fonctions trigonométriques

fonctions trigonométriques

4.1 Le nombre π

4.1.1 Histoire

Le nombre π occupe une place importante dans l’histoire des mathématiques, il est étudié par bon nombre de mathématiciens dès l’antiquité. Le calcul de ses décimales est un problème apparu dès le début des mathématiques, et il est encore d’actualité dans la recherche moderne. Pourtant, les motivations associées ont sensiblement évolué au cours des siècles.

La recherche de la valeur du nombre π a d’abord été liée aux besoins pratiques et quotidiens des anciens. De la Renaissance jusqu’au XIX^e siècle, les évaluations toujours plus précises du nombre ont amené des découvertes de formules d’analyse de plus en plus fondamentales.

L’arrivée des outils informatiques au XX^esiècle changea le sens des recherches : l’intérêt ne venant plus de la valeur du nombre π, puisqu’une précision suffisante pour la plupart des domaines scientifiques a pu facilement être atteinte. En revanche, ce qui a ensuite intéressé les chercheurs en mathématiques était de déterminer la manière la plus efficace de calculer π. En 2016, le record de précision de calcul de π a été battu avec plus de 20000 milliards de décimales.

La vidéo visionnée au cours^* résume l’histoire du nombre π.

4.1.2 Nature géométrique du nombre π

Dès l’Antiquité, les mathématiciens se sont posé la question de calculer le périmètre et la surface d’un cercle. Ils ont rapidement eu l’intuition que le rapport entre le périmètre 𝑃 et le diamètre 𝐷 était égal au rapport entre l’aire 𝐴 et le carré du rayon 𝑟².

𝜋 = 𝑃

𝐷 𝑃 = 𝜋𝐷

= 𝜋. 2𝑟 = 2𝜋𝑟

𝜋 = 𝐴

𝑟² 𝐴 = 𝜋𝑟²

Il est donc possible d’approcher π en mesurant le périmètre d’un cercle et son diamètre et en en calculant le quotient.

D

r

P

D

D D D D

Calculons ainsi la mesure du périmètre d’une roue en fonction de son diamètre. Puisque le calcul est effectué en fonction du diamètre, graduons le chemin qui sera parcouru par la roue en fonction de son diamètre.

En faisant rouler la roue sur la droite ainsi graduée, on peut approcher le nombre π en mesurant la distance parcourue pour effectuer un tour complet. En effet cette distance vaut π fois le diamètre.

0 1.D 2.D 3.D 4.D

4.1.3 Calcul du nombre π par la méthode d’Archimède

Archimède a inventé, vers 250 avant J-C, une nouvelle méthode pour le calcul de la longueur d'un cercle. En l’encadrant par un polygone régulier inscrit et par un polygone régulier circonscrit, il devine que la longueur du cercle sera comprise entre le périmètre du polygone inscrit et le polygone circonscrit.

Encadrement par deux

pentagones Encadrement par deux

hexagones Encadrement par deux

octogones

Exercice 1 : Encadrement du nombre π par la méthode d’Archimède

Sur les feuilles suivantes, dessine les polygones inscrits et circonscrits aux différents cercles pour des carrés, des octogones et enfin des dodécagones (12 côtés). On remarquera à partir de l’octogone qu’il n’est pas nécessaire de dessiner les dodécagones en entier mais bien un seul de leurs côtés.

Sur la construction ci-dessous sont rappelées quelques notions sur l’exemple d’un hexagone:

cercle

polygone inscrit polygone

circonscrit

polygone inscrit polygone circonscrit

secteur de polygone inscrit

secteur de polygone circonscrit

Angle au centre d’un

secteur

Cercle 1 : encadrement par des carrés

Nombre de côtés des polygones 4

Angle au centre d’un secteur du polygone Longueur d’un côté du polygone inscrit Longueur d’un côté du polygone circonscrit

Périmètre du polygone inscrit 𝑃_𝑖 Périmètre du polygone circonscrit 𝑃_𝑐

Cercle 2 : encadrement par des octogones

Nombre de côtés des polygones 8

Angle au centre d’un secteur du polygone Longueur d’un côté du polygone inscrit Longueur d’un côté du polygone circonscrit

Périmètre du polygone inscrit 𝑃_𝑖 Périmètre du polygone circonscrit 𝑃_𝑐

Cercle 3 : encadrement par des dodécagones

Nombre de côtés des polygones 12

Angle au centre d’un secteur du polygone Longueur d’un côté du polygone inscrit Longueur d’un côté du polygone circonscrit

Périmètre du polygone inscrit 𝑃_𝑖 Périmètre du polygone circonscrit 𝑃_𝑐

On fera ensuite l’approximation que les six polygones construits sont des cercles dégénérés, de façon à déduire du rapport de leur périmètre et du diamètre du cercle une valeur approchée de π.

On notera 𝜋_𝑖 la valeur calculée pour le polygone inscrit et 𝜋_𝑐 pour le polygone circonscrit.

Cercle 1 2 3

Nombre de côtés des polygones 𝑛 4 8 12

Angle au centre d’un secteur du polygone =360°

𝑛

Périmètre du polygone inscrit 𝑃_𝑖

Périmètre du polygone circonscrit 𝑃_𝑐

Diamètre du cercle 𝐷

Valeur approchée basse de 𝜋 : 𝜋_𝑖 =^𝑃_𝐷^𝑖

Valeur approchée haute de 𝜋 : 𝜋_𝑐=^𝑃𝑐

𝐷

Fourchette de variation de l’approximation: 𝜋_𝑐− 𝜋_𝑖

On remarque que la précision de l’approximation augmente avec le nombre de côtés des polygones.

