Sur les immersions de codimension <span class="mathjax-formula">$1$</span> qui sont des bords

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

A ^NDRÉ G ^RAMAIN

Sur les immersions de codimension 1 qui sont des bords

Annales scientifiques de l’É.N.S. 4^e série, tome 3, n^o2 (1970), p. 111-184

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4e série, t. 3, 1970, p. ni à 184.

SUR LES IMMERSIONS DE CODIMENSION 1

QUI SONT DES BORDS

PAR ANDRÉ GRAMAIN.

TABLE DES MATIÈRES.

Pages.

INTRODUCTION . . . 1 1 2 CHAPITRE 1 : Degré normal d'une immersion de codimension i . . . 1 1 4

1. Classe de Thom et caractéristique cTEuler pour les variétés à b o r d . . . n5

2. Définition du d e g r é . . . 121

3. Immersions bordantes, théorème de curvatura i n t é g r a . . . 126

CHAPITRE II : La classification des i m m e r s i o n s . . . 13o 1. La classification des i m m e r s i o n s . . . 13o 2. P o i n t s - b a s e s . . . 136

3. Immersions b o r d a n t e s . . . i38

4. Sommes c o n n e x e s . . . 13g CHAPITRE III : .Classes des immersions bordantes de S71 dans R^4-1 ou S7 1"4"1. . . i45

1. Le degré n o r m a l . . . 145

2. Variétés stablement p a r a l l é l i s a b l e s . . . 146

3. Le noyau de s . . . 15o 4. Étude d é t a i l l é e . . . i54

5. Des représentants pour chaque classe b o r d a n t e . . . 155

CHAPITRE IV : Classes des immersions bordantes de S"- dans une variété de dimen- sion n + i . . . i58

1. La construction de l'application J . . . 15g 2. Démonstration du théorème 1 . . . i6i

3. Additivité de J et a p p l i c a t i o n s . . . 165

CHAPITRE V : Les variétés stablement p a r a l l é l i s a b l e s . . . 168

1. Immersions dans R714"1 et S '1 4"1. . . 169

2. Construction d'immersions dans B . ^1. . . 170

3. Immersions b o r d a n t e s . . . 173

APPENDICE : Immersions des surfaces dans R3. . . 179

BIBLIOGRAPHIE... . . . i83

Ann. Éc. Norm., (4), III. — FASC. 2. 16

112 A. GRAMAIN.

INTRODUCTION.

Les travaux de S. Smale sur les immersions diffère ntiables (igôg) ont permis d'établir la classification des immersions, c'est-à-dire de caractériser l'ensemble des composantes connexes de l'espace Imm(V, M) des immer- sions de V dans M. A l'aide de ces résultats, on a pu résoudre, c'est-à-dire ramener à un problème d'homotopie, le problème de l'extension des immer-' sions. Il s'agit du problème suivant : soit W714'1 une variété de bord rfW, à quelle condition une immersion de dW dans une variété M71'^ est-elle la restriction d'une immersion de W ?

Le seul cas échappant à la méthode est celui de la codimension q = i.

Ce problème d'extension des immersions de codimension i n'est pas dépourvu d'intérêt : sa solution dans le cas particulier où d\V est la sphère S2 permettrait de résoudre le problème de Poincaré en dimen- sion 3 {cf. [22]). Le seul cas actuellement résolu est le problème de l'exten- sion au disque des immersions du cercle dans le plan. Le problème, qui avait été formulé autrefois par H. Hopf, vient d'être résolu (1967) par S. Blanck [cf. [22]). La complexité et la nature de la solution dans ce cas laissent penser qu'avec des données moins élémentaires on ne peut donner que des solutions partielles.

Il nous a semblé qu'un premier pas dans l'étude du problème général d'extension était la caractérisation à homotopie régulière près des immer- sions prolongeables. On a oublié la variété W et on s'est posé le problème suivant (1) : soit f: V^—»- M7^1 une immersion, à quelle condition l'immer- sion f est-elle régulièrement homotope à la restriction au bord (DN = V d'une immersion g : W -> M ? La variété M est une variété sans bord, compacte ou non; on suppose toutes les variétés orientées, et on exige que V soit le bord orienté de W et que g soit une immersion orientée (de codimension o). Le résultat principal de ce Mémoire est une caractéri- sation, lorsque V est stablement parallélisable, des classes des immersions bordantes de V dans M.

Pour obtenir cette caractérisation, on a procède par étapes. La première (chap. III) consiste à calculer toutes les classes d'immersions de S"

dans R^1 qui possèdent une extension (classes bordantes). On calcule en même temps les classes des immersions bordantes de S" dans S7^1. (1) Dans [27], R. Wells, en utilisant les travaux de R. Thom ([25]) et la classification des immersions, a calculé les groupes de cobordisme des immersions de codimension q dans R^y. La relation de cobordisme est moins fine que celle qui se déduit de l'extension des immersions : une immersion est cobordante à o si elle est le bord d'une immersion dans Mx[o, i].

Lorsqu'on a identifié convenablement (classification des immersions) l'ensemble ^o (Imm(S71, S7^1)) à 7i^(SO), l'ensemble des classes bor- dantes est le noyau de l'homomorphisme stable de Hopf-Whitehead J,, : ^(SO) — 11^. Lorsqu'on a identifié iio (Imm(S71, R714-1)) à ^(S0(n + i)), l'ensemble des classes bordantes, si n ^ 2, est l'image réciproque de ker(J^) par l'homomorphisme de stabilisation. La comparaison des deux résul- tats, en considérant R^1 comme le complémentaire d'un point de S7^1, est assez surprenante pour n ^ 2 : une immersion de S71 dans R/^1 qui est bordante dans S7^1, est régulièrement homotope dans R/^1 à une immer- sion bordante. Ceci se généralise aux immersions d'une variété stable- ment parallélisable quelconque (chap. V, th. 1).

La seconde étape (chap. V) consiste à construire, pour toute variété stablement parallélisable V, une application Jy de iio (Imm(V71, M^1)) dans un certain ensemble attaché à M. Le résultat précédent permet de démontrer, si n ^ 2, que l'ensemble des classes bordantes est l'image réciproque Jy1 (0) d'un certain point 0. C'est la caractérisation cherchée.

Pour la clarté de l'exposition, on a d'abord donné (chap. IV) la cons- truction de Jy dans le cas particulier où V = S^. L'application Jy possède dans ce cas une propriété d'additivité qui la rend plus maniable. Il en résulte en particulier, lorsque M est simplement connexe, que l'ensemble des classes bordantes est un sous-groupe de 7io (Imn^S^, M)) pour la loi de composition induite par la somme connexe. D'autre part, on a donné au chapitre V, à la suite de l'étude de Jy dans le cas général, des propriétés des variétés stablement parallélisables qui découlent à la fois de cette étude et des résultats du chapitre III sur les immersions de S71 dans R"^.

Tout ceci a nécessité l'examen soigneux des conséquences de la classi- fication des immersions dans le cas de la codimension i. Le chapitre II est consacré à cela ainsi qu'à l'étude des opérations de somme connexe.

Enfin, on a utilisé des conditions nécessaires pour qu'une immersion soit bordante qui s'expriment à l'aide du degré normal. Le degré normal d'une immersion de codimension i dans l'espace euclidien a été étudié par H. Hopf. On a généralisé la définition à une variété d'arrivée M quel- conque (chap. I). La nouvelle définition, un peu technique, utilise la classe de Thom du fibre tangent T(M). Le degré ainsi défini est un reste mod^(M) qui possède des propriétés analogues à celles du degré classique : on a, en particulier, un théorème de curvatura intégra (2).

(2) Les théorèmes 1 et 2 du chapitre 1 ont fait l'objet de deux Notes à l'Académie des Sciences (C. R. Acad. Se., t. 266, série A, 1968, p. 1129-1131 et p. 1223-1225). Les théorèmes 1 et 2 du chapitre III et le théorème 1 du chapitre V ont été annoncés dans une Note au Bulletin of thé A. M, S. : Bounding immersions of codimension i in thé euclidean space (BulL A. M. S., vol. 76, 1970, p. 36i-365).

114 A. GRAMAIN.

Il m'est donné ici pour la première fois l'occasion de remercier mes professeurs, MM. Robert Désescaut, Gilbert Péronny, Henri Cartan et Nicolas Bourbaki. Ils m'ont enseigné les mathématiques et m'ont donné le goût de m'y consacrer. Qu'ils trouvent ici le témoignage de ma recon- naissance.

Je tiens à remercier, au début de ce Mémoire dont l'élaboration doit beaucoup à ses encouragements, mon ami Valentin Poenaru.

