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ALGÉRIE ÉQUIPEMENT

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Academic year: 2022

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ALGÉRIE

ÉQUIPEMENT

Revue scientifique éditée par l’Ecole Nationale Supérieure des Travaux Publics Francis Jeanson

Depuis 1991

Directeur de la publication : Pr. MEKIDECHE-CHAFA Fawzia, Directrice de l’ENSTP Rédacteur en chef : GUETTACHE Brahim

Adresse de la direction de la publication :

1, Rue Sidi Garidi, Kouba (16051), Alger, Algérie Web : www.enstp.edu.dz

ISSN : 1111-5211

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Francis Jeanson

Algérie

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BRANCI Taïeb, YAHMI Djamal, BOUYAKOUB Samira

ANALYSE STATIQUE NON LINÉAIRE D’OSSATURES MÉTALLIQUES

CONTREVENTÉES PAR PALÉES EN X………..…01

FEDGHOUCHE Ferhat

OPTIMUM COST DESIGN OF WOOD BEAMS ACCORDING TO EUROCODE5-EC5....08

HEBHOUB Houria, KHERRAF Leila, MOUATS Wassila, ABDELOUAHED Assia, BOUGHAMSA Wassila

EFFETS DU TAUX DE SUBSTITUTION DE 15% DE SABLE DE DÉCHETS DE

CÉRAMIQUES SUR LES PROPRIÉTÉS D’UN BÉTON HYDRAULIQUE………18

LOUZAI Amar, ABED Ahmed

INFLUENCE OF CAPACITY DESIGN METHOD IN COMPARISON WITH CONVENTIONAL DESIGN METHOD ON THE SEISMIC RESPONSE OF RC

WALLS IN DUAL STRUCTURES ………...27

LOUZAI Amar, ABED Ahmed

INFLUENCE DE LA ZONE SISMIQUE SUR LA VALEUR DU FACTEUR DE

COMPORTEMENT DE STRUCTURES EN PORTIQUES EN BÉTON ARME. …...48

ZAIDI Ali, BELLAKEHAL Hizia, KROBBA Mebarek

COMPORTEMENT À LA FLEXION DES ÉLÉMENTS EN BÉTON ARMÉ DE

BARRES EN PRF SELON LES CODES ACI, CSA ET ISIS.………..….….55

(7)

ANALYSE STATIQUE NON LINÉAIRE D’OSSATURES MÉTALLIQUES CONTREVENTÉES PAR PALÉES EN X

NON LINEAR STATIC ANALYSIS OF X-BRACED STEEL FRAMES

Réception : 01/08/2019 Acceptation : 03/11 /2019 Publication : 09/01/2020

BRANCI Taïeb1, YAHMI Djamal2, BOUYAKOUB Samira3

1Université Hassiba Benbouali de Chlef, B.P 78C, Ouled-Fares, Chlef 02180 Algérie, brancit@yahoo.fr

2Université Hassiba Benbouali de Chlef, B.P 78C, Ouled-Fares, Chlef 02180, Algérie, yahmi_djamel@hotmail.fr

3Département de Génie Civil, Université Hassiba Benbouali de Chlef, Algérie, bouyakoubsamira@outlook.com

Résumé- Comme prévue dans les dispositions des codes parasismiques, la conception sismique des structures de bâtiments réguliers est normalement basée sur la méthode statique équivalente qui tient compte du facteur de comportement q (ou R) dont le rôle est de minimiser les effets des charges latérales de conception afin de prendre en considération leur comportement non linéaire lors de puissants séismes. Le but de cet article est d’évaluer, à partir d’analyses statiques non linéaires classiques, le facteur de comportement à travers ses trois essentielles composantes sismiques, R

(rapport de sur-résistance), Rµ (rapport de ductilité) et Rρ (rapport de redondance), pour trois ossatures métalliques de bâtiments de hauteurs différentes, contreventées par palées triangulées en X, dimensionnées sur la base des dispositions des Eurocodes (EC3 et EC8). Les effets de la hauteur de l’ossature et le rapport d’élancement des palées sur le q-facteur et ses composantes, sous l’application de deux charges sismiques latérales d’allures différentes, ont été étudiés. Les résultats des analyses montrent que les variations de ces deux paramètres combinés aux charges appliquées ont des effets notables sur le facteur de comportement.

Mots - clés : Ossature, Métallique, Analyse, Non linéaire, Code.

Abstract- As provided in the provisions of seismic codes, the seismic design of the structures of the regular buildings is normally based on the equivalent static method which takes into account the behaviour factor q (ou R) whose role is to minimize the effects of the lateral design loads to account for their non-linear behaviour during severe earthquakes. The purpose of this paper is to evaluate, from non linear static analyses, the behaviour factor through its principal seismic components, R

(overstrength ratio), Rµ (ductility ratio), and Rρ (redundancy ratio), for three X-braced steel frames buildings (CBF-X) of different heights, designed in accordance with the provisions of structural Eurocodes (EC3 and EC8).The effects of the height of the frame and the braces slenderness ratio on the behavior factor and its components, under the application of two lateral seismic loads of different repartitions, have been studied. The results of analyses depict that the variations of these two parameters combined with applied loads have noticeable effects on behavior factor.

