Introduction. Daniel PERRIN

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A propos de d´ ` efinitions

Daniel PERRIN

Introduction

Ce texte est une r´eponse `a une interrogation de Claire Lomm´e qui r´eagit dans son blog `a la d´efinition des triangles isom´etriques donn´ee dans la bro- chure num´ero 100 de l’IREM de Paris (Enseigner la g´eom´etrie au cycle 4) :

http://docs.irem.univ-paris-diderot.fr/up/publications/IPS20011.

pdf

Voici l’extrait de la brochure qui pose probl`eme (p.15) :

On peut aussi d´efinir des triangles ´egaux comme des triangles qui ont leurs cˆot´es et leurs angles deux `a deux ´egaux. Les cas d’´egalit´e apparaissent alors comme des th´eor`emes permettant de conclure que les triangles sont ´egaux avec seulement trois des ´egalit´es sur les six (et d’en d´eduire les autres). Mais ce qu’il faut selon nous absolument ´eviter, c’est de d´efinir (comme le font certains manuels) des triangles ´egaux comme des triangles ayant leurs cˆot´es deux `a deux ´egaux. C’est en effet ne pas comprendre que les cas d’´egalit´e sont des th´eor`emes, en particulier, le cas CCC qui a comme hypoth`ese l’´egalit´e des cˆot´es et qui implique que les triangles sont ´egaux, donc qu’ils ont aussi les mˆemes angles. Ce choix, contrairement `a ce qu’on pourrait penser, ne permet pas de diminuer le nombre de th´eor`emes `a m´emoriser puisqu’on aurait alors besoin d’un autre th´eor`eme : Si deux triangles sont isom´etriques, leurs angles homologues sont deux `a deux ´egaux. On notera que les manuels qui utilisent cette d´efinition sont aussi souvent ceux qui ne proposent aucun exercice utili- sant les cas d’isom´etrie, leurs auteurs n’ayant sans doute pas compris `a quoi ils pouvaient servir.

Et voici l’objection de Claire Lomm´e :

Cela dit, la question de la d´efinition me taraude ; je voudrais avoir l’avis des auteurs sur la question suivante : ne vaut-il pas mieux, dans l’esprit, poser une d´efinition minimale et apporter des th´eor`emes pour compl´eter ? Je com- prends la volont´e de r´eduire la quantit´e d’outils `a m´emoriser, mais proposer une d´efinition qui en fait contient ce que j’envisage comme des redondances me gˆene. Mais peut-ˆetre n’ai-je justement pas compris quelque chose !

Dans ce qui suit je vais tenter d’expliciter ma position sur ce sujet, `a la

dans le cas particulier des triangles isom´etriques.

1 Le choix des d´ efinitions

Il faut bien avoir en tˆete qu’il s’agit en g´en´eral d’une question qui est autant philosophique que math´ematique. En principe, en math´ematiques, on peut donner la d´efinition que l’on veut d’un objet¹, pourvu qu’ensuite on veille `a la coh´erence dans les th´eor`emes qui en d´ecoulent. Il y a toutefois quelques b´emols `a mettre `a cette libert´e :

•Il y a des contraintes sociales. On ne peut pas d´efinir une notion d’une mani`ere totalement diff´erente de l’ensemble de la communaut´e. Par exemple s’il me prenait l’id´ee de dire qu’un nombre premier est un nombre qui n’est pas divisible par 2 (et seulement par 2), mˆeme si l’on ne peut rien reprocher

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a cette d´efinition, elle est en contradiction avec tous les usages et toutes les habitudes et serait aussitˆot rejet´ee par tous.

• Plus s´erieusement, il faut, pour choisir une d´efinition parmi plusieurs, analyser `a quoi sert cette d´efinition et choisir celle qui sera la plus commode et la plus efficace ensuite². C’est ce que je discute ci-dessous. On verra que la r´eponse n’est pas ´evidente.

