Courbes de B´ ezier

Courbes de B´ ezier

1) Forme r´ ealis´ ee par la jonction de deux arcs de courbes de B´ ezier :

Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal O;−→

i ,−→ j

(unit´e graphique 2 cm) On consid`ere dans ce rep`ere les pointsA(4; 10) ,B(2; 5) ,M(3; 10) etN(2; 9).

L’objectif du probl`eme est de relier les points O et A `a l’aide de deux courbes de B´ezier C1 et C2 qui se raccordent enB.

C₁ est la courbe de B´ezier d´efinie `a partir des points de d´efinitionA,M,N,B.

C₂ est une courbe de B´ezier reliant O et B, ayant enB une tangente parall`ele `a l’axe des ordonn´ees et en O une tangente qui a pour ´equationy=x

a) Justifier que la tangente enA`aC1 est parall`ele `a l’axe des abscisses.

b) Justifier que les courbes C1 et C2 qui satisfont aux conditions donn´ees admettent bien la mˆeme tangente au pointB.

Trac´ e de C

c) On consid`ere la courbe d´efinie par :

x(t) = t³−3t+ 4

y(t) = −2t³−3t²+ 10 pour t∈[0; 1]

Etudier les variations des deux fonctions et r´esumer les r´esultats dans un tableau.

d) Montrer que la courbe ainsi d´efinie passe par les pointsAetB et pr´eciser les tangentes en ces points.

On admettra que cette courbe est la courbe de B´ezierC1 associ´ee aux points de d´efinitionA, M,N, B.

e) TracerC1. La repr´esentation graphique sera la plus pr´ecise possible.

Trac´ e de C

La courbe C2 satisfait aux conditions de l’introduction et est contrˆol´ee par les trois pointsO,T et B f ) Caract´eriser g´eom´etriquement le pointT, et d´eterminer ses coordonn´ees.

g) Construire les pointsM1 et M2 deC2qui correspondent `a t= 0,25 et t= 0,5 et donner l’allure de la courbeC2.

2) Courbe de B´ ezier d´ efinie par points et polynˆ omes de Bernstein

Par d´efinition, n ´etant un entier et k un entier inf´erieur ou ´egal `a n, on appelle fonctions polynˆomes de Bernstein de degr´en, les fonctionsBk,nd´efinies sur [0; 1] par :

Bk,n(t) =C_n^kt^k(1−t)^n−k

a) Donner les expressions de ces polynˆomes lorsque n = 4 sous forme de produit de polynˆomes du premier degr´e, puis sous forme d´evelopp´ee et ordonn´ee.

b) R´esoudre chacune des ´equations Bk,4(t) = 0 pour 06k64.

Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal O; −→

i ,−→ j

, on consid`ere les points de contrˆole : P0(3; 0) , P₁(0; 1) ,P₂(−1; 0) ,P₃(0;−1) ,P₄(3; 0) et la courbeC ensemble des pointsM(x, y) tels que :

−−−−−→

OM(t) =

4

X

k=0

B_k,4(t)−−−→

OP_k On prendra pour unit´e graphique 3 cm sur chaque axe pour le trac´e .

c) Soit les fonctionsf etg d´efinies pour pour 06k64 par : f(t) = 12t²−12t+ 3

g(t) = 8t³−12t²+ 4t V´erifier qu’une repr´esentation param´etrique deC est :

x = f(t) y = g(t)

d) Etudier les variations des fonctionsf etg, et r´esumer les ´etudes dans un tableau commun.

e) Montrer que les vecteurs −−−→

P0P1 et −−−→

P3P4 sont des vecteurs directeurs des tangentes `a la courbe aux points correspondants aux valeurs 0 et 1 du param`etret.

f ) Construire la courbe dans le rep`ere orthonormal O;−→

i ,−→ j

, en pr´ecisant les points o`u la tangente est parall`ele `a l’un des axes du rep`ere.

3) Courbe de B´ ezier d´ efinie point par point avec les barycentres

Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal O;−→

i ,−→ j

(unit´e graphique 2 cm) On consid`ere la courbe de B´ezierCde points de d´efinition :

P₀(−1;−1) ; P₁(2; 5) ; P₂(5; 2)

Pour tout r´eel t tel que 06k61, on noteG1(t) le barycentre des points pond´er´es (P0,1−t) et (P1, t) , etG2(t) le barycentre des points pond´er´es (P1,1−t) et (P2, t).

On rappelle que le barycentreM(t) des deux points pond´er´es (G1(t),1−t) et (G2(t), t) est un point de la courbeC et que la tangente `a cette courbe au pointM(t) est la droite (G₁(t)G₂(t)).

a) Placer les pointsG1(t) ,G2(t) et M(t) sur une mˆeme figure pour les valeurs suivantes det : t= 0 ; t=1

4; t= 1

3; t=1

2; t= 2

3; t= 3

4; t= 1 b) En d´eduire l’allure de la courbeC.