Keywords: Frame, Steel, Analyze, Non linear, Code.

1-Introduction

Les ossatures métalliques munies de palées triangulées en X sont spécifiquement conçues pour résister à la fois aux charges verticales et horizontales. Sous l’action combinée de ces deux charges, les palées sont

contraintes de résister à des forces axiales capables de générer des déformations qui peuvent dépasser leur limite élastique de résistance. Dans ces conditions, ces dernières pourraient se plastifier et dissiper ainsi de l’énergie à travers leur comportement non linéaire. Les codes sismiques prennent en compte ces déformations en réduisant le spectre

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de réponse élastique de calcul par le facteur de comportement qui dépend, selon la littérature, de plusieurs autres facteurs parmi lesquels certains ne sont pas pris en compte tel que l’élancement des palées. Le but de cette présente étude est de mener des investigations d’ordre numérique sur une série de simples ossatures métalliques en 2D, contreventées par des palées en forme de X, et dimensionnées selon les recommandations des codes Européens : Réf. [12]. Comme il a été mentionné précédemment, le choix de ce type de contreventement en X a été sélectionné à cause de sa capacité de résistance vis-à-vis des efforts de traction engendrés par les forces horizontales (vent ou séisme) permettant ainsi d’assurer la stabilité latérale de la structure dans laquelle il est incorporé. Dans cette étude, le but recherché est de pouvoir évaluer le q-facteur de ces structures à travers des analyses de type statique non linéaire sous l’effet de la variation de la hauteur de l’ossature et de l’élancement des palées sur la base de deux charges sismiques latérales réparties distinctes de forme triangulaire et rectangulaire. A titre d’indication, l’analyse statique non linéaire (ou pushover) est connue pour sa performance dans l’étude de la vulnérabilité des structures vis-à- vis des charges sismiques à travers le suivi chronologique de la formation des rotules plastiques dans la structure analysée jusqu’à son effondrement. Au total, trois ossatures régulières de 3, 6, et 9 étages avec 3 travées chacune ont été analysées et des comparaisons entre les valeurs du facteur de comportement et ses composantes, sous l’effet des deux chargements, ont été effectuées. A cause de sa relation avec les caractéristiques mécaniques des structures, telles que la ductilité et la résistance de réserve des matériaux, ainsi que son importance vis-à-vis des charges sismiques, le facteur de comportement a fait l’objet de plusieurs études par le passé : Réf. [3-11]. Les performances sismiques de différents systèmes structuraux conçus sur la base de plusieurs codes parasismiques pour résister aux charges latérales ont été largement étudiées au cours des dernières décennies. A la lumière de ces investigations, il a été constaté que la répartition des charges latérales utilisée par les dispositions réglementaires en matière de conception parasismique ne conduit pas toujours à une répartition régulière de la demande de ductilité et des dommages dans les éléments de la

structure. Par conséquent, l’utilisation de tels modèles de charges latérales ne garantit pas la répartition optimale des matériaux dans toute la structure durant son comportement non linéaire.

Dans ce cas de figure, l’utilisation de méthodes plus performantes telles que l’analyse statique non linéaire en poussée progressive (analyse pushover) ou l’analyse dynamique totalement non linéaire nécessitant une intégration pas à pas, pourraient obtenir une prévision plus précise du comportement structurel sous chargement sismique.

2- Dispositions réglementaires de l’EC8 vis-à-vis des structures contreventées par des palées en X

Selon l’EC8, les systèmes contreventés par palées triangulées en X résistent aux charges latérales grâce aux palées par lesquelles une grande partie de l’énergie est dissipée tandis que les autres éléments (poteaux et poutres) restent dans le domaine élastique.

L’énergie est dissipée par déformation axiale sous la forme de traction et compression des palées. D’après l’EC8, le rapport d’élancement λ des palées doit être compris entre 1.3 et 2.0.

Cette dernière valeur est imposée pour prévenir toute déformation due au flambement des palées qui pourrait endommager les joints. Dans ce cas, le degré d’élancement dans une palée est exprimé sous la forme de « rapport d’élancement », défini comme suit :

(1) où l, r, fy et E désignent respectivement la longueur de flambement, le rayon de giration de la section transversale, la résistance limite élastique et le module de Young de la palée.

Dans cette étude, pour chaque structure trois valeurs de λi ont été retenues (1.93, 1.56 et 1.30) correspondant chacune à celui de l’étage situé à mi-hauteur de chaque structure. Par ailleurs, la résistance de réserve Ωi d’un élément de palée est supposée égale au rapport de la résistance plastique de conception de la palée i (Npi) à la force axiale de conception de la palée i (Ndi) et en plus ΩiMax ne doit pas dépasser ΩiMin au plus de 25%. L’EC8 classe les CBF-X en deux catégories d’après l’importance

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de la ductilité : (1) structure à comportement dissipatif bas (DCL) où q-facteur = 1.5, (2) structure à comportement dissipatif qui est divisé en deux catégories dénommées respectivement ductilité de classe moyenne (DCM) et ductilité de classe élevée (DCH) dans lesquelles la valeur du q-facteur varie selon la catégorie. Dans l’EC8, la valeur recommandée du q-facteur pour les CBF-X est fixée à 4,0.

