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Pour chacune des fonctions suivantes, donner son ensemble de définition, puis calculer le ou les antécé- dent(s) de 1.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Fonctions, Exercices complémentaires – Corrections

Exercice n

o

1

Pour chacune des fonctions suivantes, donner son ensemble de définition, puis calculer le ou les antécé- dent(s) de 1.

1.

f

(x) =

x2

2x 2.

g(x) =p|x2

2x|

3.

h(x) =p|x|

+

x

4.

i(x) =p|x2

2x| − (x

2

2x) 5.

j(x) =

1

6x

2

+

x

1 6.

k(x) =

1 3x

6x

2

+

x

1 7.

l(x) =

1

3x

6x

2

+

x

1

Correction :

1. f(x) =√

x2−2x Ensemble de définition :

Il faut que x2−2x≥0. Orx2−2x=x(x−2). On fait un tableau de signes pour ce produit :

x −∞ 0 2 +∞

signe dex − − 0 +

signe dex−2 − 0 + +

signe de x2−2x + 0 − 0 +

Conclusion :Df=]− ∞; 0]∪[2; +∞[.

Antécédent(s) de 1 : On a f(x) = 1⇔√

x2−2x= 1. Or, si √

x2−2x= 1, alorsx2−2x= 1, autrement dit on doit avoirx2−2x−1 = 0 On pose le discriminant ∆ = 4 + 4 = 8 : l’équationx2−2x−1 = 0 a donc deux solutions,

x1=2−2√ 2

2 = 1−√

2 et x2= 2 + 2√ 2

2 = 1 +√ 2.

Puisque √

2 vaut environ 1,4, on a d’une part quex1 <0, et d’autre part que x2 >2. Doncx1 et x2 sont toutes les deux dans l’ensemble de definition def, et sont donc des antécédent de 1 parf.

2. g(x) =p

|x2−2x|

Ensemble de définition :

Pour toutx∈R, on a|x2−2x| ≥0, doncDg=R. Antécédent(s) de 1 :

Si p

|x2−2x|= 1, alors|x2−2x|= 1. Il y a alors deux possibilités :

– soit x2−2x= 1, autrement dit on doit avoirx2−2x−1 = 0 et doncx vaut 1−√

2 ou 1 +√

2 par le calcul de la question précédente,

– soitx2−2x=−1, autrement dit on doit avoir x2−2x+ 1 = (x−1)2= 0 et doncxvaut 1.

En conclusion, il y a trois antécédents de 1 par g: 1−√

2, 1 +√ 2 et 1.

3. h(x) =p

|x|+x Ensemble de définition :

D’après la définition de la valeur absolue, h(x) =

x+x=√

2x, six≥0,

xx= 0, six≤0.

Il n’y a pas de valeur interdite, donc Dh=R. Antécédent(s) de 1 :

Puisque h(x) = 0 pourx≤0, pour avoirh(x) = 1 il faut que x≥0, et alors on a√

2x= 1, ce qui implique 2x= 1 : le seul antécédent de 1 parhest donc 12.

(2)

4. i(x) =p

|x2−2x| −(x2−2x) Ensemble de définition :

Pour comprendre cette fonction un peu mieux, on va revenir à la définition de la valeur absolue. On a

|x2−2x|=

x2−2x, six2−2x≥0, c’est-à-dire pour x∈]− ∞; 0]∪[2; +∞[,

−(x2−2x), six2−2x≤0, c’est-à-dire pour x∈]0; 2[.

(on a utilisé le tableau de signe fait pour la question 1).

Donc, pour x∈]− ∞; 0]∪[2; +∞[, on a i(x) =p

x2−2x−(x2−2x) =√ 0 = 0, et pourx∈]0; 2[ on a

i(x) =p

−2(x2−2x).

Et on a Di=R. Antécédent(s) de 1 :

Puisque i(x) = 0 pour x ∈]− ∞; 0]∪[2; +∞[, pour avoir i(x) = 1 il faut que x ∈]0; 2[, et alors on a p−2(x2−2x) = 1, ce qui implique

−2(x2−2x) = 1⇔x2−2x+1 2 = 0.

On pose le discriminant ∆ = 4−2 = 2 : l’équationx2−2x+12 = 0 a donc deux solutions, x1= 1−

√2

2 et x2= 1 +

√2 2 .

Or, parmi ces deux solutions, une seule est dans ]0; 2[, en l’occurencex2. Donc l’unique antécédent de 1 par i est 1 +

2 2 . 5. j(x) = 1

6x2+x−1 Ensemble de définition :

Il s’agit de résoudre l’équation 6x2+x−1 = 0. On pose le discriminant ∆ = 1 + 24 = 25 : l’équation a donc deux solutions,

x1=−1−5 12 =−1

2 et x2= −1 + 5 12 =1

3. DoncDj=R\ {−12;13}.

(On remarque que de plus que, d’après ce qui précède, 6x2+x−1 = (2x+ 1)(3x−1).) Antécédent(s) de 1 :

On a

j(x) = 1⇔ 1

6x2+x−1 = 1⇔6x2+x−1 = 1⇔6x2+x−2 = 0.

