Communication Num´erique

(1)

Communication Num´ erique

Rappels math´ematiques

Yoann Morel

http://xymaths.free.fr/index.php?subdir=Signal

(2)

Communication Num´erique

1 Convolution

2 Auto-corr´elation

3 Transform´ee de Fourier D´efinition

Propri´et´es de la T.F.

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

6 Dualit´e Temps / Fr´equence

7 Th´eor`eme de Wienner-Kinchine

(3)

Communication Num´erique Convolution

1 Convolution

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

(4)

Communication Num´erique Convolution

Produit de convolution

Pourx et y deux signaux (fonctions), on d´efinit le produit de convolution, ou la convol´ee,z par :

z(t) = Z

IR

x(t−τ)y(τ)dτ On le note :z=x∗y

Propri´et´es :

Le produit de convolution est commutatif :z=x∗y=y∗x Lin´earit´e : six,y et z sont trois signaux quelconques, alors (x+y)∗z=x∗z+y∗z

et si λest un r´eel, alors (λx)∗y=λ(x∗y)

Si τ_a désigne l’opérateur retard :τ_ax(t) =x(t−a), alors, τ_az(t) =τ_a(x∗y)(t) = (τ_ax∗y)(t) = (x∗τ_ay)(t) Dérivation : on a,(x∗y)⁰(t) = (x⁰∗y)(t) = (x∗y⁰)(t)

(5)

Communication Num´erique Auto-corr´elation

1 Convolution

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

(6)

Communication Num´erique Auto-corr´elation

Auto-corr´elation :

L’auto-corr´elation du signalx(t) est d´efini par : C_xx(τ) =

Z

IR

x(τ−t)x(t)dt

On a :C_xx(τ) =x(−τ)∗x(τ)

L’auto-corr´elation permet de “mesurer” comment un signal se reproduit dans le temps.

(7)

Communication Num´erique Transform´ee de Fourier

1 Convolution

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

(8)

D´efinition

1 Convolution

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

(9)

D´efinition

Transform´ee de Fourier :

La transform´ee de Fourier (TF, ou FT en anglais) du signalx(t) est donn´ee par :

x(fb ) = Z

IR

x(t)e^{−2iπf t}dt

Lorsquetdésigne le temps, en s, f désigne une fréquence, en Hz.

La T.F. d’un signal est la d´ecomposition de celui-ci en composantes harmoniques (ou monochromatiques).

Transform´ee de Fourier inverse : Six(f)b est la T.F. de x(t), alors,

x(t) = Z

IR

x(fb )e^{2iπf t}df

(10)

1 Convolution

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

(11)

lin´earit´e :

λ x(t) =\ λx(fˆ ) x(t) +\y(t) = ˆx(f) + ˆy(f)

Translation et modulation : Siτ_a est l’op´erateur retard : τ_ax(t) =x(t−a) alors,

dτ_ax(f) =e^−2iπafbx(f) et, e\^2iπafx(f) =τ_ax(fb ) En d’autres termes, moduler temporellement le signal revient

`

a translater en fr´equence son spectre.

Convolution :

x[∗y= ˆx·yˆ

(12)

Communication Num´erique Exemples de T.F.

1 Convolution

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

(13)

Exemples de T.F. : Signal rectangulaire rect_a(t) =

1 , si |t| ≤ ^a₂ 0 , sinon

rect[_a(f) = Z ^a

2

−^a₂

e^{−2iπf t}dt = e^−2iπf^a² −e^2iπf^a²

−2iπf

= sin(πf a) πf

=asinc(πf a)

(14)

Exemples de T.F. : Signal rectangulaire rect_a(t) =

1 , si |t| ≤ ^a₂ 0 , sinon

rect[_a(f) = Z ^a

2

−^a₂

e^{−2iπf t}dt = e^−2iπf^a² −e^2iπf^a²

−2iπf

= sin(πf a) πf

=asinc(πf a)

(15)

(16)

Exemples de T.F. : Signal monochromatique S(t) =e^2iπat

e[^2iπat(f) = Z

e^2iπate^{−2iπf t}dt

= Z

e^−2iπt(f^−a)dt

=δa(f)

(17)

Exemples de T.F. : Signal monochromatique S(t) =e^2iπat

e[^2iπat(f) = Z

e^2iπate^{−2iπf t}dt

= Z

e^−2iπt(f^−a)dt

=δa(f)

(18)

Exemples de T.F. : Signal monochromatique

D´emonstration rigoureuse (distribution) S(t) =e^2iπat

Pour toute fonctionχ(f), on a :

<S(fˆ ), χ(f)> = Z

S(fˆ )χ(f)df

= Z Z

e^{−2iπt(f−a)}χ(f)df dt

= Z

e^2iπa Z

e^−2iπtfχ(f)df dt

= Z

e^2iπtaχ(t)ˆ dt

= χ(a) D’o`u, Sˆ=δa .

(19)

Exemples de T.F. : Signal sinuso¨ıdal

x(t) = cos(w0t+ϕ)

x(t) = e^i(w⁰^t+ϕ)+e^−i(w⁰^t+ϕ) 2

= e^iϕ

2 e^iw⁰^t+−e^iϕ 2 e^−iw⁰^t

ˆ

x(f) = ê₂îϕδ_f₀+ ê^−iϕ₂ δ−f0

Le spectre du signal sinuso¨ıdalcos(2πf₀t) est f₀ et −f₀.

