[ Baccalauréat A1 et B Polynésie septembre 1994 \
EXERCICE1 5 points
Marie et Thomas participent, avec 18 autres personnes, à un stage sportif en mon- tagne où leur sont proposées plusieurs randonnées en vélo tout terrain. Les orga- nisateurs du stage ne disposent que de 15 vélos. Avant chaque randonnée ils choi- sissent donc au hasard 15 personnes parmi les 20 stagiaires pour former un groupe de randonnée.
On supposera dans tout l’exercice que chaque stagiaire a la même probabilité d’être choisi, et que les divers choix de groupes de randonnée sont indépendants les uns des autres.
1. a. Calculer le nombre de groupes de randonnée différents que les organisa- teurs peuvent former.
b. On noteAl’évènement « Marie participe à la première randonnée ». Mon- trer que la probabilité deAest égale à3
4.
2. On noteBl’évènement « Marie et Thomas ne participent pas ensemble à la première randonnée ». Montrer que la probabilité, deBest égale à17
38. 3. Le résultat de cette question sera donné sous forme de fraction irréductible.
Il y a en tout cinq randonnées organisées. On noteC l’évènement « Marie participe à au moins une randonnée » etD l’évènement « Marie participe à exactement trois randonnées ».
Calculer la probabilité de l’évènementC∩D.
EXERCICE2 SÉRIEB 4 points
Le plan P est rapporté à un repère orthogonal³ O,−→
ı ,→−
´d’unités graphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées.
La courbeΓ, tracée ci-dessous à une échelle réduite, représente une fonction numé- riquef définie sur [0 ; 3] par
f(x)=(ax+b)e−x,
oùaetbsont deux nombres qu’on se propose de déterminer.
1
−1
1 2 3
0 1
0 1 2 3
A
Γ T
−1
e B
1. Calculerf′(x) en fonction deaetb.
Baccalauréat ES (A1 et B) A. P. M. E. P.
2. Le point A(1 ; 0) est un point deΓ. Quelle relation entreaetben déduit-on ? Cette relation sera notée (1).
3. La droiteT est tangente en A àΓet passe par le point B µ
0 ;−1 e−
¶
. Quel est son coefficient directeur ?
Quelle relation entreaetben déduit-on ? Cette relation sera notée (2).
4. Montrer quef(x)=(x−1)e−x.
PROBLÈME 5 points
1. QUESTION PRÉLIMINAIRE
Soitgla fonction numérique définie par :
g(x)=x2+1−lnx
a. Calculerg′(x), oùg′désigne la fonction dérivée deg. Étudier son signe.
b. Établir le tableau de variations deg. En déduire le signe deg(x) (on ne demande pas le calcul des limites degaux bornes deDg).
2. ÉTUDE DE LA FONCTION NUMÉRIQUEfDÉFINIE PAR :
f(x)=2x−1+2lnx x . a. Déterminer les limites def aux bornes deDg.
b. Calculerf′(x) et, en utilisant la question préliminaire déterminer son signe.
c. Établir le tableau de variations def surDg.
d. Montrer que l’équationf(x)=0 admet sur l’intervalleJ=
·1 2; 1
¸ une so- lution unique, notéex0.
3. COURBE REPRÉSENTATIVE DEfET CALCUL D’AIRE Le planPest rapporté au repère orthogonal³
O,−→ ı ,→−
´d’unités graphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées. La courbe repré- sentative def est notéeC.
a. Calculer f(x)−(2x−1), et montrer que la droiteD d’équationy=2x−1 est asymptote àC. En déduire la position relative deDetC.
b. ConstruireD etC sur la figure et hachurer la partie du plan définie par x06x61 et f(x)6y62x−1. On se propose dans la suite de calculer l’aireAde cette partie du plan.
c. ExprimerAà l’aide d’une intégrale.
d. On poseϕ(x)=2lnx
x , etu(x)=lnx. Calculeru′(x) et écrireϕen fonction deu et deu′. En déduire une primitive deϕ, puis l’expression deAen fonction dex0.
e. On rappelle que f(x0)=0. Utiliser cette relation pour montrer queA= 1
4x02¡ 1−2x20¢
(en unités d’aire).
Antilles–Guyane 2 septembre 1994