Qu'il me soit permis d'associer à ces remerciements MM. André Haefliger, Jean Cerf et René Thom qui ont accepté de faire partie du jury de cette thèse.

CHAPITRE I.

DEGRÉ N O R M A L D'UNE I M M E R S I O N DE C O D I M E N S I O N I .

Soit V une variété différentiable compacte connexe orientée sans bord, de dimension yi, et soit M une variété connexe orientée sans bord, compacte ou non, de dimension M + I . S Î / ^ V - ^ M est une immersion, on va définir le degré a(/*) de cette immersion.

Lorsque M est l'espace euclidien î{n+i, on définit classiquement le degré normal de l'immersion f comme le degré de Brouwer de l'application gaussienne 9 : V -> S71 qui, à chaque point x de V, associe le vecteur normal unitaire à /'(V) en f{x). Le théorème de la curvatura intégra (H. Hopf [9]) affirme que, lorsque n est pair, le degré de toute immer- sion f est égal à la moitié de la caractéristique d'Euler-Poincaré %,(V) de la source.

Le degré qu'on va définir, lorsque M est arbitraire, est une généra- lisation de la curwtura intégra. Cependant, il n'est défini que pour les immersions f telles que l'homomorphisme H^/*) : H" (M) -^ H^V) soit nul.

De plus, si M est compacte, le degré a(/*) n'est défini que module ^ (M) (caractéristique d'Euler du but). On retrouvera néanmoins un théorème de curvatura intégra comme conséquence du théorème suivant :

THÉORÈME 2. — Si W est une variété compacte connexe de dimension n + i à bord dW = V, et g : W -> M une immersion telle que f == g | V, alors :

a (/*)== 5^ (W) si M n'est pas compacte;

a(/')==^(W) mod^(M) si M est compacte.

Pour établir ce théorème, on a besoin d'un résultat concernant la carac- téristique d'Euler des variétés à bord. La démonstration de ce résultat fait l'objet du premier paragraphe.

1. CLASSE DE THOM ET C A R A C T É R I S T I Q U E D'EULER POUR LES VARIÉTÉS

A BORD. — Soit W une variété différentiable compacte connexe orientée de dimension n + i à bord non vide V == dW (pas nécessairement connexe).

On note T(W) son fibre tangent, T(W)° le complémentaire de la section nulle et Ue H714-1 (T(W), T(W)°) la classe de Thom compatible avec l'orientation de W. Soit s : V -> T(W)° une section sortant de W, c'est- à-dire un champ sur V de vecteurs tangents à W et sortant strictement de W. De même, soit r : V - > - T ( W ) ° une section rentrant dans W, et soit cr (resp. p) : (W, V) -> (T(W),T(W)°) une section du fibre tangent à W qui prolonge arbitrairement s (resp. r). Il existe évidemment de tels prolongements (partition de l'unité).

THÉORÈME 1. — Si zç H714'1 (W, V) est la classe fondamentale entière, on a

(1) ^(U)=^(W).^

(2) ^W=^W^).z=(-l)ⁿ^^(\J),

où %,(W) [resp. 7,(W, V)] est la caractéristique d'Euler de W [resp. du couple (W, V)] (3).

1.1. L'espace des sections de T(W) est convexe; il en est de même du sous-espace de celles dont la restriction au bord V est strictement sortante.

L'application

o-*: H*(T(W), T ( W ) ° ) - ^ H * ( W , V)

ne dépend donc pas du choix de la section o-. On démontrera le théorème 1 avec une section CT particulière.

Munissons V d'une métrique riemannienne. Soit C un voisinage tubulaire de V dans W et 9 : C -^ V x [o, i] un isomorphisme tel que 9 (V) == V x { o } . On munit W d'une métrique riemannienne qui prolonge la transportée sur C par y"1 de la métrique produit de Vx[o, i]. On prend pour s : V -> T (W) ° la section normale sortante de longueur i. Soit T : [o, i] -> [o, i]

une fonction dérivable telle que

T ( 0 ) = = 0 , T ( l ) = = I , ^(l)=0, (3) o < ^ T ( t ) ^ ' 2 t pour ^ e ] o , i ] .

(Par exemple ï(t) = sin (-7 :)-) En un point xçC, le vecteur (j{x) est par définition le vecteur sortant normal à la variété <p~1 (î/a) de longueur i — T (2/2)5 où on note <p(^) == (î/i, î/a). En un point a^C, on prend (j{x) == o.

On a ainsi défini un champ de vecteurs différentiable possédant au bord la propriété demandée.

(3) La démonstration qui suit s'inspire de celle de J. Milnor (Lectures on characteristic classes. Notes by Stashefî, Princeton University) pour le cas où W est sans bord.

Ï 1 6 A. GRAMAIN.

Si v est un vecteur tangent en x à W, on note exp (x, ?) l'extrémité de l'arc de géodésique issu de x tangentiellement à ^, de longueur égale à celle de ^; pour que le point exp(^, ^) existe, il faut évidemment que la longueur de v soit assez petite pour que l'arc de géodésique ne sorte pas de la variété à bord W. Montrons que, pourvu que £ > o soit assez petit, le point exp(a;, £ ( ^ — o-(^))) existe pour tout couple (^, ^) où v est un vecteur tangent en x à W de longueur | p|^ i. Si xçW — C, la distance géodésique de x au bord V de W est strictement plus grande que i ; en outre (j{x)=o-, dès que £ ^ i , on a | £ ^ ^ i < r f ( ^ , V ) , d'où l'existence du point exp(^, £ ( P — c r ( ^ ) ) ) e W — V . Si ^eC, alors d{x, V) = 1/3. De la relation (3), on déduit que cr(a;) | ^ i — 2 d{x, V) ; la composante normale sortante du vecteur £(^ — o-(^)) est donc au plus égale à 2.s.d{x, V). Dès que £ < ^ le point exp(o;, £ ( ^ — cr(a;))) est défini; il n'est dans V que si a;€V.

Si B ( W ) c T ( W ) est le fibre des vecteurs tangents de longueur |^ ^i, on définit une application continue h : B(W) — W x W en associant à tout couple {x, ^ € B (W) le couple {x, exp (r^, £((^ — cr(^)))) € Wx W foùo < £ < 'V L'application h envoie la fibre de x dans B (W) dans la fibre de x pour la\ y projection p r i : W x W - ^ W . D'autre part, si £ est assez petit, l'appli- cation v }-> exp (a;, £ ( ^ — ^{x))) est injective pour tout x : c'est bien connu pour les variétés sans bord et on le démontrerait sans peine ici à cause de la forme particulière de la métrique au voisinage de rfW. On supposera désormais que £ satisfait à cette condition supplémentaire. L'application h, qui est alors injective, est un homéomorphisme sur son image.

Notons S(W) le fibre des vecteurs tangents de longueur i.

LEMME 1. — L'application h : B ( W ) - > W x W induit une appli- cation du couple ( B ( W — V ) , S ( W — V ) ) dans le couple ( ( W - V ) x W , ( W — V ) X W — A ( W — V)) qui, en cohomologie (et aussi en homologie), donne un isomorphisme

A*: Ï P ( ( W - V ) x W , ( W - V ) x W - A ( W - V ) ) - . i r ( B ( W - V h S ( W - V ) ) . En effet, le point (x, ^ ) e W x W est l'image par h du point

(^ ^ = = c r ( ^ ) ) e B ( W ) .

Comme \^(x)\< i pour a^V, l'image A ( S ( W — V ) ) ne rencontre pas la diagonale A ( W — V ) .

Comme a(W) = /^(^(W)), l'application étudiée se factorise en

( B ( W - V ) , S ( W - V ) ) - ^ ^ ( B ( W - V ) , B ( W - V ) - ^ ( W - V ) ) -^(/^(W-V), h (B ( W - V ) ) - A ( W - V ) ) - ^ ^ ( ( - W - V ) x W , ( W - V ) x W - A ( W - V ) ) .

L'application a est une équivalence d'homotopie car il existe dans B ( W — V ) une rétraction par déformation (fibrée) du complémentaire de la section c r ( W — V ) sur S ( W — V ) . L'application ? est la restriction de l'homéomorphisme h. L'application y est une excision car A ( B ( W — V ) ) est un voisinage fermé de A ( W — V ) dans ( W — V ) x W .

s(w)

B(W) ^

^

^ cr /

Fig. i.