On pose le discriminant ∆ = 1 + 48 = 49 : on a donc deux solutions, x1=−1−7

12 =−1

3 et x2= −1 + 7 12 =1

2. Donc−13 et 12 sont les deux antécédents de 1 par i.

6. k(x) =

1 3x 6x2+x−1 Ensemble de définition :

Comme à la question précédente,Dk=R\ {−12;13}.

Antécédent(s) de 1 :

En observant que 13x=−13(3x−1) et en rappelant que 6x2+x−1 = (2x+ 1)(3x−1), on a k(x) = 1

1 3x

6x2+x−1 = 1⇔ −13(3x−1)

(2x+ 1)(3x−1) = 1⇔ −13

2x+ 1) = 1⇔ −1

3 = 2x+ 1⇔x=−2 3.

(3)

7. l(x) =

√1−3x 6x2+x−1 Ensemble de définition :

D’une part, comme dans les deux questions précédentes, il faut quex6=−12 etx6=13. D’autre part, il faut que 1−3x≥0, autrement dit quex∈]− ∞;13].

DoncDl=]− ∞;−12[∪]−12;13[.

Antécédent(s) de 1 :

En rappelant que 6x2+x−1 = (2x+ 1)(3x−1), on a l(x) = 1

√1−3x

6x2+x−1 = 1⇔

√1−3x

(2x+ 1)(3x−1) = 1⇔√

1−3x= (2x+ 1)(3x−1).

Mais, dans ce cas, on a nécessairement 1−3x= (2x+ 1)2(3x−1)2, ce qui est équivalent à (2x+ 1)2(3x−1)2+ (3x−1) = 0 ⇔ (3x−1)[(2x+ 1)2(3x−1) + 1] = 0

⇔ (3x−1)[(4x2+ 4x+ 1)(3x−1) + 1] = 0

⇔ (3x−1)[(12x3+ 8x2x−1) + 1] = 0

⇔ (3x−1)(12x3+ 8x2x) = 0

x(3x−1)(12x2+ 8x−1) = 0

il reste à factoriser le trinome 12x2+ 8x−1, en posant son discriminant ∆ = 64 + 48 = 112 = 7×16 : donc ce trinôme a pour racinesx1= −8−4

7

24 =−2+

7

6 ' −0,77 etx2=−8+4

7

−12 = −2+

7

6 '0,11. On en déduit que

(2x+ 1)2(3x−1)2+ (3x−1) = 0⇔12x(3x−1)(x+2 +√ 7

6 )(x+2−√ 7 6 ) = 0.

Il y a donc quatre valeurs dexpour lesquelles (2x+ 1)2(3x−1)2+ (3x−1) = 0, qui sont 0 , 1

3 , −2 +√ 7

6 , −2 +√

7

6 ,

et ce sont les seules valeurs de xpossibles pour être antécédent de 1 parl. Mais :13 et −2+

7

6 '0,11 ne sont pas dans l’ensemble de definition del,l(0) =−1 donc 0 n’est pas antécédent de 1.

En revanche, on a bienl

−2− 7 6

= 1 (à vérifier à la calculatrice !).

Note : dans la résolution ci-dessus, nous terminions avec 4 candidats possibles pour avoir un/des antécé- dent(s) de 1. deux de ces candidats sont écartés car ne sont pas dans l’ensemble de définition, et un (zero) est écarté car c’est, après verification, un antécédent de−1. En effet, la résolution ci-dessus consiste, à poser k(x) = 1 et à élever cette égalité au carré (pour se débarasser de la racine carrée). Il est donc normal que nous obtenions aussi les solutions de k(x) = −1 (puisque, si on élève cette égalité au carré, on obtient la même chose qu’aveck(x) = 1).

Exercice n

o

2

Donner la formule de la fonction

fgh, ainsi que son ensemble de définition, pour les fonctionf, g, h

suivantes

1.

f

(x) =

x

1,

g(x) =x2

+ 1 et

h(x) =x

+ 3 2.

f

(x) = 2

x

1 ,

g(x) =|x|

et

h(x) =x

+ 3

Correction : 1. f(x) =√

x−1,g(x) =x2+ 1 eth(x) =x+ 3 On a Df = [1; +∞[,Dg=R, etDh=R. On a

gh(x) =g(h(x)) = (x+ 3)2+ 1 =x2+ 6x+ 10,

(4)

donc

fgh(x) =f(g(h(x))) =p

x2+ 6x+ 9.

