contr-dalg-1-smp-smc-2015-16                     

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2015-16

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Contrôle d’Algèbre 1.

Session exeptionnelle d’automne 2015-16.

durée : 1h 30.

Tous les résultats doivent être justifiés.

Exercice 1 :

(5 points).

1) Calculer le module et un argument de −8i. 2) En déduire les racines carrées de−8i.

3) Résoudre l’équation :

z

−2iz − 1  2i  0

Exercice 2 :

(7 points).

Soient ∈ 0, 

2 et z  e

i

1) Trouver le module et l’argument (en fonction de) des deux nombres complexes i1 − z et i1 − z4_.

2) En déduire que 1− z4

1− z  4 cos 2 cos et que arg 1 − z 4

1− z  32 mod 2 . 3) Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de 1 − z4

1− z (en fonction de).

4) En déduire la partie réelle et la partie imaginaire de 1 ei e2i  e3i _{(en fonction de} ). 5) Vérifier que : Re1  ei e2i _{ e}3i_{  1  cos   cos 2  cos 3}

et que : Im1  ei_{ e}2i_{ e}3i_{  sin   sin 2  sin 3.}

6) En utilisant les deux questions 4) et 5), calculer (en fonction de) : 1 cos   cos 2  cos 3 et sin  sin 2  sin 3.

7) Déterminer 1 cos 

3  cos 23  cos  et sin 3  sin 23  sin .

Exercice 3 :

(8 points).

Soit A  4X7 _{− 4X}6 _{− 7X}5_{ 7X}4 _{ 2X}3 _{− 2X}2 _{ X − 1.} 1) Vérifier que 1 est une racine de A.

2) Déterminer l’ordre de multilicité n de 1 dans A et le quotient Q1 de la division euclidienne de A parX − 1n.

3) Vérifier que−1 est une racine de Q1.

4) Déterminer l’ordre de multilicité m de−1 dans Q1 et le quotient Q2 de la division euclidienne de Q1 parX  1m.

5) Décomposer le polynôme A en facteurs irréductibles unitaires dans RX puis dans CX.