,...,π^R_N)

− X

{s:#s=n}

p(s)logp(s)

åplan d’entropie maximale, ouPoissonnien conditionnel

Lien avec le plan Poissonnien : construction

TirerS un selon un plan Poissonnien de probabilités d’inclusions p1, . . . , pN bien choisies, avecPN

i=1pi=n

Si#S=nconserverS, sinon recommencer le tirage åliens entre(p1, . . . , pN)et(π^R₁, . . . , π^R_N)(Hájek, 1964)

(47)

Plan de sondage Réjectif

Définition

R_N:= argmax

p:(π1,...,πN)=(π^R₁,...,π^R_N)

− X

{s:#s=n}

p(s)logp(s)

åplan d’entropie maximale

, ouPoissonnien conditionnel

Lien avec le plan Poissonnien : construction

i=1pi=n

(48)

Plan de sondage Réjectif

Définition

R_N:= argmax

p:(π1,...,πN)=(π^R₁,...,π^R_N)

− X

{s:#s=n}

p(s)logp(s)

Lien avec le plan Poissonnien : construction

i=1pi=n

(49)

Plan de sondage Réjectif

Définition

R_N:= argmax

p:(π1,...,πN)=(π^R₁,...,π^R_N)

− X

{s:#s=n}

p(s)logp(s)

Lien avec le plan Poissonnien : construction

i=1pi=n

Si#S=nconserverS, sinon recommencer le tirage

åliens entre(p1, . . . , pN)et(π^R₁, . . . , π^R_N)(Hájek, 1964)

(50)

Plan de sondage Réjectif

Définition

R_N:= argmax

p:(π1,...,πN)=(π^R₁,...,π^R_N)

− X

{s:#s=n}

p(s)logp(s)

Lien avec le plan Poissonnien : construction

i=1pi=n

(51)

Du plan Poissonnien au plan Réjectif Distance au plan Poissonnien

Distance au plan Poissonnien

Quelques distances

Variation totale :dVT(TN, RN) :=P

s⊂PN

RN(s) −TN(s) Entropie :dE(TN, RN) :=P

s⊂PNTN(s)log_R^T^N_N^(s)_(s) Bounded Lipschitz :dBL(fX, fY) := sup

b∈BL₁(l_∞(F))

E(b(fX)) −E(b(fY))

Résultats fondamentaux

dBL(G~^pTN,G~^pRN)≤dVT(TN, RN)≤dE(TN, RN)

Si(TN)_N≥1 et(RN)_N≥1vérifient dVT(TN, RN) −→

N→∞0oudE(TN, RN) −→

N→∞0 et si∃Gprocessus Gaussien t.q.dBL(G~^p_T_N,G) −→

N→∞0, alors dBL(G~^p_R_N,G)≤dVT(TN, RN)≤dE(TN, RN)

(52)

Distance au plan Poissonnien

Quelques distances

s⊂PN

b∈BL₁(l_∞(F))

Résultats fondamentaux

d_BL(G~^pTN,G~^pRN)≤d_VT(T_N, R_N)≤d_E(T_N, R_N)

N→∞0, alors dBL(G~^p_R_N,G)≤dVT(TN, RN)≤dE(TN, RN)

(53)

Distance au plan Poissonnien

Quelques distances

s⊂PN

b∈BL₁(l_∞(F))

Résultats fondamentaux

d_BL(G~^pTN,G~^pRN)≤d_VT(T_N, R_N)≤d_E(T_N, R_N)

N→∞0, alors dBL(G~^pRN,G)≤dVT(TN, RN)≤dE(TN, RN)

(54)

Du plan Poissonnien au plan Réjectif Résultat de convergence

Convergence – Résultats asymptotiques

Processus empirique du plan Réjectif sous (p

₁

, . . . , p

_N

)

Hájek (1964)èd_E(T_N, R_N) −→

N→∞0

TLC Fonctionnel pour le plan Poissonnienèd_BL(G~^pT_N,G) −→

N→∞0 AnfixéG~^pT_Nf=G^pR_Nf

Sous les hypothèses H1– H5et sous respect de conditions de type Lindeberg-Feller et d’entropie uniforme,

G^pRN ⇒

åReste vrai pour les plans de sondage comme Rao-Sampford (Berger, 1998)

(55)

Convergence – Résultats asymptotiques

Processus empirique du plan Réjectif sous (p

₁

, . . . , p

_N

)

N→∞0

AnfixéG~^pT_Nf=G^pR_Nf

G^pRN ⇒

(56)

