A1981. Les clairières de la forêt
Vincent PANTALONI 19 février 2011
Enoncé : Dans cette immense forêt, des arbres ont été plantés aux points de coordonnées x et y entières (négatives, positives ou nulles) par rapport à une origine O. Un arbre est invisible depuis cette origine si le segment qui le relie à O passe par au moins un autre arbre. On abat tous les arbres invisibles depuis l’origine. Démontrer que la forêt contient alors des clairières carrées de dimensions quelconques dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. Localiser les clairières carrées de côtés 3 et 4 situées strictement à l’intérieur du secteur défini par0 < x < y et dont le centre est à une distance inférieure à 2011 de l’origine.
Solution :. . . .
Existence de clairières carrées arbitrairement grandes.
Démonstration. Les lettresxet y désignent des éléments de N∗ avecx > y. Je note pour n∈N∗ :
〚1;n〛={1; 2; 3;. . .;n}. Tout d’abord, dire que le point M(x;y)est visible signifie qu’il n’existe pas de pointM′(x′;y′)tel que−−→
OM =d−−−→
OM′ avecd∈N∗\ {1}. Autrement dit qu’on ne peut pas écrire
y
x =dydx′′ c’est à dire que la fraction yx est irréductible, ou encore que xety sont premiers entre eux.
Les arbres abattus sont donc au contraire ceux dont les coordonnées (x;y) ne sont pas premières entre elles, c’est à dire telles qu’il existe un entierddifférent de 1 divisantxety.
Soit n un entier naturel non nul. On cherche une clairière carrée de côté n+ 1 c’est à dire qu’on cherche (partons du coin en haut à droite c’est un peu plus pratique) deux entiers xet y tels que pour tous i et j de 〚1;n〛 on aitn2 points de coordonnées (xi;yj)avecxi et yj non premiers entre eux pour tous(i;j)∈〚1;n〛2 où lesxi etyj sont définis par :
xi=x−i; yj=y−j
Autrement formulé xi et yj non premiers entre eux pour tous (i;j)signifie que pour tous i et j il existe un entier dij de N∗\ {1} divisant xi et yj. Utilisant les congruences cela signifie qu’il faut trouver xety tels qu’il existe des entiers(dij)16i,j6n tels que pour tous(i;j)∈〚1;n〛2on ait :
xi≡0 [dij] et yj≡0 [dij]
C’est à dire, en remplaçant xi et yj par leur définition quex et y doivent vérifier les systèmes de congruences :
∀(i, j)∈〚1;n〛2;x≡i[dij] et ∀(i, j)∈〚1;n〛2; y≡j [dij] (1) Jusqu’ici nous avons travaillé par équivalence en ne faisant que traduire l’énoncé en termes de deux systèmes de congruences. Le théorème des restes chinois nous donne une condition suffisante pour que le système constitué desn2congruencesx≡i[dij]ait une solution : si les(dij)16i,j6n sont deux à deux premiers entre eux alors il existe une unique solutionxmodulo le produit des modules Q
16i,j6ndij. Idem pour le système avecy. Ainsi pour trouver une clairière carrée(n+ 1)×(n+ 1) il suffit de trouver n2 nombres (dij)16i,j6n deux à deux premiers entre eux. On peut par exemple choisirn2nombres premiers distincts (ce qui est toujours possible puisqu’il y a une infinité de nombres premiers).