Archimède a effectué le calcul pour un polygone de 96 côtés et a obtenu la précision suivante du nombre 𝜋 :

223

71 < 𝜋 <22 7 , c’est-à-dire :

3,1408 < 𝜋 < 3,1429

𝐴 4.1.4 Le radian

Exercice 2 (Découverte)

Partant de l’hypothèse que le cercle suivant a un rayon de 1, calcule la longueur des arcs de cercle depuis le point 𝐴 jusqu’aux différents points auxquels sont associés des angles sur le schéma ci- dessous. Ces points sont repérés à l’aide de angle orienté 𝜃, représenté ci-dessous pour 𝜃 = 120°.

Exprime les longueurs des arcs en fonction de π.

On peut calculer la longueur des arcs en calculant d’abord le périmètre du cercle, ensuite en déterminant quelle portion du cercle représente le secteur correspondant à l’angle 𝜃. Sachant qu’un cercle complet a un angle au centre de 360°, un angle de 60° représente un sixième du cercle, car 60° = 360°.¹

6 . La portion de cercle est ici de ¹

6.

Le périmètre de ce cercle de rayon 1 est : _______________________________________________________________

Ensuite les longueurs des arcs correspondant aux différentes valeurs de 𝜃 peuvent être déduits :

Angle

𝜃 (°) Portion de cercle Longueur arc Angle

𝜃 (°) Portion de cercle Longueur arc

0 180

30 240

45 270

90 300

θ

1

Le radian est une unité de mesure pour les angles, notée 𝑟𝑎𝑑.

Dans un cercle de rayon 1, il correspond à la longueur de l’arc intercepté par l’angle. Nous obtenons donc une correspondance entre les angles en degré et en radian grâce à l’application de la page précédente. En effet la première colonne représente l’angle en degré et la troisième colonne la longueur de l’arc intercepté, c’est-à-dire l’angle en radian.

Par définition, un angle de 𝛼 radians, intercepte, dans un cercle de rayon 𝑟, un arc de longueur 𝛼. 𝑟, voir schéma ci-contre.

Autrement dit, la mesure de l’angle en radians correspond à la longueur de l’arc intercepté, divisée par le rayon du cercle.

Par exemple :

1° pour un angle interceptant un arc de la longueur d’un rayon, 𝛼 vaut 1, et donc l’angle mesure 1 𝑟𝑎𝑑.

2° pour un angle représentant un tour complet du cercle, l’arc intercepté correspond au périmètre

du cercle, de longueur 2𝜋𝑟 (voir 4.1.2). On en déduit que la valeur de l’angle plein en radians vaut 2𝜋.

Ceci est illustré dans le tableau ci-dessous :

Prenons un cercle de

rayon 𝑟 Cherchons à déterminer quel arc a une longueur de 𝑟 , l’arc est représenté ci-dessus

Un angle interceptant un arc de longueur égale à 𝑟 vaut 1 rad.

Un angle interceptant un arc de longueur égale à 2𝑟 vaut 2 rad.

Un angle interceptant un arc de longueur égale à 3𝑟 vaut 3 rad.

Un angle de 180°

vaut 𝜋 rad.

Un angle de 360°

vaut 2𝜋 rad.

𝛼. 𝑟

𝑟

𝑟 𝑟 𝑟 𝑟

2𝑟 3𝑟 𝜋𝑟 2𝜋𝑟

Pour les angles usuels, on retrouve la correspondance entre les angles exprimés en degrés et en radians sur le schéma ci-dessous (voir aussi exercice ci-dessous) :

On peut effectuer la conversion d’un angle quelconque en degrés 𝜃_𝑑𝑒𝑔en un angle en radians 𝜃_𝑟𝑎𝑑en remarquant qu’à un angle de 180° correspond un angle de π rad :

𝜃_𝑟𝑎𝑑= 𝜃_𝑑𝑒𝑔. 𝜋 180

Exercice 3 (P2 : Appliquer) Convertis les angles suivants de degrés en radians, utilise le tableau pour les fractions usuelles de 𝜋 et la calculatrice pour les autres angles.

Angle

(degré) 0 30 45 60 90 180 270 360

Angle

(radian) 0 𝜋

6

𝜋 4

𝜋 3

𝜋

2 𝜋 3𝜋

2 2𝜋

a. 30°

b. 57.3°

c. 270°

d. 22.9°

e. 45°

f. 100°

g. 128°

θ

4.1.5 Longueur d’arc et aire de secteur

On appelle secteur de disque, une partie d’un disque délimité par un angle au centre 𝛼 , un secteur est représenté sur le schéma ci-contre. On appelle arc de cercle, une partie de cercle délimitée par un angle au centre.

L’aire d’un disque complet correspond à un angle de 2𝜋 rad, et vaut 𝜋𝑟². Par proportionnalité, on en déduit que l’aire d’un secteur de disque 𝐴_𝛼d’angle au centre 𝛼 𝑟𝑎𝑑 vaut :

𝐴_𝛼 = 𝛼

2𝜋. 𝜋𝑟² =𝛼𝑟² 2

La longueur de l’arc de cercle correspondant 𝑃_𝛼 peut s’obtenir de la même façon, c’est-à-dire par proportionnalité à partir du périmètre complet du cercle (ce qui correspond aussi à l’application directe de la définition du radian) :

𝑃_𝛼 = 𝛼

2𝜋. 2𝜋𝑟 = 𝛼𝑟

Exercice 4 (P2 : Appliquer) Calcule la longueur de l’arc de cercle et l’aire du secteur de disque:

a. intercepté par un angle de ^𝜋

2 𝑟𝑎𝑑 , dans un cercle de rayon 5,

b. intercepté par un angle de ^7𝜋

4 𝑟𝑎𝑑 , dans un cercle de diamètre 4,

c. intercepté par un angle de ^4π

3 rad , dans un cercle de diamètre 22.

4.2 Notions de sinus, cosinus et tangente

Les notions de sinus, cosinus et tangente ont été introduites en quatrième année à l’aide des triangles rectangles.

