15/12/201533

Exemple 5. Un réservoir cylindrique de rayon intérieur R_i=1m et d’épaisseur e=4cm, est soumis à une pression interne p (figure ci-dessous). Le dimensionnement devra assurer à la fois un comportement élastique du réservoir et une résistance à la propagation brutale d’une éventuelle fissure; on prendra comme coefficient de sécurité C_s=2.

Exemple 6. Le cylindre précédent est fabriqué avec l’acier 4340, dont la courbe de Wöhler pour amorcer une fissure de fatigue a_i=0,5mm au bout de N_acycles (à un rapport de charge R=0) est donnée par :

10 2

10 0, 5 1, 5

FC

da K mm a mm

dn

 −

= ∆ < <



13 4

10

FL

da K

dn

 −

= ∆



Concepts fondamentaux de la mécanique de la rupture

Master Matériaux-Mécanique- Structures-Procédés

Prof. Abderrahim Zeghloul, Université de Lorraine

SOMMAIRE

Chapitre 1 : Introduction

Annexe A : Equations de la MLR

Chapitre 2 : Mécanique linéaire de la rupture (MLR)

Annexe B : Equations de la MEPR Chapitre 3 : Mécanique élastoplastique

de la rupture (MEPR)

Chapitre 3. Mécanique élastoplastique de la rupture

La mécanique élastoplastique de la rupture (MEPR) s’applique au matériaux ductiles lorsque le comportement reste toutefois indépendant du temps :

- pas d’effets dynamiques ou de viscosité, - absence de fluage...

La mécanique linéaire de la rupture utilise deux paramètres équivalents, le FIC K et l’énergie de Griffith G, comme critères de rupture.

La MEPR utilise aussi deux paramètres :

- le déplacement à fond de fissure ou CTOD (Crack Tip Opening Displacement)

- et l’intégrale de contour notée J.

Ces deux paramètres, CTOD et intégrale J, sont équivalents entre eux.

Ecartement à fond de fissure

La MLR a montré dès les années 60 ses limites pour caractériser la ténacité de certains aciers de structures. Les paramètres FIC K et énergie de Griffith G n’étaient pas applicables à cette classe de matériaux très ductiles.

Wells qui a réalisé beaucoup d’essais expérimentaux pour déterminer la ténacité de ces aciers s’est rendu compte que le paramètre caractéristique était l’écartement à fond de fissure.

CTOD

Wells observa que l’émoussement de l’extrémité des fissures augmentait avec la ténacité des matériaux. Cela l’a conduit à proposer l’écartement à fond de fissure (CTOD) comme une mesure de la ténacité des aciers testés.

Wells essaya de relier le CTOD au FIC K en s’appuyant sur l’analyse d’Irwin pour un état de contraintes planes (CP), en régime de plasticité confinée.

1

2

2

I y

E

r K

π σ

 

=  

 

( ) 4 en CP

y I

2

u r K r

E π

=

4

2

2

_y

( )

_y ^I

E

CTOD u r K

π σ E

⇒ = =

2

4

en MLR

^I

E

K G

G CTOD

E π σ

= ⇒ = Le CTOD est calculé à la distance r_y

en amont de l’extrémité de la fissure

Le modèle de Dugdale-Barenblatt a également été utilisé par d’autres auteurs pour déterminer le CTOD. Le calcul utilise l’approche Weestergaard pour aboutir au résultat suivant :

8 ln cos 2

E

E

CTOD a

E

σ πσ

π σ

  ∞

= −   

2a 2(a+r_y)

2 2

1 1

cos 1 ln cos

2

_E

2 2

_E

2

_E

2 2

_E

πσ πσ πσ πσ

σ σ σ σ

∞ ∞  ∞  ∞

       

≈ − ⇒  ≈ −

        

        

( )

²

2 2

8 1

2 2

E I

E E E E

a a K G

CTOD E E E

σ πσ π σ

π σ σ σ σ

∞ ∞

 

