Σ2\ F(L) Langages Locaux

L3 – Fondements de l’informatique (Année 2013/2014) A. Lagoutte & P. Valicov

DM FDI - Automates finis

A rendre pour le vendredi 15 novembre 2013 à 16h dans le casier de votre chargé de TD.

SoitLun langage sur un alphabetΣ. Quelques notations, oùaetbsont des lettres deΣ(non nécessairement distinctes).

prefixe :a∈ P(L) ⇔ a∈ΣetaΣ^∗∩L6=∅ suffixe :a∈ S(L) ⇔ a∈ΣetΣ^∗a∩L6=∅

facteur :ab∈ F(L) ⇔ ab∈Σ² etΣ^∗abΣ^∗∩L6=∅ non facteur :N(L) = Σ²\ F(L) Langages Locaux.

Un langageLsurΣest ditlocalsiL\ {}= (P(L)Σ^∗∩Σ^∗S(L))\Σ^∗N(L)Σ^∗. 1. Montrer que tout langage local est rationnel.

2. (abc)^∗ est-il local ? eta^∗ba?

3. Les langages locaux sont-ils stables par union ? par concaténation ?

Un morphisme strictement alphabétique est une applicationϕ:X^∗ →Y^∗telle que – ϕ(uv) =ϕ(u)ϕ(v)

– pour touta∈Σ,|ϕ(a)|= 1

4. Montrer que tout langage rationnelL est l’image d’un langage local par un morphisme strictement alphabétique. (indication : on pourra utiliser un AFD ou un AFND qui recon- naitLet utiliser l’alphabetQ×Σ×Q)

Automates locaux.

Un AFDA= (Q, i, F, δ)est ditlocalsi∀a,∃qtq∀q⁰, δ(q⁰, a) =qou est indéfini¹.

5. Montrer que tout langage local sur un alphabetΣest reconnu par un automate local stan- dard, dont l’ensemble des états estΣ∪ {}.

6. Réciproquement, montrer que tout langage reconnu par un automate local est lui-même local.

7. SoitL1etL2deux langages locaux sur des alphabetsXetY disjoints. Montrer queL1∪L₂, L₁·L₂etL^∗₁sont des langages locaux.

Algorithme de Berry-Sethi

Une expression rationnelleesur un alphabetΣest ditelinéairesi chaque lettre deΣpossède au plus une occurrence danse.

8. Comment construire très facilement un alphabetΣ⁰et un morphisme alphabétique ϕ: Σ⁰∪ {(,),+,∗} →Σ∪ {(,),+,∗}avecϕ(+) = +,ϕ(∗) = ∗,ϕ(() = (etϕ()) = )tel que pour toute expression rationnellee, il existe une expression rationnelle linéaire e⁰ surΣ⁰ vérifiantϕ(e⁰) =e.

9. Soiteune expression rationnelle linéaire. Montrer queL(e)est un langage local.

10. Que pensez-vous de la réciproque : sieest une expression rationnelle etL(e)est un lan- gage local alorseest linéaire ?

1. C’est à dire que les transitions étiquetées par une lettreadonnée arrivent toutes dans un même état, qui ne dépend donc que dea.

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11. Définir par induction structurelle : – λ:e7→ {} ∩L(e)

– P :e7→ P(L(e)) – S :e7→ S(L(e)) – F :e7→ F(L(e))

Voici l’algorithme de Berry-Sethi qui permet d’associer à une expression rationnelleeun auto- mate fini reconnaissantL(e):

(a) Construire une version linéairee⁰dee, en mémorisant l’encodage alphabétique ; (b) ConstruireP(e⁰),S(e⁰)etF(e⁰);

(c) Construire un AFDA⁰ reconnaissantL(e⁰);

(d) Décoder les étiquettes des transitions deA⁰pour obtenir un AFD reconnaissantL(e).

12. Appliquer Berry-Sethi à((ab(ac)^∗+ca)^∗b)^∗.

Voici la phrase qui conclut l’article²dont est tiré le DM de taupe dont est tiré ce DM :

"Berry and Sethi have given an unusual proof of a well-known result, namely that every ratio- nal language is the homomorphic image of a local language."

2. cosigné par Jean BERSTELet Jean-Éric PIN

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