On considère le schéma de la figure 1 dans lequel la tension u est produite par un générateur de tension sinusoïdale parfait, de pulsation ω variable.
C
R1
R2
R3 u
v
H
P
A
M
Figure 1 1. Montrer que A v
( )ω = u peut se mettre sous la forme : A K j
( )ω ω
ω
= 0 +
0
1 1
et donner les expressions littérales de K0 et ω0.
2. Sachant que R1 = 30 kΩ, R2 = R3 = 5 kΩ et C = 100 nF a. Calculer K0 et ω0 (ou f0).
b. Représenter, suivant le graphe de Bode, les variations du module de A en dB et de l’argument Φ (A) en fonction de la fréquence.
Dans le schéma de la figure 2, le générateur de tension est identique à celui de la question précédente.
C
R1
R2
R3 u
v
H
P A
M
Figure 2
1
3 . Montrer que A v
( )ω = u peut se mettre sous la forme : A K j
( )ω ω
ω ω
= 1+
1
2
et donner les expressions littérales de K ω1 etω2.
4. En utilisant exclusivement les expressions littérales, déterminer si : ω1 < ω2 ou ω1 > ω2 . 5. Sachant que R1 = 26 kΩ, R2 = 4 kΩ, R3 = 10 kΩ et C = 100 nF
a. Calculer K ω1 et ω2 (ou f1 et f2).
b. Représenter, suivant le graphe de Bode, les variations du module de A en dB et de l’argument Φ (A) en fonction de la fréquencef.
En fait, l’ensemble R1, R2 et R3, constitue un potentiomètre dont A est le curseur (partie mobile). Ce potentiomètre (figure 3) comporte une prise fixe P où se trouve branché le condensateur C.
C u
v
M P
A 30 kΩ
10 kΩ
x R1
R2 R3
H
Figure 3
Cet ensemble constitue un correcteur physiologique de type « loudness » simplifié utilisé dans les amplificateurs Hi Fi.
• La position du curseur A dans la région PM (10 kΩ) du potentiomètre correspond à la figure 1 et il lui est associé une pulsation de coupure ω0 (ou f0).
• Par contre, la position du curseur A dans la région HP (30 kΩ) du potentiomètre correspond à la figure 2 et il lui est associé deux pulsations de coupures ω1 et ω2. 6. On appelle R (40 kΩ) la valeur totale du potentiomètre (R1+R2+R3). On pose de plus, x la
résistance variable (de 0 à 30 kΩ) entre le point H et le curseur A.
a. Donner la variation du coefficient K en fonction de x.
b. Représenter sur un même graphe, les variations des fréquences de coupures f0 f1 et f2 en fonction de x.
c. Quels commentaires peut-on faire sur les courbes de réponses en fonction de la résistance x ?
CORRECTION
Q1 : On propose de nommer Z l’ensemble constitué par C, R2 et R3 : Z R R j C R R
= +
+ +
2 3
2 3
1 ω ( )
C R1
R2
R3 u
v
H
P
A
M
w
Z
Le calcul se fait alors en deux étapes utilisant successivement un diviseur de tension : u/w puis v/w.
w u Z
R Z v w R
R R
= + =
1 +
3
2 3
Il vient alors :
v u
R
R R R j C R R R
= 1+ 23+ 3 + 2+ 3
1
1 ω. ( 1//( ))
K R
R R R
0
3
1 2 3
= + + ω0
2 3
1
= 1
+ C R( //(R R ))
Q2a : K0 = 0,125 f0 = 212 Hz
Q2b : v
u K f
dB f
=20 0 −10 1+
0
log( ) log( ( ) ) 2 Φ( )v tan( )
u Arc f
= − f
0
Graphe asymptotique de Bode du module (les carrés rouges correspondent aux points calculés). On remarquera la bonne approximation du graphe asymptotique.