1.1 Donner une d´ efinition “maximale”

1.1.1 Bourbaki

La tendance des math´ematiciens, repr´esent´ee notamment, de mani`ere extrˆeme, par Bourbaki, est de donner une d´efinition d’un objet, disons unta- raboutzimpour plagier Lebesgue, qui en contienne les principales propri´et´es<sup>3</sup>. Cela peut se faire en donnant un th´eor`eme qui liste des propri´et´es ´equivalentes et en disant ensuite qu’un objet est un taraboutzim s’il v´erifie l’une de ces propri´et´es. Voici un exemple extrait du chapitre 1 de Topologie de Bourbaki (§8, prop. 1) :

1. Et le baptiser comme bon nous semble : Hilbert ´evoque la possibilit´e de dire, au lieu de droites et points, tables et chopes de bi`ere.

2. Par exemple, selon ce que l’on vise, on peut donner une d´efinition de parall´elogramme avec les cˆot´es parall`eles ou avec la sym´etrie centrale. Voir sur ce sujet la brochure, p. 209- 210.

3. On ne peut pas esp´erer les donner toutes. Par exemple, s’agissant des triangles

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egaux, outre l’´egalit´e des longueurs et des angles on pourrait ajouter celle des aires, des p´erim`etres, des hauteurs, des m´edianes, que sais-je encore. Il faut ´evidemment faire des choix.

1.1 Proposition. Soit X un espace topologique. Les propositions suivantes sont ´equivalentes :

(H) Quels que soient les points distincts x, y de X, il existe un voisinage de x et un voisinage de y sans point commun.

(H⁰)L’intersection des voisinages ferm´es d’un point quelconque deX est l’ensemble r´eduit `a ce point.

(H⁰⁰) La diagonale ∆de l’espace produit X×X est un ensemble ferm´e.

(H⁰⁰⁰) Pour tout ensemble I, la diagonale ∆ de l’espace produit Y = X^I est ferm´ee dans Y.

(H^iv) Un filtre surX ne peut avoir plus d’un point limite.

(H^v) Si un filtre F sur X admet un point limite x, x est le seul point adh´erent `a F.

Vient ensuite la d´efinition :

1.2 D´efinition. On dit qu’un espace topologique X qui v´erifie les conditions de la prop. 1.1 est un espace s´epar´e.

1.1.2 Au coll`ege

Bien entendu, cet exemple est caricatural et il ne s’agit pas de donner ce type de d´efinition au coll`ege<sup>4</sup>. Cependant, peut-ˆetre inconsciemment, on donne souvent, mˆeme `a ce niveau, des d´efinitions redondantes. Voici quelques exemples, tir´es de manuels :

• Deux droites sont perpendiculaires si elles d´eterminent quatre angles droits (alors qu’un est suffisant).

• Un rectangle est un quadrilat`ere qui a quatre angles droits (trois suf- fisent).

•Un carr´e est un quadrilat`ere qui a ses quatre cˆot´es ´egaux et ses quatre angles droits (avec les cˆot´es ´egaux un seul angle droit suffit).

Il y a sans doute bien d’autres exemples.

1.2 Explication

La qualit´e d’une d´efinition peut ˆetre rapproch´ee de la langue d’Esope : elle peut ˆetre `a la fois la meilleure et la pire des choses et l’on est toujours face `a un cruel dilemme :

4. En revanche je pense que, mˆeme au coll`ege, il est essentiel de donner des d´efinitions et de bien distinguer entre une d´efinition, un axiome et un th´eor`eme. Je pense aussi que, lorsqu’on donne une d´efinition, mˆeme au coll`ege, il faut qu’elle soit coh´erente. J’ai dans le collimateur la d´efinition du cosinus d’un angle qu’on trouve dans certains manuels comme rapport entre le cot´e adjacent et l’hypot´enuse dans un triangle rectangle, sans se

•Ou bien on donne une d´efinition detaraboutzimun peu maximale, c’est-

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a-dire contenant toutes⁵ les propri´et´es dont on aura besoin ensuite. Dans ce cas, lorsqu’on est en pr´esence d’un taraboutzim, on dispose de toutes les propri´et´es en question et on peut les appliquer aussitˆot. En contrepartie, pour prouver qu’un objet est un taraboutzim, il y a plus de travail et il faut avoir

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a sa disposition des th´eor`emes affirmant que la propri´et´e peut ˆetre obtenue

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a moindres frais.

