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Devoir surveill´e - 17 f´evrier 2016 Toute r´eponse doit ˆetre expliqu´ee

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Academic year: 2022

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Universit´e Joseph Fourier - L1 - Math 123 2015-2016

Devoir surveill´e - 17 f´evrier 2016

Toute r´eponse doit ˆetre expliqu´ee. En particulier, si votre r´eponse est un (contre- )exemple, il faut expliquer pourquoi c’en est un. Seuls les r´esultats du cours peuvent ˆetre utilis´es sans justification.

Question de cours

1. Donner la d´efinition d’une suite tendant vers −∞.

2. Montrer en utilisant uniquement les d´efinitions du cours que un

n→∞−∞ ⇒u2n

n→∞+∞.

Exercice 1.

1. Existe-t-il x∈Qet n∈N tels que xn ∈/Q? 2. Existe-t-il x /∈Qet n∈N tels que xn ∈Q?

3. Existe-t-il x /∈Qet n∈N, n /∈ {0,1} tels que xn∈/ Q?

Exercice Soit A={exp(n1), n∈N}.

1. D´eterminer inf(A) et sup(A).

2. Ces bornes sont-elles atteintes par un ´el´ement de A?

Exercice Soit la suite (un)n d´efinie par ∀n∈N, un= 4n3+ 4n√ n−10

−1 +√

n+n2 . 1. Montrer que un est bien d´efinie.

2. Donner un ´equivalent simple deun.

3. Montrer que n(un−4n) converge et donner sa limite.

Exercice Soit (un)n et (vn)n deux suites telles que un+vn →L.

1. Donner un exemple o`u aucune des deux suites ne converge vers une limite finie ou infinie.

2. Est-il possible que un converge vers une limite finie mais pas vn?

Probl`eme

1. Pour quels n ∈Z a-t-on n2 = sinn? 2. Soit B ={sin(n) +m2

m2+n2 , m∈Z, n ∈Z}.

3. Montrer que 1 est un majorant de B.

4. A-t-on 1∈B? 5. B est-elle minor´ee ?

6. Soient a∈R et b >0. Montrer queun = a+nn2+b2 a une limite et la d´eterminer.

7. D´eduire des questions pr´ec´edentes sup(B).

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