Bases de la MMC

ENSC/UPMC - Licence Mécanique et Technologie Exercice - LA313

Bases de la MMC

Exercice 1 Elasticité

On considère un tube cylindrique creux d’axe ~e_z, de longueur L, de rayon intérieur R_i et de rayon extérieur Re. Dans un repère cylindrique (O, ~er, ~eθ, ~ez), on se donne le champs de déplacement

~

u(r, θ, z) =u_r~e_r+u_θ~e_θ+u_z~e_zpour les points de coordonnées(r, θ, z)avec :

ur=−α((1 +ν)R_i²

r + (1−2ν)r) ; u_θ = 0 ; uz=−α(1−2ν)z+d avec α = p E

R_e² R²_e−R²_i oùE est le module d’Young du matériau,ν le coefficient de Poisson,p un scalaire donnée etdune constante indéterminée.

1. Exprimer le tenseur linéarisé des déformationsεassocié dans le référentiel cylindrique.

2. En déduire l’expression du tenseur des contraintes de Cauchyσ, en fonction deRi,Re etp.

3. En déduire la valeur du vecteur contrainte sur le bord du tube, en fonction deR_i,R_eetp.

Formulaire

gradU =















∂u_r

∂r 1 r

∂u_r

∂θ −u_θ

∂u_r

∂z

∂uθ

∂r 1 r

∂uθ

∂θ +ur

∂uθ

∂z

∂uz

∂r

1 r

∂uz

∂θ

∂uz

∂z















; λ= Eν

(1 +ν)(1−2ν) ; µ= E 2(1 +ν)

Eléments de Corrections : Exercice 1

1. Déformations :

εrr =−α(−(1 +ν)R²_i

r² + (1−2ν)) ; εθθ =−α((1 +ν)R²_i

r + (1−2ν)) ; εzz =−α(1−2ν) 2. Contraintes

σ_rr =− R²_e

R²_e−R²_i(1−R²_i

r²)p ; σ_θθ =− R²_e

R²_e−R²_i(1 +R²_i

r²)p ; σ_zz =− R²_e R²_e−R²_ip

3. Vecteur contrainte :

Surface intérieure(r=R_i) :T~ = 0 ; Surface extérieure(r=R_e) :T~ =−p~e_r

Extrémités:T~ =− R²_e R²_e−R²_ip