• Ou bien au contraire on en donne une d´efinition minimale. Cette fois, ce sera plus facile de montrer qu’un objet est un taraboutzim, mais ensuite plus difficile de l’utiliser et il faudra avoir `a sa disposition des th´eor`emes qui donnent les autres propri´et´es.

Les math´ematiciens, `a l’instar de Bourbaki, sont en g´en´eral en faveur de la premi`ere option. Ce qui sous-tend leur position est l’id´ee qu’une d´efinition est faite pour ˆetre utilis´ee directement et donc qu’elle doit contenir toutes les informations utiles. Maintenant, il est clair qu’on peut d´efendre l’une ou l’autre des positions en restant coh´erent et logique et que le choix n’est pas

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evident.

Un exemple auquel j’ai moi-mˆeme ´et´e confront´e est celui de la d´efinition axiomatique de l’aire telle que je la donne dans Math´ematiques d’´ecole⁶. Il est clair qu’il faut supposer que l’aire est additive et invariante par isom´etrie, mais la question non ´evidente est celle de l’homog´en´eit´e, c’est-`a-dire le com- portement par homoth´etie (les aires sont multipli´ees par le carr´e du rapport d’homoth´etie). Finalement, bien que cette propri´et´e d´ecoule des autres, j’ai choisi de la mettre quand mˆeme dans la d´efinition de fa¸con `a avoir tout de suite les aires du carr´e, du rectangle, etc., mais j’ai beaucoup h´esit´e, notam- ment `a cause de la g´en´eralisation au cas des volumes o`u les choses sont plus d´elicates.

1.3 D’autres exemples

A un niveau plus ´` elev´e, disons `a l’universit´e, la pratique qui consiste `a donner des propri´et´es ´equivalentes pour d´efinir une notion est courante. En voici quelques exemples :

• On dit qu’une matrice B est l’inverse d’une matrice carr´ee A si l’on a AB =BA =I. Bien entendu, il suffit que l’on aitAB=I, mais pour utiliser cette notion, c’est plus simple de savoir que l’inverse marche des deux cˆot´es.

Le fait qu’il suffise d’avoir AB = I est un th´eor`eme que l’on peut mettre

5. Comme on l’a dit, cela ne peut jamais ˆetre vraiment le cas, mais on peut aller dans cette direction.

6. 2011, Cassini ´editeur.

avant la d´efinition, `a la mani`ere de Bourbaki. En tous cas l’utilisateur doit avoir absolument avoir les deux choses `a la fois en tˆete.

• Un isomorphisme de groupes f : G → H est un homomorphisme tel qu’il existe un homomorphisme g : H → G tel que f ◦ g et g ◦f soient l’identit´e de H et de G. L`a encore, il y a un th´eor`eme qui assure qu’il suffit que f soit un homomorphisme bijectif.

Ici, il y a derri`ere une id´ee plus g´en´erale qui est celle d’isomorphisme dans une cat´egorie o`u la notion est celle d’un morphisme admettant un inverse.

Bien entendu dans le cas des groupes un homomorphisme bijectif est un isomorphisme, mais dans le cas des applications continues (par exemple) ce n’est plus vrai : sifest continue bijective son inverse n’est pas n´ecessairement continue. C’est un autre point important pour les math´ematiciens dans le choix d’une d´efinition : la possibilit´e de la g´en´eralisation.

