Prolongement d’un courant positif quasi-plurisurharmonique

BLAISE PASCAL

Noureddine Ghiloufi et Khalifa Dabbek Prolongement d’un courant positif

quasi-plurisurharmonique Volume 16, n^o2 (2009), p. 287-304.

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cedram

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Prolongement d’un courant positif quasi-plurisurharmonique

Noureddine Ghiloufi Khalifa Dabbek

Résumé

Le but de cet article est de montrer un résultat de prolongement d’un courant positif, défini en dehors d’un obstacle fermé, dont ledd^cest dominé par un courant positif fermé de masse localement finie. On étudie divers types d’obstacles : soit un ensemble fermé pluripolaire complet, soit l’ensemble des zéros d’une fonction strictement k-convexe positive. Dans la troisième partie, sous des conditions sur la dimension deHausdorffde l’obstacle, on démontre le prolongement d’un tel courant. On termine par une application sur le prolongement d’un tel courant à travers une variété non Levi-plate. On améliore ainsi des résultats de Dabbek, ElkhadhraetEl Mir.

Extension of a positive quasi-plurisuperharmonic current

Abstract

We prove in this article an extension theorem for a positive current defined outside of a closed set ("obstacle"), such that its dd^c is dominated by a closed positive current with locally finite mass. We investigate various types of obstacles : closed complete pluripolar sets, zero sets of strictlyk-convex nonnegative functions.

In the third part, under suitable conditions on theHausdorff’s dimension of the obstacle, we prove the existence of an extension for such a current. We finish with an application to prove the extension of a such current across a non Levi-flat variety. In this way, we improve previous results due toDabbek, Elkhadhraand El Mir.

1. Introduction

Étant donné un ensemble ferméAd’un ouvertΩdeCⁿetT un courant positif de bidimension(p, p)défini surΩrA. Sous quelles conditions sur

Mots-clés :Fonction plurisousharmonique, Ensemble pluripolaire, Courant positif, Pro- longement, Tranchage.

Classification math. :32U05, 32U40, 32V20.

A etT peut-on prolongerT sur Ω?

En considérant les courants positifs fermés, Skoda [12] a prouvé qu’un courant positif fermé de masse localement finie se prolonge à travers un ensemble analytique en un courant positif fermé. El Mir [6] a ensuite amélioré ce résultat en considérant comme obstacle un fermé pluripolaire complet. Pour le cas d’une sous variété Cauchy-Riemann, El Mir [6]

a généralisé le résultat de Chirka [1] pour un courant positif fermé. En 1986, El Mir [7] a montré qu’un courant positif fermé de bidimension (p, p) défini en dehors de l’ensemble des zéros d’une fonction strictement k−convexe, avec p≥k+ 1, se prolonge en un courant positif.

Dans ce papier on généralise quelques résultats parmi celles de Dabbek- Elkhadhra-El Mir[4] qui ont eux même amélioré certains résultats de ces auteurs.

Définition 1.1. SoitA un ensemble fermé d’un ouvertΩdeCⁿ. Un cou- rant positifTde bidimension(p, p)surΩrAest ditquasi-plurisurharmonique (quasi-prh) s’il existe un courant positif fermé S de bidimension (p − 1, p−1)et de masse localement finie au voisinage des points deAtel que dd^cT ≤S surΩrA.

On s’interesse au problème de prolongement des courants positifs quasi- prh à travers des différents obstacles. On commence par le cas d’un obs- tacle pluripolaire complet, dans ce cas on a besoin du résultat suivant dû à Dinh etSibony

Théorème 1.2. [5] Soit A un fermé pluripolaire complet d’une variété complexe X. Soit T un courant positif quasi-prh de bidimension(p, p) sur XrA. On suppose que T est de masse localement finie au voisinage des points de A. Alors dd^cT est de masse localement finie au voisinage des points de A, de plus le courant dd]^cT−dd^cT^e est positif porté par A. Si de plus T est fermé alors Te est aussi fermé.

2. Cas d’un obstacle fermé pluripolaire complet

Le résultat principal de cette partie est une généralisation aux cou- rants positifs d’un résultat connu sur les ensembles analytiques [1]. Le cas d’un courant positif fermé est démontré parEl Mir-Feki[8], le cas d’un courant négatif plurisousharmonique (S = 0) est démontré par Dabbek,

ElkhadhraetEl Mir[4], alors que le cas d’un courant positif plurisou- sharmonique (psh) où son dd^c est supposé de masse localement finie est démontré par Dabbek[2] (en choisissantS =dd^cT).

Théorème 2.1. SoientAun fermé pluripolaire complet d’un ouvert Ωde Cⁿ et T un courant positif quasi-prh de bidimension (p, p) sur ΩrA tel que la mesure de HausdorffH2p(Supp T∩A) = 0. AlorsT^e existe et est positif quasi-prh sur Ω et le courant résiduel dd]^cT−dd^cT^e est positif porté par A.

Démonstration. D’après le théorème 1.2, il suffit de montrer queTeexiste.