Néanmoins, en attribuant une valeur fixe forfaitaire à q-facteur pour les CBF-X et un intervalle de valeurs aléatoires pour le rapport d’élancement λ montre d’une manière implicite que l’EC8 ne dispose pas, dans sa version actuelle, de formulations exactes pour ce genre de problème. Ce qui implique, d’après notre point de vue, qu’à travers ces valeurs l’EC8 pourrait, lors d’analyse d’une structure, ne pas tenir compte des conséquences du rapport d’élancement des palées et du nombre d’étages sur le facteur de comportement. Dans ce cas, l’étude des effets de ces deux paramètres sur la réponse de la structure devient donc nécessaire.

3- Méthode d’évaluation du facteur de comportement

L’expression la plus répandue pour la détermination du facteur de comportement est exprimée par la relation suivante : Réf. [12] :

(2) où R = q, Rs et Rµ sont les facteurs de résistance de réserve et de ductilité respectivement. Le facteur RS est exprimé généralement comme suit :

(3) où Vy, Vd et Vu désignent respectivement la résistance limite élastique, l’effort tranchant de conception et la résistance ultime de la structure. RS et Rρ sont les facteurs de résistance de réserve et de redondance. Le facteur RS

représente d’une manière générale la résistance de l’ossature et dépend de plusieurs paramètres liés à la nature de la structure et son environnement : Réf. [13-14]. Par contre, le facteur de ductilité Rµ indique en quelque sorte la mesure du comportement non linéaire globale de la structure : Réf : [15-16] et sa valeur peut

être obtenue à partir de formules établies dans la littérature : Réf. [17]. Dans ce cas, la courbe de capacité de la structure peut être aisément déterminée par la méthode statique non linéaire schématisée par la Fig.1 suivante.

4- Description des structures à analyser Le choix des structures à analyser est résumé dans le tableau 1 donné ci-dessous dont les données sont inspirées à partir de résultats de certains travaux passés : Réf. [18]. Il s’agit de trois ossatures métalliques contreventées par des palées triangulées en X de 3, 6 et 9 étages et 3 travées (CBF-X) chacune, dimensionnées en accord avec les prescriptions de l’EC3 et l’EC8.

Le chargement sismique de conception est défini à partir du spectre de réponse d’accélération de l’EC8 avec une accélération maximale de sol égale à 0.35g, une classe de sol B et un facteur de comportement q = 4,0. Les trois structures sont représentées sur la Fig. 2 et les caractéristiques de leurs éléments sont résumées dans le Tab.1. La charge gravitaire sur les poutres est supposée égale à 27.5 kN/m2 (charge permanente + surcharge du plancher), tandis que la contrainte limite élastique de l’acier est estimée égale à 235 MPa.

Déplacement du dernier niveau, ∆(m) V

Ve

Vu

Vy

Vd

y u

0

Spectre de réponse élastique

Rµ

RS

Rρ

R

Résistance élastique

Résistance réelle

1ère plastification locale Résistance de conception

Effort tranchant à la base, V (kN)

Figure 1 : Réponse générale des structures Figure 1 : General response of structures

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5- Méthode statique non linéaire

Le facteur de comportement est évalué à partir des courbes de capacité obtenues en effectuant des analyses statiques non linéaires sur les structures considérées à travers la version non linéaire du logiciel de calcul SAP2000 v14.02 : Réf. [19] en utilisant deux formes de charges latérales. Ces analyses sont très efficaces car elles ont la particularité de déterminer les effets d’un chargement latéral sur le comportement structural global à travers des courbes force- déplacement. Les analyses sont conduites où chaque structure est modélisée en un système à deux dimensions en tenant compte de leur comportement non linéaire par le biais des rotules plastiques basées sur les tableaux de FEMA-356 : Réf. [20]. Les rotules plastiques sont supposées se former aux deux extrémités de chaque poteau et poutre et à mi-longueur des palées. Au cours des analyses, seul l’effet de la traction dans les palées est pris en compte contrairement à celui de la compression qui est ignoré vu sa faible capacité suite aux vérifications établies au préalable sur les structures analysées.

6- Résultats et discussions

L’analyse pushover effectuée à l’aide du logiciel SAP2000 conduit aux résultats résumés dans la Fig. 3 et 4 présentées ci-dessous, en termes de facteurs de résistance de réserve RS, et de ductilité Rµ pour les différentes ossatures analysées. A travers les figures 3 et 4, on observe que : a) RS est maximale pour les structures les moins élevées et minimale pour les structures dont le rapport d’élancement (λ1) des palées est maximal ; b) une légère variation de Rµ , quelque soit la hauteur de la structure et l’allure du chargement latéral, et de surcroît moins sensible à la variation de λi ; c) par contre, le facteur de comportement q décroît quand le nombre d’étages augmente indépendamment de l’allure du chargement, ce qui implique que ce dernier est strictement dépendant à la fois de la configuration de la structure et des palées. Aussi, quand la structure est plus élancée elle est plus sollicitée et moins ductile ; mêmes constatations pour les palées.

