Calcul de la fractale de Mandelbrot sur STM32
J.-M Friedt, 4 d´ ecembre 2020
La fractale [1, 2] de Mandelbrot est une structure g´ eom´ etrique dans le plan complexe issue de l’analyse de la suite
z n+1 = z 2 n + c
pour chaque point c ∈ C du plan complexe en initialisant z 1 = c. Chaque point c est repr´ esent´ e par deux symboles, selon que la suite converge ou diverge. Dans la pratique, la convergence ou la divergence est
´
etablie apr` es quelques it´ erations et seuillage du module de z n .
Dans leur publication [3] les auteurs tracent l’ensemble de Mandelbrot dans l’intervalle r´ eel [−2; 0, 25]
et l’intervalle imaginaire [−0, 96; 0, 96] pour rechercher des orbites p´ eriodiques. Ici nous allons nous int´ eresser ` a un ensemble plus large avec une condition de divergence en ´ etablissant que si au bout de 16 it´ erations le carr´ e du module de |z n | n’a pas d´ epass´ e 10, alors la suite converge probablement et nous afficherons le premier symbole. Dans le cas contraire, si le module d´ epasse ce seuil avant 16 it´ erations, nous afficherons le second symbole. L’objectif est de cartographier les valeurs de c pour lesquelles la suite converge et diverge.
Gauche : graphique publi´ e dans [3] en 1978. Droite : la solution recherch´ ee avec ce programme.
***********************************************************************************************************************************************
***********************************************************************************************************************************************
***********************************************************************************************************************************************
***********************************************************************************************************************************************
***********************************************************************************************************************************************
****************************************************************************************** ****************************************************
***********************************************************************************************************************************************
***********************************************************************************************************************************************
******************************************************************************************** **************************************************
******************************************************************************************** **************************************************
********************************************************************************************** **** ******************************************
********************************************************************************************* ** ********************************************
*********************************************************************************************** ***********************************************
*********************************************************************************************** ***********************************************
********************************************************************************************** ***********************************************
******************************************************************************************* * *********************************************
********************************************************************************************* *********************************************
**************************************************************************************** ** **********************************************
************************************************************************************** * * ******************************************
**************************************************************************************** *****************************************
**************************************************************************************** ******************************************
*************************************************************************************** *******************************************
*************************************************************************************** *****************************************
**************************************************************************************** ******************************************
**************************************************************************************** ******************************************
***************************************************************************************** *******************************************
********************************************************************* **** ******* ****** ******** ***********************************
********************************************************************** ******* ** ** ********* ************************
*********************************************************************** * *** ********* ************************
********************************************************************** ** ***** *** ************************
************************************************************************ * *** *** **********************
*********************************************************************** ** ***********************
*********************************************************************** * **********************
************************************************************************ *************************
************************************************************************* ************************
******************************************************************** ** *************************
******************************************************************* ** ***************************
****************************************************************** **************************
****************************************************************** *************************
******************************************************************* ************************
******************************************************************* *************************
************************************* *************************** ** * ********************
************************************* ********** *************** ********************
************************************************ *************** ********************
************************************* ******** **** ********** * ********************
**************************************** * **** * ********** ***********************
***************************************** * ********* ***********************
***************************************** ******* ***********************
**************************************** ***** * ********************
***************************************** **** *********************
**************************************** *** *********************
************************************ ***********************
************************************** ***********************
************************************** **********************
****************************** ****** ************************
******************************* ** ** ***********************
******************************* *************************
******************************* *************************
***************************** **************************
************ ************* ** ***************************
****************************
************ ************* ** ***************************
***************************** **************************
