Chapitre 6
Dynamique d’une chaîne électrique non-linéaire (**)
Le but de ce projet est d’étudier les effets non-linéaires sur la propagation d’une onde dans un câble coaxial. Le problème discret consiste en un système d’équations différentielles ordinaires qu’il faudra résoudre numériquement.
1 Problème physique
Ln
Cn Gn
Rn in un ic,n un-1
in-1
cellule n
un+1 in+1
Figure1 – Chaînes électrique modélisant une ligne bi-filaire ou un câble coaxial.
1.1 Équation linéaire
On s’intéresse au système représenté sur la Fig. 1. Un câble coaxial de longueur totale D est modélisé par une chaîne électrique constituée d’une série deN cellules identiques de longueur physique
x, repérées par leur indicen, et elles-mêmes constituées chacune de :
— une résistance de résistanceRn en série
— une bobine d’inductanceLnen série
— une résistance de conductanceGnen parallèle
— un condensateur de capacitéCnen parallèle.
On noteR=N Rn, G=N Gn,L =N Ln etC = N Cn,D =N x les résistance, conductance, inductance, capacité et longueur totales du câble. On considérera ces quantités comme des constantes du problème.
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Chapitre 6. Dynamique d’une chaîne électrique non-linéaire (**)
1.1.1 Cas discret
Les courant et tension dans chaque cellulensont définis par les propriétés des cellules voisines et sont reliés par le système d’équations différentielles suivant :
Ldin
dt = Dun 1 un
x Rin , n2[1, N 1] (1)
Cdun
dt = Din in+1
x Gun , n2[0, N 2] (2)
Les relations pour la première cellule (n= 0) et la dernière cellule (n=N 1) sont nécessairement différentes et sont définies par le choix de conditions aux limites.
• Retrouver ces relations.
1.1.2 Équation continue
Souvent, on s’intéresse à la limite continue de cette équation, c’est à dire quand le nombre de cellules Ntend vers l’infini pour une longueur de câbleDet des quantités globalesL, C, R, Gconstantes, c’est à dire aussi quand la distance physique entre deux cellules x=D/N tend vers 0. Dans cette limite, la tensionun(t) =u(x=n x, t)devient une fonction continue de l’espaceu(x, t).
On peut montrer que pour des résistance et conductance nulles (R=G= 0), le système se réduit alors à l’équation du second ordre suivante
@2u
@t2 c2@2u
@x2 = 0 avec c2=D2/(LC).
Cette équation décrit le comportement d’une ligne idéale, et possède des solutions analytiques bien connues.
• Á partir des équations du 1.1.1, démontrer que la limite continue donne cette équation aux dérivées partielles.
• Quelles sont les solutions analytiques de cette équation ?
1.2 Cas non-linéaire
En réalité, les condensateurs ne sont pas idéaux et introduisent des non-linéarités. On modélise ces composants réels par la relation courant-tension suivante différente du cas linéaire :
ic,n=Cndun
dt ! ic,n=Cnd dt
✓
un+↵u2n 2 + u3n
3 + u4n 4
◆ .
où ic,n et un sont respectivement le courant qui circule dans le condensateur de la cellule n et la tension à ses bornes. Les équations dans le cas non-linéaire sont donc plus complexes que dans le cas linéaire.
2 Le projet
• Écrire un programme qui résout le système d’équationsdiscret:
— On pourra commencer par des conditions aux bords périodiques. On pourra aussi utiliser des conditions fixes comme par exemple imposer un arc de sinusoïde au bord gauche. On pourra également tenter d’implémenter des conditions libres1).
1. On note cependant qu’il n’est simple d’exprimer les conditions libres que dans le cas continu et pourG=R= 0. En effet, dans ce cas, on peut montrer par la méthode du point fixe (en cherchant l’impédance qui vérifieZn+1(Zn) =Zn) qu’en l’absence de toute non-linéarité, l’impédance caractéristique du câble est donnée par :Z2c= (R+j!L)/(G+j!C) = L/C.
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— On pourra utiliser comme conditions initiales un courant nul et une surtension au milieu de la ligne, ou bien des tensions et courants nuls en fonction des conditions au bord choisies.
— Pour le schéma numérique, on pourra commencer par une simple méthode d’Euler en temps.
Cependant, dans ce cas, pour garantir la stabilité, il faudra utiliser une méthode implicite pour une des deux équations (méthode vers l’avant en temps)2. En l’occurrence, il faudra résoudre l’équation sur le courant et celle sur la tension successivement et non simulta- nément. On pourra ensuite tenter de faire évoluer le programme vers des méthodes plus évoluées...
• Enregistrer les solutions dans un/des fichiers de manière à pouvoir les visualiser avec gnuplot.
• Tester le programme dans le cas idéal (R=G=↵= = = 0) et comparer les résultats aux solutions théoriques.
• Dans le cas général, étudier l’effet des différents termes linéaires (R,G) et non-linéaires (↵, , ).
Dans ces cas, vous pourrez par exemple exciter des ondes à l’un des bords avec des arches de sinusoïdes de périodes différentes et regarder la propagation de ces trains d’ondes.
Figure2 – Exemple de résultats pour une excitation au bord gauche par des arches de sinusoïde de deux périodes différentes (graphe de gauche et les deux graphes de droite respectivement)
2. Ceci garantit la stabilité dans le casR= G= 0si la condition CFLdx/dt > cest satisfaite. Deux équations explicites donnent un schéma inconditionnellement instable dans ce cas.
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