Considérons le diagramme I F ( B ( W — V ) , S ( W — V ) ) < -

^

- H * ( B ( W ) , S ( W ) )

(/Xid)*

H* ( (W — V) x. W, (W — V) x W — A (W — V) ) ^-^— H* (W x W, W x W — A (W) )

H * ( ( W - V ) x W , ( W - V ) x V )

(/•Xid)*

- H * ( W x W , W x V )

et notons wç. H^^WxW, W x V ) l'image de la classe de Thom U€H7 ^ + 1(B(W), S(W)). Cet élément w jouit des propriétés suivantes : (4) la classe w est dans l) image de Inapplication

H^+^WxW, W x W - A ( W ) ) — ^ H/ ^+l( ( W - V ) x ( W , V)) <^-H^1 (Wx (W, V ) ) , (5) si x est un point intérieur à W, la classe w induit dans la fibre { x} X (W, V) de Wx (W, V) la classe fondamentale zç H^1 (W, V) puisqu'on a choisi U compatible avec l'orientation de W,

(6) par la diagonale A : (W, V) ->- (WxW, W x V ) , la classe w induit A*(w) = CT*(U) dans H^1 (W, V) puisque A = ho(J.

1.2. On va maintenant démontrer le théorème 1; comme il n'y a pas de torsion dans H^^W, V), il suffit de démontrer les formules (i) et (2) dans la cohomologie à valeurs rationnelles. Soit (o^) une base homogène de H*(W$ Q) où figure a o = = i € H ° ( W ) , et ((3y) une base homogène

^8 . A . GRAMAIN.

de H * ( W , V ; Q ) où figure Pô = ^GH^W, V). Alors (a, (g)?,) est une base de H*(WxW, W x V ) et l'on peut écrire w =^^a,(g)^.. H résulte

i.i

de l'assertion (6) que CT*(U) ==^a,ya,.^ (où . désigne le cup-produit).

^7

Soit b : H(W, V; Q) -> Q rhomomorphisme coordonnée sur (3o, et notons bji= ^.Py). Comme CT*(U)€ H^W, V), on a

(7) ^(U)=/^a,;^,V.

\ ^/ /

L'algèbre H*(W) opère par cup-produit sur chacun des facteurs de H*(WX(W, V)). Si M€H*(W), ces deux opérations sont respectivement le cup-produit interne par i (g) u= pr^(u) € H*(WxW) et par u(g)i = p r ^ ( u ) , où pri et pra sont les deux projections de W x W sur W. Ces deux opérations coïncident sur les classes qui proviennent de H*(WxW, W x W — A(W)).

En effet, en considérant le diagramme commutatif suivant :

H^B(W-V), S(W-V)) ———————^ ^B(W-V))^, fpri4

^ t ^ h^ ^ - - v /

1 | ^h pp.^^ ^

H^(W-V)XW,(W-V)XW-A(W-V)) -^H^W^xÇw^^^'——^Çw-V) / ^ T ^ i pr^ ^ f H^WxW,WxW-A(W)J H^(WX(W,V)) < ^ (w)

on voit qu'il suffit de démontrer que {pr^oh)*= ( p T ^ o h ) * . Mais

p r i o À ( ^ p) =:^ et p r 2 o À ( ^ , P) = exp (.z-, s ( p — o - ( ^ ) ) ) ,

et en multipliant £ par un paramètre tç[o, i] on obtient une homotopie entre ces deux applications.

Il résulte de ceci et de l'assertion (4) que

( a ^ ( g ) i ) . w = = ( i ( g ) a x : ) . w ,

soit

( ^ ® i ) Y^ ^7 ^® P/) == (i ® ^) Y^ a^ a,0 p;Y V ^ / \ z , / 7

soit

^^7(^.aO<g)P/=:^(-I)d^a-d^a^,ya,(g)(^.(3,),

^ ^,/

d'où, en prenant les valeurs des deux membres par l'homomorphisme id (g) b

^oo^=^(-l)^a,dega,^.^^

ij

car 6(Py) est nul sauf pour ^j= po et car a,o = o pour i ^ o [puisque ao est le seul élément de degré o de la base (a,)]. Il résulte de l'assertion (5) que Ooo= i? et, comme (a;) est une base, il vient

(8)

^a^-bjk=o si k-yé.i\

f

^,^•=(--1)^._ijOji

\ î~

Les relations (7) et (8) prouvent que

Y ( U ) = ^ ( - I ) < ^ ^ ^ ( W ) ^

i

Ceci démontre la formule (i) du théorème 1.

Les formules (8) prouvent que la matrice ((— i)^1^) est l'inverse de la matrice (6^), .d'où

^(_l)de,a^.^^

i

et, comme dega,+ degpy== n + i si &/^o, on a

^a^=- (—ï^+^Ç—î)^^ (_ 1)^-1^ (^ y).

i'/ i

Pour démontrer la formule (2), choisissons la section p symétrique de la section o- par rapport à l'origine de chaque fibre; on a alors p*(U) = o-*(Û), où U est la classe de Thom obtenue à partir de U par la même symétrie.

Comme U == (— i^Û, la formule (2) en résulte.

1.3. Remarques. — II résulte des formules (i) et (2) que (9) ' ^ ( U ) - p * ( U ) = ^ ( V ) ^ .

On peut démontrer directement cette relation. Pour chaque composante connexe V, de V, soit ^eH^V) la classe fondamentale dont le cobord est zeH^W, V), soit T(V,) le fibre tangent et soit T'(V<) la restriction à V, de T(W). La classe de Thom U induit dans H^T^V,), T(V,)°) la classe de Thom U/.

PROPOSITION 1. — Pour tout ^eH^T^V,)0) tel que â^== U;, on a

^ ) - ^ ) = X ( V ^ .

Ann. Éc. Norm., (4), III. — FASC. 2. 17

120 A. GRAMAIN.

La relation (9) résulte de la proposition et du diagramme commutatif suivant :

H" (T (W)°) —°-> H^1 (T (W), T (W)°)

[ <7*, P*

-^H^W, V).

II^(V)

Démonstration. — Le résultat ne dépend pas du relèvement ^ choisi car s* et r* sont des rétractions :

o -> H^ (V,) — H71 (T (V,)0) -> H"+1 (T (VO, T (V,)0) — o.

Choisissons (^ dans le noyau de r* ; alors (^ est dans l'image de H^T^V,)⁰, T,(V,)°) [où T,(V,) est constitué des vecteurs tangents ne sortant pas de W] à cause de la factorisation de r par

I^(T(YO«)—^H^T^VQ^-^H^VO.

Par projection, le couple (T^V,)0, T^V,)0) se déforme en (T(V,), T(V,)°), la section s en la section nulle et ^ en la classe de Thom de T(Vt) {fig. 2).

On a donc

^ (Y,.) ^.== 5* (P,) == ^ (^) - r\d).

Remarquons aussi que la démonstration du n° 1.2 est valable quand on remplace Q par n'importe quel corps K. Il en résulte en particulier qu'à condition de se placer en cohomologie module 2, le théorème 1 est encore valable pour les variétés non orientées.

r(v/)

Fig. 2.

Enfin, le fait que la matrice (6^) soit inversible montre que, pour tout corps K, l'application bilinéaire & ( — . - ) : H*(W; K ) ( g ) H * ( W , V ; K) -> K est non singulière. En particulier, si n 4- i == 2 A-, elle met en dualité H^W) et H^W, V). Il en résulte que le rang p de l'application bilinéaire

b(—.—): ïF(W, V) (g)IF(W, V ) - > K est égal à la dimension de l'image de l'homomorphisme

j : H^Wy-V^-^H^W).

En considérant la suite exacte

o-^H°(W, V ) - . H ° ( W ) ...^IF-^V^H^W, V ) - ^ I m ( y ) - > o

on voit que la dimension de Im(j) est la somme alternée des dimensions des autres espaces qui figurent dans la suite exacte. De la dualité, il résulte que

dimH^W) rrrdimH^-^W, V ) ,

d'ôù, en notant la semi-caractéristique

f ( V ; K ) = ^ d i m H - ( V ; K ) ,

O^i^k—i

la relation

(10) p ^ ^ ( W ) + % * ( V ) ( m o d 2 ) .

Cette relation est surtout utile lorsque p = E o ( m o d 2 ) . C'est le cas lorsque k est impair et K de caractéristique différente de 2. Dans H^W, V), on a alors x.y = — y . x , et la forme bilinéaire est antisymétrique; donc symplectique et de rang pair. Lorsque K = Z/(a), la linéarité du cup-carré et la dualité prouvent que x.x = v,,.x (rreH^W, V)) où ^eH^W) n'est autre que la /c^"18 classe de Wu de W. Si celle-ci est nulle, on a

% ( W ) = ^ ( V ) (m.od2),

toujours parce que la forme bilinéaire est symplectique.