Ils ont été définis comme des rapports de longueurs de côtés du triangle :

sin 𝜃 =côté opposé hypoténuse cos 𝜃 =côté adjacent

hypoténuse tan 𝜃 = sin 𝜃

cos 𝜃= côté opposé côté adjacent

Pour rappel, un moyen mnémotechnique pour se souvenir des 3 formules ci-dessus est SOH-CAH- TOA :

SOH Sinus = Opposé sur Hypoténuse

CAH Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse

TOA Tangente = Opposé sur Adjacent

Exercice 5 (P2 : Appliquer) Calcule les nombres trigonométriques demandés :

sin 𝐹 = cos 𝐹 = tan 𝐹 =

sin 𝐺 = cos 𝐺 = tan 𝐺 =

4.2.2 Encadrement du nombre π par la méthode d’Archimède – méthode analytique

Comme nous l’avons vu précédemment, la méthode d’Archimède permet de calculer une valeur approchée de π en encadrant un cercle par un polygone régulier inscrit et par un polygone régulier circonscrit. La longueur du cercle sera comprise entre le périmètre du polygone inscrit et le polygone circonscrit.

Pour approfondir ce que nous avons fait précédemment, nous allons calculer un encadrement de π, non plus en mesurant le périmètre des polygones, mais en les calculant avec les notions de trigonométrie dont nous disposons.

Partant d’un cercle de rayon 1, calculons pour le cas général d’un polygone régulier à 𝑛 côtés les périmètres des polygones inscrits et circonscrits. Nous savons que l’angle au centre d’un secteur du polygone vaut ^360°

𝑛 . Nous travaillons désormais en radians, et dès lors la mesure de l’angle au centre est de

2𝜋 𝑛.

Divisons les secteurs inscrits et circonscrits en 2 de manière à obtenir deux triangles rectangles pour pouvoir appliquer les formules de

trigonométrie dont nous disposons.

On remarquera que certains côtés du triangle ont une longueur égale au rayon, c’est-à-dire égale à 1. Il s’agit du côté adjacent du triangle rectangle circonscrit et de l’hypoténuse du triangle rectangle inscrit.

Nous cherchons à calculer le périmètre des polynômes inscrit et circonscrit, cela revient à calculer la longueur du côté opposé à l’angle au centre de chaque triangle rectangle, et à la multiplier par le nombre de côtés du polygone et par deux (car deux côtés opposés de triangle rectangle composent un côté de polygone)

Secteur

Nombre de demi-côtés

dans le périmètre

Côté du triangle correspondant

au demi-côté du polygone

Longueur demi côté du polygone

Secteur circonscrit :

Secteur inscrit :

A partir des valeurs calculées ci-dessous, on peut trouver une expression de la longueur des polygones en fonction du nombre de côtés 𝑛.

Périmètre du polygone circonscrit 𝑃_𝑐 =

Périmètre du polygone inscrit 𝑃_𝑖 =

Si comme Archimède, on fait le raisonnement pour 𝑛 = 96 côtés, on obtient :

Nombre de côtés des polygones 𝑛 96

Angle au centre d’un secteur du polygone =^2𝜋

96=0.06545 rad

Périmètre du polygone inscrit 𝑃_𝑖

Périmètre du polygone circonscrit 𝑃_𝑐

Diamètre du cercle 𝐷 2

Valeur approchée basse de 𝜋 : 𝜋_𝑖 =^𝑃𝑖

𝐷

Valeur approchée haute de 𝜋 : 𝜋_𝑐 =^𝑃𝑐

𝐷

Fourchette de variation de l’approximation:

𝜋_𝑐− 𝜋_𝑖

Grâce à ce calcul, nous savons que 𝜋 est compris entre 𝜋_𝑖 et 𝜋_𝑐, autrement dit :

_______________________________________ < 𝜋 < ________________________________________

On peut comparer ce résultat à celui obtenu par Archimède (voir 4.1.3), et se rendre compte que la précision de ses valeurs est assez élevée, ce qui est impressionnant pour un calcul réalisé avec les outils mathématiques d’il y a 2000 ans. (les sinus et les tangentes n’avaient pas encore été inventés, et on avait pas évidemment pas encore vu l’ombre d’une calculette).

Appliquons maintenant les formules avec un million de côtés : Périmètre du polygone circonscrit 𝑃_𝑐 =

Périmètre du polygone inscrit 𝑃_𝑖 =

Diamètre du cercle 𝐷=2

Valeur approchée basse de 𝜋 : 𝜋_𝑖 =^𝑃𝑖

𝐷

Valeur approchée haute de 𝜋 : 𝜋_𝑐 =^𝑃𝑐

𝐷

Et donc on obtient :

_______________________________________ < 𝜋 < ________________________________________

Néanmoins, la convergence de cette méthode est lente: il faut un polygone à 16 côtés pour obtenir la première décimale (3,1) et un polygone à 64 côtés pour obtenir la deuxième (3,14). Un million de côtés environ sont nécessaires pour obtenir 9 décimales, et la convergence devient de plus en plus lente. Pour calculer les milliards de décimales que nous connaissons aujourd'hui, d'autres méthodes ont dû être développées.

4.3 Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est utilisé pour illustrer les angles et les fonctions trigonométriques. C’est un cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est muni d’un repère orthonormé.

À un angle orienté 𝜃 tel que défini sur le schéma correspond un point 𝑋 du cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique est utilisé pour représenter les sinus et les cosinus.

En faisant l’analogie avec la définition des sinus et cosinus dans le triangle rectangle évoquée au point 4.2, on peut représenter ces nombres trigonométriques sur le cercle, et calculer les coordonnées du point 𝑋.

On remarque ci-contre que l’hypoténuse correspond au rayon du cercle et a donc une longueur de 1 (par définition du cercle trigonométrique).

L’abscisse du point X est égale à la longueur du côté adjacent et l’ordonnée correspond à la longueur du côté opposé.