On rappelle que la courbe de B´ezier a pour repr´esentation param´etrique :

−−−−−→

OM(t) =

2

X

k=0

C₂^kt^k(1−t)^2−k−−−→

OP_k avec 06k61

c) D´eterminer les coordonn´eesx=f(t) et y=g(t) du point M(t).

d) Etudier les variations des fonctions´ f etg, et r´esumer les ´etudes dans un tableau commun.

e) Quelle information suppl´ementaire apporte le tableau de variation ? f ) Tracer la courbeC.

Courbes de B´ ezier (Solutions)

1) Forme r´ ealis´ ee par la jonction de deux arcs de courbes de B´ ezier :

A(4; 10) ,B(2; 5) ,M(3; 10) et N(2; 9) C₁ est la courbe de B´ezier d´efinie `a partir des points de d´efinitionA,M,N,B.

C₂ est une courbe de B´ezier reliant O et B, ayant enB une tangente parall`ele `a l’axe des ordonn´ees et en O une tangente qui a pour ´equationy=x

a) La tangente en A `a C₁ est le vecteur −−→

AM de coordonn´ees (−1; 0) qui est donc parall`ele `a l’axe des abscisses.

b) La tangente en B `a C1 est le vecteur −−→

BN de coordonn´ees (0,4) qui est donc parall`ele `a l’axe des ordonn´ees comme la tangente en B `aC2.

Trac´ e de C

c) C₁:

x(t) = t³−3t+ 4

y(t) = −2t³−3t²+ 10 pour t∈[0; 1]

x⁰(t) = 3t²−3 = 3(t−1)(t+ 1) y⁰(t) = −6t²−6t = −6t(t+ 1)

t 0 1

x(t) 4 ← 2

x⁰(t) −3 − 0

y⁰(t) 0 − −12

y(t) 10 ↓ 5

y⁰

x⁰ ↔ l

d) On constate que la courbeC1passe bien :

– par le point A, pour t= 0 on a x(0) = 4 et y(0) = 10 avec une tangente horizontale – par le point B, pour t= 1 on a x(1) = 2 et y(1) = 5 avec une tangente verticale

e) Repr´esentation graphique deC₁.

x x

−

→i

−

→j

O 2 4

5

10 ×A

M× N×

×B

×T

Trac´ e de C

La courbe C2 satisfait aux conditions de l’introduction et est contrˆol´ee par les trois pointsO,T et B

f ) Caract´erisation g´eom´etrique du pointT : La droiteOT est la droite d’´equation y=x et la droite T B est la verticle d’´equation x= 2 donc, T est le point de coordonn´ees (2,2)

g) Construire les pointsM1 et M2 deC2qui correspondent `a t= 0,25 et t= 0,5 et donner l’allure de la courbeC2.

t= 0,25

x x

−

→i

−

→j

O M1×

×B

×T

×

× t= 0,5

x x

−

→i

−

→j

O

M2×

×B

×T

×

×

2) Courbe de B´ ezier d´ efinie par points et polynˆ omes de Bernstein

Par d´efinition, n ´etant un entier et k un entier inf´erieur ou ´egal `a n, on appelle fonctions polynˆomes de Bernstein de degr´en, les fonctionsBk,nd´efinies sur [0; 1] par :

Bk,n(t) =C_n^kt^k(1−t)^n−k a) Expression des polynˆomes de Bernstein :















B0,4(t) = C₄⁰t⁰(1−t)⁴⁻⁰ = (1−t)⁴ = t⁴−4t³+ 6t²−4t+ 1 B1,4(t) = C₄¹t¹(1−t)⁴⁻¹ = 4t(1−t)³ = −4t⁴+ 12t³−12t²+ 4t Bk,2(t) = C₄²t²(1−t)⁴⁻² = 6t²(1−t)² = 6t⁴−12t³+ 6t²

Bk,3(t) = C₄³t³(1−t)⁴⁻³ = 4t³(1−t) = −4t⁴+ 4t³ Bk,4(t) = C₄⁴t⁴(1−t)⁴⁻⁴ = t⁴ = t⁴

b) R´esoudre chacune des ´equations Bk,4(t) = 0 pour 06k64.