Convergence – Résultats asymptotiques

Processus empirique du plan Réjectif sous (p

₁

, . . . , p

_N

)

N→∞0

G^pRN ⇒

(57)

Convergence – Résultats asymptotiques

Processus empirique du plan Réjectif sous (p

₁

, . . . , p

_N

)

N→∞0

Sous les hypothèses H1– H5 et sous respect de conditions de type Lindeberg-Feller et d’entropie uniforme,

G^pRN ⇒

(58)

Convergence – Résultats asymptotiques

Processus empirique du plan Réjectif sous (p

₁

, . . . , p

_N

)

N→∞0

Sous les hypothèses H1– H5 et sous respect de conditions de type Lindeberg-Feller et d’entropie uniforme,

G^pRN ⇒

(59)

Convergence – Résultats asymptotiques

Processus empirique du plan Réjectif sous (π

^R₁

, . . . , π

^R_N

)

Hájek (1964), Théorème 5.1è(p_i)_1≤i≤N “proches” des (π^R_i)_1≤i≤N

HypothèseH₁è(p_i)_1≤i≤N et(π^R_i)_1≤i≤N jamais trop petits Version fonctionnelle du Théorème de Slutsky & résultat précédent Sous les hypothèses H1– H5et sous respect de conditions de type

Lindeberg-Feller et d’entropie uniforme, G^π

R

RN ⇒

(60)

Convergence – Résultats asymptotiques

Processus empirique du plan Réjectif sous (π

^R₁

, . . . , π

^R_N

)

Hájek (1964), Théorème 5.1è(p_i)_1≤i≤N “proches” des (π^R_i)_1≤i≤N HypothèseH₁è(p_i)_1≤i≤N et(π^R_i)_1≤i≤N jamais trop petits

Version fonctionnelle du Théorème de Slutsky & résultat précédent Sous les hypothèses H1– H5et sous respect de conditions de type

R

RN ⇒

(61)

Convergence – Résultats asymptotiques

Processus empirique du plan Réjectif sous (π

^R₁

, . . . , π

^R_N

)

Hájek (1964), Théorème 5.1è(p_i)_1≤i≤N “proches” des (π^R_i)_1≤i≤N HypothèseH₁è(p_i)_1≤i≤N et(π^R_i)_1≤i≤N jamais trop petits Version fonctionnelle du Théorème de Slutsky & résultat précédent

G^π

R

RN ⇒

(62)

Convergence – Résultats asymptotiques

Processus empirique du plan Réjectif sous (π

^R₁

, . . . , π

^R_N

)

Hájek (1964), Théorème 5.1è(p_i)_1≤i≤N “proches” des (π^R_i)_1≤i≤N HypothèseH₁è(p_i)_1≤i≤N et(π^R_i)_1≤i≤N jamais trop petits Version fonctionnelle du Théorème de Slutsky & résultat précédent Sous les hypothèses H1– H5 et sous respect de conditions de type

R

RN ⇒

(63)

Convergence – Résultats asymptotiques

Processus empirique du plan Réjectif sous (π

^R₁

, . . . , π

^R_N

)

Hájek (1964), Théorème 5.1è(p_i)_1≤i≤N “proches” des (π^R_i)_1≤i≤N HypothèseH₁è(p_i)_1≤i≤N et(π^R_i)_1≤i≤N jamais trop petits Version fonctionnelle du Théorème de Slutsky & résultat précédent Sous les hypothèses H1– H5 et sous respect de conditions de type

R

RN ⇒

(64)

Conclusion

En bref...

Résultats principaux

Convergence asymptotique des processus empiriques vers un processus Gaussien pour les plans Poissonnien, Réjectif et assimilés

Convergenceasymptotiqueèil faut degrandespopulations

Intervalles de confiance pour la f.d.r. empiriquepas “distribution free”

Richesse de l’approche

Résultats pour le plan Poissonnien “faciles” à démontrer

Extension naturelle à tous les plans “proches” du plan Poissonnien

Convergence asymptotique de l’estimateur deHillrepondéré

(65)

Conclusion

En bref...

Résultats principaux

Convergence asymptotique des processus empiriques vers un processus Gaussien pour les plans Poissonnien, Réjectif et assimilés

Convergenceasymptotiqueèil faut degrandespopulations

Intervalles de confiance pour la f.d.r. empiriquepas “distribution free”

Richesse de l’approche

Résultats pour le plan Poissonnien “faciles” à démontrer

Extension naturelle à tous les plans “proches” du plan Poissonnien

Convergence asymptotique de l’estimateur deHillrepondéré