******************************* *************************
******************************* *************************
******************************* ** ** ***********************
****************************** ****** ************************
************************************** **********************
************************************** ***********************
************************************ ***********************
**************************************** *** *********************
***************************************** **** *********************
**************************************** ***** * ********************
***************************************** ******* ***********************
***************************************** * ********* ***********************
**************************************** * **** * ********** ***********************
************************************* ******** **** ********** * ********************
************************************************ *************** ********************
************************************* ********** *************** ********************
************************************* *************************** ** * ********************
******************************************************************* *************************
******************************************************************* ************************
****************************************************************** *************************
****************************************************************** **************************
******************************************************************* ** ***************************
******************************************************************** ** *************************
************************************************************************* ************************
************************************************************************ *************************
*********************************************************************** * **********************
*********************************************************************** ** ***********************
************************************************************************ * *** *** **********************
********************************************************************** ** ***** *** ************************
*********************************************************************** * *** ********* ************************
********************************************************************** ******* ** ** ********* ************************
********************************************************************* **** ******* ****** ******** ***********************************
***************************************************************************************** *******************************************
**************************************************************************************** ******************************************
**************************************************************************************** ******************************************
*************************************************************************************** *****************************************
*************************************************************************************** *******************************************
**************************************************************************************** ******************************************
**************************************************************************************** *****************************************
************************************************************************************** * * ******************************************
**************************************************************************************** ** **********************************************
********************************************************************************************* *********************************************
******************************************************************************************* * *********************************************
********************************************************************************************** ***********************************************
*********************************************************************************************** ***********************************************
*********************************************************************************************** ***********************************************
********************************************************************************************* ** ********************************************
********************************************************************************************** **** ******************************************
******************************************************************************************** **************************************************
******************************************************************************************** **************************************************
***********************************************************************************************************************************************
***********************************************************************************************************************************************
****************************************************************************************** ****************************************************
***********************************************************************************************************************************************
***********************************************************************************************************************************************
***********************************************************************************************************************************************
***********************************************************************************************************************************************
Tous ces calculs se feront sur STM32, bien qu’on puisse s’entraˆıner sur PC avant de cross-compiler sur la cible pour afficher le r´ esultat par communication RS232 via le port s´ erie virtuel sur USB depuis le STM32 vers le PC. En s´ eparant correctement la partie algorithmique du code de la partie communication, le passage du PC au STM32 doit se faire sans probl` eme.
1
1. le probl` eme a ´ et´ e exprim´ e sous forme de nombres ` a virgules (0,96, 0,25 ...) : sachant que nous imposons de ne travailler que sur des entiers, et que nous voudrons tracer une centaine de points tout au plus en abscisse et en ordonn´ ee, comment seront repr´ esent´ ees les parties r´ eelle et imaginaire de chaque complexe ? Comment exprimer dans ce contexte l’intervalle [−0, 95; 1, 20] par pas de 0,02 ?
Repr´ esentation ` a virgule fixe, par exemple sous forme de 1000 fois la valeur r´ eelle consid´ er´ ee pour ne travailler que sur des entiers, bien que la multiplication par 100 suffise si une centaine de pas est recherch´ ee. Ainsi en multipliant par 1000, l’intervalle s’´ ecrira (notation Matlab) : [−950 : 20 : 1200].
2. Compte tenue de la r´ eponse pr´ ec´ edente, proposer une fonction qui prenne en argument les parties r´ eelles et imaginaires de deux complexes repr´ esent´ es de fa¸ con ad´ equate, et renvoie la somme des deux complexes. On pourra investir un peu de temps ` a cr´ eer une structure ad´ equate pour repr´ esenter un complexe qui facilitera la suite de la discussion, et provisoirement tester la fonction mise en œuvre sur PC avant de la transposer vers le microcontrˆ oleur pour s’assurer des r´ esultats obtenus.