Remarque : Un corollaire de ce résultat est qu’on peut trouver des séquences arbitrairement grandes de nombres consécutifs sans aucun nombre premier. Résultat classique que l’on prouve usuellement en considérant desxnk= (n! +k)26k6n
Exemple : Pour le casn= 2. Choisissons pour lesdij les quatre premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7. Sous forme de matrice :
d11 d12 d21 d22
= 2 3
5 7
Alors (1) donne :
x≡1 [2]
x≡1 [3]
x≡2 [5]
x≡2 [7]
et
y≡1 [2]
y≡1 [5]
y≡2 [3]
y≡2 [7]
Résolvons le système d’inconnue x. Les deux premières équations x ≡ 1 [2] et x ≡ 1 [3] sont équivalentes à x−1≡0 [2]et x−1≡0 [3]et comme 2 et 3 sont premiers entre eux cela équivaut à x−1≡0 [3×2], soitx≡1 [6]. De même pour les deux dernières équations, le système équivaut donc à :
x≡1 [6]
x≡2 [35] ⇐⇒
x= 1 + 6k; k∈Z
x= 2 + 35k′; k′ ∈Z ⇐⇒
x= 1 + 6k; k∈Z 6k−35k′= 1 ; k′∈Z
Pour résoudre dansZ2,6k−35k′ = 1la technique est connue, on cherche une solution particulière comme(k0;k′0) = (6; 1)à vue ou en remontant l’algorithme d’Euclide pour 35 et 6 pour trouver ces coefficients de Bézout. Alors :
6k−35k′= 1 ⇐⇒ 6k−35k′= 6k0−35k′0 ⇐⇒ 6(k−k0) = 35(k′−k′0)
et via le théorème de Gauss (car 6 et 35 sont premiers entre eux) et une vérification, on obtient que toutes les solutions sont les couples (k;k′) tels que k−k0 = 35λ et k′−k0′ = 6λ′ où λet λ′ décrivent Z. Ainsi : (k;k′) = (6 + 35λ; 1 + 6λ′). En réinjectant dans x= 1 + 6k; k ∈Z on trouve x= 37 + 6×35λc’est à dire :
x≡37 [2·3·5·7]
En opérant de même sur le système pouryon trouve(k0;k′0) = (−2;−1)puisk=−2 + 3·7λd’où : y≡ −19 [2·3·5·7]
Finalement cela nous donne comme premières valeurs entières positives pour xinférieures à 2011 : x=37 ; 247 ; 457 ; 667 ; 877 ; 1087 ; 1297 ; 1507 ; 1717 ; 1927. Et poury :
y=191 ; 401 ; 611 ; 821 ; 1031 ; 1241 ; 1451 ; 1661 ; 1871.
Par symétrie on peut intervertirxet y. Cela fournit des coordonnées (x;y) avecx > y pour le coin supérieur droit d’une clairière3×3contenant donc 4 arbres invisibles. Le premier ainsi obtenu est (191; 37). C’est à dire que les 4 arbres correspondant abattus ont pour coordonnées :
(190; 36),(190; 35),(189; 36),(189; 35).
Ces valeurs fournissent10×9 = 90clairière3×3contenant donc 4 arbres invisibles dans le triangle étudié. Évidemment il y en a peut être d’autres car j’ai privilégié 2, 3, 5 et 7 dans cet ordre pour mesdij et de plus ma méthode ne garantit pas tous les(x;y). D’ailleurs à vue sur une figure(22; 16) ou(37; 17) conviennent. Avec XCas, j’ai testé les mêmes systèmes de congruences avec les nombres premiers 2, 3, 5, 7 mais dans un autre ordre et j’obtiens :
ichinrem([1%3,1%5,2%7,2%2])=16 % 210 i.e.x= 16 [210].
ichinrem([1%3,1%7,2%5,2%2])=22 % 210 i.e.y= 22 [210].
ichinrem([1%5,1%7,2%2,2%3])=-34 % 210i.e.x= 176 [210].
ichinrem([1%5,1%2,2%7,2%3])=-19 % 210i.e.y= 191 [210].
Programmation
Par un programme en C, mon ami RodolfoNiborskia identifié exactement deux clairières4×4 i.e. contenant 9 arbres abattus dans la zone indiquée. Voici une capture de tableur où chaque case
Le même programme a permi d’identifier 3458 clairières 3×3 avec0 < x < y <2011. La liste des coins en bas à gauche des clairière pourx <100sont donnés ci-dessous ainsi que leur représentation dans le plan (xhorizontal de 0 à 101 de gauche à droite ety vertical de 0 à 101 de bas en haut.) Les clairières 3×3 ont été encadrées en jaune, leur limite en bleu.
x y
19 13 34 13 34 19 53 43 64 38 68 44 76 20 83 33 83 49 94 74 97 20 97 76 98 43 98 53
La page dernière page donne en 7 tableaux de 60 lignes les coordonnées du coin en bas à gauche des 420 premières clairières3×3 par ordre croissant dexpuis dey.
Clairières 5×5. Voici ce que m’a transmis Rodolfo quant à la recherche de la clairière5×5 la plus proche : « Il y a de grandes chances pour que la plus proche de l’origine soit à
(172954548 ; 530941773) (coordonnées de l’arbre coupé le plus proche de l’origine). J’ai étudié les quatre cas où l’on place un multiple de 6 à l’un des quatre sommets de la clairière, ce qui élimine 6 autres cases grace aux multiples de 2 et de 3. Puis j’ai permuté de toutes les manières possibles les 9 nombres premiers de 5 à 31 dans les 9 cases restantes.
