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R´esoudre les syst`emes de l’exercice 1 du chapˆıtre pr´ec´edent par la m´ethode de Gauss-Jordan, sans et avec pivot maximal

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Academic year: 2022

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Universit´e Ren´e Descartes - Paris5 licence de math´ematiques

UFR de math´ematiques et informatique licence MASS

M´ethodes num´eriques 2003/2004 Dominique Pastre

Exercices chapitre 2 Gauss-Jordan - Inverse

1. R´esoudre les syst`emes de l’exercice 1 du chapˆıtre pr´ec´edent par la m´ethode de Gauss-Jordan, sans et avec pivot maximal.

2. Calculer la complexit´e de l’algorithme de Gauss-Jordan et la comparer `a celle de l’algorithme de Gauss.

3. Exprimer les transformations de la m´ethode de Gauss-Jordan en utilisant des matricesHk analogues aux matricesGk du chapˆıtre pr´ec´edent.

4. Montrer que si, dans le calcul de l’inverse, on a ´echang´e des lignes (pivot non nul / max), on doit ´echanger les colonnes correspondantes dans la matrice obtenue.

5. Calculer les inverses des matrices de l’exercice 1 du chapˆıtre pr´ec´edent, sans et avec pivot maximal.

6. (a) Exprimer matriciellement le calcul de l’inverse en utilisant les matri- cesHk.

(b) Tenir compte des ´echanges de lignes avec des matrices de transposi- tion P(i,j).

(Attention: les 0 et 1 de la matrice B ne doivent pas ˆetre modifi´es par les ´echanges de lignes dans la partie ”utile”)

(c) Retrouver alors facilement le r´esultat de l’exercice 4

7. Calculer la complexit´e de l’algorithme de calcul de l’inverse par la m´ethode de Gauss-Jordan et la comparer `a celle de l’algorithme r´ecursif vu pr´ec´edemment.

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