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bem7 ————— Analyse des syst

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

—————

Analyse des syst`emes dynamiques : mod`eles discrets

S. Mousset

—————

Syst` emes dynamiques discrets dans R , utilisation de et de maple.

Table des mati` eres

1 D´ efinition des mod` eles 2

2 Analyse qualitative des syst` emes discrets 2 2.1 Points d’´ equilibre . . . . 2 2.2 Stabilit´ es des points d’´ equilibre . . . . 2 3 Repr´ esentation en toile d’araign´ ee (cobweb) 3 3.1 Impl´ ementation des mod` eles . . . . 3 3.2 Trac´ e . . . . 3

4 Cycles limite 4

(2)

1 D´ efinition des mod` eles

Les mod` eles discrets de dynamique des populations sont d´ efinis par leur fonction de r´ ecursion :

N t+1 = f (N t ) Au cours de ce TD nous ´ etudierons les suivants :

Le mod` ele logistique discret

N t+1 = N t + rN t

1 − N t

K

o` u r et K sont des param` etres positifs.

Le mod` ele logistique g´ en´ eralis´ e discret

N t+1 = N t + rN t 1 − N t

K θ !

o` u r et K sont des param` etres positifs.

Le mod` ele de Gompertz discret

N t+1 = N t − rN t ln N t

K

o` u r et K sont des param` etres positifs. Notez le signe moins !

2 Analyse qualitative des syst` emes discrets

2.1 Points d’´ equilibre

Question. Comment obtient-on les points d’´ equilibre d’un mod` ele discret de dynamique des populations ?

Exercice. Retrouvez les points d’´ equilibre du mod` ele logistique discret.

Exercice. Quels sont les points d’´ equilibre du mod` ele de Gompertz discret ? Exercice. Mˆ eme question pour ceux du mod` ele logistique g´ en´ eralis´ e discret.

2.2 Stabilit´ es des points d’´ equilibre

Question. Comment connait-on les stabilit´ es des points d’´ equilibre d’un mod` ele discret ?

Exercice. Donnez les stabilit´ es des points d’´ equilibre du mod` ele logistique discret.

Exercice. Faites de mˆ eme pour le mod` ele de Gompertz discret...

Optionnel. (... et pour le mod` ele logistique g´ en´ eralis´ e discret. On rappelle

que la d´ eriv´ ee de x θ pour θ 6= 0 est θx θ−1 )

(3)

3 Repr´ esentation en toile d’araign´ ee (cobweb)

3.1 Impl´ ementation des mod` eles

Exercice. Impl´ ementez les fonctions de r´ ecursion du mod` ele logistique simple et du mod` ele de Gompertz.

V´ erification :

logistiqueD(Nt = 84, r = 0.5, K = 100) [1] 90.72

gompertzD(Nt = 84, r = 0.5, K = 100) [1] 91.32284

3.2 Trac´ e

Pour la suite du TD, nous choisirons K = 1. Ce cas peut ˆ etre consid´ er´ e comme un changement d’´ echelle o` u la taille de population est compt´ ee en pour- centage de la taille d’´ equilibre.

La repr´ esentation en toile d’araign´ ee consiste ` a repr´ esenter la suite N t+1 = f (N t ) en utilisant les courbes d’´ equations y = f (x) et y = x. Un exemple est donn´ e ci-dessous.

0.0 0.5 1.0 1.5

0.00.51.01.5

Modèle logistique simple

Nt

Nt+1

La proc´ edure ` a suivre pour la tracer est la suivante : 1. Choisissez un N 0 et un r.

2. Calculez une vingtaine de valeurs successives de N t 3. Initialisez une fenˆ etre graphique (plot(NULL, ...)).

4. Ajoutez la droite d’´ equation y = x (abline(0,1)) et la courbe du mod` ele

(avec curve(...)).

(4)

5. Pour chaque couple (N t , N t+1 ), tracez la ligne bris´ ee les reliant. Pour tracer un segment entre deux points (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 ), vous pouvez utiliser la fonction lines :

lines(x=c(x 1 ,x 2 ), y=c(y 1 ,y 2 ))

Exercice. Tracez quelques diagrammes en toile d’araign´ ees pour les mod` eles impl´ ement´ es plus haut.

Pour le mod` ele logistique simple, quelle diff´ erence observez-vous entre les cas o` u N = K est stable avec r < 1 et r > 1 ? Quel est le lien avec dN df

N =N

?

?

4 Cycles limite

Lorsque le point N = K est instable, mais que la population se maintient (par exemple lorsque 2 < r < 3 dans le mod` ele logistique), l’effectif de la population devient cyclique. Le cycle comprend alors un nombre d’´ etat qui est une puissance de 2. Pour des valeurs trop ´ elev´ ees de r, le mod` ele devient chaotique.

Donnez la repr´ esentation en toile d’araign´ ee pour le cas d’un cycle ` a deux

´

etats dans le mod` ele logistique. Pour cela faites ´ evoluer votre population durant un grand nombre de g´ en´ erations puis repr´ esentez seulement les trois derniers

´ etats.

0.0 0.5 1.0 1.5

0.00.51.01.5

Nt

Nt+1

Repr´ esentation des ´ etats pris dans le cycle limite

On cherche ` a pr´ esent ` a visualiser les valeurs des ´ etats des cycles limites lorsque r ´ evolue, en particulier l’augmentation du nombre d’´ etats du cycle et le passage ` a un r´ egime chaotique. Pour cela on utilise l’algorithme suivant :

1. On pose K = 1, r = r init

2. Choisissez un point de d´ epart M = K+δN , par exemple M = K + rnorm(n=1,

mean=0, sd=1e-3)

(5)

3. Laissez la suite converger vers le cycle limite (si elle converge) : faites 10000 it´ erations avant de fixer N0

4. Calculez les valeurs de N t sur 1000 g´ en´ erations

5. Placer sur le graphique les points correspondant aux ´ etats atteints pour cette valeur de r

6. Incr´ ementer r d’un petit intervalle (par exemple 0.01) et revenir l’´ etape 2, jusqu’` a ce que r >= r max (remarque : “jusqu’` a ce que” nous indique que l’on utilisera une boucle while).

Avec le mod` ele logistique, vous devez obtenir une repr´ esentation semblable ` a celle-ci.

2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

0.0 0.5 1.0 1.5

Diagramme des cycles limites

Valeur de r

T ailles de populations atteintes

Exercice. Reproduisez le diagramme.

(Remarque– Afin de pouvoir modifier un ‘long’ code plus ais´ ement, vous tra-

vaillerez dans le bloc-notes Windows. Vous pourrez alors puis soit copier/coller

votre code dans soit executer le contenu du fichier texte ainsi cr´ e´ e en tapant

source("chemin du fichier ") dans .)

Figure

Table des mati` eres
Diagramme des cycles limites

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