•Voici un exemple plus ´el´ementaire. Comment d´efinir un polygone (convexe) r´egulier ? Traditionnellement, on va demander que ses cˆot´es et ses angles soient ´egaux. Mais il y a deux autres propri´et´es qui sont absolument essen- tielles `a l’usage : le fait que les sommets soient sur un mˆeme cercle et l’´egalit´e des angles au centre, voire l’existence d’une rotation qui conserve le polygone.

En ce sens, il peut ˆetre int´eressant de donner une d´efinition `a la Bourbaki avec une liste de propri´et´es ´equivalentes, par exemple :

1) Les cˆot´es sont ´egaux et les angles sont ´egaux.

2) Les cˆot´es sont ´egaux et les sommets sont cocycliques.

3) Les sommets sont cocycliques et les angles au centre sont ´egaux.

•Passons aux poly`edres r´eguliers. La d´efinition de Berger, que je reprends dans :

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Sevres/polyedres.

pdf

consiste `a dire qu’un poly`edre convexe est r´egulier si son groupe d’isom´etries est transitif sur les drapeaux sommet-arˆete-face. C’est une d´efinition savante, mais tr`es efficace. On a l`a un tr`es bel exemple du paradoxe d’Esope : la d´efinition est tr`es commode `a utiliser mais il n’est pas facile de montrer qu’un poly`edre est r´egulier avec cette d´efinition. On doit donc chercher une caract´erisation plus commode et la plus simple est de demander que les faces soient des polygones r´eguliers avec toutes le mˆeme nombre de sommets et qu’il y ait le mˆeme nombre de faces en chaque sommet. Effectivement, c’est simple, mais, attention, la preuve de l’´equivalence est tout sauf triviale. Si l’on donne cette d´efinition l`a, on aura beaucoup plus de mal `a montrer les propri´et´es relatives au groupe d’isom´etries du poly`edre : il n’y a pas de miracle, il faut travailler un jour ou l’autre.

1.4 Conclusion

Je pourrais sans peine multiplier les exemples, mais, finalement, qu’est ce que je veux dire avec tout ¸ca ? En v´erit´e, une seule chose : je reprends la phrase du blog, ind´ependamment du cas particulier des triangles isom´etriques,pro- poser une d´efinition qui en fait contient ce que j’envisage comme des redon- dances me gˆeneet je pose la question : finalement, est-ce vraiment gˆenant ?

2 Le cas des triangles isom´ etriques

Bien sˆur, les arguments ci-dessus peuvent s’appliquer `a la d´efinition des triangles isom´etriques, pour pr´ef´erer une d´efinition avec `a la fois les cˆot´es et les angles, mais, dans ce cas, il y une raison plus importante qui tient au lien de cette notion avec la notion de groupe et de transitivit´e et dont la cons´equence est que les trois cas d’´egalit´e doivent jouer des rˆoles simi- laires. C’est cela le point essentiel et le d´efaut, r´edhibitoire `a mes yeux, de la d´efinition avec les seuls cˆot´es.

Les id´ees qui suivent sont d´evelopp´ees dans la brochure 100, mais peut- ˆ

etre un peu ´eparpill´ees. Voir aussi, sur ma page web :