Avec SOH-CAH-TOA (voir point 4.2), on sait que

sin 𝜃 =longueur côté opposé longueur hypoténuse cos 𝜃 =longueur côté adjacent

longueur hypoténuse

Ici, vu que la longueur de l’hypoténuse vaut 1, on trouve directement :

sin 𝜃 = longueur côté opposé cos 𝜃 = longueur côté adjacent Et les coordonnées de 𝑋 sont (sin 𝜃 , cos 𝜃)

Longueur côté opposé

Longueur côté adjacent

Sachant que les coordonnées d’un point du cercle trigonométriques sont (sin 𝜃 , cos 𝜃), on peut représenter tous les angles usuels ainsi que leur sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique :

Exercice 6 (P2 : Appliquer) Représente sur le cercle trigonométrique les points correspondant aux angles suivants :

a. 1 rad,

b. ^9𝜋

8 rad,

c. ^13𝜋

6 rad.

Indique sur le cercle les coordonnées de chaque point (à calculer à la machine).

On peut aussi représenter la tangente sur le cercle trigonométrique, en plaçant notre triangle rectangle différemment.

Avec SOH-CAH-TOA (voir point 4.2), on sait que :

tan 𝜃 = longueur côté opposé longueur côté adjacent

Pour ce triangle rectangle-ci, la longueur du côté adjacent correspond au rayon du cercle et est donc égale à 1, on trouve donc directement :

tan 𝜃 = longueur côté opposé On peut donc tracer un axe qui permettra de « mesurer » la tangente.

On peut voir sur le deuxième cercle comment sont mesurés tous les nombres trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) pour un angle quelconque.

Les angles sont répartis en 4 quadrants, chaque quadrant correspondant à un quart de disque. La numérotation est indiquée en chiffres romains sur le schéma ci-dessous.

Pour déterminer la tangente des angles situés dans les quadrants II et III, il faut prolonger le rayon passant par 𝑋 « vers l’arrière » comme sur la construction présentée.

Pour l’angle représenté, correspondant à 4 rad, c’est-à-dire à 229°, on voit que le cosinus est négatif (abscisse de 𝑋 <

0), que le sinus est négatif (ordonnée de 𝑋 < 0) et que la tangente est positive.

Exercice 7 (P2 : Appliquer) Représente sur le cercle trigonométrique le sinus, le cosinus et la tangente des angles suivants :

a. ^𝜋

4 rad, b. ^5𝜋

6 rad,

c. 0 rad, d. 𝜋 rad,

e. ^5𝜋

4 rad, f. ^10𝜋

6 rad.

4.4 Les angles associés

Il est utile de pouvoir déterminer quels angles ont des nombres trigonométriques (cos, sin, tan) égaux pour résoudre des équations trigonométriques, ces angles sont nommés angles associés.

4.4.1 Les angles égaux

Deux angles sont égaux si leur valeur est égale à des tours complets près, par exemple 0°, 360° et 720° ; 15°, 370° et -355° ; 0 𝑟𝑎𝑑 , 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 , 4𝜋 𝑟𝑎𝑑 ,6𝜋 𝑟𝑎𝑑 ,…

ou encore 𝜋 𝑟𝑎𝑑 et 3𝜋 rad. En utilisant un nombre entier 𝑘 pour représenter le nombre de tours complets séparant α et β, on peut écrire la relation suivante :

avec 𝑘 ∈ ℤ: 𝛽 = 𝛼 + 𝑘. 360°

ou encore: 𝛽 = 𝛼 + 𝑘. 2𝜋 Les angles correspondent au même point (𝐴 = 𝐵) sur le cercle trigonométrique.

sin 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 = cos 𝛼 tan 𝛽 = tan 𝛼 4.4.2 Les angles opposés

Deux angles sont opposés si leurs valeurs sont opposées (à un nombre 𝑘 de tour(s) complet(s) près), par exemple 45° et -45°, 45° et 315° ; 𝜋 et – 𝜋. On peut noter la relation liant deux angles α et β opposés comme suit :

avec 𝑘 ∈ ℤ: 𝛽 = −𝛼 + 𝑘. 360°

ou encore: 𝛽 = −𝛼 + 𝑘. 2𝜋

Leurs nombres trigonométriques sont liés, on peut observer que les points 𝐴 et 𝐵 sont symétriques par rapport à l’axe 𝑥 du cercle trigonométrique.

sin 𝛽 = −sin 𝛼 cos 𝛽 = cos 𝛼 tan 𝛽 = −tan 𝛼

4.4.3 Les angles supplémentaires

Deux angles sont supplémentaires si leur somme est égale à l’angle plat (180° ou 𝜋 𝑟𝑎𝑑, à un nombre 𝑘 de tour(s) complet(s) près).

Par exemple : 45° et 135°, 45° et -225° ; ^𝜋

3 et ^2𝜋

3. On peut noter la relation liant deux angles supplémentaires 𝛼 et 𝛽 comme suit:

avec 𝑘 ∈ ℤ: 𝛽 = (180 − 𝛼) + 𝑘. 360°

c’est-à-dire: 𝛽 = (𝜋 − 𝛼) + 𝑘. 2𝜋

Leurs nombres trigonométriques sont liés, on peut observer que les points 𝐴 et 𝐵 sont symétriques par rapport à l’axe 𝑦 du cercle trigonométrique.

sin 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 = −cos 𝛼 tan 𝛽 = −tan 𝛼

4.4.4 Les angles antisupplémentaires

Deux angles sont antisupplémentaires si leur différence est égale à l’angle plat (180° ou 𝜋 𝑟𝑎𝑑, à un nombre 𝑘 de tour(s) complet(s) près).