50 40 30 20 10 0
212
20log(K0)
−10 1+
0
log( ( f2)) f
Graphe résultant module en dB
correspondent aux points calculés). On remarquera la bonne approximation du graphe asymptotique.
80 60 40 20
212
arg (v/u) en degrés
10 100 1 103
1 104
f en Hz -45° par décade
Les carrés rouges correspondent à des points calculés. Le graphe asymptotique de Bode est représenté en bleu.
Q3 : On propose de nommer Z, l’ensemble constitué par C et R3 : Z R
= j CR +
3
1 ω 3). Dans ces conditions : v u R Z
R R Z
= +
+ +
2
1 2
Z C
R1
R2
R3 u
v
H
P A
M
On obtient alors l’expression suivante :
v u
R R
R R R
j C R R R R j C R R R
R R R
= +
+ +
+ +
+ +
+ +
3 2
1 3 2
3 2
3 2
3 1 2
1 3 2
1 1
ω ω
.
. ( )
K R R
R R R
= +
+3 +2
1 3 2
ω1
3 2
= 1
C R( //R ) ω2
3 1 2
= 1
+ C R( //(R R )
Q4 : ω1
3 2
= 1
C R( //R )> ω2
3 1 2
= 1
+
C R( //(R R ) soit f1 > f2
Q5a : Application numérique : K = 0,35 f1 = 557 Hz f2 = 212 Hz
Q5b
10 1
1
log +( )2
f f
20logK
− +
10 1
2
log ( f )2
f dB
10 100 1 103
1 104 40
20 0 20
f2 f1
f Hz
Graphe des 3 fonctions de la relation (1), leur somme est représentée en rouge. Les basses fréquences sont favorisées par rapport aux hautes fréquences.
Graphes de Bode du déphasage de la sortie v par rapport à l’entrée u.
Φ = +0 −
1 2
Arc f
f Arc f
tan( ) tan( f ) (2)
10 100 1 103
1 104 90
45 0 45 90
f2 f1
f Hz
Degrés
Arc f
tan(1 f )
1
+
−Arc + f tan(1 f )
2
Q6a : Schéma du potentiomètre :
C u
v
M P
A 30 kΩ
10 kΩ x R1
R2 R3 H
Le coefficient K dépend de la position du curseur A est lié à un diviseur de tension. Aux très basses fréquences où l’impédance du condensateur C est négligeable devant les autres résistances :
K v u
R x
TBF R
=
= −
0 1 104
2 104
3 104
4 104 0
0.5 1
K x
x
Variation du coefficient K en fonction de la résistance x
Q6b :
Le curseur se trouve entre H et P soit 0 < x < 30 kΩΩΩΩ.
• La résistance R2 de la figure 2 devient alors : (R-R3-x).
• La somme R1+R2 qui se trouve remplacée par (R-R3), est fixe.
Dans ces conditions la fréquence de coupure : f
C R R R Hz
2
3 3
1
2 212
= π.
[
//( −]
= est fixe.Seule la fréquence de coupure f1 avec x varie selon :
f1 C R3 R R3 x 1
=2
− −
[ ]
π. //( ) Le curseur se trouve entre P et M : 30 < x < 40 kΩΩΩΩ
La fréquence de coupure f
C R R R Hz
0
2 3
1
2 1 212
= + =
π. ( //( )) est fixe et égale à f2.
0 1 104
2 104
3 104
4 104 100
1 103
212 Hz Hz
f0 f2
f1 (x)
X en Ω
H P M
Evolution des fréquences de coupures en fonction de 0 < x < 30 kΩ et 30 < x < 40 kΩ
Q6c : La variation de la fréquence f1 avec la position du curseur du potentiomètre entraîne d’une part une atténuation et corrélativement, un relèvement des fréquences basses vis à vis des fréquences aigues.
10 100 1 103 1 104
20 17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0
f
x = 10 kΩ
x = 20 kΩ
x = 27 kΩ dB
Hz