La somme en virgule fixe ne pose pas de probl` eme puisque les retenues se propagent vers la partie enti` ere de la somme et aucune d´ ecimale n’est ajout´ ee. Nous restons donc sur un notation avec 3 d´ ecimales apr` es la virgule implicite :
1 #include <stdio.h>
2 struct cpl {int re;int im;};
3
4 struct cpl addcomp(struct cpl in1,struct cpl in2) 5 {struct cpl tmp;
6 tmp.re=in1.re+in2.re;
7 tmp.im=in1.im+in2.im;
8 return(tmp);
9 }
3. Compte tenue de la premi` ere r´ eponse, proposer une fonction qui prenne en argument les parties r´ eelles et imaginaires de deux complexes et renvoie le produit des deux complexes. On prendra soin ` a conserver la r´ esolution avec laquelle les nombres sont repr´ esent´ es.
Le produit ajoute des d´ ecimale : si nous avons multipli´ e par 10 N , alors le produit a cr´ e´ e 2 × N d´ ecimales et il faut en ´ eliminer N pour revenir sur la notation initiale, donc diviser le r´ esultat par 10 N :
1 struct cpl mulcomp(struct cpl in1,struct cpl in2) 2
3 {struct cpl tmp;
4 tmp.re=in1.re*in2.re-in1.im*in2.im;
5 tmp.im=in1.re*in2.im+in1.im*in2.re;
6 tmp.re/=1000;
7 tmp.im/=1000;
8 return(tmp);
9 }
4. Finalement, proposer une troisi` eme fonction qui prenne en argument un complexe et renvoie son carr´ e du module dans une repr´ esentation coh´ erente avec les autres op´ erations.
Le module consiste ` a mettre au carr´ e chaque terme du complexe et d’en faire la somme, donc les argumentaires des deux questions pr´ ec´ edentes sont valables : la somme n’introduit pas de d´ ecimale et le produit induit une division du r´ esultat par 10 N :
1 int modcomp(struct cpl in1) 2 {int tmp;
3 tmp=in1.re*in1.re+in1.im*in1.im;
4 return(tmp/1000);
5 }
2
5. Fort de ces trois fonctions, proposer un programme qui boucle sur l’axe r´ eel de -1,2 ` a +1,2 par pas de 0,02 et selon l’axe imaginaire de -2,0 ` a 0,85 par pas de 0,02 (120 points en abscisse par 142 points en ordonn´ ee). Pour chaque point, it´ erer la suite z n+1 = z n 2 + c avec c la coordonn´ ee du point analys´ e, et arrˆ eter l’it´ eration soit si le module de z n d´ epasse 10, soit si le nombre d’it´ erations atteint 16. On affichera un espace dans le premier car, un symbole “*” dans le second.
Il ne reste plus qu’` a utiliser les fonctions cit´ ees ci-dessus dans une fonction principale qui boucle dans le plan complexe selon l’axe imaginaire en boucle ext´ erieure et selon l’axe r´ eel en boucle int´ erieure, et pour chaque point m´ emoriser la coordonn´ ee du complexe, it´ erer au plus 16 fois la suite ou sortir de l’it´ eration si le module a d´ epass´ e le seuil, et afficher le caract` ere r´ esultant ` a l’´ ecran selon la condition de sortie :
1 int main() 2 {struct cpl tmp;
3 struct cpl current;
4 int n,zr,zi;
5 for (zi=-1200;zi<1200;zi+=20) 6 {for (zr=-2000;zr<850;zr+=20)
7 {n=0;
8 current.re=zr;
9 current.im=zi;
10 tmp.re=zr;
11 tmp.im=zi;
12 do {tmp=addcomp(current,mulcomp(tmp,tmp));
13 n++;
14 }
15 while ((modcomp(tmp)<10000)&&(n<16));
16 if (n<16) printf("*"); else printf(" ");
17 }
18 printf("\n");
19 }
20 }
Le r´ esultat est la figure de droite dans l’´ enonc´ e.
6. Mˆ eme si cela est strictement interdit par les pr´ ecepts de programmation sur syst` eme embarqu´ e, proposer une impl´ ementation utilisant une repr´ esentation des nombres ` a virgule flottante (float) et comparer le temps d’ex´ ecution avec l’impl´ ementation sur des entiers. Quelle ´ etape de traitement faut-il absolument ´ eliminer pour rendre la mesure pertinente ?