3@6 m 3@6 m 3@6 m

6@3 m 9@3 m

3@3 m

Figure 2 : Modèles de structures étudiées Figure 2 : Model of studied structures

Structure λ i Poteaux: HEB (N° des étages)

Palées: TUBE (N° des étages)

à 3 étages

1.93 1 220 (1-3) 127X4 (1) + 108X3.6 (2) + 101.6X3.6 (3)

1.56 2 240 (1-3) 152.4X4 (1) + 133X4 (2) + 127X4 (3) 1.30 3 260 (1-3) 193.7X4.5 (1) + 159X4

(2) + 139.7X4 (3)

à 6 étages

1.93 1 240 (1-2) + 220 (3-4) + 200 (5- 6)

127X4 (1-3) + 108X3.6 (4) + 101.6X3.6 (5) + 82.5X3.2(6) 1.56 2 260 (1-2) + 240

(3-4) + 220 (5- 6)

152.4X4 (1-2) + 139.7X4 (3) + 133X4 (4) + 27X4(5) + 101.6X3.6 (6) 1.30 3 280 (1-2) + 260

(3-4) + 240 (5- 6)

193.7X4.5 (1-2) + 168.3X4 (3) + 159X4 (4) + 139.7X4(5) + 127X4 (6)

à 9 étages

1.93 1 260 (1-3) + 240 (4-6) + 220 (7- 9)

127X4 (1-4) + 108X3.6 (5-6) + 101.6X3.6 (7)+

88.9X3.2 (8) + 76.1X3.2 (9)

1.56 2 280 (1-3) + 260 (4-6)+ 240 (7-9)

152.4X4 (1-3) + 139.7X4 (4) + 133X4 (5) + 127X4 (6-7) + 108X3.6 (8) + 88.9X3.2 (9)

1.30 3 320 (1-3) + 300 (4-6) + 280 (7- 9)

193.7X4.5 (1-4) + 159X4 (5) + 152.4X4 (6) + 139.7X4 (7) + 127X4 (8) + 108X3.6 (9)

Tableau 1 : Valeurs caractéristiques des CBF-X Tableau 1: Characteristic values of CBF-X

(11)

Figure 4: Valeurs du facteur de comportement et ses composantes sous l’effet d’un chargement à

répartition rectangulaire.

Figure 4: Values of the behaviour factor and its components under the effect of a rectangular

distribution load.

Figure 3 : Valeurs du facteur de comportement et ses composantes sous l’effet d’un chargement à

répartition triangulaire.

Figure 3 : Values of the behaviour factor and its components under the effect of a rectangular

distribution load.

(12)

7- Conclusion

Cette étude a permis d’évaluer les facteurs de résistance de réserve et de ductilité d’un certain nombre de structures métalliques contreventées par des palées triangulées en forme de X dimensionnées en accord avec les dispositions des codes européens en tenant compte des effets combinés de la hauteur de la structure et du rapport d’élancement des palées. Les résultats de cette étude peuvent être résumés comme suit : Quand le nombre d’étages croît la valeur du facteur de sur-résistance RS décroît et celle de Rµ

subit une légère variation mais décroît quand le rapport d’élancement λi des palées diminue, tandis que l’effort axial dans les palées du premier étage croît, ce qui conduit à leur endommagement prématuré. Par ailleurs, la diminution des facteurs RS et Rµ entraînent la diminution de la valeur de q.

En outre, le rapport d’élancement λi des palées a un effet majeur sur le facteur q puisque sa diminution conduit à une augmentation de celui-ci tandis que l’EC8, dans tous les cas, affiche une valeur constante de q quelque soit la structure contrairement aux résultats de cette présente étude qui attestent que le facteur q accuse différentes valeurs selon le nombre d’étages et le rapport d’élancement. En conclusion, il est important de signaler que la valeur du facteur q dépend de très près de la configuration de la structure et du rapport d’élancement des palées de contreventement : plus la structure est élancée plus elle est exposée, à sa base, à des efforts axiaux plus importants pouvant affecter irrémédiablement sa capacité de résistance latérale. Finalement, dans le but de déterminer tous les facteurs de comportement afférés aux structures métalliques munies de palées, il s’avère nécessaire d’utiliser une méthode de calcul plus appropriée que l’analyse pushover qui paraît convenir mais qui n’est pas tellement exacte dans divers cas.

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CEN, European Committee for Standardization, Brussels, 2005.

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[8] Yahmi, D., Branci, T., Bouchaïr, A., Fournely, E., Evaluating the Behaviour Factor of Medium Ductile SMRF Structures, Periodical Polytechnica Civil Engineering, pp. 373-385, 11-12-2017.

[9] Yahmi, D., Branci, T., Évaluation du facteur de comportement des ossatures métalliques en portiques, 7ème Symposium sur la construction en zone sismique (SYCZS’2015), Université Hassiba Benbouali, Chlef, Algeria, Chlef les 11 et 12 Octobre 2015.

