Cqqqq =-++ 00232005000 , Exercice 2 - Coût marginal et coût moyen Exercice 1 - Fonction d’offre, fonction de demande

Exercice 1 - Fonction d’offre, fonction de demande

Quelques explications sur l’offre et la demande

La Demande représente la quantité d’un bien ou un service qu’une personne désire acquérir à un prix donné. Elle est fonction du prix d’achat : plus le prix s’élève, plus la Demande diminue, on dit qu’elle est fonction décroissante de son prix.

L’Offre représente la quantité d’un bien qu’une personne désire vendre sur le marché à un prix donné.

L’Offre est normalement une fonction croissante du prix : plus le prix d’un produit est élevé, plus (pour un coût de production donné) il est intéressant pour un producteur d’en vendre, son bénéfice croissant avec le prix.

La courbe de Demande et la courbe d’Offre étant respectivement décroissante et croissante en fonc- tion du prix, ont un point d’intersection où les quantités demandées et offertes sont égales pour un prix donné. Sur le marché d’un produit donné, le prix d’équilibre est celui qui permet l’égalité entre les quantités offertes et demandées.

Si les producteurs acceptent le prix d’équilibre, ils peuvent vendre la totalité de leur production, il n’y a ni surproduction ni sous-production. De même, la Demande de tous les acheteurs, qui sont prêts à payer ce prix, est satisfaite, il n’y a ni sous-, ni surconsommation : le marché est équilibré.

Enoncé

Pour un produit donné, la fonction d’offre s’exprime par f (x) = 0,25x² + x + 40 et la fonction de demande par g(x) = 100 – 8x + 500

2x+5, où x est la quantité de produit exprimée en milliers d’unités et où f (x) et g(x) sont les prix unitaires de vente et d’achat exprimés en euros. Ces modélisations sont valables entre 0 et 12000 unités de ce produit.

1) Justifier que, sur notre intervalle d’étude, la fonction f est croissante et la fonction g est décroissante.

2) Représenter graphiquement ces deux fonctions puis donner par lecture graphique la position approxi- mative du point d’équilibre de ce produit sur le marché.

Exercice 2 - Coût marginal et coût moyen

L’entreprise AAA examine ses coûts de production hebdomadaires.

Ceux-ci sont la somme de coûts fixes (5000 €) et de coûts variables exprimables en fonction de la quantité q à produire, en unités. La formule définitive du coût total de production, C(q) en euros est donnée ci- après et valable pour q ∈ [0 ; 160] : ^{C q}

( )

^{=0 02, q3−3q2+200q+5000.}

On donne ci-dessous le graphique 1 représentant la fonction C dans l’intervalle cité.

1) Coût marginal

Lorsqu’on envisage de produire q unités de notre produit, le coût marginal est le coût de production de l’unité supplémentaire. C’est donc la différence entre le coût de production de q+1 unités et celui de q unités. Par définition, le coût marginal Cm(q) est donc : ^Cm

( ) (

^{q =C q+ −1}

) ( )

^{C q .}

Conséquences :

En remarquant que ^{C q}

(

^{+ −1}

) ( )

^{C q} peut se noter ^{C q}

(

^{+ −h}

) ( )

^{C q}

h pour h = 1, on constate que le coût marginal est le taux de variation de la fonction C entre un point A d’abscisse q et un point B d’abscisse q+1, autrement dit : ^Cm

( )

^q est la pente de la droite (AB).

De plus, 1 (= h) étant généralement petit devant q, cette pente est très proche de celle de la tan- gente en A à la courbe de la fonction C, autrement dit : ^{C q′}

( )

^.

C’est pour cette raison que dans la pratique, en économie, on décide parfois de calculer le coût marginal autrement que par sa définition première (premier encadré, ci-dessus), par ce moyen :

( ) ( )

Cm q ≈C q′

a. Calculer le coût marginal de 50 pièces produites, comparer à ^C′

( )

^{50 .}

Faire de même pour q = 150. Remarques ?

b. Déterminer graphiquement le point de production pour lequel le coût marginal est minimal.

c. Créer un second graphique, « graphique 2 » dans lequel on tracera la courbe de la fonction C’, déri- vée de C, qui représentera désormais le coût marginal de production Cm. Faire le lien avec la réponse à la question précédente.

