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Continuité sur un intervalle et théorème des valeurs intermédiaires

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Academic year: 2022

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(1)

Continuité sur un intervalle

et théorème des valeurs intermédiaires

1.Continuité en un réel a :

1.1.Définition :

fonction continue en 5 fonction non continue en 5

Une manière de déterminer graphiquement si une fonction est continue en a est de regarder si on peut la tracer "sans lever le stylo" autour de a (elle doit être définie en a ).

Définition :

Soient f un fonction définie sur un intervalle I⊂ℝ et un réel a∈I . La fonction f est continue en a si et seulement si lim

x→a f(x) existe et est égale à f(a).

Exemples 1:

• Soit f la fonction définie sur ℝ par : f (x)= x –1si x≠4 5si x=4 La fonction f est-elle continue en 4 ?

• Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x)= 2x –1si x≠4 7si x=4 La fonction g est-elle continue en 4 ?

(2)

2.2.Exemple d'une fonction non continue à connaître : "Partie entière"

La fonction partie entière est la fonction qui associe à tout nombre réel x , l'entier relatif inférieur (ou égal) le plus proche.

Exemple : E(8,75)=8 , E(π)=3 et E(−30,26)=−31 Sa représentation graphique est la suivante :

Cette fonction est discontinue en toutes les abscisses qui sont des entiers relatifs.

2.Continuité sur un intervalle :

2.1.Définition : Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I⊂ℝ

f est continue sur I si et seulement si f est continue pour toute valeur a∈I

Propriété :

Les fonctions usuelles vues depuis la seconde sont toutes continues sur tout intervalle inclus dans leurs ensembles de définition.

2.2.Montrer qu'une fonction est continue sans utiliser la définition :

Propriété :

Soit f et g deux fonctions continues définies sur un même intervalle I⊂ℝ et k∈ℝ .

• La fonction f+g est continue sur I

• La fonction k f est continue sur I

• La fonction f .g est continue sur I

• Si ∀x∈I , g(x)≠0 , les fonctions 1

g et f

g est continue sur I .

(3)

Théorème (admis) :

Toute fonction dérivable sur un intervalle I⊂ℝ est continue sur cet intervalle.

Propriété :

Soient g et h deux fonctions définies respectivement sur I et J tels que ∀x∈I , g(x)∈J Si g et h sont continues sur leurs intervalles respectifs, alors hg est continue sur I

Exemple 2 :

Justifier que la fonction f définie sur ℝ par f (x)= 1

x2+x+1 est continue sur ℝ

3.Théorème des valeurs intermédiaires :

Exemple 3 :

Soit H la fonction définie sur [0 ;24] et représentée ci dessus. Elle correspond à la hauteur de la marée à Saint Malo le 28 septembre 2015.

● Traduire la question « Résoudre l'équation H(x) = 8 sur

» dans le contexte de l'exemple.

● Résoudre graphiquement dans

les équations H(x)=12 , H(x)=14 et H(x)=5 . ● Dresser le tableau de variation de la fonction H .

(4)

3.1.Théorème des valeurs intermédiaires :

Théorème : (admis)

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ;b] inclus dans

Si : ● f est continue sur [a ;b] ,

k est un réel compris entre f (a) et f (b) alors : il existe c

[

a ;b

]

tel que f (c)=k

3.2.Corollaire : Théorème de la bijection :

Théorème : (admis)

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ;b] inclus dans

Si : ● f est continue sur [a ;b] ,

f est strictement monotone sur [a ;b] ● k est un réel compris entre f (a) et f (b) alors : il existe un unique c

[

a ;b

]

tel que f (c)=k

Remarque : Si f (a) ou f (b) n'existent pas, on peut utiliser les limites de la fonction f

Méthode 1 : utilisation du théorème de la bijection et corollaire

Soit f une fonction définie sur [−5;+∞[ dont le tableau de variation est le suivant : x -5 2 +∞

