Continuité sur un intervalle
et théorème des valeurs intermédiaires
1.Continuité en un réel a :
1.1.Définition :
fonction continue en 5 fonction non continue en 5
Une manière de déterminer graphiquement si une fonction est continue en a est de regarder si on peut la tracer "sans lever le stylo" autour de a (elle doit être définie en a ).
Définition :
Soient f un fonction définie sur un intervalle I⊂ℝ et un réel a∈I . La fonction f est continue en a si et seulement si lim
x→a f(x) existe et est égale à f(a).
Exemples 1:
• Soit f la fonction définie sur ℝ par : f (x)= x –1si x≠4 5si x=4 La fonction f est-elle continue en 4 ?
• Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x)= 2x –1si x≠4 7si x=4 La fonction g est-elle continue en 4 ?
2.2.Exemple d'une fonction non continue à connaître : "Partie entière"
La fonction partie entière est la fonction qui associe à tout nombre réel x , l'entier relatif inférieur (ou égal) le plus proche.
Exemple : E(8,75)=8 , E(π)=3 et E(−30,26)=−31 Sa représentation graphique est la suivante :
Cette fonction est discontinue en toutes les abscisses qui sont des entiers relatifs.
2.Continuité sur un intervalle :
2.1.Définition : Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I⊂ℝ
f est continue sur I si et seulement si f est continue pour toute valeur a∈I
Propriété :
Les fonctions usuelles vues depuis la seconde sont toutes continues sur tout intervalle inclus dans leurs ensembles de définition.
2.2.Montrer qu'une fonction est continue sans utiliser la définition :
Propriété :
Soit f et g deux fonctions continues définies sur un même intervalle I⊂ℝ et k∈ℝ .
• La fonction f+g est continue sur I
• La fonction k f est continue sur I
• La fonction f .g est continue sur I
• Si ∀x∈I , g(x)≠0 , les fonctions 1
g et f
g est continue sur I .
Théorème (admis) :
Toute fonction dérivable sur un intervalle I⊂ℝ est continue sur cet intervalle.
Propriété :
Soient g et h deux fonctions définies respectivement sur I et J tels que ∀x∈I , g(x)∈J Si g et h sont continues sur leurs intervalles respectifs, alors h∘g est continue sur I
Exemple 2 :
Justifier que la fonction f définie sur ℝ par f (x)= 1
x2+x+1 est continue sur ℝ
3.Théorème des valeurs intermédiaires :
Exemple 3 :
Soit H la fonction définie sur [0 ;24] et représentée ci dessus. Elle correspond à la hauteur de la marée à Saint Malo le 28 septembre 2015.
● Traduire la question « Résoudre l'équation H(x) = 8 sur
ℝ
» dans le contexte de l'exemple.● Résoudre graphiquement dans
ℝ
les équations H(x)=12 , H(x)=14 et H(x)=5 . ● Dresser le tableau de variation de la fonction H .3.1.Théorème des valeurs intermédiaires :
Théorème : (admis)
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ;b] inclus dans
ℝ
Si : ● f est continue sur [a ;b] ,
● k est un réel compris entre f (a) et f (b) alors : il existe c∈
[
a ;b]
tel que f (c)=k3.2.Corollaire : Théorème de la bijection :
Théorème : (admis)
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ;b] inclus dans
ℝ
Si : ● f est continue sur [a ;b] ,
● f est strictement monotone sur [a ;b] ● k est un réel compris entre f (a) et f (b) alors : il existe un unique c∈
[
a ;b]
tel que f (c)=kRemarque : Si f (a) ou f (b) n'existent pas, on peut utiliser les limites de la fonction f