[10] Yahmi, D., Branci, T., Bouchaïr, A., Fournely, E., Evaluation of behaviour factors of steel moment-resisting frames using standard pushover method », Procedia Engineering, Vol.

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(14)

OPTIMUM COST DESIGN OF WOOD BEAMS ACCORDING TO EUROCODE5-EC5

CONCEPTION OPTIMALE DES POUTRES EN BOIS SELON EUROCODE5-EC5

Réception : 27/11/2019 Acceptation : 18/12/2019 Publication : 09/01/2020

FEDGHOUCHE Ferhat, Pr.

École Nationale Supérieure des Travaux Publics (ENSTP), Département Infrastructures de Base (DIB), Laboratoire des Travaux Publics Ingénierie de Transport et Environnement (LTPiTE) 1, Rue Sidi Garidi, B.P. 32 Vieux Kouba, 16051, Algiers, Algeria

E-mail : ferfed2002@yahoo.fr; f.fedghouche@enstp.edu.dz Tel.: +213(0)23 70 19 07; Fax: +213(0)23 70 19 07

Abstract:

This paper presents the optimal design of wood beams according to Eurocode5 (EC-5). The objective function comprises the cost of the beam and the constraint functions are set to meet design requirements of EC-5. They consist on bending resistance constraints, vertical shear resistance, deflection due to both dead and live loads, design constraints derived from EC-5 and current practices rules. The optimization design process is developed by using Generalized Reduced Gradient (GRG) algorithm. Typically, examples are included to illustrate the applicability of the proposed model. The optimized results are compared with traditional design solutions from conventional design office methods to evaluate the performance of the developed optimum design model. Substantial savings have been achieved through this approach. In addition, the proposed approach is practical, reliable and computationally effective compared to classical designs procedures used by designers and engineers.

Keywords: Optimal Cost Design, Minimum Weight Design, Wood Beams, Eurocode5, Solver.

Résumé :

Cet article présente la conception optimale des poutres en bois selon Eurocode5 (EC-5). La fonction objective comprend le coût de la poutre et les fonctions des contraintes sont définies pour répondre aux exigences de conception de l’Eurocode EC-5. Elles consistent en des contraintes de résistance à la flexion, à la résistance au cisaillement vertical, à la flexion due aux charges permanentes et d’exploitation, aux contraintes de conception issues de l'EC-5 et aux règles en vigueur de pratique courante. Le processus de conception d'optimisation est développé à l'aide de l'algorithme GRG (Gradient Réduit Généralisé). Typiquement, des exemples sont inclus pour illustrer l'applicabilité du modèle proposé. Les résultats optimisés sont comparés aux solutions de conception traditionnelles issues des méthodes classiques du bureau d'études afin d'évaluer les performances du modèle de conception optimal développé. Des économies substantielles ont été réalisées grâce à cette approche.

En outre, l'approche proposée est pratique, fiable et efficace par rapport aux procédures de conception classiques

Utilisées par les concepteurs et les ingénieurs.

Mots-clés : Conception optimale, Conception à poids minimal, Poutres en bois, Eurocode5, Solveur.

(15)

1. Introduction

Wood is one of the oldest known materials used in construction. Wood construction is growing and continues to evolve in terms of technical regulations, as means of production. It became unavoidable in structural applications. The main advantages of this construction system are prefabricated in workshops and reduction of installation time on site. It is a lightweight material easy to process and repair, also it is widely avail and easy to use. It is sustainable, environmentally friendly; the current ecological issues generate renewed interest in the wood usage in construction. In a difficult environmental context, it is necessary to turn more towards wood construction. A wide range of new structural wood shapes can now be fabricated and used to construct buildings and bridges which have minimal impact on the environment. Wood is particularly attractive since it is renewable and has no carbon footprint when it is harvested in a sustainable way. Timber structures are ecologically sound and comparatively low cost. The material lends itself to innovative design and new types of composites offer reliable, robust and safe materials. Theses following authors have dealt with this topic [1,2, 3, 4, 5, 6].

Wood is an aesthetically pleasing material. It can easily be shaped and connected. It has a very high strength to weight ratio, it is capable of transferring both tension and compression forces and is naturally suitable as a flexural member. It is used for a variety of structural forms such as beam for the industrial construction. As a natural material, wood is unique, innovative, columns, trusses, girders, it is also used in building systems such as piles, deck members, and railway sleepers and formwork for concrete. The shape, form and size to be constructed have being only limited by the manufacturing and the transportation boundaries. Kaveh and Kalatjari [7]have studied the topology optimization of trusses using genetic algorithm, force method and graph theory, Silih et al. [8]have developedthe optimum design of plane timber trusses considering joint flexibility, Silih et al.

[9]have presented the shape and discrete sizing optimization of timber trusses by considering of joint flexibility, Yang et al.[10]have analyzed the flexural behavior of wood beams

strengthened with hybrid fiber reinforced polymer, Bru et al. [11]have treated the numerical and experimental evaluation of fiber reinforced polymers reinforcement on the mechanical behavior of timber beams, Kaziolasa et al. [12]have published the life cycle analysis and optimization of a timber building and Bru et al. [13]have developed the structural optimization of timber beams with composite materials.