⇒ =   = = =

 

4

2

4

IRWIN I

E E

K G

CTOD

⁼

π σ E

⁼

π σ

2

DB I

E E

K G

CTOD

⁼

σ E

⁼

σ

2 I

E E

K G

CTOD

⁼

m σ E

⁼

m σ

4 /π=1,27

1 en CP Relation plus générale avec

2 en DP m

m

≈



≈



Plusieurs définitions ont été proposées pour le CTOD. Les plus utilisées sont :

Mesure expérimentale du Mesure expérimentale du Mesure expérimentale du Mesure expérimentale du

CTOD CTOD CTOD CTOD

Le CTOD est une grandeur locale difficilement accessible directement.

La plupart des mesures en laboratoire utilisent des éprouvettes de flexion trois points.

Le modèle à centre de rotation fixe a été amélioré pour tenir compte du déplacement élastique qui précède l’émoussement de l’extrémité de la fissure. Les procédures standards de détermination du CTOD séparent les déplacements élastique et plastique.

2

( )

( )

I p

el pl p

E p

r L a

K V

m E r L a a δ δ δ

σ

= + = + −

− +

Le facteur de rotation plastique r

_p

est pris égal à 0,44 dans les procédures standards de mesure du CTOD.

Enregistrement type de la charge en fonction de l’ouverture de la fissure

Intégrale de contour J

Définition

Le paramètre J est défini à partir de l’intégrale de contour suivante :

i i

J wdy T u ds

Γ

x

∂

 

= ∫   − ∂  

Où Γ est un contour d’intégration entourant l’extrémité de la fissure, ds l’élément de longueur sur Γ, T

_i

et u

_i

les composantes du vecteur contrainte et du vecteur déplacement en un point de Γ, w la densité d’énergie définie par :

w = ∫

^εij

σ ε d

Rice a montré que l’intégrale J ne dépend pas du contour d’intégration. Pour démontrer cette indépendance, il évalue l’intégrale J le long d’un contourΓ* fermé.

*

*

_i

u

ⁱ

J wdy T ds

Γ

x

∂

 

=  − 

∂

 

∫

Rice utilise ensuite le théorème de Stokes (formule de Green) pour transformer l’intégrale de contour en intégrale de surface :

*

*

_ij ⁱ

A j

w u

J dxdy

x x σ x

 ∂ ∂  ∂  

= ∫    ∂ − ∂   ∂     

1 2

ij ij i j

ij ij

ij j i

u u

w w

x x x x x x x

ε ε

σ σ

ε

   

∂ ∂ ∂  ∂ 

∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ =    ∂ ∂ ∂       + ∂ ∂   ∂     

Comme

_{ij ji ij} ⁱ

j

u w

x x x

σ = σ ⇒ ^∂ ∂ = σ ∂ ^{∂ }   ^∂ ∂ ^  

En tenant compte de l'équation d'équilibre

^ij

0 x

j

σ

∂ =

∂

Considérons maintenant deux contoursΓ1etΓ2autour de l’extrémité d’une fissure (figure ci-dessous). On obtient un contour fermé en reliant les deux contoursΓ₁et Γ₂ par des segmentsΓ3etΓ4le long des lèvres de la fissure. Dans ces conditions, on peut appliquer le résultat précédent au contour ferméΓ=Γ1+Γ2+Γ3+Γ4.

J '

₂

= − J

₂

décrite dans le même sens que J

₁

Intégrale indépendante du contour

d' intégration autour de l' extrémité de la fissure

⇒ J

L’intégrale de contour J, appelée aussi taux de restitution d’énergie, est utilisée comme paramètre caractéristique de l’état de contrainte au voisinage de l’extrémité d’une fissure.

Ce paramètre proposé par Rice assimile le comportement élastoplastique à un comportement élastique non linéaire.

Utilisation de l’intégrale J

L’analyse de Rice qui suppose un comportement élastique non linéaire, n’est donc valable qu’en l’absence de décharges élastiques.