Par exemple : 45° et 225°, 45° et-135° ; ^𝜋

3 et ^4𝜋

3. On peut noter la relation liant deux angles antisupplémentaires 𝛼 et 𝛽 comme suit :

avec 𝑘 ∈ ℤ: 𝛽 = (180 + 𝛼) + 𝑘. 360°

c’est-à-dire: 𝛽 = (𝜋 + 𝛼) + 𝑘. 2𝜋

Leurs nombres trigonométriques sont liés, on peut observer que les points 𝐴 et 𝐵 sont symétriques par rapport au centre du cercle trigonométrique.

sin 𝛽 = −sin 𝛼 cos 𝛽 = −cos 𝛼

tan 𝛽 = tan 𝛼

4.4.5 Les angles complémentaires Deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à l’angle droit (90° ou

𝜋

2 𝑟𝑎𝑑, à un nombre 𝑘 de tour(s) complet(s) près).

Exemple : 25° et 65°, 25° et-295° ; ^𝜋

6 et ^𝜋

3. On peut noter la relation liant deux angles complémentaires 𝛼 et 𝛽 comme suit : avec 𝑘 ∈ ℤ: 𝛽 = (90 − 𝛼) + 𝑘. 360°

c’est-à-dire: 𝛽 = (^𝜋

2− 𝛼) + 𝑘. 2𝜋 Leurs nombres trigonométriques sont liés, on peut observer que les points 𝐴 et 𝐵 sont symétriques par rapport à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥 ; c’est-à-dire l’axe passant par le centre et incliné de 45° par rapport à l’axe 𝑥.

sin 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 = sin 𝛼 tan 𝛽 = 1

tan 𝛼 4.4.6 Synthèse

Type d’angles Relation entre angles Relation entre nombres trigonométriques

Égaux 𝛽 = 𝛼 + 𝑘. 2𝜋 sin 𝛽 = sin 𝛼

cos 𝛽 = cos 𝛼 tan 𝛽 = tan 𝛼

Opposés 𝛽 = −𝛼 + 𝑘. 2𝜋

sin 𝛽 = −sin 𝛼 cos 𝛽 = cos 𝛼 tan 𝛽 = −tan 𝛼

Supplémentaires 𝛽 = (𝜋 − 𝛼) + 𝑘. 2𝜋 sin 𝛽 = sin 𝛼

cos 𝛽 = −cos 𝛼 tan 𝛽 = −tan 𝛼 Antisupplémentaires 𝛽 = (𝜋 + 𝛼) + 𝑘. 2𝜋 sin 𝛽 = −sin 𝛼

cos 𝛽 = −cos 𝛼 tan 𝛽 = tan 𝛼

Complémentaires 𝛽 = (𝜋

2− 𝛼) + 𝑘. 2𝜋

sin 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 = sin 𝛼 tan 𝛽 = 1

Exercice 8 (P2 : Appliquer)

a. Donne des angles égaux à 𝑘 tours complets près.

𝑘 = 0 𝑘 = 1 𝑘 = 2 𝑘 = −1

30°

7𝜋 6

b. Donne pour ces angles des angles associés.

Angle Angle opposé Angle

supplémentaire

Angle antisupplémentaire

Angle complémentaire

45°

120°

𝜋 3

5𝜋 4

c. Donne deux angles différents (en radians) ayant le même nombre trigonométrique et donne leur relation (en termes d’angle associé)

Nombre

trigonométrique Angle 1 Angle 2 Relation

sin 𝛼 =1 2

cos 𝛼 = −√3 2

tan 𝛼 = −1

Exercice 9 (P2 : Appliquer) Résous les équations suivantes : a. sin 𝑥 = −¹₂

b. tan 𝑥 = 1

c. cos 𝑥 =^√2

2

d. 1 − cos 𝑥 = 0

e. 2 sin 𝑥 − 1 = 0

f. tan 2𝑥 = 1

g. sin 3𝑥 − 1 = 0

h. √3 tan 𝑥 + 1 = 0

4.5 Les fonctions trigonométriques

4.5.1 Tableau de valeurs

Ci-dessous sont données les valeurs de sin 𝑥, cos 𝑥 et tan 𝑥 où 𝑥 est l’angle dont la mesure est 𝑥 𝑟𝑎𝑑, pour les valeurs particulières entre 0 et ^𝜋

2.

𝒙 0 𝝅

𝟔

𝝅 𝟒

𝝅 𝟑

𝝅 𝟐

𝐬𝐢𝐧 𝒙 0 𝟏

𝟐

√𝟐 𝟐

√𝟑 𝟐 1 𝐜𝐨𝐬 𝒙 1 √𝟑

𝟐 √𝟐

𝟐

𝟏

𝟐 0 𝐭𝐚𝐧 𝒙 0 √𝟑

𝟑 1 √𝟑 ∄

Les fonctions représentant ces évolutions en fonction de l’angle en radians sont appelées fonctions trigonométriques.

4.5.2 La fonction sinus

𝑓: ℝ → ℝ ∶ 𝑥 → sin 𝑥 où 𝑥 est l’angle dont la mesure est 𝑥 𝑟𝑎𝑑.

On peut remarquer que la fonction présente un motif qui se répète, le motif s’étend sur une plage d’abscisses de longueur 2𝜋, par exemple de 0 à 2𝜋. On dit que la fonction a une période de 2𝜋.

Dom 𝑓 Im 𝑓 racines période parité

ℝ [−1,1] 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 2π impaire

4.5.3 La fonction cosinus

𝑔: ℝ → ℝ ∶ 𝑥 → cos 𝑥 où 𝑥 est l’angle dont la mesure est 𝑥 𝑟𝑎𝑑.

Dom 𝑔 Im 𝑔 racines période parité

ℝ [−1,1] 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 2π paire

On peut remarquer que la fonction est identique à la fonction sinus translatée de ^𝜋

2 vers la droite.

4.5.4 La fonction tangente

ℎ: ℝ \ {^𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} → ℝ ∶ 𝑥 → tan 𝑥 où 𝑥 est l’angle dont la mesure est 𝑥 𝑟𝑎𝑑.