Je n’ai donc passé en revue "que" 1451520 clairières5×5. Je ne vois pas d’argument qui per- mettrait de dire qu’il n’y en a pas de plus proche en changeant les nombres premiers utilisés, ou en cherchant des clairières qui contiennent un multiple de 6 ailleurs qu’aux coins, ou pas de multiples de 6 du tout. Mais quelques expériences sur ces autres cas me font penser que non. »
La capture suivante de tableur montre cette clairière :
x y 19 13 34 13 34 19 53 43 64 38 68 44 76 20 83 33 83 49 94 74 97 20 97 76 98 43 98 53 103 38 103 64 103 89 109 73 113 44 113 68 118 33 118 83 131 55 131 75 134 49 134 83 146 110 152 32 152 118 158 104 160 68 169 74 169 94 169 151 173 13 173 19 174 54 184 73 184 109 185 32 185 152 187 139 188 13 188 34 188 55 188 131 188 173 194 19 194 34 194 89 194 103 194 173 194 188 199 133 203 163 208 75 208 131 214 128 215 61
x y
223 19 223 34 223 173 223 188 229 13 229 34 229 43 229 53 229 54 229 68 229 160 229 173 229 174 229 194 229 223 230 86 230 202 233 139 244 13 244 19 244 188 244 194 244 223 244 229 245 37 248 164 251 229 257 110 257 146 259 115 259 143 263 104 263 158 264 104 271 50 271 118 271 152 271 220 274 43 274 98 274 229 278 61 278 154 278 215 284 37 284 38 284 53 284 64 284 98 284 208 284 229 284 245 284 274 289 193 295 109 298 206 314 236 317 86 317 230
x y
322 169 323 38 323 103 323 284 328 139 328 187 334 133 334 199 338 224 339 153 339 185 343 128 343 214 349 64 349 89 349 103 349 284 349 323 350 142 353 283 355 265 362 20 362 76 362 142 362 350 364 218 368 163 368 203 369 104 369 264 370 104 373 49 373 53 373 83 373 98 373 229 373 274 374 139 374 233 376 115 376 259 379 253 383 13 383 19 383 20 383 43 383 97 383 98 383 188 383 194 383 223 383 229 383 284 383 362 383 373 389 67 394 314 398 13 398 34
x y
398 94 398 173 398 194 398 223 398 244 398 383 404 19 404 34 404 143 404 173 404 188 404 229 404 244 404 259 404 383 404 398 406 109 406 295 413 164 413 248 424 49 424 134 424 373 425 181 428 43 428 53 428 64 428 103 428 128 428 274 428 284 428 323 428 373 428 383 433 19 433 34 433 154 433 173 433 188 433 202 433 229 433 230 433 244 433 278 433 383 433 398 439 13 439 34 439 76 439 97 439 173 439 194 439 223 439 244 439 362 439 383 439 404 439 433 440 89
x y
440 152 440 194 440 349 449 163 454 13 454 19 454 38 454 103 454 188 454 194 454 223 454 229 454 284 454 349 454 398 454 404 454 428 454 433 454 439 454 440 458 67 458 83 458 134 458 373 458 389 458 424 463 143 463 259 463 433 468 334 469 313 472 428 473 74 473 169 473 398 474 398 474 454 475 104 475 370 482 76 482 97 482 229 482 251 482 362 482 383 484 193 484 289 493 38 493 64 493 94 493 142 493 169 493 208 493 284 493 323 493 349 493 350 493 398 493 428
x y
493 473 494 153 494 154 494 278 494 339 494 340 503 403 505 142 505 206 505 298 505 362 505 493 509 145 509 363 514 308 516 328 518 344 523 391 526 185 526 339 529 293 530 412 531 245 531 285 533 319 538 20 538 54 538 97 538 174 538 362 538 439 538 482 544 434 548 304 550 56 551 236 551 314 557 128 557 428 559 20 559 43 559 53 559 76 559 83 559 118 559 134 559 271 559 274 559 284 559 373 559 383 559 424 559 439 559 440 559 482 559 538 563 224 563 338 566 496
x y
574 44 574 68 583 218 583 363 583 364 593 13 593 19 593 49 593 54 593 134 593 152 593 188 593 194 593 223 593 229 593 271 593 373 593 398 593 404 593 433 593 439 593 440 593 458 593 538 593 559 601 467 604 43 604 98 604 229 604 284 604 373 604 428 604 504 604 559 607 55 607 56 607 131 607 550 608 13 608 34 608 143 608 173 608 181 608 194 608 223 608 244 608 383 608 404 608 425 608 433 608 454 608 463 608 593 609 233 614 19 614 34 614 53 614 98 614 163
