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ω ω R 1 R 2 R 3 v Figure 1 1. Montrer que A( ω ) = peut se mettre sous la forme : A( ω) et donner les expressions littérales de K 0 et ω 0.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

On considère le schéma de la figure 1 dans lequel la tension u est produite par un générateur de tension sinusoïdale parfait, de pulsation ω variable.

C

R1

R2

R3 u

v

H

P

A

M

Figure 1 1. Montrer que A v

( )ω = u peut se mettre sous la forme : A K j

( )ω ω

ω

= 0 +

0

1 1

et donner les expressions littérales de K0 et ω0.

2. Sachant que R1 = 30 kΩ, R2 = R3 = 5 kΩ et C = 100 nF a. Calculer K0 et ω0 (ou f0).

b. Représenter, suivant le graphe de Bode, les variations du module de A en dB et de l’argument Φ (A) en fonction de la fréquence.

Dans le schéma de la figure 2, le générateur de tension est identique à celui de la question précédente.

C

R1

R2

R3 u

v

H

P A

M

Figure 2

1

(2)

3 . Montrer que A v

( )ω = u peut se mettre sous la forme : A K j

( )ω ω

ω ω

= 1+

1

2

et donner les expressions littérales de K ω1 etω2.

4. En utilisant exclusivement les expressions littérales, déterminer si : ω1 < ω2 ou ω1 > ω2 . 5. Sachant que R1 = 26 kΩ, R2 = 4 kΩ, R3 = 10 kΩ et C = 100 nF

a. Calculer K ω1 et ω2 (ou f1 et f2).

b. Représenter, suivant le graphe de Bode, les variations du module de A en dB et de l’argument Φ (A) en fonction de la fréquencef.

En fait, l’ensemble R1, R2 et R3, constitue un potentiomètre dont A est le curseur (partie mobile). Ce potentiomètre (figure 3) comporte une prise fixe P où se trouve branché le condensateur C.

C u

v

M P

A 30 k

10 kΩ

x R1

R2 R3

H

Figure 3

Cet ensemble constitue un correcteur physiologique de type « loudness » simplifié utilisé dans les amplificateurs Hi Fi.

La position du curseur A dans la région PM (10 k) du potentiomètre correspond à la figure 1 et il lui est associé une pulsation de coupure ω0 (ou f0).

Par contre, la position du curseur A dans la région HP (30 k) du potentiomètre correspond à la figure 2 et il lui est associé deux pulsations de coupures ω1 et ω2. 6. On appelle R (40 kΩ) la valeur totale du potentiomètre (R1+R2+R3). On pose de plus, x la

résistance variable (de 0 à 30 kΩ) entre le point H et le curseur A.

a. Donner la variation du coefficient K en fonction de x.

b. Représenter sur un même graphe, les variations des fréquences de coupures f0 f1 et f2 en fonction de x.

c. Quels commentaires peut-on faire sur les courbes de réponses en fonction de la résistance x ?

(3)

CORRECTION

Q1 : On propose de nommer Z l’ensemble constitué par C, R2 et R3 : Z R R j C R R

= +

+ +

2 3

2 3

1 ω ( )

C R1

R2

R3 u

v

H

P

A

M

w

Z

Le calcul se fait alors en deux étapes utilisant successivement un diviseur de tension : u/w puis v/w.

w u Z

R Z v w R

R R

= + =

1 +

3

2 3

Il vient alors :

v u

R

R R R j C R R R

= 1+ 23+ 3 + 2+ 3

1

1 ω. ( 1//( ))

K R

R R R

0

3

1 2 3

= + + ω0

2 3

1

= 1

+ C R( //(R R ))

Q2a : K0 = 0,125 f0 = 212 Hz

Q2b : v

u K f

dB f

=20 0 −10 1+

0

log( ) log( ( ) ) 2 Φ( )v tan( )

u Arc f

= − f

0

Graphe asymptotique de Bode du module (les carrés rouges correspondent aux points calculés). On remarquera la bonne approximation du graphe asymptotique.