2. DÉFINITION DU DEGRÉ.

2.1. La condition homologique. — Soient V une variété compacte connexe et M714'1 une variété compacte ou non, connexe, orientées l'une et l'autre. Pour une immersion /*: V — M, on ne définit le degré que si rhomomorphisme H^/*) : H" (M) -> H^V) est nul (en cohomologie entière).

Cette condition est équivalente à la nullité de l'image dans H^(M) de la classe fondamentale d'homologie [V]. En effet, la condition ]-P(/1) = o est équivalente à

VceH-(M), < r ( c ) , [ V ] > - o ,

^ V c e H ^ M ) , < c , / , ( [ V ] ) > = o ,

<=>tout homomorphisme H^(M) ->Z s'annule sur /'„([¥]) (d'après le théo- rème des coefficients universels),

<^=>/^([VJ) est de torsion,

^/^([V]) = o car la torsion de H^(M) est égale, par les coefficients univer- sels, à celle de H^^M) qui est nulle.

122 A. GRAMAIN.

Il en résulte que la condition homologique est satisfaite lorsque f est la restriction au bord V = rfW d'une immersion g : W714'1 -> M. De plus, la condition est satisfaite par toute immersion f si H" (M) est de torsion, ou, par dualité de Poincaré, si Hi(M) est de torsion, en particulier si iii(M) est de torsion (i. e. tout élément est de torsion).

Comme ces conditions sont très larges, on n'essaiera pas de définir un degré module l'image de H^/*) lorsque celle-ci n'est pas nulle.

2.2. Définition du degré : cas de M non compacte ou de %,(M) == o et M compacte. — Soient T'(V) l'image réciproque par f de T(M), et Uo la classe de Thom de T(M). L'immersion f induit un homomorphisme des suites exactes de Gysin :

o——>}în(M)——^H^I^M)0) —^H^T^M), T ( M ) ° ) ——>o

|o=H"(/) /* [~

y Y y

o—^IP^V)——>Rn(Tl(\)o)—^ïP^T^V), T(V)°)—>-o.

Les variétés V et M étant orientées, le fibre normal de l'immersion f est trivial et l'on peut choisir une section normale sortante s : V ->- T^V)0; deux telles sections sont homotopes. Pour tout relèvement ^oGH^^M)0) de la classe Uo, l'élément F^o) € H^T^V)0) ne dépend pas du choix de VQ puisque H^/*) est supposé nul. Si z'€ H^V) est la classe fondamentale on définit le degré a(/*) par la formule

(il) ^o/*(po)=a(/).^.

L'entier relatif ainsi défini ne dépend pas du choix de la section s, mais uniquement de l'homomorphisme /**. Si deux immersions f et f sont régu- lièrement homotopes, les applications tangentes sont homotopes et /** = f*.

PROPOSITION 2. — Deux immersions régulièrement homotopes ont même degré.

Supposons maintenant que M == B/14'1.

PROPOSITION 3. — Le degré a(/*) d'une immersion f\N-> R714'1 est égal à la curvatura intégra.

On a en effet, d'une manière canonique,

T ( M ) == R^ x IV14-1 et T^M^R^x ( R ^ — Î O J ) .

Si l'on choisit pour s la section normale sortante de longueur i, on a s * of* = y* : H72 (R^ — { o } ) — IP(V) où y est l'application gaussienne.

L'entier a(/') est le degré en cohomologie de dimension n de

<p : V ->- R"4'1 — { o }, c'est-à-dire tout simplement le degré de <p.

2.3. Définition du degré : cas de M compacte et %,(M) 7^ o. — Pour toute section ( : M -> T(M), l'homomorphisme (* : H*(T(M)) -> H* (M) est un isomorphisme. Dans la suite exacte de Gysin :

o — — ^ H ^ ( M ) — — ^ ^ ( M )0) — — ^ H ^ ^ M ) , ^M)0)—^]^1^]^)),

on a t * o ^ ( U o ) == ^(M).u, où u est la classe fondamentale de cohomologie de M qui définit l'orientation compatible avec la classe de Thom Uo. L'appli- cation X est donc injective et on ne peut pas appliquer la méthode du n° 2.2.

Si x^M est un point hors de l'image de /, l'immersion f se factorise par la variété non compacte M — { x }. La classe Uo induit la classe de Thom Uo;

de T(M — { x}), et la suite exacte

o —> H71 (M) ——> H71 (M — { x } ) ——> H^-1-1 (M, M — { x } ) —^ H^1 (M) —> o

prouve la nullité de H^) : H^M — { x}} -^ H^V). On peut donc définir le degré de l'immersion fsc : V-> M — { x }.

PROPOSITION 4. — Si x et y sont deux points de M—/*(V), alors

a ( / , ) ^ a ( / ^ ) [mod^(M)].

DÉFINITION. — Le degré de Vimmersion f est le reste modulo %,(M) [indé- pendant de xçM. — /'(V)] de rentier ^{fx)-

Soient y un point de M, D un voisinage de y difféomorphe à une boule fermée de centre y et ( : M —>- T(M) une section qui ne s'annule pas sur D.

La section t trivialise le fibre T ( M ) | D en ce sens qu'il existe une trivia- lisation pour laquelle la section t est constante. On a alors un isomorphisme

ti: H^T^M)0, T ^ M — î j j )0) — ^ ! ! ^1 (D, D — { y } )

obtenu par la composition

H ^ ( T ( M ) ^ T ( M - { J j ) « )e x^ Ï H ^ ( T ( D ) ^ T ( D - i J } ) o ) - -<- ^ H ^ ( D , D - j J } )

.. /.

y / H^(S-x ( D , D - j j j ) )

LEMME 2. — Si ^.eH^T^M -— { y })°) est un relèvement de la classe de Thom Vy de T(M — { y }), par Inapplication composée

IP^T (M - [ y })°) -^-> H^ (T (M)0, T (M - {y })°) -A> H7^1 (D, D - [ y }), son image est ti o §^ (y y) = — %,(^) • ^r? ou ^r est Ie générateur local de cohomo- logie en y.

124 A. GRAMAIN.

Démonstration du lemme 2. — Le diagramme suivant est commutatif (4) : , . H ^ ( T ( M ) o , T ( M - { j j ) o ) .

°i/ ^ \<i

H ^ ( T ( M - j j i ) û ) / , ^ H ^ ( D , D - { j i )

^ïP^^M), T ( M — { j } )0)/ /'2

et on va montrer que t ^ o S ^ ^ y ) =— ^(M).u^.

Considérons le diagramme commutatif

H^-M(T(M), ^M^^^H^^M^^M-Sjj)0)——>ï{n + l (T(M - { y } ) , T ( M - [ y } ) ° )

\ /ûa\^ ^/ô

H - ( T ( M - i j j ) o )

où la composée des flèches horizontales est un isomorphisme qui envoie Uo sur Hp Par hypothèse S(^) = U^, donc ï^y) = j ( U o ) + ^ où a provient d'un élément a ç. H"+1(T(M), T(M — { y })). Comme î'oj(Uo) =o, on a

^ ° y ( U o ) = = ^ o î o y ( U o ) =0, d'où (30 Sa (^y) = ^2 (^) qu'on va calculer.

Du diagramme commutatif

H/7+1(T(M),T(M-{,})0) , t \

H^l(T(M),T(M-{y}) ————^^(M))

^ ^4 ûi ^^

ÔH^¹ (M,M-^j) ^ ^H^^M) rît J^ exc.

J / 7 + î / ' n n(D,D-{y})tf..A

H/ /'lf D , D -

il résulte que ^(^) = ^(^/), et, pour démontrer le lemme, il suffit de démontrer que t * o k { a ) = — ^ ( M ) . u . Or on a

^ o ^ ( ^ ) = ^ o ^ ( â , ( ^ ) - y ( U o ) ) = = - ^ o ^ o y ( U o ) = - ^ o 7 ( U o ) = - % ( M ) . ^ .

Démonstration de la proposition 4. — L'immersion f se factorise par la variété M — [ x , y } . Soient j^ et jy les injections de M — [x\ et M — { y } respectivement dans M — { x, y }. Soient ^ et Vy les relèvements des classes de Thom Uo; et Uy; alors j^(^x) etj'J.(^) sont deux relèvements de la classe de Thom Vx,y dont on va calculer la différence.

(4) Les flèches notées ti sont induites par t.

