La calculatrice (conforme à la circulaire no99-186 du 16 novembre 1999) est autorisée.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l’appréciation des copies.
EXERCICE1 4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point.
Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.
1. Un laboratoire pharmaceutique fabrique des gélules contenant une substance S. La masse de substance S, exprimée en milligrammes (mg), contenue dans une gélule est modélisée par une variable aléatoireXsuivant la loi normale d’espérance 8,2 et d’écart type 0,05.
La norme de fabrication impose que la masse de substance S dans une gélule soit comprise entre 8,1mg et 8,3mg. La probabilité qu’une gélule soit hors norme après la fabrication est :
a. 0,2 b. 0,05 c. 0,8 d. 0,95
2. Un maire souhaite estimer la proportion d’habitants de sa commune satisfaits des dé- cisions qu’il a prises depuis son élection. Un récent sondage effectué sur 800 habitants montre que 560 personnes sont satisfaites.
Un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % pour la proportion d’opinions fa- vorables est :
a. [0,66; 0,74] b. [0,69; 0,71] c. [0,60; 0,80] d. [0,71; 0,79]
3. L’arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où AetB sont deux évène- ments. Les évènements contraires deAet deBsont respectivement notésAetB.
Pour tout évènementE, on notep(E) la probabilité deEet pour tout évènementFde pro- babilité non nulle, on notepF(E) la probabilité conditionnelle deEsachantF.
0,4 A
0,1 B
0,9 B
0,6 A 0,2 B
0,8 B 3. 1.p(B) est égale à :
a. 0,3 b. 0,0048 c. 0,12 d. 0,16
3. 1.pB(A) est égale à :
a. 0,25 b. 0,4 c. 0,04 d. 0,1
EXERCICE2 5 points On a relevé le nombre d’oiseaux d’une espèce particulière, les limicoles, séjournant sur l’île de Ré.
Les résultats figurent dans le tableau fourni en annexe.
1. a. Le tableau est complété sur l’annexe. Puisque les taux d’évolution sont arrondis à 1 %, nous pouvons dire qu’ils sont égaux.
b. On suppose que l’évolution du nombre d’oiseaux se poursuit de la même façon après 2014. Un seuil d’alerte est déclenché si le nombre d’oiseaux passe en dessous de 100.
Selon cette hypothèse, l’alerte sera déclenchée avant 2020. Puisque le taux d’évolution annuel est de−10%, le coefficient multiplicateur associé est 0,9. Par conséquent le nombre de limicoles de l’année précédente est multiplié par 0,9. Pourn=4 c’est-à- dire en 2018 nous aurions 164×(0,9)4soit environ 108 oiseaux. Pourn=5 c’est-à-dire en 2019 nous aurions 164×(0,9)5soit environ 97 oiseaux.
2. Au début de l’année 2014, des scientifiques mettent en place des mesures de protection des oiseaux et d’aménagement du territoire, ce qui a pour effet de limiter la diminution des effectifs de limicoles à 6 % par an. Par ailleurs, la région décide de réintroduire 20 nouveaux oiseaux de cette espèce le premier janvier de chaque année, à partir de 2015.
a. Nous pouvons estimer le nombre de limicoles au premier janvier 2015 à 174 car 0,94×
164+20≈174,16.
b. On utilise un tableur pour estimer la population de limicoles séjournant sur l’île de Ré à partir de 2014. On donne ci-dessous une copie d’écran d’une partie du tableau utilisé. Les cellules sont au format « nombre sans décimale ».
A B C D E F G H
1 Année 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
2 Effectif 164 174 184 193 201 209 217
Une formule que nous pouvons entrer dans la cellule C2 pour obtenir, par recopie vers la droite, les autres valeurs de la ligne 2 est : =B$2 *0,94+20.
c. Les mesures prises par les scientifiques semblent adaptées à la survie de cette espèce sur l’île de Ré puisque le nombre de limicoles augmenterait chaque année à partir 2015.
EXERCICE3 6 points
Le tableau ci-dessous donne l’évolution de l’indice du nombre annuel d’immatriculations de voi- tures neuves équipées d’un moteur diesel de 2001 à 2011, base 100 en 2001.
Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Rang de l’annéexi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Indiceyi 100 106,8 106,8 109,9 112,7 112,6 120,3 124,9 126,0 122,7 122,9
Source : d’après INSEE
Le nuage des points de coordonnées¡ xi;yi
¢pouri variant de 0 à 10 est donné en annexe, à rendre avec la copie.
1. a. Déterminons, à l’aide du tableau, le taux d’évolution du nombre d’immatriculations de voitures neuves équipées d’un moteur diesel entre 2001 et 2011 exprimé en pour- centage.
Le taux d’évolutiontest défini part=indice final−100
100 .t=122,9−100
100 ≈0,229.
Le taux d’évolution du nombre d’immatriculations de voitures neuves équipées d’un moteur diesel entre 2001 et 2011 est de 22,9%.
b. On sait que 1 268 milliers de voitures neuves équipées d’un moteur diesel ont été im- matriculées en 2001. Calculons le nombre de voitures de ce type immatriculées en 2011.
Sachant que le coefficient multiplicateur entre 2001 et 2011 est 1,229, le nombre de voitures de ce type est en milliers 1268×1,229≈1558,372.
Le nombre de voitures de ce type immatriculées en 2011 est d’environ 1 558,4 milliers.
2. Calculons le taux d’évolution moyen annuel entre 2009 et 2011, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01 %.
Le coefficient multiplicateur global entre 2009 et 2011 est122,9
126,0≈0,9754.
En appelanttmle taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi (1+tm)2puisque le nombre d’immatriculation a subi 2 évolutions durant cette période.
(1+tm)2=0,9754 par conséquenttm=p
0,9754−1≈ −0,0124.
Le taux moyen annuel entre 2009 et 2011 est d’environ−1,24%.
3. a. À l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de y enx obtenue par la méthode des moindres carrés esty =2,48x+102,63.Les coefficients sont arrondis au centième.
b. On décide d’ajuster ce nuage de points par la droiteDd’équationy=2,5x+102,6.
Cette droite est tracée sur le graphique figurant en annexe.
c. À l’aide de ce modèle, estimons les indices du nombre de voitures neuves équipées d’un moteur diesel immatriculées en 2012 et en 2013.
en 2012 le rang de l’année est 11. Par conséquent en remplaçantxpar 11 dans l’équa- tion de la droite de régression, nous obtenonsy=2,5×11+102,6=130,1.
en 2013 le rang de l’année est 12. Par conséquent en remplaçantxpar 12 dans l’équa- tion de la droite de régression, nous obtenonsy=2,5×12+102,6=132,6.
4. Le tableau ci-dessous donne le nombre d’immatriculations de voitures neuves (exprimé en milliers) équipées d’un moteur diesel de 2009 à 2013.
Année 2009 2010 2011 2012 2013
Nombre d’immatricula-
tions (en milliers) 1 597,7 1 555,4 1 558,2 1 354,9 1 182,2 Indice yi, base 100 en
2001 126,0 122,7 122,9
a. En déterminant l’indice de 2012 et celui de 2013, nous pouvons remettre en question l’estimation faite à la question 3. c.
En 2012 nous avons 1354,9 1558,2= I2012
122,9d’oùI2012=1354,9×122,9 1558,2 ≈107.
en 2013 nous avons1182,2 1558,2= I2013
122,9d’oùI2013=1182,2×122,9 1558,2 ≈93.
b. Si la tendance observée sur le tableau entre 2011 et 2013 se poursuit, déterminons le nombre de voitures neuves équipées d’un moteur diesel qui devraient être immatri- culées en 2015.
Entre 2011 et 2013 c’est-à-dire pendant une période de deux ans, le nombre de voi- tures a été multiplié par 1182,2
1558,2 ≈0,7587. Entre 2013 et 2015, la période est aussi de deux ans, nous avons donc en 2015 le nombre de voitures de 2013 multiplié par 0,758 7. 1182,2×0,7587≈897,94.
Si la tendance observée sur le tableau entre 2011 et 2013 se poursuit, le nombre de voitures neuves équipées d’un moteur diesel qui devraient être immatriculées en 2015 est d’environ 897,94 milliers.
EXERCICE4 5 points Une entreprise fabrique des bouteilles en verre. La production quotidienne, exprimée en tonnes, varie entre 0 et 10.