Il faut ´ eliminer la communication sur port s´ erie qui prend un temps consid´ erablement plus long que le temps de calcul. Une fois cette pr´ ecaution prise, les r´ esultats du temps de calcul (en seconde) sont, pour 30 it´ erations du calcul complet de la fractale :
Calcul STM32F3 STM32F4
flottants 55 5
int, /1000 12 5
int, 10 11 5
7. Au lieu d’afficher un symbole quelconque si la suite converge et un autre symbole lorsqu’elle diverge, afficher plutˆ ot dans le second cas le nombre d’it´ erations qu’il a fallu pour atteindre le module pour lequel la suite est suppos´ ee diverger. L’image r´ esultante sera bien plus ´ el´ egante.
Il suffit de changer une unique ligne dans le code apr` es la condition while avec 1 if (n<16) printf("%c",’0’+n); else printf(" ");
et en effet le r´ esultat est bien plus beau :
3
11111111112222222222222222222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333333333333333333333322222222222222222222222222222211 11111111122222222222222222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333334444444433333333333333333222222222222222222222222222221 11111111222222222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333444444444444433333333333333332222222222222222222222222222 11111112222222222222222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333344444555544444443333333333333333222222222222222222222222222 11111122222222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333444445876655444444433333333333333322222222222222222222222222 111112222222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333444444557 9<65554444443333333333333333222222222222222222222222 1111222222222222222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333344444455568<976555544444333333333333333322222222222222222222222 1112222222222222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333444444455567;:86655555444433333333333333332222222222222222222222 1122222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333334444444455567: :7766676544443333333333333333222222222222222222222 1222222222222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333344444444555667> ?98778;7554444433333333333333322222222222222222222 12222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333344444444455556678:> 99;; 655444443333333333333332222222222222222222 222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333334444444444555666789 ;< ;7655444444333333333333333222222222222222222 222222222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333344444444445555667789;> >;986655544444433333333333333222222222222222222 222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333333444444444455556667789;> <:877655544444443333333333333322222222222222222 22222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333334444444444455556667789;< <:877665554444444433333333333332222222222222222 2222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333334444444444455556677889 ? 987765554444444443333333333333222222222222222 2222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333444444444445555566779>::<? :98876555444444444333333333333222222222222222 22222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333344444444445555555668:< == >;:<=86655544444444433333333333322222222222222 2222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333444444444445555555667; ? = <87655554444444444333333333332222222222222 22222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333444444444445555555566678:< <7665555444444444433333333332222222222222 222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333444444444445555555566667789; ;97666555554444444443333333333222222222222 22222222222222222222222222222222222333333333333333333333334444444444455555555566667778: >:87766655555544444444333333333322222222222 22222222222222222222222222222222233333333333333333333333444444444444555555566666667788; 87766665555555544444433333333322222222222 22222222222222222222222222222222333333333333333333333344444444444455555666666666777889:= ;98777666555555555444443333333332222222222 22222222222222222222222222222233333333333333333333334444444444444555566667777777778899:< :98877766666555665554443333333332222222222 22222222222222222222222222222333333333333333333333444444444444445555677789;8777889999:;<? <;:988887766666668=655444333333333222222222 222222222222222222222222222333333333333333333333444444444444444555568 <:?< :8889<< ;;<<=? ?