Avec les notations du diagramme suivant :

H"(T (M - j y } )°) ——-^——> H^ (T ( M )0, T (M - { y j ) ° ) ——^—> H^+1 (D, D - { y } )

i^- r^ i excision =

y y . y

H ^ ^ M — j ^ j j ^ ^ ^ H ^ ^ M — ^ } )⁰, ^ M — ^ j p ^ - A ^ H ^ D , D — j j j ) on a

^o/^^) = o puisque ^e ïP¹ (T (M — { ^ j ) ° ) ,

^0° ^o°y^(^y) == ^1° ^i (^y) ==— ^ ( M ) .^y d'après le lemme 2.

D'où

^ o o ô o ( y : ( ^ ) - / : . ( ^ ) ) = % ( M ) . ^ . Considérons le diagramme commutatif suivant :

H ^ M — [x\)————————————^H^(T(M—^)°)

I P ( M - j ^ j i )

q

- ^ H - ( T ( M - { ^ y } ) o )

H ^ i ( M — { ^ } , M — ^ , j } ) — — ^ H ^ T ^ M — ^ )0, T ( M — { ^ ; j j ) ° )

Comme j^x) et J ] - { ^ y ) sont deux relèvements de la classe de Thom Ux,y, on a j'^x) -^ fr^r) = PW où dç. H71 (M — { x , y } ) . Comme t est une section non nulle au voisinage de y , l'application to est une inverse de la flèche horizontale du bas et on a, en identifiant par excision (M — { x } , M — {x, y } ) et ( D , D — { î / } ) , t o0^0? ^ ^ . Il en résulte que q{d) == %(M).u^. D'où r i = & 4 - ^ ( M ) . c où q{c) = Uy et b provient de bfçîln{M-{x}).

Pour le calcul des degrés,

^(M-fx,^)——^H^TÇM-^})0)

\^^ \ ^f^ H^V) ———-———^ «^(T'Cv)⁰)

- ^ 5 ^ y \ ^ / ^

on a

(a(/,) -a(/^))..^z=^o/^(^(^) -y;.(Py))=:H^(/,,^) (^)

puisque 5* est une rétraction. Mais H71^^^) (&) = H71^) (&') = o puisque H^/oO = o. On voit alors que la différence des degrés est un multiple

126 A. GRAMAIN.

d e x ( M ) :

( ^ ( A ) - ^ ( / y ) ) . ^ = % ( M ) . H - ( / ^ ) ( c ) .

Remarque. — La proposition 2 vaut encore dans le cas de M compacte puisqu'une homotopie régulière peut se décomposer en une suite d'homo- topie régulières telles que, pour chacune d'elles, l'image évite un point de M : il suffit alors d'appliquer plusieurs fois la proposition pour les variétés non compactes.

3. IMMERSIONS BORDANTES, THÉORÈME DE cuTvatura intégra.

THÉORÈME 2. — Si W est une variété compacte connexe orientée de dimen- sion n 4- i? à bord rfW == V, et g : W ->- M une immersion telle que f = g V, alors :

a (/*)== ^ (W) si M n^est pas compacte;

a(/*) = %^(W) mod %(M) si M est compacte.

L'immersion g : W -> M de codimension o est supposée compatible avec les orientations de W et M. On dit que l'immersion f : V —^ M est bordante, ou, plus précisément, qu'elle borde l'immersion g. Le théorème 2 est valable si V n'est pas connexe avec une définition appropriée du degré (n° 3.3). Comme application de ce cas, on démontre le théorème de curyatura intégra.

3.1. Le cas de M non compacte ou de %,(M) == o. — Si f se factorise par une immersion g : W ->• M qui préserve l'orientation, la classe Uo induit la classe U de T(W) et g*(^o) est un relèvement de U. Soit cr : W-^T(W) une section qui prolonge la section sortante ios : V—^ T'(V)° -> T(W)°;

le diagramme commutatif

H71 (T (W)°) —^ H^-1 (T (W), T (W)°)

r

^ J^

Y . y H^(V)———J-——>}în^(W,y)

montre que cr*o § o g*(^o) = 8 ° s * o i* o g* (^o), soit (T*(U) = a (/*).§ z'. Il résulte alors du théorème 1 que a(/') === %^(W).

3.2. Le cas de M compacte et ^(M) ^ o. — Soit g : W-^ M telle que / * = = g | V , et soit a ; e M — ^ ( V ) . Puisque W est compacte, l'image réci- proque g~^(x) est constituée d'un nombre fini de points isolés (yi) de W.

Soit ^eH^T^W)0) un relèvement de la classe de Thom U de W. D'après le théorème 1, on ao-*(U) = ^(^•^ dîoù ^S^) = §05*0 ^*((;) = ^(W) .âz', soit 5*o^(^) === ^(W).js'. Le degré de f^ : V - > M — [ x } est défini par

^F^) == ^/o;).^'. D'après la définition du degré de f [module %(M)],

il suffit de démontrer que 5*01*(^) et s^of*^^) différent d'un multiple de y (M). Cette démonstration, comme celle de la proposition 4, est une simple vérification, compte tenu du lemme 2.

Supposons que D est une boule fermée de centre x dans M assez petite pour que son image réciproque g'^D) soit une réunion de boules fermées disjointes (D^.) de centres yi. On note gx : W — (î/^) -> M — [ x ] la restriction de g et j' : W — (î/i) ->- W l'injection; on va calculer j*(^) — g*c{^x)' Dans le diagramme

H " ( T ( M — { ^ } ) ° ) — — ^ H ^ T ^ M )0, T ( M — { ^ } ) ° ) — - — ^ H ^ + ^ D , D — { ^ j )

^ |

H^T^W"- ( y , ) )0) — — ^ H ^ ( T ( W ) ° , T ( W - (J,)O)_^^^.H^I(D;., D; - { j , } ) l'image de ^ € H"(T(M — {x})0) dans H^D, D - { x } ) est, d'après le lemme 2, égale à — ^(M).Ua;; son image dans ÇD.H^^D^ , D^ — { î / i } ) est donc —^(M).2^y;.

Considérons maintenant le diagramme

H71 (W) -H^TCW)0)

H ^ W - ( j O ) . - > H ^ ( T ( W - ( y O ) ° )

©,H^ (D;., D;. - {7,0 = H^ (W, W - (j,) ) —> H^ (T (W)°, T (W - (y,) )")

Y 0.

Par ga; (resp. j), Ua; (resp. U) induit la classe de Thom de T ( W — (^)).

Par suite, j*(^) — g^,(^)? différence de deux relèvements de cette classe de Thom, provient d'un élément r f G H ^ W — (y;))- D'après le'calcul qui précède, on a q(d} =—^(M).S(U^$ d'où d == b-{-^(M.).c où b provient de &'€H"(W).

Comme pour la proposition 4, dans

.H^wî-^H^W-Cy/)) ——^(T(w-Cy/))°7 0 ^ ^

^H^T-CV)0)

H^CV)

s * o i * ( v — g^{^x)) est l'image de rf; c'est un multiple de %(M) parce que &

donne o dans H"(V).

Ann. Éc. Norm., (4), III. — FASC. 2. 18

128 A. GRAMAIN.

3.3. Extension au cas de V non connexe. — Supposons que V soit union disjointe d'une famille finie de variétés compactes connexes orientées de classes fondamentales ^eH^V,). On note /^H^V)-^ la somme des coordonnées sur la base (^-).

Soit j f î V - ^ M une immersion telle que l'homomorphisme composé /coH^y) : H"(M) -> IP(V) — Z soit nul. Si M n'est pas compacte, l'entier a(/*) =kosicofic^o) ne dépend pas du choix de ^o; c'est, par définition le degré de f. Lorsque M est compacte, la proposition 4 est encore valable, d'où un degré module %,(M).

De même, tous les raisonnements des n^ 3.1 et 3.2 restent valables ainsi que le théorème 2.

Notons fi= f\\i\ il résulte de la définition du degré qu'on a :

PROPOSITION 5. — Si pour tout i l'immersion / \ : V , - ^ M a un degré, alors f : V -> M a un degré et Von a

a (/) == I^-a (/•) [mod% (M) éventuellement}.

En particulier, si l'on note — /*: — V — M la même application que /, la variété — V étant munie de l'orientation opposée à celle de V, et si l'on applique le théorème 2 à l'immersion g : V x I -^ M d'un voisinage de l'immersion /, on obtient le résultat suivant :

PROPOSITION 6. — Soit f: V->- M une immersion telle que H7^/1) = o, a

on a

a ( / ) + a ( — / ) = = % ( V ) [ m o d % ( M ) éventuellement}.

Mais on peut calculer directement a ( — f) :

PROPOSITION 7. — Sous les mêmes hypothèses que la proposition 6, on a

a ( — / ) = (--i)^/) [ m o d ^ ( M ) éventuellement}.