2) Coût moyen

Lorsqu’on envisage de produire q unités de notre produit, le coût moyen est le coût de production total rapporté au nombre d’unités produites.

Par définition, le coût moyen CM(q) est donc : ^CM

( ) ( )

^{q =C q}

q . Conséquence :

Considérons l’origine O du repère et un point A(q, C(q)) sur la courbe de la fonction C.

Le coût moyen, tel que défini, est ainsi la pente du segment [OA].

a. Tracer la courbe de la fonction CM sur le graphique 2.

b. Justifier, par lecture graphique sur le graphique 1, que Cm(50) < CM(50) et que Cm(150) > CM(150).

c. Sur le graphique 1, déterminer le point A de la courbe de C en lequel CM est minimal. Confirmer l’abscisse approximative du point A d’après ce que montre le graphique 2.

d. Vérifier à l’aide des deux graphiques les affirmations suivantes :

* « le coût moyen baisse tant que le coût marginal est inférieur au coût moyen »

* « lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal »

Exercice 3 - Boîte cylindrique fermée

Nous devons fabriquer une boîte cylindrique fermée de volume V. Quelle relation entre son rayon R et sa hauteur H doit-il exister pour que la surface S de matériaux en feuille utilisée soit minimale ? Quelle est

minimale. Notre objectif est donc de déterminer quels sont le rayon R et la hauteur H à choisir pour mi- nimiser cette aire.

1) Montrer que l’aire peut s’écrire en fonction de la variable R seule comme suit : ^{A R}

( )

^{R2 2V}

= π + R 2) a. Etudier les variations de cette fonction ; en déduire le rayon optimal à choisir.

b. Donner dans ces conditions optimales le rapport entre R et H.

Exercice 5 - Gouttière

Une gouttière est fabriquée avec trois plaques métalliques P1, P2 et P3 (voir figures ci-contre) de mêmes dimensions : AB = BC = CD = 10 cm. Sa section est un trapèze isocèle, ce qui se traduit sur la se- conde figure par : * (AD) et (BC) sont parallèles, * AH = KD, * HK = BC et enfin * BCKH est un rectangle.

Le seul paramètre réglable, pour finaliser sa fabrication, est l’angle θ que doit faire [AB] avec la verticale [BH] (angle qui sera donc pris aussi par [CD] avec [CK]).

L’objectif de cet exercice est de trouver la valeur de l’angle θ qui rendra l’aire du trapèze ABCD maximale, permettant ainsi à la gouttière de convoyer le débit d’eau le plus important possible.

Pour faire cet exercice, vous avez le choix entre (ne traitez pas les deux !) :

* traiter la partie 1, qui met le problème en équation avec la variable θ^,

OU * traiter la partie 2, qui met le problème en équation avec la variable x = AH = KD.

Partie 1

On considère la variable θ, que l’on prendra logiquement entre 0 et 2 π.

1) a. Déterminer les distances BH et AH en fonction de θ, puis l’aire

A

(θ) du trapèze.

b. Dériver

A

(θ) par rapport à θ^.

2) a. Montrer qu’une dérivée positive équivaut à la positivité du polynôme -2S² - S + 1 où S = sinθ^. b. Etudier le signe du polynôme -2S² - S + 1 en fonction de S.

c. Conclure sur les variations de

A

(θ) en fonction de θ et donc sur l’objectif de l’exercice.

Partie 2

On considère la variable x = AH = KD, que l’on prendra logiquement entre 0 et 10 (cm).

1) a. Déterminer la hauteur BH en fonction de x, puis l’expression

A

(x) de l’aire du trapèze.

b. Dériver

A

(x) par rapport à x.

2) a. Montrer qu’une dérivée positive équivaut à la positivité du polynôme -x² - 5x + 50.

b. Etudier le signe du polynôme -x² - 5x + 50 en fonction de x.

c. Conclure sur les variations de

A

(x) en fonction de x et donc sur l’objectif de l’exercice.