(20)

x(t) = cos(w0t+ϕ)

x(t) = e^i(w⁰^t+ϕ)+e^−i(w⁰^t+ϕ) 2

= e^iϕ

ˆ

x(f) = ê₂îϕδ_f₀+ ê^−iϕ₂ δ−f0

(21)

x(t) = cos(w0t+ϕ)

x(t) = e^i(w⁰^t+ϕ)+e^−i(w⁰^t+ϕ) 2

= e^iϕ

ˆ

x(f) = ê₂îϕδ_f₀+ê^−iϕ₂ δ−f0

(22)

x(t) = cos(w0t+ϕ)

x(t) = e^i(w⁰^t+ϕ)+e^−i(w⁰^t+ϕ) 2

= e^iϕ

ˆ

x(f) = ê₂îϕδ_f₀+ê^−iϕ₂ δ−f0

(23)

Exemples de T.F. : Peigne de Dirac

∆T(t) =X

n

δ(t+nT) Le peigne de Dirac,∆T est T-p´eriodique.

∆ˆ_T(f) = 1 T

X

k

δ(f− k T)

= 1 T∆1

T

(24)

Communication Num´erique T.F. rapide

1 Convolution

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

(25)

T.F. rapide (FFT : Fast Fourier Transform)

Pour un signal discretxn, sa transform´ee de Fourier est donn´ee par :

ˆ x_n= 1

N

N−1

X

k=0

x_ke^−2iπ^kn^N

La T.F. discr`ete n´ecessite ainsiN² calculs pour chacun des N coeffcients, soit de l’ordre deN³ calculs.

Pour un ordinateur actuel, équipé d’un processeur cadencé à 1 GHz, soit de l’ordre de10⁹ opérations par seconde :

• N = 1000−→

1s

• N = 10 000−→

16 min

• N = 100 000−→

277 h ∼11 jours !

(26)

T.F. rapide (FFT : Fast Fourier Transform)

Pour un signal discretxn, sa transform´ee de Fourier est donn´ee par :

ˆ x_n= 1

N

N−1

X

k=0

x_ke^−2iπ^kn^N

La T.F. discr`ete n´ecessite ainsiN² calculs pour chacun des N coeffcients, soit de l’ordre deN³ calculs.

Pour un ordinateur actuel, équipé d’un processeur cadencé à 1 GHz, soit de l’ordre de10⁹ opérations par seconde :

• N = 1000−→ 1s

• N = 10 000−→ 16 min

• N = 100 000−→ 277 h ∼11 jours !

(27)

Principe de la FFT

xn=X ˆ

x_ke^2iπ^kn^N

On consid`ere le signal de p´eriode ^N₂ : x_n+N

2

=X

ˆ

x_ke^2iπ^kn^N (−1)^k d’o`u,







x_n+x_n+N

2 =P

ˆ

x_2ke^2iπ^(2k)n^N x_n−x_n+N

2

=

Pxˆ_2k+1e^2iπ^(2k+1)n^N e^2iπ^Nⁿ Ainsi,xˆ2k est la T.F. du signal ^N₂-p´eriodique xn+x_n+^N

2, et xˆ2k+1

est celle du signalxn−x_n+^N

2.

La période, donc la taille du signal, a été divisée par 2 !

(28)

On réitère ensuite la décomposition.

Au final, si la taille du signal estN = 2^p, on doit calculerp coefficients, c’est-`a-direlog₂N, au lieu deN.

On a donc au totalN² log₂N calculs a effectuer.

Avec le même ordinateur que précédemment :

• N = 1000−→

3 ms

• N = 10 000−→

0,4 s

• N = 100 000−→

50 s !

(29)

On réitère ensuite la décomposition.

Au final, si la taille du signal estN = 2^p, on doit calculerp coefficients, c’est-`a-direlog₂N, au lieu deN.

On a donc au totalN² log₂N calculs a effectuer.

Avec le même ordinateur que précédemment :

• N = 1000−→ 3 ms

• N = 10 000−→ 0,4 s

• N = 100 000−→ 50 s !

(30)

Communication Numérique Dualité Temps / Fréquence

1 Convolution

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

(31)

Communication Numérique Dualité Temps / Fréquence

Dualit´e Temps / Fr´equence :

Soit un signal discret(xk), échantillonnage du signal x(t) à la fréquence d’échantillonnage fe= 1

T_e :

xk=x(k Te) , k= 0. . . N Alors, sa T.F.cxk(f) a :

un pas fr´equentiel δ_f = 1 N T_e une largeur de bande ∆_f = _T¹

e =f_e. On a donc le compromis :

Résolution fréquentielle ↔ observation en temps long Résolution temporelle↔ grande largeur de bande

(32)

Communication Numérique Théorème de Wienner-Kinchine

1 Convolution

4 Exemples de T.F.

5 T.F. rapide

(33)

Communication Numérique Théorème de Wienner-Kinchine

Soitx(t) un signal, etx(fˆ )sa T.F.

La densit´e spectrale de puissance (DSP) est P_x(f) =|ˆx(f)|². L’auto-corr´elation de ce signal est par ailleurs :

Cxx(τ) = Z

IR

x(t)x(t−τ)dt=x(t)∗x(−t) d’o`u,

Cdxx(f) = ˆx(f) ˆx(−f) Or, pour un signal r´eel,x(−f) = ˆˆ x(f), et donc,

Cdxx(f) =|ˆx(f)|² =Px(f) Th´eor`eme (Wienner-Kinchine)

L’intensité de la densité spectrale d’un signal réel est la T.F. de son auto-corrélation.