En effet, si r : V-^ T'(V)° est la section opposée à s, on a

a ( - / ) = - ^ o r * o / * ( p o ) .

Mais la symétrie par rapport à l'origine dans chaque fibre de T^V) trans- forme s en r, f^o) en (— i)714-1/1*^) et induit l'identité sur H^V). Comme corollaire, on a :

THÉORÈME 3. — Si n est pair, pour toute immersion f: V -> M telle que H-(/*) = o, on a a(^) = (^(V)

Soit maintenant W7^1 une variété dont le bord est l'union disjointe de deux variétés V et — V $ on dit alors que W est un cobordisme de V à V.

Soit g : W -> M une immersion et soient f et — /*' ses restrictions à V et — V ; on dit alors que l'immersion f est cobordante à l'immersion f\

PROPOSITION 8. — Si (g, /*, —- /'') : (W, V, — V) —^ M est une immersion orientée Sun cobordisme, et si H^/*) = o, alors H^/*') == o et Von a si n est pair :

X ( W ) = a ( / ) + a ( //) = (I^ ( ^ ( V ) + % ( V/) ) ; V/

si n est impair :

% ( W ) = a (/) — a (//) [mod^(M) éventuellement].

C'est une conséquence immédiate des propositions 5, 6 et 7 et du théo- rème 2.

3.4. Compléments. — Lorsque n est impair, on peut obtenir des résultats partiels sur le degré en utilisant les remarques du n° 1.3

PROPOSITION 9. — Si n = 4 5 + i, et si f: V—>- M est une immersion bordante, on a a(/*) = %*(V) (modû).

C'est une conséquence de la formule (10) du n° 1.3 et du fait que %^(M) est pair si M est compacte.

Si n = [\s — i et si W est stablement parallélisable (c'est le cas si M l'est), la classe de Wu de W est nulle. Supposons que %^(M) est pair si M est compacte. D'après un analogue du théorème 2 à coefficients Z/(2), on a

a ( / ) = ^ ( W , Z / ( 2 ) ) (mod2), d'où a ( / ) = ^ ( V , Z / ( 2 ) ) (moda).

M. Kervaire ([11] et [13]) a démontré que, si n est impair, pour toute immersion f : V -> R7^1 on a a(/*) =. %*(V) (mods) pourvu que n soit différent de i, 3 ou 7. D'après ce qui précède, la parité du degré des immer- sions bordantes est aussi déterminée dans ces cas exceptionnels.

Les résultats qui précèdent s'adaptent facilement lorsque W est un cobordisme d'une variété V à une variété V.

Exemple. — Soit f: S1 -> S2 une immersion générique (auto-intersection transversale aux points doubles). Il n'est pas difficile de voir que le reste mod2 du nombre des points doubles est différent du degré a(^).

Si f est bordante, elle a donc un nombre pair de points doubles.

Ï30 A. GRAMAIN.

CHAPITRE II.

LA C L A S S I F I C A T I O N DES I M M E R S I O N S .

En 1959, S. Smale ([23]) classifiait les immersions de la sphère dans l'espace euclidien à homotopie régulière près. Plus précisément, l'invariant de Smale c{f) €^(V^p) réalise une bijection entre l'ensemble des compo- santes connexes de l'espace Immo(S71, R^) des immersions basiques (dont le jet en un point-base est fixé) et le groupe ^nÇVn,p) de la variété de Stiefel.

En utilisant cette classification ainsi qu'un théorème de fibration, M. Hirsch ([7]) a démontré un théorème général de classification des immersions d'une variété V dans une variété M, et même caractérisé le type faible d'homotopie de l'espace Imm(V, M). En outre, le théorème de fibration permet, en général, de résoudre le problème de l'extension d'une immersion donnée sur une sous-variété. Ceci ne vaut pas pour l'extension à W^1 d'une immersion de V = dW dans M""^.

Dans le paragraphe 1, on explicite la classification des immersions dans le cas de la codimension i et de la codimension o, et notamment dans les cas particuliers où la source est stablement parallélisable, ou même une sphère, et où le but est une sphère ou l'espace euclidien. Dans tout ce paragraphe, on ne s'intéresse qu'aux classes d'homotopie régulière libre (c'est-à-dire sans point-base). Au paragraphe 2, on envisage les classes basiques; puis au paragraphe 3, on étudie le comportement comparé de ces deux sortes de classes vis-à-vis du problème de l'extension. Enfin le paragraphe 4 est consacré à la définition et aux propriétés de l'opération de somme connexe de deux immersions. On calcule en particulier le degré d'une somme connexe. On établit aussi que, dans un certain nombre de cas, la classe de la somme connexe ne dépend que des classes des immersions de départ. Ces cas sont particulièrement intéressants car l'ensemble îio (Imm(V, M)) reçoit alors une structure algébrique qui sera utile dans la suite.

1. LA CLASSIFICATION DES I M M E R S I O N S .

1.1. Soit V une variété compacte (avec ou sans bord) de dimension n et M une variété sans bord, compacte ou non, de dimension p. Rappelons qu'une application différentiable f : V -> M est une immersion si l'appli- cation tangente T(/1) : T(V) — T ( M ) est injective dans chaque fibre.

On note Imm(V, M) l'ensemble des immersions de V dans M$ c'est une partie ouverte de l'espace C^V, M) des applications difïérentiables muni

de la topologie C1 puisque la condition de rang maximal n pour T(/*) sur la variété compacte V est une condition ouverte.

Une homotopie régulière (libre) entre deux immersions /o et /i est un chemin continu t^->ft dans l'espace I m m ( V , M ) ; c'est donc une appli- cation continue F : V x I — ^ M x I telle que la restriction

f,=¥(-^t) : ^ x { t ] ^ M x [ t ]

soit une immersion. D'après le paragraphe 1 de [20], si fo et /\ sont de classe ( ^ ( i ^ r ^ o o ) , tout chemin entre fo et /\ est homotope à un chemin pour lequel l'application F est de classe (Y; l'application F est alors une immersion.

Des propriétés analogues pour les cubes singuliers de l'espace Imm(V, M) prouvent que les injections canoniques des espaces (^(V, M) (r ^ i) dans (^(V, M) induisent des injections des espaces Imm(V, M^nC^V, M) des immersions de classe C7 dans Imm(V, M) qui sont des équivalences d'homotopie faibles.

Lorsqu'on s'intéresse aux groupes d'homotopie des espaces d'immer- sions, il n'est donc pas besoin de préciser le degré qÇî^q^:^) de difïé- rentiabilité ni la topologie C7 (i ^ r ^ q ^oo) choisie. De plus, Imm(V, M) étant ouvert dans C^V, M), c'est un espace localement connexe par arcs et l'ensemble de ses composantes connexes est l'ensemble iTo(Imm(V, M)) de ses composantes connexes par arcs.

1.2. Notons R ( T ( V ) , T ( M ) ) l'espace des applications fibrées de T(V) dans T(M) qui, dans chaque fibre, induisent un monomorphisme, et T : Imm(V, M) -> R(T(V), T(M)) l'application de dérivation. Le résultat essentiel de [7] {voir aussi [20]) est le

THÉORÈME (d'équivalence d'homotopie faible). — Si dimV < dimM, Inapplication

T: Imm(V, M ) - ^ R ( T ( V ) , T ( M ) )

est une équivalence d'homotopie faible. En particulier, elle induit une bijection entre les composantes connexes.

Ce résultat est encore vrai pour dimV == dimM si V est une variété connexe à bord non vide. Le théorème se démontre en « grimpant sur le squelette » de V a l'aide du théorème suivant ([23], voir aussi [25]) :

THÉORÈME (de fibration) (Smale). — Soit N une sous-variété de V;

si dimV < dimM, l'application de restriction Imm(V, M) ->- Imm(N, M) est une fibration de Serre (lorsque les espaces sont munis de la topo- logie (Y, r ^ 2).

132 A. GRAMAIN.

Ce résultat est encore vrai pour dimV = dim M pourvu que V soit obtenue à partir de N en n'ajoutant que des anses d'indice inférieur à M — i. Il est en revanche bien connu que l'application Imm(V^ M") -> Imm(^V, M) n'a pas la propriété du relèvement des homotopies. Ce sont précisément les codimensions o et i que nous étudions dans la suite.

1.3. Immersions de codimension 1. — Supposons que la dimension p de M est égale à n 4- i ; supposons aussi que V et M sont orientées et que leurs fibres tangents sont munis d'une structure riemannienne.

