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Examen d’admission École polytechnique Faculté de Sciences Appliquées Université libre de Bruxelles

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(1)

Examen d’admission École polytechnique Faculté de Sciences Appliquées Université libre de

Bruxelles

1. Résoudre dans IR l’équation

24x+3+3¡ 4x¢

−2−1=0.

2. a. Déterminer les valeurs réelles des paramètresa,b, cpour que le poly- nômeP(x)=ax4+bx3+cx2+ax+csoit divisible par 1−x2.

b. Pour les valeurs des paramètres trouvées ci-dessus :

i. déterminer le quotient de la division du polynômePpar 1−x; ii. factoriserPau maximum dansR

iii. factoriserPau maximum dansC; en déduire les racines complexes de ce polynôme et les représenter dans le plan de Gauss.

3. Soit la fonctionf deRdansRdéfinie par f(x)=p

|x|e−x2

etC la courbe d’équationy=f(x) (C est le graphe def).

a. La fonctionf est-elle dérivable en 0 ? Justifier (utiliser la définition de la dérivée).

b. Calculerf(x) etf′′(x).

c. Déterminer une équation cartésienne de la tangente àC au point d’abs- cisse 1.

d. Établir le tableau des variations def,fetf′′contenant – les racines def, fetf′′;

– les signes def(x) et def′′(x) ;

– les extremums def, les domaines de croissance et de décroissance de f ;

– les points d’inflexion def et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas def

e. Tracer soigneusement la courbeC d’après les résultats du d.

4. Soientf etgles fonctions deRdansRdéfinies par f(x)= 1

1+ex, g(x)= 1 1+e−x. On note

I= Z1

0 f(x) dx, J= Z1

0 g(x) dx

a. Calculerf(x)+g(x), en déduireI+J(sans calculerIniJ).

b. CalculerJet en déduireI.

c. Démontrer que pour toutx∈R+ : f(x)6g(x).

d. Calculer l’aire du domaineD={(x;y)∈R2|06x61, f(x)6y6g(x)}.

(2)

Examen d’admission Faculté des Sciences appliquées

5. a. Soitn∈N. Calculer

Zn

0 [x] dx

où [x] est le plus grand entier inférieur ou égal àx.

b. Soitt∈R+. Calculer

Zt 0 [x] dx Indication :[t]6t<[t]+1.

6. a. Résoudre dansRl’équation

8x4−8x2+1=0.

b. Résoudre l’équation cos4z=0.

c. Déduire de a. et b. la valeur de cosπ

8 et cos3π 8 . 7. Partie I

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d’origine O et d’axesXetY , on donne les points A(2 ; 0) et B(0 ; 1). Une droite mobile de coefficient angulaire kcoupe l’axeXau pointPet l’axeY au pointQ.

a. déterminer une équation cartésienne du lieu géométrique du pointM d’intersection des droites AQet BP;

b. discuter la nature de ce lieu géométrique en fonction dek;

c. construire ce lieu pourk= −2 (faire une figure en prenant comme unité 2 cm) ;

d. construire ce lieu pourk=2 (faire une figure en prenant comme unité 2 cm).

Partie IIDans l’espace rapporté à un repère orthonormé d’origine O et d’axes X,Y etZ, on donne le point P(0 ; 3 ; 4).

a. établir des équations cartésiennes de la droitedparallèle à OX, passant parP;

b. établir une équation cartésienne du plan contenantdet l’axe OX; c. déterminer les coordonnées des sommets Q et R du carré OPQR, sachant

que Q est surdet que son abscisse est positive ;

d. établir des équations paramétriques de la perpendiculairepau plan du carré passant par le centre de celui-ci ;

e. déterminer les coordonnées des points S et S, sommets des pyramides droites dont le carré est la base et dont les hauteurs mesurent cinq unités de longueur ;

f. déterminer le cosinus de l’angle aigu des arêtes SO et SP, une équation cartésienne du plan OPS, la longueur de l’arête OS ainsi que le volume du polyèdre de sommets OPQRSS.

Partie III

a. Déterminer le barycentre de deux points distincts A et B de masses res- pectives 2 et−1.

b. Déterminer le barycentre G de trois points non alignés, A, B, C, affec- tés de masses égales et le barycentre Gde ces mêmes points affectés de masses respectives 1, 1 et−1.

c. SoitMun point quelconque du plan ABC.

Exprimer, en tenant compte des résultats du 2. les sommes vectorielles suivantes :−−→

MA+−−→

MB+−−→

MC et−−→

MA+−−→

MB−−−→

MC .

d. Déterminer le lieu des pointsMtels que les sommes vectorielles consi- dérées au 3. soient des vecteurs orthogonaux.

Belgique 2 juillet 2007

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