Variations de f

3 +∞

-4

Montrer que l'équation f (x)=0 admet exactement deux solutions sur [−5;+∞[ Sur [−5;2] :

f est continue sur [−5;2]

f est strictement décroissante sur [−5;2]

f (2)=−4 et f (−5)=3 , et 0∈[−4;3]

donc d'après le théorème de la bijection, l'équation f (x)=0 admet une unique solution sur [−5;2] Sur [2;+∞[ :

f est continue sur [2;+∞[

f est strictement décroissante sur [2;+∞[

f (2)=−4 et limx→+∞ f(x)=+∞ , et 0∈[−4;+∞[

donc d'après le théorème de la bijection, l'équation f (x)=0 admet une unique solution sur [2;+∞[ DONC l'équation f (x)=0 admet exactement deux solutions sur [−5;+∞[

(5)

4.Image d'une suite convergente par une fonction continue :

Théorème :

Soit

(

un

)

une suite numérique à valeurs dans un intervalle I⊂ℝ , et convergente de limite l∈I . Soit f une fonction définie et continue sur I .

lim

n→+∞

f(un)=f

(

nlim→+∞

un

)

=f (l)

Exemple d'utilisation :

Soit f la fonction définie sur [−3;+∞[ par f (x)=2

x+3

Soit

(

un

)

la suite définie par : ∀n∈ℕ un+1=2

un+3 et u0=−2

On admet que : la suite

(

un

)

converge vers un réel l∈[−3;+∞[

Méthode 2 : Conjecturer l'éventuelle limite de la suite

(

un

)

à l'aide du graphique de la fonction f . On remarque que ∀n∈ℕ un+1=f(un)

La courbe bleue est la courbe représentative de f , la rouge est la droite d'équation y=x

On peut conjecturer que la suite

(

un

)

converge vers 6, qui est l'abscisse du point d'intersection des deux courbes.

(6)

Détail de la construction :

Étape 1 : on place u0 sur l'axe des abscisses et on construit u1 comme image de u0 car u1=f (u0)

Étape 2 : On ramène u1 sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite rouge puisque sur cette droite : y=x (donc le point de cette droite dont l'ordonnée est u1 a également son abscisse égale à u1

Étape 3 : On construit u2 en cherchant l'image de u1 par

f car on sait que u2=f(u1)

Étape 4 : On "ramène" u2 sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite rouge.

Étape 5 : On contruit u3 en cherchant l'image de u2 par

f car on sait que u3=f(u2)

Étape 6 : On "ramène" u3 sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite rouge.

On poursuit ainsi jusqu'à avoir le nombre de termes désiré.

(7)

Méthode 3 : Détermination de la limite d'une suite définie par une formule de récurrence.

Dans l'émoncé, on a admis que la suite

(

un

)

converge vers un réel l∈[−3;+∞[ Comme ∀n∈ℕ un+1=f(un)

on peut écrire que lim

n→+∞

un+1=lim

n→+∞

f

(

un

)

or f étant une fonction continue sur [−3;+∞[ d'après le théorème : lim

n→+∞

f(un)=f

(

nlim→+∞

(

un

) )

=f (l)

de plus lim

n→+∞

un+1=l puisque

(

un

)

converge vers l On peut donc en conclure que l=f (l)

On cherche donc à résoudre l'équation : l= f(l) sur [0;+∞[ car l≥0 puisque f est

positive sur [−3;+∞[ l= f(l)

l=2

l+3

l

2=

l+3

(

2l

)

2=l+3

l2 4=l+3

l2

4−l−3=0 cette équation est du second degré avec a=1

4 , b=−1 et c=−3

Δ = b24a c = (−1)24

(

14

)

(−3) = 4

Δ>0 donc cette équation peut admettre deux solutions distinctes : l1=−b –Δ

2a =−(−1)

4 21

4

=−2 et l2=−b –Δ

2a =−(−1)+

4 21

4

=6

Solution impossible puisque l≥0

donc l'unique solution de cette équation est 6 donc l=6

donc la suite

(

un

)

converge vers 6

(8)

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