Mais on vient de voir quex2+ 6x+ 9 = (x+ 3)2, donc fgh(x) =p

(x+ 3)2=|x+ 3|.

En particulier, on a Df◦g◦h=R. 2. f(x) = 2

x−1,g(x) =|x|eth(x) =x+ 3 On a Df =R\ {1},Dg=R, etDh= [−3; +∞[.

On a

gh(x) =g(h(x)) =|√ x+ 3|.

Or,√

x+ 3≥0 pour toutx≥ −3, doncgh(x) =|√

x+ 3|=√

x+ 3, et donc fgh(x) =f(g(h(x))) = 2

x+ 3−1. Pour l’ensemble de définition, il y a deux contraintes :

. d’une part, il faut quex≥ −3 (pour écrire √ x+ 3), . d’autre part, il faut que √

x+ 3−16= 0. Or,

x+ 3−1 = 0⇔√

x+ 3 = 1⇔x+ 3 = 1⇔x=−2.

En conclusion,Df◦g◦h= [−3;−2[∪]−2; +∞[.

Exercice n

o

3

Vérifier si les affirmations suivantes sont vraies ou non :

1. Si

g

est une fonction paire et

h

=

fg, alors h

est aussi une fonction paire.

2. Si

g

est une fonction impaire et

h

=

fg, alors h

est aussi une fonction impaire.

Correction :

1. Sig est paire, alorsh=fgest aussi une fonction paire.

En effet, pour tout x∈ Df◦g, on a

fg(−x) =f(g(−x)) =f(g(x)) =fg(x), où on a utilisé le faiut queg est paire à la seconde égalité.

2. Sig est impaire, alorsh=fg n’est pas nécessairement impaire.

Prenons par exemple g(x) =x3 (qui est bien une fonction paire), et f(x) =x−1. Alorsh(x) =f(g(x)) = x3−1 n’est ni paire ni impaire : pourx= 1, on ah(1) = 0, tandis queh(−1) = 2.

Exercices issus de situations concrètes

Exercice n

o

4 (Arche de pont)

L’arche d’un pont a la forme d’une parabole s’appuyant sur deux points au sol distants de 160 mètres.

Le sommet de la parabole est à une hauteur de 80 mètres. Déterminer la hauteur de l’arche à 16 mètres du bord.

Correction : Notons h(x) la hauteur (en mètres) de l’arche àxmètres au sol du point d’appui de gauche.

On a ainsi défini une fonctionhsur [0,160].

Comme sa courbe représentative est une parabole, on sait quehest une fonction polynomiale du second degré de la formeax2+bx+caveca, b, créels (non connus).

On sait de plus queh(0) =h(160) = 0, doncha deux racines distinctes, 0 et 160, donch(x) =a(x−0)(x−160) = ax(x−160) = ax2−160ax. En particulier c = 0 et b = −160a. Enfin, on sait queh(x) possède un maximum valant 80. Or d’après le cours si une fonction polynomiale du second degré possède un maximum, alorsa <0 et ce maximum est atteint enx0=−2ab, donch(−2ab ) = 80.

Or x0 = −2ab = −−160a2a = 80, et h(80) = a×80×(80−160) = −a×802. Donc comme h(80) = 80, on a −a×802 = 80 et a =−801 et b = −160a= 2. Donc h(x) =801x2+ 2x. Donc h(16) =801162+ 2×16 = 16(−210 + 2) = 16−2+2010 = 161810 = 1695'28,8. La hauteur de l’arche à 16m du bord est donc de 28,8m.

(5)

Exercice n

o

5 (Hauteur d’un projectile)

On lance un projectile. La hauteur

h

(en mètres) en fonction du temps

t

écoulé (en secondes) est donnée par

h

= 1 + 10t

4.9t

2

. Quelle est la hauteur maximale atteinte ?

Correction : Notons f la fonction qui à t associe h, c’est-à-dire la fonction f(t) = 1 + 10t−4.9t2. C’est une fonction polynomiale de degré 2 det, de coefficient dominanta=−4.9<0, donc elle a un unique maximum, atteint ent0=−2ab =−2×(−4.9)10 = 5049. Son maximum vaut donc

f(t0) = 1 + 10×50

49−4.9(50

49)2= 1 +500 49 −250

49

=299 49 '6,1

La hauteur maximale atteinte est donc d’environ 6,1 mètres.

Exercice n

o

6 (Longueur d’un lancer)

Une personne lance une balle d’une hauteur de 1, 50 mètre. La balle suit une trajectoire parabolique dont le sommet est atteint 4 mètres plus loin avec une hauteur de 2, 50 mètres. Déterminer avec une précision au mm près un encadrement de la distance parcourue par la balle lorsqu’elle retombe au sol.

Correction : Notons h(x) la hauteur en mètres de la balle à la distance xmètres au sol de la personne.

