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Analyse des syst`emes dynamiques : mod`eles discrets
S. Mousset
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Syst` emes dynamiques discrets dans R , utilisation de et de maple.
Table des mati` eres
1 D´ efinition des mod` eles 2
2 Analyse qualitative des syst` emes discrets 2 2.1 Points d’´ equilibre . . . . 2 2.2 Stabilit´ es des points d’´ equilibre . . . . 2 3 Repr´ esentation en toile d’araign´ ee (cobweb) 3 3.1 Impl´ ementation des mod` eles . . . . 3 3.2 Trac´ e . . . . 3
4 Cycles limite 4
1 D´ efinition des mod` eles
Les mod` eles discrets de dynamique des populations sont d´ efinis par leur fonction de r´ ecursion :
N t+1 = f (N t ) Au cours de ce TD nous ´ etudierons les suivants :
Le mod` ele logistique discret
N t+1 = N t + rN t
1 − N t
K
o` u r et K sont des param` etres positifs.
Le mod` ele logistique g´ en´ eralis´ e discret
N t+1 = N t + rN t 1 − N t
K θ !
o` u r et K sont des param` etres positifs.
Le mod` ele de Gompertz discret
N t+1 = N t − rN t ln N t
K
o` u r et K sont des param` etres positifs. Notez le signe moins !
2 Analyse qualitative des syst` emes discrets
2.1 Points d’´ equilibre
Question. Comment obtient-on les points d’´ equilibre d’un mod` ele discret de dynamique des populations ?
Exercice. Retrouvez les points d’´ equilibre du mod` ele logistique discret.
Exercice. Quels sont les points d’´ equilibre du mod` ele de Gompertz discret ? Exercice. Mˆ eme question pour ceux du mod` ele logistique g´ en´ eralis´ e discret.
2.2 Stabilit´ es des points d’´ equilibre
Question. Comment connait-on les stabilit´ es des points d’´ equilibre d’un mod` ele discret ?
Exercice. Donnez les stabilit´ es des points d’´ equilibre du mod` ele logistique discret.
Exercice. Faites de mˆ eme pour le mod` ele de Gompertz discret...
Optionnel. (... et pour le mod` ele logistique g´ en´ eralis´ e discret. On rappelle
que la d´ eriv´ ee de x θ pour θ 6= 0 est θx θ−1 )
3 Repr´ esentation en toile d’araign´ ee (cobweb)
3.1 Impl´ ementation des mod` eles
Exercice. Impl´ ementez les fonctions de r´ ecursion du mod` ele logistique simple et du mod` ele de Gompertz.
V´ erification :
logistiqueD(Nt = 84, r = 0.5, K = 100) [1] 90.72
gompertzD(Nt = 84, r = 0.5, K = 100) [1] 91.32284
3.2 Trac´ e
Pour la suite du TD, nous choisirons K = 1. Ce cas peut ˆ etre consid´ er´ e comme un changement d’´ echelle o` u la taille de population est compt´ ee en pour- centage de la taille d’´ equilibre.
La repr´ esentation en toile d’araign´ ee consiste ` a repr´ esenter la suite N t+1 = f (N t ) en utilisant les courbes d’´ equations y = f (x) et y = x. Un exemple est donn´ e ci-dessous.
0.0 0.5 1.0 1.5
0.00.51.01.5
Modèle logistique simple
Nt
Nt+1
La proc´ edure ` a suivre pour la tracer est la suivante : 1. Choisissez un N 0 et un r.
2. Calculez une vingtaine de valeurs successives de N t 3. Initialisez une fenˆ etre graphique (plot(NULL, ...)).
4. Ajoutez la droite d’´ equation y = x (abline(0,1)) et la courbe du mod` ele
(avec curve(...)).
5. Pour chaque couple (N t , N t+1 ), tracez la ligne bris´ ee les reliant. Pour tracer un segment entre deux points (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 ), vous pouvez utiliser la fonction lines :
lines(x=c(x 1 ,x 2 ), y=c(y 1 ,y 2 ))
Exercice. Tracez quelques diagrammes en toile d’araign´ ees pour les mod` eles impl´ ement´ es plus haut.
Pour le mod` ele logistique simple, quelle diff´ erence observez-vous entre les cas o` u N = K est stable avec r < 1 et r > 1 ? Quel est le lien avec dN df
N =N
??
4 Cycles limite
Lorsque le point N = K est instable, mais que la population se maintient (par exemple lorsque 2 < r < 3 dans le mod` ele logistique), l’effectif de la population devient cyclique. Le cycle comprend alors un nombre d’´ etat qui est une puissance de 2. Pour des valeurs trop ´ elev´ ees de r, le mod` ele devient chaotique.
Donnez la repr´ esentation en toile d’araign´ ee pour le cas d’un cycle ` a deux
´
etats dans le mod` ele logistique. Pour cela faites ´ evoluer votre population durant un grand nombre de g´ en´ erations puis repr´ esentez seulement les trois derniers
´ etats.
0.0 0.5 1.0 1.5
0.00.51.01.5
Nt
Nt+1