=<;;::; 9777666778==65444433333333222222222 222222222222222222222222233333333333333333333444444444444444455555667: >;:99:= >> << 987777789 965544433333333322222222 2222222222222222222222223333333333333333333444444444444444445555556679< ? ;:; :8888889? 976544443333333322222222 222222222222222222222233333333333333333334444444444444444445555556667; <= ?;:9: ;:< :99554443333333332222222 2222222222222222222233333333333333333334444444444444444444555555566789;= ? ;;< >>> 8554444333333332222222 2222222222222222223333333333333333333444444444444444444455555555666789: ?= 97654444333333332222222 2222222222222222233333333333333333344444444444444444444555555556667789: < 7554444433333333222222 2222222222222223333333333333333333444444444444444444455555555566677789:= <976555444433333333222222 222222222222223333333333333333334444444444444444445555555555566677789:;<? 976555444433333333322222 2222222222223333333333333333334444444445555555555555555555556666789= ;< ;876555444443333333322222 22222222222333333333333333333444444455555555555555555555556666678;< >> ?;9876655444443333333322222
22222222233333333333333333344444445555555555555555555566666666779= ;9876655544443333333332222
22222222333333333333333333444444455776665555555666666666666667789? =877665544443333333332222
222222233333333333333333344444445567<9976666666666666666666777789:= 988775544443333333332222
2222223333333333333333344444444555679=977666666777776666667777889;= =;99::6544443333333332222
2222333333333333333333444444444555678 ;877777778:<87777777777889: ?? ; ?6554444333333333222
222333333333333333333444444444555567: :988888889 =9888777778889: :7554444333333333222
2223333333333333333344444444445556679?=::9;:989; =:999888888899: :6554444333333333222
2233333333333333333444444444455556678 ?><:::;? ?<:; 9988899:;= ? 86554444333333333222
23333333333333333344444444445555666789:< ? <;<> < ?;:99999:< >:876554444333333333322
333333333333333334444444444455556667889;> ? ><;::::;> =9876554444333333333322
333333333333333444444444444555566677889;> ?;;;;<> =:876554444333333333322
33333333333333444444444444555566667789:> ><<<= < 76554444333333333322
33333333333334444444444455555666677899:<> >==> <76554444333333333322
333333333333444444444455555566677789;;<> ?>? ;65554444333333333322
333333333344444444445555555667777889 <9765544444333333333332
33333333444444444555555556667988889:;> =:765544444333333333332
33333344444444455555555566678;<999::;> 8665544444333333333332
33344444444445555555556666678: ;:;<<= =97655544444333333333332
334444444455555555556666667789< == >> 87655544444333333333332
34444445555566666666666677788:; ?976655544444333333333332
44444555566776666666777778899;< :876555544444333333333332
444555556678:8777788878889<:; :8766555544444333333333332
45566677778; ;9889:;9999:; => ;98766555544444333333333332
<:98766555544444333333333332
45566677778; ;9889:;9999:; => ;98766555544444333333333332
444555556678:8777788878889<:; :8766555544444333333333332
44444555566776666666777778899;< :876555544444333333333332
34444445555566666666666677788:; ?976655544444333333333332
334444444455555555556666667789< == >> 87655544444333333333332
33344444444445555555556666678: ;:;<<= =97655544444333333333332
33333344444444455555555566678;<999::;> 8665544444333333333332
33333333444444444555555556667988889:;> =:765544444333333333332
333333333344444444445555555667777889 <9765544444333333333332
333333333333444444444455555566677789;;<> ?>? ;65554444333333333322
33333333333334444444444455555666677899:<> >==> <76554444333333333322
33333333333333444444444444555566667789:> ><<<= < 76554444333333333322
333333333333333444444444444555566677889;> ?;;;;<> =:876554444333333333322
333333333333333334444444444455556667889;> ? ><;::::;> =9876554444333333333322
23333333333333333344444444445555666789:< ? <;<> < ?;:99999:< >:876554444333333333322
2233333333333333333444444444455556678 ?><:::;? ?<:; 9988899:;= ? 86554444333333333222
2223333333333333333344444444445556679?=::9;:989; =:999888888899: :6554444333333333222
222333333333333333333444444444555567: :988888889 =9888777778889: :7554444333333333222
2222333333333333333333444444444555678 ;877777778:<87777777777889: ?? ; ?6554444333333333222
2222223333333333333333344444444555679=977666666777776666667777889;= =;99::6544443333333332222
222222233333333333333333344444445567<9976666666666666666666777789:= 988775544443333333332222
22222222333333333333333333444444455776665555555666666666666667789? =877665544443333333332222
22222222233333333333333333344444445555555555555555555566666666779= ;9876655544443333333332222
