Traitement électronique du signal

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BLAISE PASCAL PT 2020-2021

DM 6 – à rendre lundi 2 novembre Correction

Traitement électronique du signal

Lévitation du Transrapid

. adapté Centrale PSI 2018 .

A - Nécessité d’un asservissement en position verticale

1 Une position d’équilibre correspond à unextrêmumde l’énergie potentielle totale. Elle est stable s’il s’agit d’un minimumet instable si c’est unmaximum.

2 L’axe (Oz) étant dirigé vers le bas, on a

E_pp(z) =−mgz et E_p,tot =E_pm+E_pp=−mgz−α z .

Commeα >0, alorsEpm est une fonction négative mais croissante : c’est la courbe en trait fin bleu. Au contraire, Epp est une fonction décroissante : c’est donc la courbe en trait pointillé vert. Enfin,Ep,tot est une fonction qui tend vers −∞en z = 0 et z → ∞ : c’est la courbe en trait épais. De plus, comme il s’agit évidemment d’une fonction continue, elle passe donc nécessairement par un maximum. La positionz=z0de ce maximum est donc uneposition d’équilibre instable.

Ep

z

Epp(z) E_pm(z)

E_p,tot(z) z₀

Figure 1– Énergie potentielle de la rame de Transrapid.

3 Le maximum d’énergie potentielle se trouve enz=z0 tel que dE_p,tot

dz (z=z₀) =−mg+ α z₀² =

|{z}max

0 soit z₀= r α

mg = 1 cm,

car compte tenu du schéma on a nécessairementz0>0. La stabilité est donnée par la dérivée seconde, d²Ep,tot

dz² (z=z₀) =−2α z₀³ <0.

Comme la dérivée seconde est négative, l’extrêmum est bien un maximum d’énergie potentielle, donc uneposition d’équilibre instable.

4 La position d’équilibre est instable, ce qui signifie que si la rame en est légèrement éloignée sous l’effet d’une perturbation extérieure alors elle n’y revient pas spontanément mais s’en éloigne davantage. Il est donc nécessaire de mettre en place un système extérieur d’asservissement permettant degarantir le retour de la rame à sa position d’équilibrelorsqu’elle s’en écarte.

Ce qui compte dans cette question est d’expliquer physiquement ce que signifie un équilibre « instable », au delà des critères mathématiques sur le signe des dérivées.

1/4 Étienne Thibierge, 31 octobre 2020,www.etienne- thibierge.fr

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Correction DM 6 : Traitement électronique du signal Blaise Pascal, PT 2020-2021

B - Capteur de position

5 Le montage a une structure en pont diviseur de tension, d’où u₁= jL₁ω

R+ j(L1+L2)ωe et u₂= jL₂ω

R+ j(L1+L2)ωe .

6 D’après la loi des nœuds en potentiel appliquée à l’entrée de l’ALI, u2−v⁻

R₂ +s−v⁻

R₂ = 0 soit v⁻=1

2(u2+s). Par ailleurs, d’après un pont diviseur de tension,

v⁺= R1

R1+R1

u1 soit v⁺= 1 2u1. Comme l’ALI fonctionne en régime linéaire,

v⁻=v⁺ soit u₂+s=u₁ donc s=u₁−u₂.

7 En combinant les deux questions précédentes, s= jL1ω

R+ j(L₁+L₂)ωe− jL2ω R+ j(L₁+L₂)ωe d’où on déduit

T(jω) = j(L1−L2)ω R+ j(L₁+L₂)ω

= jω×2L₀∆z/δ R+ jω×2L0

= ∆z δ

2jωL0/R 1 + 2jωL0/R ce qui s’identifie à la forme canonique donnée dans l’énoncé,

T(jω) =T₀ jω/ω₀

1 + jω/ω₀ avec











T₀=∆z δ ω0= R

2L₀

8 Dans la limite des basses fréquences, H ∼

BFT0

jx

1 = jxT0 d’où GdB ∼

BF20 logx+ 20 logT0. Dans la limite des hautes fréquences,

H ∼

HFT₀jx

jx=T₀ d’où G_dB ∼

HF20 logT₀.

Les deux asymptotes se coupent donc enGdB= 20 logT0. Le tracé est représenté figure 2.

9 Se placer dans le domaine de fréquence oùT ne dépend plus de la pulsationωpermet au capteur de fonctionner de la même façon et sans calibration pour différentes fréquences, ce qui rend l’utilisation plus souple. Choisir T proportionnel au déplacement de la rame permet que l’information utile sur ∆z soit directement encodée dans l’amplitude du signal de sortie, ce qui est relativementsimple à isoler et traiter par la suite. Pour que ce soit le cas, il faut se placer dans le domaine haute fréquence du filtre, soit

ωω₀ donc f R 4πL0

= 100 Hz.

La fréquence d’alimentation du capteur étant de 4 kHz, on peut considérer que la condition est correctement remplie.

10 Dans le domaine haute fréquence,H ∼T₀ réel, donc

s=T0e soit s(t) =T0e(t) d’où s(t) = ∆z

δ Ecos(ωt)

avecϕ= 0. Le déphasage entre eet sne peut prendre que deux valeurs, 0 si ∆z >0 etπsi ∆z <0, ce qui permet d’accéder au signe de ∆z.

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logx G_dB

20 logT0

20 dB/déc

Figure 2 –Diagramme de Bode en gain du montage complet.

C - Conditionnement du signal

11 On a

e=Ee^jωt et s=∆z δ Ee^jωt d’où on déduit

p1(t) =µ×Ecos(ωt)×∆z

δ Ecos(ωt) =µ∆z

δ E²cos²(ωt) et

p2(t) = Re

µ∆z

δ E²e^2jωt

=µ∆z

δ E²cos(2ωt).

C’est la première expression p1(t) qui donne la bonne expression de sm(t) : il n’est pas possible de calculer les produits avec les représentations complexes (pour ensuite revenir aux grandeurs réelles) car il s’agit d’une opération non-linéaire.

L’impossibilité de faire des opérations non-linéaires, dont les produits, avec les représentations complexes est quelque chose de très important ! Vous devez le retenir et ne pas vous tromper à ce sujet.

12 En utilisant la relation cos²x=¹₂(1 + cos 2x), on obtient sm(t) =1

2µ∆z δ E²+1

2µ∆z

δ E²cos(2ωt).

Le spectre contient donc une composante continue et une harmonique de fréquence 2f de même amplitude, voir figure 3.

fréquence amplitude

f 2f

Figure 3– Spectre du signalsm(t).

13 Pour ne garder que la composante continue, il faut placer en sortie du montage un filtre passe-bas de fréquence de coupurefc2f = 8 kHz. Un tel filtre peut être réalisé par le montage RC série représenté ci-dessous. Prenons par exemple sa fréquence de coupurefc = 100 Hz et une résistance R = 1 kΩ, il faut choisir un condensateurC tel que

f_c= 1

2πRC soit C= 1

2πRfc

= 8,0·10⁻⁷F.

14 La tension de sortie du filtre ne contient plus que la composante continue, qui vaut S_m= 1

2µ∆z δ E².

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À la limiteS_m,min= 10 mV, on trouve ∆z

δ

min

= 2S_m,min

µE² = 1,6·10⁻³= 0,16 %.