On peut remarquer que la fonction a une période de 𝜋. La valeur de la tangente tend vers ±∞

lorsque l’angle tend vers ^−𝜋

2, ^𝜋

2, ^3𝜋

2, ^5𝜋

2 (c’est-à-dire ^𝜋

2, à 𝑘 demi-tour(s) près). La fonction ne peut donc pas être calculée pour ces valeurs, et présente pour chacune d’entre elles une asymptote verticale.

Dom ℎ Im ℎ racines période parité

ℝ \ {𝜋

+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} ℝ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ π impaire

4.5.5 Manipulation du graphe des fonctions trigonométriques 𝑓(𝑥) = a sin(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑

On peut décrire des fonctions harmoniques (voir point 4.6) à partir du graphe de sin 𝑥 en manipulant son graphe. Il convient néanmoins d’être attentif à la priorité des opérations.

On fait d’abord les manipulations associées à la parenthèse : celle liée puis à b (multiplication) , puis à c (addition); et ensuite la multiplication par a puis l’addition de d.

𝒇(𝒙) = 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒙

𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖é 𝑝𝑎𝑟 𝑎 Étirement (|𝑎| > 1) ou compression (|𝑎| < 1) selon y

𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝒃𝒙

𝑥 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖é 𝑝𝑎𝑟 𝑏 Compression (|𝑏| > 1) ou étirement (|𝑏| < 1) selon x

𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒄)

𝑐 𝑎𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛é à 𝑥 Translation vers la gauche (𝑐 > 0) ou vers la droite (𝑐 < 0) selon x

𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒅

𝑑 𝑎𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛é à 𝑦 Translation vers le haut (𝑑 > 0) ou vers le bas (𝑑 < 0) selon y

sin 𝑥

2 sin 𝑥

sin 𝑥 sin 2𝑥

sin 𝑥 sin(𝑥 + 2)

sin 𝑥

sin 𝑥 + 1

Exercice 10 (P2 : Appliquer)

Dessine par manipulations de la fonction sin 𝑥 les fonctions suivantes.

𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙

𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝟐)

𝒇(𝒙) = 𝟓𝐬𝐢𝐧(𝒙)

𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝝅) + 𝟑

𝒇(𝒙) = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (𝟐𝒙 +𝝅 𝟐)

Exercice 11 (P2 : Appliquer)

Détermine l’expression analytique des fonctions dont on donne le graphe.

𝒇(𝒙) =

𝒇(𝒙) =

𝒇(𝒙) =

𝒇(𝒙) =

𝒇(𝒙) =

4.6 Le mouvement harmonique

4.6.1 Introduction

Le London Eye est une grande roue mise en place à Londres pour les festivités de l'an 2000. La roue porte 32 cabines de passagers, étanches et climatisées, placées à sa circonférence externe, chaque cabine représente un des arrondissements de Londres. Les capsules font 10 tonnes chacune et chaque cabine peut contenir 25 personnes, bien que des sièges soient présents, les passagers sont libres de marcher à l'intérieur de la capsule. La roue tourne à 26 cm par seconde (environ 0,9 km/h) afin qu'une rotation dure 30 minutes. La roue ne s'arrête habituellement pas pour prendre les passagers ; la vitesse de rotation est assez lente pour permettre aux passagers d'entrer et de sortir des cabines sans danger. La roue a une hauteur de 135 m et un diamètre de 120 m.^†

Exprimons la hauteur 𝐻 de la cabine en fonction de l’angle 𝜃, calculé avec les conventions du cercle trigonométrique. Notons que les passagers peuvent embarquer dans la cabine lorsqu’elle se situe à un angle 𝜃 = 300° (les angles étant calculés à des tours complets près, 𝜃 = 300° peut aussi s’exprimer 𝜃 = −60°).

On peut calculer que le centre de la roue est à 75 m de hauteur puisque sa hauteur totale est de 135 m et son rayon de 60 m (la moitié de son diamètre).

A l’aide de la trigonométrie dans les triangles rectangle, on peut trouver la hauteur du triangle rectangle représenté ci-contre. On effet, on sait que (voir 4.2.1) :

sin 𝜃 =côté opposé hypoténuse

On cherche la longueur du côté opposé. On la note ici H1 (voir schéma). Pour la calculer, on utilise la longueur de l’hypoténuse, qui vaut ici le rayon de la roue, soit 60 m. Et on a :

côté opposé = hypoténuse . sin 𝜃 ou encore :

𝐻₁= hypoténuse . sin 𝜃 = 60. sin 𝜃 Or, la hauteur totale H vaut :

𝐻 = 𝐻₁+ 75 C’est-à-dire :

𝐻 = 60. sin 𝜃 + 75

Le schéma ayant permis le calcul de la hauteur totale utilise un triangle et donc l’angle 𝜃 doit être compris entre 0 et 90°. Néanmoins, on pourra vérifier à l’aide du cercle trigonométrique que la formule fonctionne pour toutes les valeurs de 𝜃. En effet, lorsque 𝜃 est compris entre 0 et 180°, le sinus est positif et on a 𝐻₁= 60. sin 𝜃 > 0 et donc 𝐻 > 75𝑚. Lorsque 𝜃 est compris entre 180° et 360°, le sinus est négatif et on a 𝐻₁= 60. sin 𝜃 < 0 et et il en découle que 𝐻 < 75𝑚.