Rice a appliqué la théorie de la déformation pour analyser un solide fissuré. Il a démontré que le taux de restitution d’énergie, peut être déterminé à partir d’une intégrale de contour notée J.

La théorie de la déformation en plasticité qui propose une relation unique entre les déformations totales et les contraintes dans un matériau, est équivalente à la plasticité non linéaire.

Hutchinson, Rice et Rosengren ont ensuite montré que ce paramètre J caractérise de façon unique les champs de contraintes et de déformations au voisinage de l’extrémité d’une fissure, appelés champs HRR.

L’intégrale J peut ainsi être considérée à la fois comme paramètre d’énergie et paramètre d’intensification des contraintes.

L’utilisation de l’intégrale J pose problème lorsqu’on est en présence de décharges élastiques.

J - taux de restitution d’énergie

L’énergie potentielle est donnée :

dE da

dw

dadA T du da ds

P A

i

=

z

−

z

i

' Γ'

d da a

x

a x a x

= ∂∂ + ∂

∂

∂

∂ = ∂

∂ − ∂

∂

dE da

w a

w

x dA T u a

u x ds

P A

i

i i

= ∂

∂ − ∂

∂

F HG I

KJ ⁻ F ^∂ _∂ ^{− ∂} _∂

HG I

z z KJ

' Γ'

avec ∂

∂ = ∂

∂

∂

∂ = ∂

∂

∂

∂

F HG I

w

KJ

a w

a x

u

ij a

ij ij

j i

εεεε

εεεε σσσσ

∂

∂ = ∂

∂

∂

∂

F HG I

w KJ

x x

u

ij

x

j

σσσσ

i

Et la variation de l’énergie potentielle devient alors :

' '

i P

i

A

dE u w

T ds dA

da

_Γ

x x

∂ ∂

= −

∂ ∂

∫ ∫

ΓΓΓΓ’

A’

a

x

y Ti

σσσσ

ij j

i A

i i

x u

a dA T u a ds

∂

∂

∂

∂

F HG I

KJ ^{= ∂} _∂

z z

' Γ'

Le principe des travaux virtuels permet d’écrire :

' théorème

deSTOKES _{P i}

i x

u

dE T wn ds

da

_Γ

x

∂

 

→ = _ − _

∂

 

∫

Comme n

_x

ds=dy

^fi

J dE

da wdy T u

x ds

P

i

= − = − ∂

i

∂

F HG I

z KJ

Γ'

J – Paramètre d’intensification des contraintes

Zones de grandes déformations à l’extrémité d’une fissure

La singularité HRR présente la même anomalie que la singularité de la MLR : les contraintes deviennent infinies lorsque rØ0.

Le champ singulier dominant près de l’extrémité de la fissure ne persiste pas en fait lorsqu’on s’approche de la pointe de la fissure.

Les premiers calculs par éléments finis effectués par McMeking et Parks montrent la répartition suivante

Exercice - J indépendante du contour

i i

J wdy T u ds

Γ

x

∂

 

= ∫   − ∂  

1 (1 ) 2 en DP on a : 1 (1 )

2 1 2

x x y

y y x

xy xy

ε υ σ υσ

µ

ε υ σ υσ

µ

ε σ

µ

 =  − − 

  



 

= − −

  



=



Γ r θ

x

y ∏ M

1 2

^{ij ij}

w = σ ε

2 2 2

1 (1 )( ) 2 2

4 ^{x y x y xy}

w υ σ σ υσ σ σ

µ 

=  − + − + 

cos sin

cos sin

x x xy

y xy y

T T

σ θ σ θ

σ θ σ θ

= +

= +

cos dy r d

ds rd θ θ θ

=

= ne dépend pas de

wdy r

cos sin 1 sin

x r

dx r d

x r

θ θ θ θ θ

=

= −

∂ = − ∂

∂ ∂