The current development of numerical techniques and the existence of powerful computers provide a solution in order to implement an optimization procedure which is able to find the minimum cost design of wood beams. Although the use of using wood materials is expensive it is an efficient way of getting minimum weight structures, with no reduction in their strength. The economy is achieved by minimization of a cost function. It can create the best structural version by mathematical methods of constrained function minimization, which fulfill the design and fabrication constraints and minimize the cost function. Recently, a number of papers dealing with design on wood have been published by various researchers. The aim of the following paper is to provide another step forward to design and optimize rectangular wood beam using EC-5. Wood beams are generally designed for bending stress and then checked for shear and deflection. The optimization wood structures were performed by the non- linear programming (NLP) approach. In this paper the generalized reduced gradient (GRG) method to solve nonlinear programming is used in order to obtain the minimum cost design and the minimum weight design of wood beams. Various numerical methods have been used in engineering optimization [14-23].

This paper presents the optimal design of wood beams according to Eurocode 5. The objective function comprises the cost of the beam and the constraint functions are set to meet design requirements of Eurocode5. They consist on bending resistance constraints, vertical shear resistance, deflection due to both dead and live loads, design constraints derived from EC-5 and current practices rules. The optimization design process is developed by using Generalized Reduced Gradient (GRG) algorithm. Typically, examples are included to illustrate the applicability of the proposed

(16)

model. The optimized results are compared with traditional design solutions from conventional design office methods to evaluate the performance of the developed optimum design model. Substantial savings have been achieved through this approach. In addition, the proposed approach is practical, reliable and computationally effective compared to classical designs procedures used by designers and engineers.

2. Formulation of optimization design wood beams

Limit states design for the optimization of wood beams are set in this study in accordance with the current European design code Eurocode5 EC-5[24]. The wood beams having the cross section shown in Figure 1 are considered.

Figure 1: Typical rectangular section of the simple wood beam

Figure 1 : Section rectangulaire type d’une poutre en bois

Wood is composed of fibers that behave better to normal stresses in the longitudinal direction or in the direction of fibers, and poorly to stresses perpendicular to the fibers and to the longitudinal shear stresses. For the short beams, the tangential stress is the required design value, on the other hand for the medium length beams the normal stress is the required design value whereas, for the long beams the beam deflection is the required design value.

2.1. Design variables

The design variables selected for the optimization are listed in Table 1 below.

Table 1 : Definition of design variables Table 1 : Définition des variables de

conception

Design variables Defined variables b Width of the wood beam h Depth of the wood beam 2.2. Objective functions

2.2.1. Cost function

The objective function to be minimized in this optimization problem is the total cost of wood beam per unit length of the beam. This function can be defined as:

t w

C C C bh

= L =

(1) Where:

C: Total cost per unit length of wood beam Cw: Unit cost of wood beam

Ct: Total cost of the element beam

The total absolute cost Ct can then be obtained by using the relation:

Ct =CL

(2) Prices include the provision of beams, the fixing system, the techniques used to rise the element in place and includes all works related; such as wood supply, transportation to site, treatment, shaping including assemblies except assemblies used for connecting with the timber already in place, sawing and installation.

2.2.2. Weight function

The weight function to be minimized can be written as follows:

t w

W W bh

L

= =

(3)

(17)

Where: ρw is the density of solid wood, W is the unit weight per unit length of the wood beam and Wt the total weight of element wood beam.

Wt =WL (4) 2.3. Formulation of design constraints

The following constraints for the wood beams are defined in accordance with the design code specifications of the EC-5.

List of the constraints have been considered in this study:

a- Resistance of the wood beam to bending moment:

External moment Resistancemoment and the wood is indoors, where the humidity is controlled.

(5)

b-The buckling of the wood beam doesn’t need to be verified when:

,

2 0.05

0.78 0.75

(0.9 2 ) fm k

E b

h L h

 +

(6)

c- Resistance of the composite beam to vertical shear:

External shear Resistance of the structural wood section to vertical shear

, mod

f Ed 1

v k M

k V bh

f k (7)

d- Deflection constraint: the mid-span deflection of simply supported beam under distribution load (dead load + live load) for the wood beam:

4 2 3 0,

5 (1 ) (1 )

384 12

def def

lim mean

G k Q k L

E bh

 

 + + + 

   (8)

e- Design variables constraints including rules of current practice:

max

bmin  b b (9)

min max

h  h h (10) f- Non-negativity variables:

, 0

b h (11) 2.4. Formulation of optimum cost design problem of wood beams

The formulation of the optimum cost design of wood beams can be mathematically stated as follows:

For given material properties, loading data and constant parameters, find the design variables defined in Table (1) that minimize the cost function defined in Eq. (1) subjected to the design constraints given in Eq. (5) through Eq.

(11).

