Activit´e de math´ematiques
D´emonstration par r´ecurrence
D´efinition. Une propri´et´e d´ependant d’un entier naturel est h´er´editaire lorsque si elle est vraie pour un certain rangn alors elle est vraie pour le rang n+ 1.
Axiome. On consid`ere une propri´et´e d´ependant d’un entier naturel. Si cette propri´et´e est vraie pour le rang n0 et h´er´editaire, alors elle est vraie pour tout entier naturel n>n0.
Exemples
1. On consid`ere la propri´et´e (Pn) : 4n+ 2 est un multiple de 3.
(a) Montrer que la propri´et´e est vraie pour le rang n= 0.
(b) On suppose que la propri´et´e est vraie pour le rang net on pose 4n+ 2 = 3kavec k∈Z. Montrer qu’alors la propri´et´e est vraie pour le rang n+ 1. (On pourra chercher `a exprimer 4n+1+ 2 en fonction dek)
(c) Montrer que la propri´et´e est vraie pour tout n∈N. 2. On consid`ere la propri´et´e (Pn) : 8n+ 1 est un multiple de 7.
(a) Montrer que la propri´et´e Pn est h´er´editaire.
(b) Que peut-on en d´eduire ?
Application
D´emontrer par r´ecurrence les propri´et´es suivantes :
Propri´et´e 1. Pour tout n∈N et x∈R∗+, on a ln(xn) =nln(x).
Propri´et´e 2. Pour tout n∈N, le nombre n(n+ 1)
2 est un entier naturel.
Propri´et´e 3. Pour tout n∈N∗, on a
k=n
X
k=1
k= 1 + 2 + 3 +· · ·+n= n(n+ 1)
2 .
Propri´et´e 4. Pour tout n ∈ N∗, la fonction x 7→ xn est d´erivable sur R et sa d´eriv´ee est la fonction x7→nxn−1.
Propri´et´e 5. Pour tout n∈N, la fonction sinus est n fois d´erivable et on a sin(n)(x) = sin(x+nπ 2).
Propri´et´e 6. Pour tout n∈N et x∈R+, on a (1 +x)n>1 +nx.
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