Exprimons ensuite l’évolution de l’angle 𝜃 de la cabine en fonction du temps. On sait qu’une rotation complète prend 30 minutes, soient 1800 secondes. En 1800 secondes, 360° sont parcourus. On peut donc en déduite que toutes les 5 minutes (soient 300 secondes), 60° sont parcourus. Sachant que l’angle de départ vaut -60°, on peut remplir le tableau suivant :

t[s] 0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

θ[°] -60 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540

θ[rad] −𝜋

3 0 𝜋

3

2𝜋

3 𝜋 4𝜋

3

5𝜋

3 2𝜋 7𝜋

3

8𝜋

3 3𝜋

Portons sur un graphique l’évolution de l’angle θ de la cabine en fonction du temps :

On a une fonction du premier degré de pente 𝑚 = ^𝜋

900 et dont l’ordonnée à l’origine 𝑝 = −^𝜋

3. L’expression analytique de la fonction est :

𝜃 = 𝜋

900. 𝑡 −𝜋 3

À l’aide de ce résultat, on peut exprimer la hauteur 𝐻 de la cabine en fonction du temps, en effet, on a trouvé au point précédent :

𝐻 = 60. sin 𝜃 + 75 En remplaçant la valeur de l’angle en fonction du temps, on a :

𝑯 = 𝟔𝟎. 𝐬𝐢𝐧 ( 𝝅

𝟗𝟎𝟎. 𝒕 −𝝅

𝟑) + 𝟕𝟓

Ce type d’équation décrit ce qu’on appelle un mouvement harmonique. Elle est utilisée ici pour décrire un mouvement périodique et est largement utilisée en physique pour décrire entre autres l’évolution dans le temps des ondes sonores ou des courants électriques.

𝝅 𝟗𝟎𝟎

4.6.2 Définitions

La fonction du temps suivante décrit un mouvement dit harmonique.

𝑓(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑑 avec :

𝐴: amplitude

𝜔: vitesse angulaire ou pulsation, exprimée en 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜑 : phase à l’origine, exprimée en 𝑟𝑎𝑑

𝑑 : décalage vertical Le déphasage 𝜏 décrit le décalage dans le temps entre la

fonction étudiée et une fonction de référence présentant les mêmes propriétés mais ayant sa valeur moyenne au temps 𝑡 = 0. Il s’exprime en secondes et vaut :

𝜏 = −𝜑 𝜔

Il peut être positif ou négatif. Pour le représenter graphiquement, il faut être attentif à relier des points des deux sinusoïdes correspondant à deux abscisses équivalentes (pente montante avec pente montante).

Il est à noter qu’étant donné qu’une sinusoïde est périodique, le déphasage peut indifféremment être représenté de gauche à droite ou de droite à gauche, le décalage à gauche et le décalage à droite sont égaux à la période près.

4.6.3 Application

La hauteur de la cabine dans l’application précédente peut être décrite par une fonction harmonique. On a pu observer que la hauteur de la cabine suit une sinusoïde.

135m 75m 60m 60m

𝐻 = ℎ(𝜃)

𝐻 = 60 sin 𝜃 + 75 60𝑚. sin 𝜃

75m

On a déterminé que la fonction ℎ(𝜃) décrivant la hauteur de la cabine en fonction de l’angle 𝜃 que fait la cabine par rapport à l’horizontale peut s’écrire : ℎ(𝜃) = 60 sin 𝜃 + 75

La hauteur de la cabine est calculée en fonction de l’angle 𝜃, calculons-la, comme dans le point 4.6.1, en fonction du temps, en considérant que l’instant 𝑡 = 0 correspond au moment où la cabine quitte la plateforme.

Au lieu d’utiliser la trigonométrie comme précédemment, utilisons ici la définition d’un mouvement harmonique. On peut déduire des dimensions de la roue et la durée d’un tour complet les paramètres 𝐴, 𝜔, 𝜑 et 𝑑 introduits dans la forme générale 𝑓(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑑.

A partir de l’angle 𝜃 = 0, la cabine monte d’une hauteur égale à 60m (𝜃 = 𝜋/2). Elle redescend ensuite de 120m pour atteindre sa hauteur minimale en 𝜃 =^3𝜋

2 . L’amplitude 𝐴 du mouvement est la variation maximale à partir de la hauteur moyenne et vaut donc :

𝐴 = 60 𝑚

L’angle 𝜃 évolue de manière constante en fonction du temps. La durée d’un cycle complet s’appelle la période et est notée 𝑇. La roue effectue un tour complet en 30 minutes, la période vaut donc 30 min ou encore 1800 secondes. On peut déduire la vitesse angulaire 𝜔 (ou pulsation) à partir de la période 𝑇, avec la formule suivante : 𝜔 =^2𝜋

𝑇. La vitesse angulaire 𝜔 est donc de ^{2𝜋 𝑟𝑎𝑑}

1800 𝑠 ou encore :

𝜔 = 𝜋

900 𝑟𝑎𝑑/𝑠

De la période, on peut aussi déduire la fréquence 𝑓 qui est le nombre de périodes par seconde, elle s’exprime en 𝐻𝑧 (Hertz) et se calcule comme suit 𝑓 =¹

𝑇 : 𝑓 =_{1800 𝑠}¹ = 0,000555 𝐻𝑧.

L’angle 𝜃 correspondant à l’instant 𝑡 = 0 est défini comme la phase à l’origine 𝜑. Pour notre roue, cet angle vaut -60° ou encore −^𝜋

3. On a donc : 𝜑 = −𝜋

3

Le décalage vertical 𝑑 correspond à la valeur moyenne de la hauteur, c’est la valeur dont il faut décaler une sinusoïde symétrique par rapport à l’axe des abscisses pour atteindre la sinusoïde décrivant la hauteur de la roue. Ici, on a :

𝑑 = 75 𝑚

Cabine en 𝑡 = 0 𝝋

= −𝜋 3 𝑟𝑎𝑑

𝑨

= 60 𝑚

𝝎

= 𝜋

900 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝒅

= 75 𝑚

On peut décrire la hauteur par un mouvement harmonique de type 𝑓(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑑 : 𝑓(𝑡) = 60 sin ( ^𝜋

900 𝑡 −^𝜋

3) + 75

Voici ci-dessous une illustration de la hauteur 𝐻 de la cabine en fonction de l’angle (à gauche) et en fonction du temps (graphe à droite), pour six positions de la cabine :

Départ :

