TDN°1Algèbre

CENTRE UNIVERSITAIRE D’AIN TEMOUCHENT Institut des Sciences et de la Technologie

Département des Sciences Fondamentales, Appliquées et de la Technologie

C.d.C : T.F.MAMI

Fiche de TD N° 1

Thèmes :    Lois de compositions internes, propriétés de certaines lois, distributivité.  

Exercice 1 : Considérons l’opération suivante :      2 . Dire si c’est une l.c.i. (loi de composition interne) dans   l’ensemble  des entiers naturels, dans   l’ensemble des entiers relatifs, dans   l’ensemble des nombres rationnels, dans   l’ensemble des 

nombres réels ? Mêmes questions pour l’opération :      √   . 

Exercice 2 : Combien peut‐on définir de l.c.i. dans un ensemble     à   éléments ?  Dans le cas particulier  ,  écrire les   tables des lois commutatives. 

Exercice 3 : Déterminer les éléments symétriques, s’ils existent,  pour les lois    et    dans l’ensemble des parties d’un ensemble   ?  Même question pour la loi    de composition des fonctions bijectives    de   dans  . 

Exercice 4 : Considérons la  l.c.i.    définie dans   associative et admettant un élément neutre. Montrer que si   et   sont symétrisables, 

 il en sera de même pour    et on a      . 

Exercice 5 : La l.c.i. définie sur      par  √   est‐elle distributive pour la multiplication ? Étudier  l’inverse. 

Exercice 6 : Vérifier que les deux l.c.i.     et     sont distributives l’une par rapport à l’autre dans   .    

       (     l’ensemble de toutes les parties de     )   

       ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 

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Fiche de TD N° 2

Thèmes :    Groupes, sous‐groupes, morphisme de groupes  

Exercice 1 : Soit    un ensemble muni d’une loi notée   vérifiant les conditions suivantes : 

1. , ,     

2. Il existe un élément neutre   à gauche. 

3. Chaque élément admet un symétrique à gauche. 

Montrer que   ,   est un groupe commutatif.  

Exercice 2 : Soit   un ensemble muni d’une l.c.i. notée multiplicativement, associative et admettant un élément neutre noté   . En  désignant par    l’ensemble des éléments symétrisables de  , montrez  que la restriction de la l.c.i. confère à     une structure de  groupe. «   se nomme le groupe des éléments inversibles de M (qui n’est pas, à priori, un groupe) pour cette l.c.i. » 

Exercice 3 : Soit  ,  l’ensemble des applications de   dans lui‐même. Quel est l’ensemble de ses éléments inversibles ?  Exercice 4 :  Démontrer qu’une partie non vide   est un sous‐groupe du groupe  ,   ssi 

,             ,    où        est le symétrique de    . 

Exercice 5 :  Considérons un groupe G de loi multiplicative. Soit   un élément de G. on lui associe l’application suivante    :      telle que :   ,       . Montrer que     est un automorphisme du groupe G. 

Exercice 6 : Soit   :    un morphisme de groupes. On appelle noyau de  , l’ensemble des éléments de   qui ont pour  image  l’élément neutre    de   ; On le note    ker(f) :=        .  

Montrer que le noyau est un sous‐groupe de G et que   est injective si et seulement si  ker(f)=      où e est l’élément neutre dans  .