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Livregeometrie/

DPPostface.pdf

ou encore https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/

SurGeometrie/CorfemDP.pdf

2.1 La pr´ esence d’un groupe : version savante

Si l’on suit la th`ese de Klein dans son fameux programme d’Erlangen, une g´eom´etrie c’est un groupe qui op`ere sur un ensemble et c’est vrai en particulier en ce qui concerne la g´eom´etrie euclidienne, l’ensemble ´etant le plan et le groupe celui des isom´etries euclidiennes, voire celui des similitudes. Avec cet arri`ere-plan, il n’y a aucun doute sur la d´efinition des triangles isom´etriques : deux triangles sont dits isom´etriques ... s’ils sont isom´etriques, c’est-`a-dire s’il existe une isom´etrie qui envoie l’un sur l’autre. Dans ce cas, leurs cˆot´es et leurs angles sont ´egaux et la question fondamentale, celle qui justifie l’existence des cas d’´egalit´e comme th´eor`emes, est celle de la transitivit´e : `a quelles conditions existe-t-il une isom´etrie qui envoie un triangle sur un autre ? La r´eponse est triple : il suffit que deux cˆot´es et un angle soient ´egaux ou deux angles et un cˆot´e ou les trois cˆot´es. Avec cette approche, les trois cas d’´egalit´e remplissent la mˆeme fonction : ce sont trois crit`eres de transitivit´e du groupe des isom´etries sur l’ensemble des triangles.

Quelle est la vertu principale de ces r´esultats ? Je vais reprendre la m´eta- phore que j’utilise depuis plus de trente ans : l’int´erˆet des cas d’´egalit´e c’est de pouvoir affirmer l’existence d’une isom´etrie qui envoie un triangle sur un autre sans ˆetre oblig´e de l’expliciter, dans la lign´ee du fameux mot de Pierre Dacq et Francis Blanche : il peut le faire.

Tout cela est parfaitement clair, mais il y a deux objections essentielles par rapport `a l’enseignement au coll`ege :

• On ne peut pas utiliser cette version en d´ebut de coll`ege car on ne connaˆıt pas les transformations.

• De toutes fa¸cons, cette entr´ee par les transformations n’est pas la plus efficace `a ce niveau (la brochure 100 a pour but principal d’´etablir cela).

Alors ?

2.2 La pr´ esence d’un groupe : le ver est dans le fruit

En fait, contrairement `a ce qu’on pourrait croire, la pr´esence d’un groupe de transformations dans la g´eom´etrie n’est pas si ´eloign´ee de l’intuition, mˆeme d`es le d´ebut. Revenons aux sources.

Une notion essentielle en g´eom´etrie⁷ est celle de longueur. Que signifie le fait que deux segments soient de mˆeme longueur ? Si l’on se pose la question au fond et si l’on r´efl´echit `a l’aspect pratique de la chose, on voit surgir une question typique : comment fait-on pour savoir si deux personnes sont de mˆeme taille ou si l’une est plus petite que l’autre ? comment voir si un objet tient sur telle ou telle ´etag`ere ?

La r´eponse pratique est simple : on d´eplace les gens ou les objets et on les am`ene l’un `a cˆot´e de l’autre⁸. Mais ce faisant, que fait-on ? On utilise l’existence d’un groupe⁹ de d´eplacements qui permet de comparer les objets.

L’id´ee qui pr´eside `a tout cela estl’homog´en´eit´edu plan : le plan est le mˆeme quel que soit l’endroit o`u l’on se place. Cette propri´et´e est caract´eristique de toutes les g´eom´etries, en tous cas de toutes celles qui rel`event de la description de Klein.

Je travaille depuis longtemps sur un texte (que j’ai promis pour 2050 !) qui donne un syst`eme d’axiomes fond´e sur cette id´ee en formalisant l’homog´en´eit´e du plan par la pr´esence d’un groupe transitif sur les drapeaux (point, demi- droite, demi-plan) afin de rendre correcte la preuve d’Euclide du premier cas d’´egalit´e des triangles, voir l’annexe 1 de la brochure pour en avoir un aper¸cu.

7. Voir le suffixe m´etrie.

8. Ce n’est qu’ensuite, quand la manœuvre est irr´ealisable, qu’on en vient `a utiliser des interm´ediaires, donc `a mesurer.

9. Groupe parce qu’on peut enchaˆıner les mouvements et revenir en arri`ere.

Le principe de cet axiome c’est qu’on ne dit pas quels sont les ´el´ements de ce groupe¹⁰ mais seulement qu’il r´ealise l’homog´en´eit´e : les points, les demi- droites, les demi-plans sont tous les mˆemes o`u qu’ils se situent.