2.5. Formulation of minimum weight design problem of wood beams

Find the design variables b and h that minimize total weight per unit length defined in Eq. (3), subjected to the design constraints given in Eq. (5) through Eq. (11).

2.6. Solution methodology

The objective function Eq. (1) or the objective function Eq. (3) and the constraints equations, Eq. (5) through Eq. (11), together form a nonlinear optimization problem. The reasons for the nonlinearity of this optimization problem are caused by the expressions of the cross sectional area, bending moment capacity and other constraints equations. Both the objective function and the constraint functions are nonlinear in terms of the design variables. In order to sort out this nonlinear optimization problem, the generalized reduced gradient (GRG) algorithm is used. The Generalized Reduced Gradient method is applied as it has the following advantages:

i) The GRG method is widely recognized as an efficient method for solving a relatively wide class of nonlinear optimization problems.

(18)

ii) The program can handle up to 200 constraints, which is suitable for wood beams design optimization problems.

iii) GRG transforms inequality constraints into equality constraints by introducing slack variables. Hence all the constraints are of equality form. The interested reader is directed to [25]for more details of the GRG algorithm.

3. Numerical results

A first typical example problem is now considered, followed by step by step procedure of optimum cost design model then a comparison between the standard design solution and the optimal solution obtained.

Finally, a second example is treated in order to illustrate the proposed model of weight and cost minimization for wood beams with EC-5.

Design example A

As previously mentioned, the design constraints are defined in accordance with the code design specifications of EC-5. The optimal solutions are compared with standard design solutions obtained in accordance with EC-5 design code.

The study of a static system corresponds to a wood beam simply supported at its ends and pre-loaded with the uniformly distributed load and designed in accordance with provisions of EC-5 design code as shown in Figure 2.

Figure 2.Statically determinate beam with simple supports.

Figure 2. Schéma statique d’une poutre sur appuis simples.

The corresponding pre-assigned parameters are defined as follows:

Input data for loads and wood dimensions:

L=12.00m; bmin=0.15m; bmax=0.25m;

hmin=L/20=0.60m; hmax=L/12=1.20m

MEd=0.1782MNm; VEd=0.0594MN;

G=0.004MN/m; Q=0.003MN/m;

δlim=L/200=0.060m

Input data for wood characteristics:

Strength class of wood C24; solid timber fm,k=24MPa; fm,d=12.18MPa; kmoy=0.6; γM=1.3;

ksys=1.1, E0.05=7400MPa; E0,mean=11000MPa;

klef=0.9; kcrit=1; kf=1.5; fv,k=2.5MPa, fv,d=1.15MPa; kdef=0.80; ψ=0.3; ρw=350kg/m3. Input data for unit costs of construction materials:

Cw=100€/m3

3.2. Step by step procedure of cost optimization model for wood beams

Find the design variables b, h that minimize the total cost of construction material per unit length of composite beam such that:

100

C= bh (12) Subjected to the design constraints:

a- Resistance of the wood beam to bending moment: wood is indoors, where humidity is controlled.

External momentMEd  Resistance momentMRd

0.1782 2 1

15.84

bh 7.8 (13) b-The buckling of the wood beam doesn’t need to be verified when:

24 2 0.75

5772b (0.9*12 2 )

h h

 +

(14)

c- Resistance of the composite beam to vertical shear:

External shear VEd  resistance of the structural wood section to vertical shear VRd

0.089

1.50 1.3 1

bh

(15)

(19)

d- Deflection constraint: the mid-span deflection of simply supported beam under distribution load (dead load + live load) for the wood beam:

 

4

3

5 0.01332 12 4224000 0.06

bh 12

(16)

e- Design variables constraints including rules of current practice:

0.15 b 0.25 (17) 0.60 h 1.20 (18) f. Non-negativity variables:

, 0

b h(19)

3.3. Comparison of results between optimal cost design solutions and standard design approach

The vector of design variables from the conventional design solution and the optimal cost design solution using the proposed approach are shown in Table 2 below.

Table 2: Comparison of the classical solution and the optimal solution

Table 2 : Comparaison de la solution classique par rapport à la solution optimale

From the above results, when comparing between the classical and the optimal solutions, you find that a gain equal to 06%

can be obtained by using the proposed design formulation.

3.4. Comparison of results between the optimal weight design solutions and the standard design approach

The vector of design variables from the conventional design solution and the optimal cost design solution using the proposed approach are shown in Table 3 below.

Table 3: Comparison of the classical solution and the optimal solution

Table 3 : Comparaison de la solution classique par rapport à la solution optimale

From the above results, when comparing between the classical and the optimal solutions, you notice that a gain equal to 06%

can be obtained by using the proposed design formulation.

3.5. Comparison of results between the minimum cost design, minimum weight design solutions and the standard design approach

The vector of design variables from the conventional design solution and the optimal cost design solution using the proposed approach are shown in Table 4 below.