Exercice 6 - Triangle dans parabole

La figure ci-contre montre la parabole d'équation

4 2

y= −x dans l'intervalle

[

^{−2 ; 2}

]

de valeurs de x. Le point M (–2 , 0) est fixe, tandis que les points A (a , 0) et P (a , 4 – a²) sont mobiles (le premier sur l'axe des abs- cisses et le second sur la parabole ; [AP] est donc verti- cal), selon la valeur du paramètre a, pouvant évoluer dans l'intervalle

[

^{−2 ; 2}

]

^.

Comment choisir la valeur de a pour que l'aire du triangle MAP soit maximale ? Calculer alors cette aire.

Exercice 7 - Problème du maître-nageur

Un maître-nageur se trouve au bord de la plage. Il dispose de 360 mètres de corde-bouée pour délimiter une aire de baignade en for- mant deux côtés d’un triangle isocèle (voir figure : les deux côtés sont en trait plein, mesurant 180 m chacun). L’objectif est de don- ner à ce triangle la forme optimale afin de rendre maximale son aire (donc l’aire de baignade).

La forme à choisir pour le triangle peut être décrite par le choix

d’une variable x, demie longueur de la base, ou par le choix d’une variable θ, angle entre la base et un des côtés de 180 m.

Vous traiterez l’exercice en optant pour l’une OU l’autre modélisation.

Si vous choisissez la variable x, vous devrez justifier dans un premier temps que l’aire du triangle est

2 2

180

x −x ; si vous choisissez la variable θ, vous devrez justifier dans un premier temps que l’aire du triangle est 180²cos sinθ θ . Enfin, une fois trouvée la valeur optimale de votre variable, vous devrez donner les dimensions du triangle obtenu (base, hauteur, aire).

Exercice 8 - Chemin minimal

Quatre villages A, B, C et D sont situés aux sommets d'un carré de 10 kilomètres de côté. On se propose de relier ces quatre villages par un réseau de fibres optiques comportant deux "nœuds" en M et N comme indiqué sur la figure ci-dessous. Les points M et N sont symétriques par rapport au centre du carré et le réseau est symétrique par rapport aux média- trices du carré.

M

A P

1) Déterminer la valeur de x pour laquelle la longueur totale du réseau est minimale.

2) En déduire la longueur totale de ce réseau de fibres optiques (valeur exacte et valeur approchée au 1/10 de kilomètre).

Exercice 9 - Silo

Un silo est constitué d'un cylindre de rayon r et de hauteur h, surmonté d'une demi-sphère de même rayon r. La quantité de matière nécessaire à la fabrication des parois (plancher inférieur + paroi latérale du cylindre + demi- sphère) est fixée, c’est-à-dire que la surface totale correspondante est im- posée, et notée S0.

1) En exprimant l'aire totale et le volume du silo, déterminer les dimen- sions r et h à choisir pour que le volume soit maximal.

Indication : on exprimera le volume du silo en fonction du rayon r

seul, et on montrera que la dérivée de ce volume par rapport à r s'exprime comme ¹₂

(

^{S0− π5 r2}

)

^.

Rappel : l'aire d'une sphère est 4πr² et son volume intérieur est ⁴ 3πr³. 2) Application numérique

On choisit pour S0 la valeur 5π. Déterminer alors les valeurs r0 et h0 qui optimisent le volume, ainsi que la valeur de ce volume maximal.

Exercice 10 - Quart de cercle

Un point M se trouve sur le premier quart du cercle trigonométrique (voir figure). Dans le repère d’origine O, A est le point (1, 0) et on note x l’angle

(

^{OA , OM}

)

. H est le projeté orthogonal de M sur la droite (OA).

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

1) a. Exprimer l’aire du triangle OMH en fonction de x. b. Etudier les variations de cette fonction pour x∈ [0 ;

2

π]. Dire alors pour quelle valeur de x l’aire du triangle OMH se trouve maximale et calculer cette aire.

2) a. On recherche la valeur de x telle que l’aire du triangle OMH est égale à l’aire de la portion de disque HMA. Montrer que cela revient à l’égalité x=sin2x

b. Justifier alors que cela se produit pour x compris entre 0,9477 rad et 0,9478 rad.

3) On veut estimer la valeur de sin2x lorsque x est très proche de 0.

a. Etablir un développement limité en 0 de sin2x à l’ordre 3.

b. A l’aide de ce développement limité, donner une estimation de sin0,2 . Comparer avec le résultat donné par la calculatrice, puis calculer le pourcentage d’erreur commis par l’estimation.