𝜽 = −𝝅 𝒕 = 𝟎 𝒔𝟑

𝐻 = 60 sin (^𝜋

900 𝑡 −^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin(−^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60. (−^√3

2) + 75 𝑯 = 𝟐𝟑. 𝟎𝟑 𝒎

A l’altitude moyenne : après avoir parcouru 60° ou 𝜋/

3 𝑟𝑎𝑑 :

𝜽 = 𝟎 On a parcouru ¹

6 de tour, un tour complet dure 1800 s, on a donc :

𝒕 =1800 6 = 𝟑𝟎𝟎 𝒔 𝐻 = 60 sin (^𝜋

900 300 −^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin(^𝜋

3−^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin(0) + 75 𝐻 = 60. (0) + 75

𝑯 = 𝟕𝟓 𝒎

𝑨

= 60 𝑚

𝑨

= 60 𝑚

𝒅

= 75 𝑚

𝑻

= 1800 𝑠

A l’altitude maximale : après avoir parcouru 150° ou 5𝜋/6 𝑟𝑎𝑑 :

𝜽 =𝝅 𝟐 On a parcouru ¹

4 de tour depuis l’altitude moyenne (t=300 s), un tour complet dure 1800 s, d’où :

𝒕 = 300 +¹⁸⁰⁰

4 = 𝟕𝟓𝟎 𝒔

𝐻 = 60 sin (^𝜋

900 750 −^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin (^5𝜋

6−^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin(^𝜋

2) + 75

𝐻 = 60. (1) + 75 𝑯 = 𝟏𝟑𝟓 𝒎

Second passage à l’altitude moyenne :

après avoir parcouru 240° ou 4𝜋/3 𝑟𝑎𝑑 :

𝜽 = 𝝅 On a parcouru ¹

4 de tour depuis l’altitude maximale (t=750 s), un tour complet dure 1800 s, d’où :

𝒕 = 750 +¹⁸⁰⁰

4 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒔

𝐻 = 60 sin (^𝜋

900 1200 −^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin(^4𝜋

3−^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin(𝜋) + 75 𝐻 = 60. (0) + 75

𝑯 = 𝟕𝟓 𝒎

A l’altitude minimale : après avoir parcouru 330° ou 11𝜋/6 𝑟𝑎𝑑 :

𝜽 =𝟑𝝅 𝟐 On a parcouru ¹

4 de tour depuis l’altitude moyenne (t=1200 s), un tour complet dure 1800 s, d’où :

𝒕 = 1200 +¹⁸⁰⁰

4 = 𝟏𝟔𝟓𝟎 𝒔

𝐻 = 60 sin (^𝜋

900 1650 −^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin(^11𝜋

6 −^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin(^3𝜋

2) + 75

𝐻 = 60. (−1) + 75 𝑯 = 𝟏𝟓 𝒎

Après 1 tour complet:

après avoir parcouru 360° ou 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 :

𝜽 =𝟓𝝅

On a parcouru un tour complet 𝟑 depuis l’embarquement, un tour complet dure 1800 s, on a donc :

𝒕 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝒔 𝐻 = 60 sin (^𝜋

900 1800 −^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin(2𝜋 −^𝜋

3) + 75 𝐻 = 60 sin(^5𝜋

3) + 75

𝐻 = 60. (−^√3

2) + 75 𝑯 = 𝟐𝟑. 𝟎𝟑 𝒎

4.6.4 Synthèse

Forme générale d’un mouvement harmonique.

𝑓(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑑

Relation entre le déphasage 𝜏, exprimé en 𝑠 et la vitesse angulaire 𝜔 et la phase à l’origine 𝜑 𝜏 = −𝜑

𝜔 Relation entre la vitesse angulaire 𝜔 et la période 𝑇:

𝜔 =2𝜋

𝑇 ⇔ 𝑇 =2𝜋 𝜔 Relation entre la fréquence 𝑓 et la période 𝑇:

𝑓 = 1

𝑇 ⇔ 𝑇 =1 𝑓

Exercice 12 (P1 : Connaître) Donne les propriétés des mouvements harmoniques suivants :

fonction 𝐴 𝜔 𝜏 𝑑 𝑇 𝑓

sin (2𝜋 5 𝑡)

3 sin (2𝜋𝑡 +𝜋 2)

2 sin (𝜋

12(𝑡 − 1)) + 3

−√2 sin (𝜋𝑡 2 −𝜋

3)

3 sin ( 𝑡

12− 2𝜋) + 1

avec : 𝐴: amplitude

𝜔: vitesse angulaire ou pulsation, exprimée en 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜑 : phase à l’origine, exprimée en 𝑟𝑎𝑑

𝑑 : décalage vertical

Exercice 13 (P2 : Appliquer) Associe chaque fonction harmonique à son graphe et illustre sur chaque graphe la période 𝑇, l’amplitude 𝐴 , le décalage vertical 𝑑 et le déphasage 𝜏.

2 sin 𝑡 − 4

1

2sin(3𝑡) + 1

3 sin(2𝑡 +^𝜋

5)

sin (2𝑡 +^3𝜋

4) − 2

Exercice 14 (P3 : Transférer) Dans le port de Saint-Malo, on a observé la hauteur de l’eau pendant un jour de 0h à 24h, la fonction suivante donne cette hauteur en mètres, en fonction du temps en heures, 𝑡 = 0 correspond à 0h:

ℎ(𝑡) = 5.9 sin (𝜋

6𝑡 − 1.97) + 6.9 a. Quelle est la hauteur d’eau à 7h30 ?

b. Quelle est la période de la fonction ℎ ? Que signifie ce nombre physiquement ?

c. Quel est le nombre de marées basses et hautes par jour ?

d. Combien de fois la hauteur d’eau atteindra 10 m ? A quels moments ?

e. Quelle est la différence de hauteur entre la marée haute et la marée basse ?

f. Détermine l’horaire des marées pour cette journée.