50 40 30 20 10 0

212

20log(K0)

10 1+

0

log( ( f2)) f

Graphe résultant module en dB

(4)

correspondent aux points calculés). On remarquera la bonne approximation du graphe asymptotique.

80 60 40 20

212

arg (v/u) en degrés

10 100 1 103

1 104

f en Hz -45° par décade

Les carrés rouges correspondent à des points calculés. Le graphe asymptotique de Bode est représenté en bleu.

Q3 : On propose de nommer Z, l’ensemble constitué par C et R3 : Z R

= j CR +

3

1 ω 3). Dans ces conditions : v u R Z

R R Z

= +

+ +

2

1 2

Z C

R1

R2

R3 u

v

H

P A

M

On obtient alors l’expression suivante :

v u

R R

R R R

j C R R R R j C R R R

R R R

= +

+ +

+ +

+ +

+ +

3 2

1 3 2

3 2

3 2

3 1 2

1 3 2

1 1

ω ω

.

. ( )

K R R

R R R

= +

+3 +2

1 3 2

ω1

3 2

= 1

C R( //R ) ω2

3 1 2

= 1

+ C R( //(R R )

Q4 : ω1

3 2

= 1

C R( //R )> ω2

3 1 2

= 1

+

C R( //(R R ) soit f1 > f2

(5)

Q5a : Application numérique : K = 0,35 f1 = 557 Hz f2 = 212 Hz

Q5b

10 1

1

log +( )2

 

 f f

20logK

−  +

 



10 1

2

log ( f )2

f dB

10 100 1 103

1 104 40

20 0 20

f2 f1

f Hz

Graphe des 3 fonctions de la relation (1), leur somme est représentée en rouge. Les basses fréquences sont favorisées par rapport aux hautes fréquences.

Graphes de Bode du déphasage de la sortie v par rapport à l’entrée u.

Φ = +0 −

1 2

Arc f

f Arc f

tan( ) tan( f ) (2)

10 100 1 103

1 104 90

45 0 45 90

f2 f1

f Hz

Degrés

Arc f

tan(1 f )

1

+

Arc + f tan(1 f )

2

(6)

Q6a : Schéma du potentiomètre :

C u

v

M P

A 30 k

10 k x R1

R2 R3 H

Le coefficient K dépend de la position du curseur A est lié à un diviseur de tension. Aux très basses fréquences où l’impédance du condensateur C est négligeable devant les autres résistances :

K v u

R x

TBF R

=



 = −

0 1 104

2 104

3 104

4 104 0

0.5 1

K x

x

Variation du coefficient K en fonction de la résistance x

Q6b :

Le curseur se trouve entre H et P soit 0 < x < 30 kΩΩΩΩ.

• La résistance R2 de la figure 2 devient alors : (R-R3-x).

• La somme R1+R2 qui se trouve remplacée par (R-R3), est fixe.

Dans ces conditions la fréquence de coupure : f

C R R R Hz

2

3 3

1

2 212

= π.

[

//(

]

= est fixe.

Seule la fréquence de coupure f1 avec x varie selon :

f1 C R3 R R3 x 1

=2

− −

[ ]

π. //( ) Le curseur se trouve entre P et M : 30 < x < 40 kΩΩΩΩ

La fréquence de coupure f

C R R R Hz

0

2 3

1

2 1 212

= + =

π. ( //( )) est fixe et égale à f2.

(7)

0 1 104

2 104

3 104

4 104 100

1 103

212 Hz Hz

f0 f2

f1 (x)

X en Ω

H P M

Evolution des fréquences de coupures en fonction de 0 < x < 30 kΩ et 30 < x < 40 kΩ

Q6c : La variation de la fréquence f1 avec la position du curseur du potentiomètre entraîne d’une part une atténuation et corrélativement, un relèvement des fréquences basses vis à vis des fréquences aigues.

10 100 1 103 1 104

20 17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0

f

x = 10 kΩ

x = 20 kΩ

x = 27 kΩ dB

Hz

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