Exercice 11 - Cône/sphère

Un cône de base circulaire, de dimensions variables, est inscrit dans une sphère de centre O et de rayon R. Son sommet est le point A, fixe, sur la sphère ; son angle au sommet θ = B’AB est une variable, que l’on peut choisir entre 0 et π radians

(lorsque θ augmente, les points B et B’ remontent sur la sphère, en se rapprochant de A).

L’objectif de l’exercice est de déterminer quelle est la valeur à donner à θ pour que ce cône ait le volume le plus grand possible.

1) a. Déterminer une expression du volume du cône en fonction de θ ^, soit ^V

( ) ^θ

^.

On se souviendra du théorème de l’angle au centre, qui permet de dire que les angles B’AB et HOB sont égaux.

b. Montrer alors que la dérivée de V par rapport à θ ^{est : V′}

( )

^{θ = π1}₃ ^R3sinθ

(

^{3cos2θ+2cosθ−1}

)

^.

2) a. Etudier le signe du polynôme 3X² + 2X – 1 lorsque le réel X parcourt l’intervalle [-1 ; 1].

b. En déduire le signe de ^V′

( ) ^θ

^{pour θ} compris entre 0 et π.

c. Conclure : quelle est la valeur à donner à θ (valeur exacte et valeur approchée exprimée en degrés au dixième près) pour que le cône inscrit ait le plus grand volume possible ? Combien vaut ce vo- lume ? Quel pourcentage représente-t-il par rapport à celui de la sphère ?

Exercice 12 - Mini-barre

La figure ci-contre représente le sol (droite (AB)), un mur perpendiculaire au sol (droite verticale conte- nant B) aussi haut qu'on veut, et un muret (segment [AH]) vertical également, de hauteur h. La distance horizontale AB entre le mur et le muret est notée L.

On doit placer une barre rectiligne en appui sur le sol (point M), sur le mur (point N), et aussi sur le sommet du muret (point H).

L'objectif de l'exercice est de choisir le positionnement de M et N qui minimisera la longueur de la barre.

1) On choisit d'écrire toutes les grandeurs intéressantes en fonction de θ, angle entre la barre et l'hori- zontale. Montrer alors que la longueur de la barre vaut : ^{MN= f}

( )

^{θ =}_sin^h_θ ⁺_cos^L_θ ^.

2) En étudiant les variations de cette fonction, obtenir une condition sur la tangente de l'angle θ ^pour que la longueur de la barre soit minimale (on justifiera le sens de variation de notre fonction).

3) Cas particulier : dans le cas où L = h, quel sera l'angle θ_mincorrespondant à une longueur de barre mi- nimale ? Quelle est alors la longueur de la barre ?

Exercice 13 - Carré dans quadrant

Partie 1 : Déterminons la courbe que parcourt le point Q lorsque α ^{parcourt 0;} 2 π

 

 

 . On note x et y les coordonnées du point Q, pour un angle α déterminé.

1) Donner les écritures de x et y en fonction de α^.

2) Compte tenu des réponses précédentes, montrer que x et y sont forcément unis par la relation : x = y + 1−y²

3) Etudier les variations de x en fonction de y et décrire en particulier la situation où x est maximal.

(pour des raisons simplificatrices, on préférera étudier x en fonction de y et non le contraire, ce qui impliquera par exemple de dériver l’expression au-dessus par rapport à y)

4) Tracer sur la figure de l’énoncé la courbe que parcourt le point Q lorsque α ^{parcourt 0;} 2 π

 

 

 . (un quadrillage est représenté avec 0,1 unité par carreau)

Partie 2 : Notre objectif est de déterminer pour quelle valeur de α ^l’aire

A

est maximale.

1) Compte tenu du contexte géométrique, montrer que

A

= sin²α ^– 2 α + 1

2cosα ^{× sin}α^.

On se souviendra que l’aire d’un secteur angulaire tel que OPT est proportionnelle à son angle d’ou- verture et que pour un angle correspondant à un tour complet, l’aire d’un disque est connue.

2) Après avoir étudié les variations de cette fonction

A

de variable α, donner la solution cherchée.

Partie 3 : Notre objectif est de déterminer pour quelle valeur de α la distance QO est maximale.