Méthode 1 : utilisation du théorème de la bijection et corollaire
Soit f une fonction définie sur [−5;+∞[ dont le tableau de variation est le suivant : x -5 2 +∞
Variations de f
3 +∞
-4
Montrer que l'équation f (x)=0 admet exactement deux solutions sur [−5;+∞[ Sur [−5;2] :
● f est continue sur [−5;2]
● f est strictement décroissante sur [−5;2]
● f (2)=−4 et f (−5)=3 , et 0∈[−4;3]
donc d'après le théorème de la bijection, l'équation f (x)=0 admet une unique solution sur [−5;2] Sur [2;+∞[ :
● f est continue sur [2;+∞[
● f est strictement décroissante sur [2;+∞[
● f (2)=−4 et limx→+∞ f(x)=+∞ , et 0∈[−4;+∞[
donc d'après le théorème de la bijection, l'équation f (x)=0 admet une unique solution sur [2;+∞[ DONC l'équation f (x)=0 admet exactement deux solutions sur [−5;+∞[
4.Image d'une suite convergente par une fonction continue :
Théorème :
Soit
(
un)
une suite numérique à valeurs dans un intervalle I⊂ℝ , et convergente de limite l∈I . Soit f une fonction définie et continue sur I .lim
n→+∞
f(un)=f
(
nlim→+∞un
)
=f (l)Exemple d'utilisation :
Soit f la fonction définie sur [−3;+∞[ par f (x)=2
√
x+3Soit
(
un)
la suite définie par : ∀n∈ℕ un+1=2√
un+3 et u0=−2On admet que : la suite
(
un)
converge vers un réel l∈[−3;+∞[Méthode 2 : Conjecturer l'éventuelle limite de la suite
(
un)
à l'aide du graphique de la fonction f . On remarque que ∀n∈ℕ un+1=f(un)La courbe bleue est la courbe représentative de f , la rouge est la droite d'équation y=x
On peut conjecturer que la suite
(
un)
converge vers 6, qui est l'abscisse du point d'intersection des deux courbes.Détail de la construction :
Étape 1 : on place u0 sur l'axe des abscisses et on construit u1 comme image de u0 car u1=f (u0)
Étape 2 : On ramène u1 sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite rouge puisque sur cette droite : y=x (donc le point de cette droite dont l'ordonnée est u1 a également son abscisse égale à u1
Étape 3 : On construit u2 en cherchant l'image de u1 par
f car on sait que u2=f(u1)
Étape 4 : On "ramène" u2 sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite rouge.
Étape 5 : On contruit u3 en cherchant l'image de u2 par
f car on sait que u3=f(u2)
Étape 6 : On "ramène" u3 sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite rouge.
On poursuit ainsi jusqu'à avoir le nombre de termes désiré.
Méthode 3 : Détermination de la limite d'une suite définie par une formule de récurrence.
Dans l'émoncé, on a admis que la suite
(
un)
converge vers un réel l∈[−3;+∞[ Comme ∀n∈ℕ un+1=f(un)on peut écrire que lim
n→+∞
un+1=lim
n→+∞
f
(
un)
or f étant une fonction continue sur [−3;+∞[ d'après le théorème : lim
n→+∞
f(un)=f
(
nlim→+∞(
un) )
=f (l)de plus lim
n→+∞
un+1=l puisque
(
un)
converge vers l On peut donc en conclure que l=f (l)On cherche donc à résoudre l'équation : l= f(l) sur [0;+∞[ car l≥0 puisque f est
positive sur [−3;+∞[ l= f(l)
⇔ l=2
√
l+3⇔ l
2=
√
l+3⇔
(
2l)
2=l+3⇔ l2 4=l+3
⇔ l2
4−l−3=0 cette équation est du second degré avec a=1
4 , b=−1 et c=−3
Δ = b2–4a c = (−1)2–4
(
14)
(−3) = 4Δ>0 donc cette équation peut admettre deux solutions distinctes : l1=−b –√Δ
2a =−(−1)–
√
4 214
=−2 et l2=−b –√Δ
2a =−(−1)+
√
4 214
=6
Solution impossible puisque l≥0
donc l'unique solution de cette équation est 6 donc l=6
donc la suite