(1−t)⁴= 0 t= 1

4t(1−t)³= 0 t= 0 t= 1 6t²(1−t)²= 0 t= 0 t= 1 4t³(1−t) = 0 t= 0 t= 1

t⁴= 0 t= 0 Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal

O;−→ i ,−→

j

, on consid`ere les points de contrˆole :P₀(3; 0) ,P₁(0; 1) ,P2(−1; 0) ,P3(0;−1) ,P4(3; 0) et la courbeC ensemble des pointsM(x, y) tels que :

−−−−−→

OM(t) =

4

X

k=0

Bk,4(t)−−−→

OPk

On prendra pour unit´e graphique 3 cm sur chaque axe pour le trac´e .

c) V´erification de la repr´esentation param´etrique deC :

x= (1−t)⁴ ×3 + 4t(1−t)³×0 + 6t²(1−t)²×(−1) + 4t³(1−t)×0 +t⁴×3 = 12t²−12t+ 3 y= (1−t)⁴ ×0 + 4t(1−t)³ ×1 + 6t²(1−t)²×0 + 4t³(1−t)×(−1) +t⁴×0 = 8t³−12t²+ 4t d) Etude des variations des fonctionsf etg.







f(t) = 12t²−12t+ 3 g(t) = 8t³−12t²+ 4t

donc :







f⁰(t) = 24t−12 = 12(2t−1) g⁰(t) = 24t²−24t+ 4 = 4(t−α)(t−β)

avec :

α=3−√ 3 6 β= 3 +√

3 6

t 0 α 1/2 β 1

x(t) 3 ← 1 ← 0 → 1 → 3

x⁰(t) −12 − − 0 + + 12

y⁰(t) 4 + 0 − − 0 + 4

y(t) 0 ↑ ²

√3

9 ↓ 0 ↓ −²

√3

9 ↑ 0

y⁰

x⁰ −¹₃ ↔ l ↔ ¹₃

e) Les vecteurs −−−→

P₀P₁ et −−−→

P₃P₄ sont des vecteurs directeurs des tangentes `a la courbe aux points correspondants aux valeurs 0 et 1 du param`etret.

Le vecteur −−−→

P0P1 de coordonn´ees (−3,1) de coefficient directeur 1

3 correspont `a t= 0 y⁰(0) x⁰(0)−1

3 Le vecteur −−−→

P3P4 de coordonn´ees (3,1) de coefficient directeur −1

3 correspont `a t= 1 y⁰(1) x⁰(1) = 1

3 f ) CourbeC.

x y

−

→i

−

→j

O ×P0=P4

×P1

P2×

×P₃

3) Courbe de B´ ezier d´ efinie point par point avec les barycentres

Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal O;−→

i ,−→ j

(unit´e graphique 2 cm) On consid`ere la courbe de B´ezierCde points de d´efinition :

P₀(−1;−1) ; P₁(2; 5) ; P₂(5; 2)

Pour tout r´eel t tel que 06k61, on noteG1(t) le barycentre des points pond´er´es (P0,1−t) et (P1, t) , etG2(t) le barycentre des points pond´er´es (P1,1−t) et (P2, t).

On rappelle que le barycentreM(t) des deux points pond´er´es (G1(t),1−t) et (G2(t), t) est un point de la courbeC et que la tangente `a cette courbe au pointM(t) est la droite (G1(t)G2(t)).

a) Placer les pointsG1(t) ,G2(t) et M(t) sur une mˆeme figure pour les valeurs suivantes det : t= 0 ; t=1

4; t= 1

3; t=1

2; t= 2

3; t= 3

4; t= 1

t 0 ¹₄ ¹₃ ¹₂ ²₃ ³₄ 1

G₁(t) (−1,−1) (−¹₄,¹₂) (0,1) (¹₂,2) (1,3) (⁵₄,⁷₂) (2; 5) G2(t) (2,5) (¹¹₄,¹⁷₄) (3,4) (⁷₂,⁷₂) (4,3) (¹⁷₄,¹¹₄) (5; 2) M(t) (−1,0) (¹₂,²³₁₆) (1,2) (2,¹¹₄) (3,3) (⁷₂,⁴⁷₁₆) (5; 2) b) En d´eduire l’allure de la courbeC.

x y

−

→i

−

→j

O 5

5

P0×

P1×

×P2

×

×

× t= ¹₂

×

×

× t= ¹₄

×

×

× t=³₄

× t=ײ₃ ×

×

×

× t= ¹₃

c) Calcul des fonctionsf etg.







f(t) = 6t−1

g(t) =−9t²+ 12t−1

donc :







f⁰(t) = 6

g⁰(t) = −18t+ 12 = 6(−3t+ 2)

d) Etude des variations des fonctionsf etg.

t 0 2/3 1

x(t) 0 → 3 → 5

x⁰(t) 6 + 6 + 6

y⁰(t) 12 + 0 − −6

y(t) −1 ↑ 3 ↓ 2

y⁰

x⁰ 2 ↔ −1

e) Quelle information suppl´ementaire apporte le tableau de variation ? On voit que pourt=2

3 on a un sommet de coordonn´ees (3,3).

f ) Tracer la courbeC.

x y

−

→i

−

→j

O 5

5

P0×

P1×

×P2