Pour l’entreprise, le coût correspondant à la fabrication dextonnes de bouteilles, exprimé en milliers d’euros, est modélisé par la fonctionf définie sur l’intervalle [0 10] par :
f(x)=0,5x3−4x2+20x+72.
On a représenté ci-dessous la fonctionf dans un repère orthogonal du plan.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 50 100 150 200 250 300 350
Coût total (en milliers d’euros)
Production (en tonnes de bouteilles)
Partie A
1. Avec la précision permise par le graphique, le coût correspondant à la fabrication d’une tonne de bouteilles est de 90 milliers d’euros. Nous lisons l’ordonnée du point d’abscisse 1 appartenant à la courbe.
2. Avec la précision permise par le graphique, la production de bouteilles correspondant à un coût de fabrication de 130 milliers d’euros est de 4,7 tonnes de bouteilles. Nous lisons l’abscisse du point d’ordonnée 130 appartenant à la courbe.
Partie B
On appelle coût moyen la fonctionCMdéfinie sur l’intervalle ]0 ; 10] par : CM(x)= f(x)
x . 1. Calculons la dérivée de la fonctionCM, notéeCM′ .
Exprimons d’abordCM.CM(x)=0,5x3−4x2+20x+72
x =0,5x2−4x+20+72 x . C′M(x)=0,5(2x)−4−72
x2=x−4−72
x2=x3−4x2−72 x2 .
2. Montrons que pour toutxde l’intervalle ]0 ; 10],CM′ (x) peut s’écrire :CM′ (x)= + +
x2 .
Pour ce faire, montrons quex3−4x−72=(x−6)(x2+2x+12). Développons (x−6)(x2+2x+ 12).
(x−6)(x2+2x+12)=x3+2x2+12x−6x2−12x−72=x3−4x2−72.
Par conséquent sur l’intervalle ]0; 10],CM′ (x)=(x−6)¡
x2+2x+12¢
x2 .
3. C′M(x) est du signe dex−6 pourxvariant dans l’intervalle ]0 ; 10] puisque pour toutx∈ ]0 ; 10]
x2+2x+12>0 comme somme de termes strictement positifs.
SurR,x−6>0 si et seulement six>6. Il en résulte que sur ]0 ; 6[,CM′ (x)<0 et sur ]6 ; 10], C′M(x)>0
Si pour toutx∈I,f′(x)<0 alors la fonctionf est strictement décroissante surI.
Pourx∈]0 ; 6[, CM′ (x)<0, par conséquentCM est strictement décroissante sur cet inter- valle.
Si pour toutx∈I,f′(x)>0 alorsf est strictement croissante surI.
Pourx∈]6 ; 10],CM′ (x)>0 par conséquentCMest strictement croissante sur cet intervalle.
Dressons le tableau de variation deCMsur ]0; 10].
x 0 6 10
CM′ (x) − 0 +
Variation deCM
+∞ 37,2
26
4. La production de bouteilles correspondant à un coût moyen minimal est de 6 tonnes.
Partie C
L’entreprise vend ses bouteilles de verre au prix de 40 milliers d’euros la tonne, par conséquent la recetteR(x) est définie parR(x)=40x.
1. On noteBla fonction bénéfice, exprimée en milliers d’euros. CalculonsB(x) sur l’intervalle [0; 10] :
B(x)=R(x)−CM(x)=40x−(0,5x3−4x2+20x+72)= −0,5x3+4x2+20x−72.
2. Le bénéfice associé à une production de 6,5 tonnes estB(6,5).
B(6,5)= −0,5×(6,5)3+4×(6,5)2+20×6,5−72=89,6875.
3. L’affirmation « le bénéfice est maximal lorsque le coût moyen est minimal » est fausse car le bénéfice réalisé lorsque le coût est minimal estB(6)=84. Il est donc inférieur à celui réalisé pour une fabrication de 6,5 tonnes.
Annexe à rendre avec la copie
Exercice 2
Année Effectif Taux
d’évolution annuel
2010 250
2011 225 −10 %
2012 202 −10 %
2013 182 −10 %
2014 164 −10 %
Annexe Exercice 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
b b b b b b b b b b b
Nombre d’immatriculations (en milliers) Indice (base 100 en 2001)
Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l’A. P. M. E. P., merci.