22222222222333333333333333333444444455555555555555555555556666678;< >> ?;9876655444443333333322222 2222222222223333333333333333334444444445555555555555555555556666789= ;< ;876555444443333333322222 222222222222223333333333333333334444444444444444445555555555566677789:;<? 976555444433333333322222 2222222222222223333333333333333333444444444444444444455555555566677789:= <976555444433333333222222 2222222222222222233333333333333333344444444444444444444555555556667789: < 7554444433333333222222 2222222222222222223333333333333333333444444444444444444455555555666789: ?= 97654444333333332222222 2222222222222222222233333333333333333334444444444444444444555555566789;= ? ;;< >>> 8554444333333332222222 222222222222222222222233333333333333333334444444444444444445555556667; <= ?;:9: ;:< :99554443333333332222222 2222222222222222222222223333333333333333333444444444444444445555556679< ? ;:; :8888889? 976544443333333322222222 222222222222222222222222233333333333333333333444444444444444455555667: >;:99:= >> << 987777789 965544433333333322222222 222222222222222222222222222333333333333333333333444444444444444555568 <:?< :8889<< ;;<<=? ?=<;;::; 9777666778==65444433333333222222222 22222222222222222222222222222333333333333333333333444444444444445555677789;8777889999:;<? <;:988887766666668=655444333333333222222222 22222222222222222222222222222233333333333333333333334444444444444555566667777777778899:< :98877766666555665554443333333332222222222 22222222222222222222222222222222333333333333333333333344444444444455555666666666777889:= ;98777666555555555444443333333332222222222 22222222222222222222222222222222233333333333333333333333444444444444555555566666667788; 87766665555555544444433333333322222222222 22222222222222222222222222222222222333333333333333333333334444444444455555555566667778: >:87766655555544444444333333333322222222222 222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333444444444445555555566667789; ;97666555554444444443333333333222222222222 22222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333444444444445555555566678:< <7665555444444444433333333332222222222222 2222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333444444444445555555667; ? = <87655554444444444333333333332222222222222 22222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333344444444445555555668:< == >;:<=86655544444444433333333333322222222222222 2222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333444444444445555566779>::<? :98876555444444444333333333333222222222222222 2222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333334444444444455556677889 ? 987765554444444443333333333333222222222222222 22222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333334444444444455556667789;< <:877665554444444433333333333332222222222222222 222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333333444444444455556667789;> <:877655544444443333333333333322222222222222222 222222222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333344444444445555667789;> >;986655544444433333333333333222222222222222222 222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333334444444444555666789 ;< ;7655444444333333333333333222222222222222222 12222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333344444444455556678:> 99;; 655444443333333333333332222222222222222222 1222222222222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333344444444555667> ?98778;7554444433333333333333322222222222222222222 1122222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333334444444455567: :7766676544443333333333333333222222222222222222222 1112222222222222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333333444444455567;:86655555444433333333333333332222222222222222222222 1111222222222222222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333344444455568<976555544444333333333333333322222222222222222222222 111112222222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333444444557 9<65554444443333333333333333222222222222222222222222 11111122222222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333444445876655444444433333333333333322222222222222222222222222 11111112222222222222222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333344444555544444443333333333333333222222222222222222222222222 11111111222222222222222222222222222222222222222222222222222222233333333333333333333333444444444444433333333333333332222222222222222222222222222 11111111122222222222222222222222222222222222222222222222222222222333333333333333333333334444444433333333333333333222222222222222222222222222221