Si 9 € R ( T ( V ) , T ( M ) ) , on définit un monomorphisme fibre W : 6 Q) T(V) —^ T(M) en envoyant le vecteur de base du fibre trivial 6 en ^ € V sur le vecteur normal unitaire au n-plan orienté 9(To;(V)) dans la fibre de T(M). Il est clair que l'application

v : R ( T ( V ) , T ( M ) ) ^ R ( e © T ( V ) , T ( M ) ) obtenue est une équivalence d'homotopie.

Supposons maintenant que V soit stablement parallélisable et soit c : 6 çf) T(V) -> V x R^1 une parallélisation stable. On en déduit un isomor- phisme

^: R ( 0 ® T ( V ) , I ^ M ^ — R ^ V x R ^ S T ( M ) ) .

Ce dernier espace est l'espace des applications de V dans l'espace fibre T^+i(M) des (n 4- i)-repères tangents à M [qui se rétracte par déformation sur le fibre principal T(M) de groupe S0(n 4- i) tangent à M].

PROPOSITION 1. — Si V71 et M^1 sont des variétés orientées, et si c : 9 ® T ( V ) - ^ V x R ^1 est une parallélisation stable, Inapplication

c ' o v o T : Imm(V, M)-^Hom(V, T ( M ) )

est une équivalence d'homotopie faible. On a en particulier une bijection T ( C ) : 7 T o ( I m m ( V , M ) ) - > [ V , T ( M ) ] .

Lorsque V == S", on choisit pour c la trivialisation de OO'I^S71) induite par le plongement ordinaire p : S"-> R7^1, le fibre trivial 9 correspondant au vecteur normal sortant.

PROPOSITION 2. — Si M est une variété orientée de dimension n 4-1?

on a un isomorphisme

T: 7To(Imm(S^ M ) ) — [ S ^ T ( M ) ]

par lequel l'image du plongement de la sphère comme bord d'un petit disque dans M est oe[S", T(M)].

Lorsque V = D", on a, par rétraction homothétique sur le centre, une paraiïélisation canonique de D".

PROPOSITION 3. — L'application

To: Imm(D^ M ) - ^ T ( M )

qui associe à une immersion son jet en 0 est une équivalence d'homotopie faible. En particulier Imm(D", M) est connexe si M est connexe.

1.4. Le cas de M == R7^1. — C'est le cas originalement traité par S. Smale.

Soit /'-.V^—^R/^1 une immersion; l'application T(/*) se prolonge comme au n° 1.3 à 9 © T ( V ) . En composant avec la projection de T^R/^1) sur la fibre en o, on obtient la différentielle t(f) : 6 ® T ( V ) -> R^1. Il en résulte qu'une variété qui s'immerge en codimension i dans R714"1 est stablement parallélisable ; la proposition 1 s'applique alors en remarquant que T^R"4-1) = R^XSOÇn-^- i).

PROPOSITION 4. — Soit V une variété orientée de dimension u\ il existe des immersions de V dans R^1 si et seulement si V est stablement paralléli- sable. Soit c une paraiïélisation stable, Inapplication

c ^ o t : Imm(V, R^⁴-¹)->Hom(V, S 0 ( ^ 4 - i ) )

est une équivalence d'homotopie faible. On a en particulier une bijection

w: 7ro(Imm(V, R^{/ Î}+¹))->[V, S 0 ( ^ + i ) ] . -

De même, si V = S71 et si c est choisie comme pour la proposition 2 : PROPOSITION 5. — On a un isomorphisme

y: 7To(Imm(S^ R^1))-.^ S 0 ( ^ + i ) j

par lequel limage du plongement ordinaire est o.

Soit maintenant W une variété connexe à bord, de dimension n + i.

S'il existe une immersion g de W dans R7^1 (de codimension o), la variété W est parallélisée par t(g) et de ce fait orientée. On suppose désormais W orientée et on ne s'intéresse qu'aux immersions qui respectent l'orientation.

PROPOSITION 6. — Si W^^ est une variété connexe orientée à bord qui soit parallélisable, l'application g i-> ((g) de Imm(W, R7^1) dans l'espace des trivialisations de T(W) est une équivalence d'homotopie faible. Si C est une trivialisation particulière, on a une bijection

C ' o t : 7To(Imm(W, R^-^W, S0(^+i)].

134 A. GRAMAIN.

1.5. Voici une autre interprétation qui est parfois commode. Si T^(V) [resp. T^(M)] est l'espace des n-repères tangents à V (resp. M), l'espace R(T(V), T(M)) s'identifie à l'espace des applications équivariantes sous Gl(n) de T^(V) dans T^M). L'application Œ de Hom^T^V), T^(M)) dans l'espace des sections du fibre de base V, de fibre T^(M), associé à T^(V) [fibre principal de groupe Gl(n)], qui, à 9 : T^(V) — T^(M), associe la section x }-> (^, <p(^)) [pour un v quelconque de T^(V) au-dessus de x], est un homéomorphisme. L'application inverse associe à une section s l'application équivariante v \-> w si (^, w) eT^(V) XT^(M) est un repré- sentant de s(x).

Si f est une immersion, on note T'(/*) l'application équivariante corres- pondant à T(/1).

PROPOSITION 7. — ^application

Œ o T : I m m ( V , M ) - ^ S ( T , ( V ) X G K . ) T , ( M ) ) est une équivalence d^homotopie faible,

Dans ce qui précède, on peut, si T(V) et T(M) possèdent une structure riemannienne, prendre les fibres des n-repères orthonormés et rem- placer Gl{n) par 0(yi). Si M^1 est orientée, le fibre des n-repères ortho- normés tangents à M s'identifie canoniquement par adjonction d'un premier vecteur au fibre T(M) des (n + i)-repères orientés orthonormés, dans lequel S0(n) opère à gauche comme le sous-groupe de S0(n4- i) formé des rotations qui laissent fixe le premier vecteur. De même, si V est orientée, le fibre T^(V) est l'union de deux exemplaires du fibre T(V) principal de groupe S0(7z). On a alors

^V) X s o ( n ) T ( M ) = T , ( V ) x G i ( . ) T , ( M ) .

1.6. Le cas de M = S^'. — Considérons la fibration k : SO (n 4- 2) -> S^1

qui, à un repère de R^2, associe le premier vecteur. La fibre au-dessus du point xçS^1 est le groupe des rotations du plan tangent en x à S^4; en particulier la fibre au-dessus du pôle nord {x^ = i) s'identifie canoni- quement au groupe 80(^4- i) des rotations de R/^4 = {o}xî{n+i. Cette fibration est donc la fibration principale de groupe SO(M-[- i) tangente à S"^.

Le fibre T(V) Xsû^)®0^ + 2)? ^ S0{n) opère comme le sous- groupe de SO (n -)- 2) qui laisse fixes les deux premiers vecteurs, n'est autre que le fibre principal de groupe S 0 ( n + 2 ) associé à T(V). Ses sections correspondent aux trivialisations de 62^ T(V). Si c est une trivia- lisation particulière, si p € Hom(V, S0(^ + 2)) et si c ' = = p . c , on note

/s * /^ /\

p = c * ( c ' ) .

PROPOSITION 8. — Soit V une variété orientée de dimension n ; il existe des immersions de V dans S^1 si et seulement si V est stablement parallé- lisable. Soit c une trivialisation de ^(BT^V), Inapplication

^ o o - o T : Imm(V, S⁷¹⁴-¹) -^Hom(V, S 0 ( ^ + 2 ) )

est une équivalence d^homotopie faible. On a en particulier une bijection

^: 7To(Imm(V, S7^1))-^, S0(7i4-2)].

De même, si V== S71 et si c est le stabilisé de c = t{p) : PROPOSITION 9. — On a une bijection

(3: 7To(Imm(S^ S^1)) -4 S71, 80(^-4-2)].

Les rapports entre les bijections où (prop. 4) et p., lorsque la trivialisation c est la stabilisée de c, sont donnés par la proposition suivante :

PROPOSITION 10. — Soit i : R"^ ->- S7^1 la projection stéréo graphique de centre le pôle sud (x^ = — i), le diagramme

7To(Imm(V, R^1))-^^ S0(/i4-i)]

•^ j s

^ Y

7To(Imm(V, S/ ^+l))—l'-^[V,SO(7^4-2)^

[où s est induit par l'injection S0(n -4- i) -^ S0(/z + 2)] ^st commutatif.

En particulier, le diagramme

7ro(Imm(S^ R⁷¹⁴-¹)) -^-^fS⁷¹, S0(/î-{- i ) ]

.1

' 3 Y

7To(Imm(S^, S^-t-l))—^[S7 ^,SO(n4-2)]

est commutatif.