Design variables

Traditional design

Optimal design with minimum

Cost

b[m] 0.25 0.24

h[m] 0.65 0.64

C [€] 16.25 15.36

Gain / 06%

Design variables

Traditional design

Optimal design with minimum Weight

b[m] 0.25 0.24

h[m] 0.65 0.64

W[MN] 0.0005687 0.0005376

Gain / 06%

(20)

Table 4: Comparison of the classical solution and the optimal solution

Table 4 : Comparaison de la solution classique par rapport à la solution optimale Design

variables

Classical solution

Optimal solution with Minimum

Cost C

Optimal solution with

Minimum Weight W

b[m] 0.25 0.24 0.24

h[m] 0.65 0.64 0.64

Gain / 06% 06%

3.6. Graphically procedure to obtain the optimum (bopt, hopt, Copt)

In this formulation, all the constraints are assumed to be functions of b and h only.

The feasible space can be drawn in the Figure3

Figure 3: Design space of rectangular wood beam

Figure 3 : Espace de conception d’une poutre rectangulaire en bois

3.7. Design example B

The second design example B corresponds to a wood beam simply supported at its ends and pre-designed in accordance with provisions of EC-5 design code.

The corresponding pre-assigned parameters are defined as follows:

Input data for loads and wood dimensions:

L=10.00m; bmin=0.15m; bmax=0.25m;

hmin=L/20=0.50m ;hmax=L/12=0.83m

MEd=0.270MNm; VEd=0.108MN;

G=0.006MN/m; Q=0.009MN/m;

δlim=L/200=0.050m

Input data for wood characteristics:

Strength class of wood C24; solid timber:

fm,k=24MPa; fm,d=12.18MPa; kmoy=0.6; γM=1.3;

ksys=1.1, E0.05=7400MPa; E0,mean=11000MPa;

klef=0.9; kcrit=1; kf=1.5;

fv,k=2.5MPa;fv,d=1.15MPa; kdef=0.80; ψ=0.3, ρw=350kg/m3.

Input data for unit costs of construction materials:

Cw=100€/m3

The vector of design variables from the conventional design solution and the optimal cost design solution using the proposed approach are shown in the Table 5 below.

Table 5. Comparison of the classical solution and the optimal solution

Table 5 : Comparison de la solution classique par rapport à la solution optimale Design

variables

Classical solution

Optimal solution Minimum

Cost C

Optimal solution Minimum Weight W

b[m] 0.25 0.24 0.24

h[m] 0.80 0.74 0.74

Gain / 12% 12%

(21)

From the above results, when comparing between the classical and the optimal solutions, you can deduce that a significant gain equal to 12% can be obtained by using the proposed design formulation.

4. Conclusions

The following conclusions are drawn from this survey:

• The formulation of the cost design optimization of wood beams can be cast into a nonlinear programming problem, the numerical solution is determined through the use of the Generalized Reduced Gradient algorithm.

• The observations of optimal solutions result reveal that the use of the optimization based on minimum cost and minimum weight design concept may lead to substantial savings in the amount of the construction materials to be used in comparison to classical design solutions of wood beams. These findings showed that optimized cost and weight with GRG algorithm are 06%

and 12% economical with respect to traditional design respectively in both examples A and B.

• The objective functions and the constraints considered in this paper are illustrative in nature. This approach based on nonlinear mathematical programming can be easily extended to other sections commonly used in structural design. More sophisticated objectives and considerations can be readily accommodated by suitable modifications of this optimal cost design model.

• The proposed methodology for optimum cost design and minimum weight design are effective and more economical in regards of the classical methods. The results of the analysis show that the optimization process presented herein is effective and its application appears feasible.

• In this study, the optimal values of the design variables are neither affected by the choice of the objective function; nor by the cost function and the weight function. In other terms, for optimal variables there are minimum cost and minimum weight in one shot.

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Nomenclature

The following symbols are used in this paper accordingly to EC-5:

b Width of wood beam;

b min Minimum width of wood beam;

b max Maximum width of wood beam h Depth of wood beam;

h min Minimum depth of wood beam;

h max Maximum depth of wood beam L Beam span

I Second moment of area of a section C Cost per unit length of wood beams Cw Unit cost of wood

(23)

Ct Total cost of wood beams

W Weight per unit length of wood beam V Volume per unit length of wood beam G Permanent action

Q Variable action

w Distribution load (dead load + live load)

γG Partial factor for permanent actions γQ Partial factor for variable actions γM Partial factor for material properties ψ2 Factor for the quasi-permanent value of a variable action

δlim Vertical deflection limit of wood beams MEd Maximum design bending moment MRd Maximum resistance moment of the wood

VEd Maximum design shear force

V,Rd Maximum resistance of the structural wood section to vertical shear

C24 Class of wood

E0.05 Fifth percentile (characteristic value) of modulus of elasticity

E0,mean Mean value of modulus of elasticity parallel to the grain

fm,k Characteristic bending strength fm,d Design bending strength fv,k Characteristic shear strength fv,d Design shear strength

kcrit Factor used for lateral buckling

kef Exponent factor to derive the effective number of fasteners in a row

kdef Deformation factor kh Depth factor

kmod Modification factor for duration of load and moisture content

ksys System strength factor

λrel Relative slenderness ratio corresponding to bending

ρw Density of solid wood σm,crit Critical bending stress

Références

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