Comme la trajectoire est parabolique, la fonctionhest un polynome du second degré, c’est-à-dire qu’il existe des nombres réelsa,b, etc tels queh(x) =ax2+bx+c.

On sait d’après l’énoncé queh(0) = 1,5, donc, commeh(0) =c, doncc= 1,5.

On sait d’après l’énoncé que le maximum dehest atteint enx= 4, or d’après le cours, il est atteint en−2ab, donc−2ab = 4, doncb=−8a.

De plus, on sait d’après l’énoncé que h(4) = 2,5, or h(4) = a×42+ 4×b+c = 16a+ 4b+ 1,5, donc 16a+ 4b+ 1,5 = 2,5.

Donc, commeb=−8a, on a 16a−32a= 2,5−1,5 = 1, d’oùa=−1/16 puisb=−8a= 1/2.

On a donch(x) =161x2+12x+ 1,5.

Notons x1 la distance parcourue par la balle (en mètres) au moment ou elle retombe au sol : on ax1 >0 et h(x1) = 0, donc x1 est solution de l’équation−161x2+12x+ 1,5 = 0, donc (en mulitpliant par 4) de l’équation

14x2+ 2x+ 6 = 0. Cette équation du second degré a pour discrimant ∆ = 22+ 414×6 = 10, donc deux solutions

−2− 10

2−14 = 2(2+√

10) = 4+2√

10'10,325 et 4−2√

10' −2,32.x1étant positif, on a doncx1= 4+2√

10'10,325.

la distance parcourue par la balle (en mètres) au moment ou elle retombe au sol est donc de 10,325 mètres (10m plus 32 cm plus 5 mm).

Exercice n

o

7 (Saut de grenouille)

Les bonds des animaux sauteurs ont des trajectoires paraboliques. Considérons le bond d’une grenouille.

Lorsqu’elle saute sur un sol plat, la longueur de son saut est de 2,7 mètres et la hauteur maximale au-dessus du sol est de 0,9 mètres. Ce bond lui permettra-t-il de passer au dessus d’un bac à fleurs de 65 centimètres de haut de 1,6 mètres de large ?

Correction : Notons h(x) la hauteur en mètres de la grenouille à la distance xmètres au sol de son point de départ. Comme la trajectoire est parabolique, la fonctionhest un polynome du second degré, c’est-à-dire qu’il existe des nombres réelsa,b, etctels que h(x) =ax2+bx+c.

On sait d’après l’énoncé queh(0) =c= 0 eth(2,7) = 0, doncha deux racinesx1= 0 etx2= 2,7. Or d’après le cours on ah(x) =a(xx1)(x−x2). Donch(x) =ax(x−2,7).

D’après le cours, le maximum de hest atteint en x0 =−2ab = 12(x1+x2) = 12(0 + 2,7) = 1,35, et d’après l’énoncé il vaut 0,9, donch(1,35) = 0,9.

Or h(1,35) = a×1,35(1,35−2,7) = −a×1,352, donc a = −1,350,92, donc h(x) =1,350,92x(x−2,7) = 0,91,35x (2−1,35x ).

Le bond permettra de franchir le bac si on ah(x)>0,65 sur un intervalle de largeur 1,6 centré en x0, c’est- à-dire sur [x0−0,8, x0+ 0,8]. Pour cela, il suffit d’après le cours (par le tableau de variation et par symétrie du graphe de hpar rapport à la droite verticale x= x0) que h(x0−0,8) >0,65. Or h(x0−0,8) = h(0,55) = 0,90,551,35(2−0,551,35)'0,58<0,65.

Donc ce bond ne permet pas de passer par dessus le bac.

(6)

Exercice n

o

8 (L’enclos)

Un fermier possède une chèvre, qu’il met à brouter chaque jour dans un endroit différent de son pré. Il possède une cloture électrique de longueur totale 12m et souhaite délimiter un enclos rectangulaire de surface maximale. Déterminer la forme de l’enclos et la surface obtenue.

Correction : Notons xet y les deux cotés du rectangle, en mètres. Alors le périmètre P du rectangle (en mètres) estP = 2x+ 2y, et sa surface S (en mètres carrés) estS =xy. D’après les données, on a 2x+ 2y = 12, doncy= 6−x. Par conséquent

S=x(6x)

On a doncS=f(x), en notantf la fonction x7→x(6x), définie surDf =]0,6[.

Déterminons le maximum def. On reconnait une fonction polynomiale de degré 2 de la formef(x) =ax2+bx+c avec a = −1, b = 6 et c = 0. On sait qu’une telle fonction possède un unique maximum sur R, atteint en x0 =−2ab = 3. Comme x0 est dansDf, on peut en conclure quef possède un unique maximum surDf, atteint enx0= 3.

L’enclos est donc de surface maximale si et seulement si c’est le carré de coté 3m. Sa surface est alors de 9m2.

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