MATHEMATIQUES – TERMINALE C © Novembre 2020 1/2 Partie A : EVALUATION DES RESSOURCES / 15,5 POINTS

MATHEMATIQUES – TERMINALE C © Novembre 2020 1/2

Partie A : EVALUATION DES RESSOURCES / 15,5 POINTS Exercice 1 : 02,5 points

Le but de cet exercice est d’utiliser les solutions d’une équation à deux inconnues entières pour résoudre un problème dans l’espace.

1. a) Déterminer un couple (x0 ;y0) d’entiers relatifs solutions de l’ équation en utilisant

l’algorithme d’Euclide. 0,25pt

b) Déduire tous les couples d’entiers relatifs (x ;y) solutions de cette équation. 0,5pt 2. L’espace étant rapporté à un repère orthonormal, on donne le vecteur ⃗ de coordonnées (48 ;35 ;24) et

le point A de coordonnées (-11 ;35 ;-13).

a) Préciser la nature et donner une équation cartésienne de l’ensemble (P) des points M de l’espace, de coordonnées (x ;y ;z) tels que

u AM .  0

. 0,75pt b) Soit (D) la droite d’intersection de (P) avec le plan d’équation .

i. Déterminer tous les points de (D) dont les coordonnées sont entières et appartiennent à

l’intervalle [-100 ;100]. 0,5pt

ii. En déduire les coordonnées du point de (D), coordonnées entières, situé le plus près de l’origine.

0,5pt Exercice 2 : 04,5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthogonal ( ⃗ ).

1. On donne

^u

^{ 8 1}



^

ⁱ

³



^.

a) Montrer que

z  3  i

est une racine quatrième de u. 0,25pt b) Résoudre dans l’équation (E) :

^z

^{48 1}



^

ⁱ

³



^0et mettre les solutions sous forme exponentielle.

c) Placer les points images des solutions de (E) dans le plan complexes en utilisant uniquement une règle graduée et un rapporteur ; puis donner le programme de construction. 1pt 2. On considère les points M et M’ d’affixes z=x +iy et z’=x’+iy’ respectivements.

a) Montrer que les vecteurs

OM

et

OM '

sont orthogonaux si et seulement si ^Re

  ^{z z}

^{' 0}. 0,5pt b) Montrer que les points O, M et M’ sont alignés si et seulement si ^Im

  ^{z z}

^{' 0}. 0,5pt c) Soit N un point d’affixe z²- 1. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que les

vecteurs

OM

et

ON

soient orthogonaux. 0,5pt

d) On suppose z non nul et on considère le point P d’affixe 1₂

z

1. i. Montrer que

2

2 2

2 2

1 1

1

z

1

z

1

z z

      

 

  ^. 0,5pt

ii. En déduire l’ensemble ( ) des points M d’affixes z tels que O, N et P soient alignés. 0,5pt Exercice 3 : 04 points

I. Soit le cube ABCDEFGH d’arête a représenté ci-dessous. On désigne par I le milieu de [EF] et par K le centre du carré ADHE.

1. Calculer le produit vectoriel :

IF  IG

. 0,5pt 2. On considère les vecteurs 1

i AB



a

, 1

j AD



a

et 1

k AE



a

. Vérifier que

 ^{A i j k}

^{, , ,}



est un repère orthonormé direct de l’espace. 0,5pt Dans la suite de l’exercice, on prendra .

3. Vérifier que

BK  IG  IA

et en déduire l’aire du triangle IGA. 0,75pt LYCEE BILINGUE DE DSCHANG

Année Académique:2020-2021 Département de Mathématiques Examinateur : M. KITIO NANKIA

Evaluation N°2 du 1^er trimestre Epreuve : MATHEMATIQUES Niveau : Terminale ; Série : C Durée : 04h00’ ; Coef : 7

MATHEMATIQUES – TERMINALE C © Novembre 2020 2/2

4. Donner une équation cartésienne du plan (AIG). 0,5pt

5. a) Calculer le volume du tétraèdre ABIG. 0,5pt

b) Quel est la distance du point B au plan (AIG) ? 0,25pt

II. A, B, C et D sont quatre points coplanaires de l’espace tels que les droites (AB) et (CD) soient sécantes en un point O.