Démonstration: — Appliquons d'abord la proposition 7 à M = B/^1. Le fibre principal tangent à R/^1 est R714'1 XSO(TZ + i) ; l'injection i : R^4 ->- S'14'1 envoie la fibre en o sur la fibre au pôle nord : le sous- groupe S0(n -)- i) CSO(TZ + 2)- La trivialisation c et la proposition 7 donnent une bijection

^ = 7 : o ( ^ o c r o T ) : 7To(Imm(V, Rn+l))->[V, S0(^+i)].

Si l'on remplace co par co', le diagramme est commutatif du fait que c est la stabilisée de c.

Montrons maintenant que co == (A)'. Par définition, on a t(f) == co(/*) .c.

D'autre part T(/1) : T(V) ^ TfR^1) donne T'^) : T(V) -> S0(^ + i) telle que T'(/*)== co'(/') .c', où l'application équivariante c' correspond à la trivialisation c. D'où le résultat.

Ann. Éc. Norm., (4), III. — FASG. 2. 19

136 A. GRAMAIN.

Remarques. — Lorsqu'on est dans les hypothèses de l'une des propo- sitions 1, 2, 4, 5, 8 ou 9, on note f l'image de la classe d'homotopie régu- lière d'une immersion /*par l'une des bijections r(c), T, oo, y, p< ou 8. Le plus souvent, on considère ces bijections comme des identifications et l'on parle de la classe f de l'immersion /*. De plus, comme S0(?î) est un groupe commutatif, l'ensemble [S7, S0(7z)] est canoniquement isomorphe au groupe commutatif 7tç(SO(n)); on démontrera plus loin une propriété d'additivité des bijections ? et y (n° 4.5).

2. POINTS-BASES. — Dans tout ce paragraphe, les variétés V^ et M^1

sont orientées et V possède une parallélisation stable c.

2.1. Soit D un petit disque de dimension n plongé dans V avec pour centre un point ^ € = V . L'application de restriction r : Imm(V, M) -> Imm(D, M) est une fibration (théorème de fibration) dont la fibre Immo (V, M) est l'espace des immersions dont la restriction à D est fixée.

D'après la proposition 3, l'application To : Imm(D, M) -^ T(M) qui donne le jet au centre de D est une équivalence d'homotopie faible. On en déduit que l'espace Immo (V, M) a l'homotopie de l'espace des immersions dont le jet en p est fixé. De plus, tous les espaces Immo (V, M) ont la même homotopie puisque l'espace Imm(D, M) est connexe par arcs.

D'après les propositions 1 et 3, on a l'isomorphisme suivant entre suites exactes :

7 T i ( I m m ( D , M ) ) — — ^ 7 T o ( ï m m o ( V , M ) ) — — ^ 7 T o ( I m m ( V , M ) ) — — > o

^ J T O ^ ^(C) ' ' ^ T(C)

TT, (T (M)) ——————> [V, T (M)]o —————> [V, T (M)] ———> o

où la ligne du haut est la suite exacte de la fibration r, et où [V, T(M)]o est l'ensemble des classes d'homotopie basiques, les points-bases étant (^eV et le jet j € T ( M ) en ^. L'isomorphisme To(c) provient de la restriction Immo(V, M) — Homo(V, T(M)) de l'équivalence d'homotopie de la propo- sition 1. Les composantes connexes de Immo sont les classes d'homotopie régulière basiques (respectant le jet-base).

En particulier, pour V == S^, on a le diagramme suivant : 7Ti(Imm(D, M ) ) ——> 7:0 ( Inimo ( S^ M ) ) ——> 7:0 (Imn^S^ M ) ) ——>o

^ To ~ To ~ ^

Y Y Y

^ ( Î ( M ) ) — — — — — ^ ( T ( M ) ) —————^[S", T ( M ) ] — — — > o

et la flèche 7ii(Ï(M)) -> i^(T (M)) est l'opération habituelle du groupe fondamental en j'eT(M) sur le n1^6 groupe d'homotopie basé au même point.

Considérons la suite exacte d'homotopie

7 T i ( S O ( ^ 4 - i ) ) - > 7 r i ( T ( M ) ) - ^ 7 T i ( M ) - > o

de la fibration T(M).

PROPOSITION 11. -- Uimage de ^i{SO(n + i)) dans 7ii(T(M)) opère trivialement dans i^(T(M)).

On pourrait donner une démonstration « algébrique » directe. On va donner une démonstration « géométrique », c'est-à-dire utilisant l'inter- prétation en termes d'immersions. Pour n ^ 2, soit p le générateur de ïii (S0(n -|- i)) $ on va construire un représentant f de p./* et montrer qu'il est basiquement régulièrement homotope à /*. Soit p^(<€:[o, i]) la rotation d'angle 2îi( autour d'un [n — i)-plan de R/1. Si on appelle pôle nord le point-base de S'1, on identifie à S"""1 X [o, i] la couronne tropicale (voisinage de l'équateur). Soit y l'automorphisme de S" qui est constant hors des tropiques, et qui, sur la couronne tropicale S^^X^, i], est défini par ç(rr, ù) = (pi^(^), u). On peut supposer qu'on a rendu y différentiable au voisinage des tropiques; l'application composée y o ^ e s t alors un repré- sentant de p./*. Si l'on repousse la zone tropicale vers le pôle sud, on voit que <p se déforme en l'identité dans l'espace des automorphismes qui sont l'identité au voisinage du pôle nord. Il en résulte une homotopie régulière basique entre f et ^<f^of.

Pour n === i, la démonstration est la figure suivante :

•ï"ÎTT 0 }

^3 ^

4 5 6

Fig. 3.

PROPOSITION 12. — On a des suites exactes :

TTi (M) ——> TTo (Immo (S^, M) ) ——> TTo (Jmm (S71, M) ) ——> o

- T

' 4 '

7 T i ( M ) . - ^ ( T ( M ) ) - -^[8^ T(M)]———>o.

2.2. Considérons maintenant la suite exacte d'homotopie de la fibra- tion T(M) :

TT^i (M) ——> TT,, (SO (n + i)) ——> -Kn (T (M) ) -^ nn (M) -°-^ 7r,,-i (SO (n -+-1)).

138 A. GRAMAIN.

PROPOSITION 13. — Une application continue basique f: S"-»- M est basi- quement homotope à une immersion si et seulement si S [f~\ = o, c3est-à-dire si /'*(T(M)) est trivial.

En faisant le quotient par l'action des groupes fondamentaux, comme i i i ( S O ( n + i ) ) opère trivialement sur 1^(80(^4-1)) et sur ^(Ï(M)), on obtient :

PROPOSITION 14. — La suite

W ^ ( S O ^ + i ^ — — O s ^ M ) ] — > [ Sf t, M]

est exacte.

On donnera plus loin une interprétation géométrique de l'action i de T^(SO(n 4-1)) sur l'ensemble [S", T(M)] des classes d'immersions de S"

dans M.

2.3. Remarque. — Supposons que M soit simplement connexe. On a alors une surjection ^i(SO{n + i)) -> îti(Ï(M)). Comme ^i(SO{n + i)) opère trivialement dans [V, S0(n 4- i)]o puisque S0{n 4- i) est un groupe connexe, il en résulte que îii(Ï(M)) opère trivialement dans [V,T(M)]o.

La surjection Tio (Immo (V, M)) -> Tio (Imm(V, M)) est donc un isomor- phisme.

3. IMMERSIONS BORDANTES. — Si W est une variété orientée de dimen- sion n 4- i, de bord dW, si j : V -> dW est un isomorphisme (orienté) et si g ' . W - ^ M ^1 est une immersion {orientée), alors f == g o j : V -> M est une immersion bordante, et l'on dit que la classe d'homotopie régulière de f est une classe bordante (que ce soit la classe libre ou la classe basique).

Il est clair que la classe libre d'une classe basique bordante est bordante.

Réciproquement :

PROPOSITION 15. — Toute classe basique au-dessus Sune classe libre bordante est elle-même bordante. Autrement dit, si /o, fiÇ Immo(V, M) sont librement homotopes et si fo est bordante, fi est basiquement homotope à une immersion bordante f\

Si V = S"', on a une démonstration facile en utilisant le fait (propo- sition 12) que les classes basiques de fo et /'i diffèrent par l'opération d'un élément de iii(M).

Dans le cas général, on désigne par F : I -> Imm(D, M) le lacet parcouru par le jet en ^ dans l'homotopie libre entre fo et /i. On va construire un chemin d'origine fo dans Imm (V, M) dont l'extrémité f soit bordante