1) Compte tenu du contexte géométrique, montrer que QO² = 1 + sin(2α^{) + sin²}α^.

2) On admet que QO est maximale lorsque QO² l’est. Etudier alors les variations de QO² sur l’intervalle de α concerné, puis conclure.

Exercice 14 - Optimisation - Piédestal

Soit un piédestal de hauteur H

sur lequel est posée une statue de hauteur A. Quelle est la dis- tance d de l’observateur au pié- destal qui permet de voir la sta- tue sous l’angle maximal ?

Exercice 15 - Jambe de force

On souhaite réaliser une jambe de force composée de deux barres [OS] et [AT] reliées au point T. Sur la figure, O, A et H sont des points fixes. Les points T et S doivent respecter les contraintes suivantes :

* S doit être choisi sur un axe parallèle à (OA) et conte- nant H, avec OH = 1 m ;

* O, T et S sont bien sûr alignés ;

* [AT] est perpendiculaire à (OA).

L’objectif est de déterminer la position des points glissants S et T qui rend la longueur totale AT + OS mi- nimale.

Vous pouvez traiter l’exercice au choix : en utilisant des coordonnées cartésiennes, ou alors avec des outils trigonométriques… ne faites pas les deux !

Choix d’une étude en coordonnées cartésiennes :

On nommera x l’abscisse du point S dans ce repère d’origine O (x est forcément supérieur ou égal à 1, sinon [AT] ne serait plus reliée à [OS]…).

1) Montrer que la longueur totale AT + OS est égale à 1 ² 1 x

x+ + . (on pourra s’aider du point K) 2) Montrer que la dérivée de cette fonction est positive tant que x⁶> +1 x².

3) Calculer x⁶ et 1+x² pour x = 1,14 puis pour x = 1,16. En déduire la valeur, approchée à 10^-2 près, de x qui rend la longueur totale de la jambe de force minimale (justifier « minimale »), ainsi qu’une valeur approchée (au cm près) de cette longueur totale.

Choix d’une étude trigonométrique :

On nommera θ l’angle fait entre (OA) et (OS) (θ est forcément inférieur ou égal à 4

π, sinon [AT] ne serait plus reliée à [OS]…).

1) Montrer que la longueur totale AT + OS vaut : tan sin

θ⁺ 1θ . (on pourra s’aider des points M, L et K) 2) Montrer que la dérivée de cette fonction est positive tant que cos²θ+cos³θ<1.

3) Calculer cos²θ+cos³θ pour θ = 0,716 rad puis pour θ = 0,714 rad. En déduire la valeur, approchée à 10^-3 près, de θ qui rend la longueur totale de la jambe de force minimale (justifier « minimale »), ainsi qu’une valeur approchée (au cm près) de cette longueur totale.

Exercice 16 - Gravity

Un récipient est cylindrique, de hauteur H (mètres), d’aire de base S (m²) et de masse M (kg) à vide.

Il peut contenir une certaine quantité de liquide, de masse volumique ρ ^(kg.m-3), repérée par la cote h de sa surface (h ∈ [0 ; H], en mètres). La masse de liquide présente sera notée m (kg).

L’objet de cet exercice est de s’intéresser à la cote yG du centre de gravité de l’ensemble [récipient + li- quide], en fonction de la cote h de la surface du liquide. Plus précisément, les figures ci-dessous suggè- rent que yG n’est pas constant (suivant la quantité de liquide dans le récipient) et qu’il doit exister au moins une valeur de h pour laquelle yG est le plus faible possible.

1) Déterminons pour quelle valeur de h le centre de gravité G est le plus bas possible.

a. Montrer que la formule (F) devient : 1 2

y =2 + +

G

CH h

C h en notant C la constante ρ

M S. b. Étudier les variations de yG, fonction de la variable h, sur l’intervalle [0 ; H].

c. Calculer la valeur minimale de yG, que remarque-t-on ? Donner une interprétation physique de cette particularité.

d. Résoudre l’équation yG = h puis en déduire le lien avec vos conclusions précédentes.

2) Calculer yGmin avec l’application numérique : H = 0,2 m ; S = 0,008 m² ; M = 0,1 kg ; ρ = 1000 kg.m^-3.