1. Montrer que

^MA

^

^MB

^

^MC

^

^MD

^

^MO

^

 ^AB

^

^DC 

^. 0,5pt

2. Déterminer l’ensemble ( ) des points M de l’espace tels que :

MA  MB  MC  MD

. 0,5pt Exercice 4 : 04,5 points

I- a et b sont deux entiers premiers entre eux, on se propose de montrer que et sont premiers entre eux.

1. Soit u et v deux entiers relatifs tels que

au bv   1

(1)

a) Vérifier que la relation (1) est équivalente aux deux relations

 a b u b u v        ¹

(2) et

    ¹

a u v    b a v 

(3). 0,5pt

b) Que traduisent les relations (2) et (3) ? 0,25pt

2. Justifier que si a est premier avec b et a premier avec c, alors a est premier avec b c. 0,5pt 3. Démontrer alors que et sont premiers entre eux. 0,25pt 4. Application : démontrer que

^{PGCD m}  ^{²  m m , 2   1}  ¹

^. 0,5pt

II- 1. Décomposer 319 en produit de facteurs premiers. 0,25pt

3. Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour les

nombre 3x + 5y et x + 2y. 0,5pt

4. Résoudre dans ²le système d’inconnue a et b :



^{3 5}



²



¹²⁷⁶

2

a b a b ab m

   



  m étant le PPCM de a et b.

5. On considère la fraction rationnelle

5

³

2 n n A n

 



où n est un entier relatif distinct de -2.

Démontrer que

^PGCD 

⁵

ⁿ

^3

^{n n}

^{; 2}



^

^{PGCD n }

^2;38

^

et en déduire suivant les valeurs de le



^{5 3 ; 2}



PGCD n



n n

 . Pour quelle valeur de n A est irréductible ? 1pt

Partie B : EVALUATION DES COMPETENCES / 04,5 points

M. Talla agriculteur, désire acheter un terrain dans la ville de Dschang pour créer un champ d’ananas. Le propriétaire terrien, alors villageois ne dispose pas de la forme exacte de son terrain dont le mètre carré coûte 10000Fcfa. Il fait appel à un géomètre qui lui dit que son terrain a la forme de l’ensemble des points M du plan d’affixe Z tel que 2

3

z i

z i

 

 soit un imaginaire pur. Il doit entourer son terrain de deux rangers de fils barbelait dont le prix d’un mètre coute 350Fcfa et faire la culture d’ananas dans les deux cinquième de la superficie de son terrain. Le mètre carré de semence d’ananas et de 1000Fcfa.(l’unité graphique est le mètre et prendre ).

M. Talla dispose d’un échoppe et désire l’approvisionner en riz, sucre et farine. Le prix du sac de riz coûte 6000Fcfa, le prix du carton de sucre est 9000Fcfa., le sac de farine coûte 3000Fcfa plus cher que le sac de riz. Compte tenu du stock qu’il possède. M. talla souhaite prendre deux fois plus de farine que de riz et ne dispose que d’une somme de 120.000Fcfa.

En ce lundi matin du 30 novembre de l’année bissextile 2020, M. Talla souhaite organiser un carrefour ayant pour but de solutionner deux questions précises : Organiser une fête anniversaire du gérant de son échoppe né le 11 mars 1972 et découvrir le nouvel annuaire téléphonique contenant moins de 1000 pages où sont inscrits 999 991 abonnés et dont chaque page contient le même nombre d’abonnés.)

Tâche 1 : Quelle somme doit prévoir M. Talla pour effectuer sa culture d’ananas ? 1,5pt Tâche 2 : Quelle quantité des trois marchandises M. Talla pourra-t-il acheter ? 1,5pt Tâche 3 : le gérant de l’échoppe de M. Talla est né quel jour de la semaine ? Combien de pages y a-t-il dans

cet annuaire ? 1,5pt