2.3 La pr´ esence d’un groupe : et au coll` ege ?

Ce que je viens de dire est l’arri`ere-plan de ce que je propose de faire au coll`ege, mais, dans la pratique, que dit-on ? Je propose d’expliquer, avec les mots des coll´egiens, ce que je viens de dire : le propre de la g´eom´etrie c’est qu’on peut d´eplacer des figures, sans les d´eformer. Cela permet de donner un sens intuitif au mot figures superposables et des triangles ´egaux sont simplement des triangles superposables. Alors, bien entendu, cette d´efinition est trop vague, mais elle a l’avantage d’ˆetre facile `a comprendre et `a illustrer et elle peut ˆetre formalis´ee.

Si l’on part de cette d´efinition de triangles ´egaux comme superposables, il est clair que les trois cas d’´egalit´e sont `a traiter sur le mˆeme plan : ils donnent chacun trois conditions pour que deux triangles soient superposables.

A partir de cette id´` ee on peut justifier les cas d’´egalit´e comme le faisait Euclide. C’est la m´ethode qu’on utilisait quand j’´etais coll´egien. Elle n’est pas formellement rigoureuse, mais elle est sacr´ement convaincante.

Comme on l’a dit, l’int´erˆet de ces cas d’´egalit´e, c’est qu’apr`es avoir utilis´e trois ´egalit´es de cˆot´es ou d’angles pour montrer que les triangles sont ´egaux on en d´eduit les ´egalit´es des autres ´el´ements : toute la g´eom´etrie peut se faire ainsi.

2.4 Dans la brochure

Pour revenir `a la brochure, avant la phrase cit´ee dans le blog, il y en a une autre qui reprend cette probl´ematique :

On peut d´efinir les triangles superposables comme deux triangles obtenus l’un `a partir de l’autre par glissement ou retournement. Ces mots n’ayant pas ´et´e d´efinis pr´ecis´ement, cette d´efinition est impr´ecise, mais elle peut ˆetre formalis´ee. Dans cette hypoth`ese, les cas d’´egalit´e donnent des crit`eres qui permettent d’´eviter de faire explicitement l’op´eration et c’est leur principal int´erˆet.

On peut aussi d´efinir des triangles ´egaux comme des triangles qui ont leurs cˆot´es et leurs angles deux `a deux ´egaux. ...

Si on lit un peu entre les lignes, on voit bien que cette d´efinition avec trois cˆot´es et trois angles n’est en r´ealit´e qu’un pis-aller, `a d´efaut de pouvoir

10. Mais bien sˆur ce seront celles qu’on attend : translations, rotations, sym´etries.

formaliser une d´efinition de superposables, mais comme il est dit ensuite, c’est quand mˆeme mieux que la d´efinition avec les trois cˆot´es o`u l’on ne comprend plus rien aux objectifs

2.5 Conclusion

Pour r´esumer ma position sur le sujet, je pense qu’on ne peut pas percevoir l’int´erˆet des triangles ´egaux si l’on ne comprend pas deux choses :

•les cas d’´egalit´e sont des crit`eres de transitivit´e : on peut d´eplacer un triangle pour l’amener sur un autre pourvu qu’on ait trois ´egalit´es conve- nables des invariants cˆot´es ou angles,

• ce sont des outils pour faire de la g´eom´etrie, la strat´egie ´etant de montrer l’´egalit´e de triangles `a partir de certains ´el´ements pour en d´eduire l’´egalit´e des autres.

Ce n’est pas un hasard si les manuels qui se contentent de la d´efinition avec les cˆot´es ´egaux ne proposent ensuite aucune application de cette notion, je pense que leurs auteurs (qui ont certainement ´et´e form´es `a une ´epoque o`u ces concepts ´etaient absents des programmes) n’ont pas vraiment compris quel pouvait ˆetre leur int´erˆet.