En fait, il suffit de montrer queTest de masse localement finie au voisinage de chaque point z0 de Supp T ∩A. Pour cela on a besoin de montrer certains résultats préliminaires.

Proposition 2.2. Soit A un fermé pluripolaire complet d’un ouvert Ω de Cⁿ et soit T un courant positif de bidimension (p, p) sur ΩrA. On suppose qu’il existe un courant positif ferméS de bidimension(p−1, p−1) de masse localement finie au voisinage des points de Avérifiant dd^cT ≤S sur ΩrA. Soit v une fonction psh de classe C², v ≥ −1 sur Ω telle que Ω⁰ = {z ∈ Ω; v(z) < 0} soit relativement compact dans Ω. Pour K un compact de Ω⁰, on pose cK =−sup

z∈K

v(z).

Alors pour tout entier 1≤s≤p et pour toute fonctionu psh de classe C² sur Ω⁰ satisfaisant −1≤u <0, il existe une constante δ=δ(u)>0 telle qu’on a :

Z

KrA

T∧(dd^cu)^p ≤c^−s_K Z

Ω⁰rA

T ∧(dd^cv)^s∧(dd^cu)^p−s+δ||S||e _L où L est un compact de Ωcontenant Ω⁰ dans son intérieur.

Démonstration. Il existe une fonction f psh négative sur Ω⁰ qui est de classe C^∞ sur Ω⁰ rA telle que A∩Ω⁰ = {z ∈ Ω⁰; f(z) = −∞}. Pour λ ∈]0, c_K[, ν ∈]0, λ[, m ∈ N et suffisamment petit, on pose ϕ_m(z) = µu(z) + ^f(z)+m_m+1 , ϕm,(z) = max(v(z) + 1, ϕm(z)) où max est le pro- duit de convolution de la fonction(x1, x2)7−→max(x1, x2)avec un noyau régularisant positif sur R² qui dépend uniquement de||(x1, x2)||. La fonc- tionϕ_m,est psh de classe C² surΩ⁰, de plusϕ_m, =v+ 1sur un voisinage de ∂Ω⁰ ∪(Ω⁰ ∩ {f ≤ −m}. En effet, pour z ∈ ∂Ω⁰ on a v(z) = 0 et

ϕ_m(z) = µu(z)

| {z }

≤0

+

<0

z }| { f(z) +m

m+ 1

| {z }

<1

< 1 donc max(ϕ_m(z), v(z) + 1) = v(z) + 1.

Pour z∈Ω⁰∩ {f ≤ −m}, ϕ_m(z) =µu(z) +f(z) +m m+ 1

| {z }

≤0

≤µu(z)

| {z }

<0

<1 +v(z)

| {z }

≥0

donc max(ϕm(z), v(z) + 1) =v(z) + 1.

Considérons l’ouvert Ω⁰_m := Ω⁰∩ {f >−m}alors Z

Ω⁰_m

T ∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cϕ_m,)^s−1∧dd^c(ϕ_m,−(v+ 1))

= Z

Ω⁰_m

dd^cT∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cϕ_m,)^s−1∧(ϕ_m,−(v+ 1))

≤ Z

Ω⁰_m

S∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cϕ_m,)^s−1∧(ϕ_m,−(v+ 1)).

Donc Z

Ω⁰_m

T∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cϕ_m,)^s

≤ Z

Ω⁰_m

T∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cϕ_m,)^s−1∧dd^cv +

Z

Ω⁰_m

S∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cϕm,)^s−1∧(ϕm,−(v+ 1)).

Par récurrence on a Z

Ω⁰_m

T∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cϕ_m,)^s

≤ Z

Ω⁰_m

T ∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cv)^s

+ Z

Ω⁰_m

S∧(dd^cu)^p−s∧(ϕm,−(v+ 1))∧

s

X

j=1

(dd^cϕm,)^s−j ∧(dd^cv)^j

≤ Z

Ω⁰_m

T ∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cv)^s +

Z

Ω⁰_m

S∧(dd^cu)^p−s∧(ϕ_m,−(v+ 1))∧(dd^c(ϕ_m,+v))^s. (2.1)

CommeΩ⁰⊂LoùLest un compact deΩ, que toutes les fonctions sont C² et que S est positif fermé alors d’après l’inégalité de Chern-Levine- Nirenberg, il existe une constante δ1 =δ1(||u||_∞(L), ||v||_∞(L)) telle que

Z

Ω⁰_m

S∧(dd^cu)^p−s∧(ϕm,−(v+ 1))(dd^c(ϕm,+v))^s≤δ1||S||e _L. (2.2) Soit R > 0 un réel et K_R = {z ∈ K; f(z) ≥ −R}; pour m ≥ R, on a KR⊂Ω⁰_met pour toutz∈KRon aϕm(z) =µ u(z)

| {z }

≥ −1

+^f(z)+m_m+1 ≥ −µ+^m−R_m+1.

Or ^m−R_m+1−µ= 1−λ+^h(λ−µ)−^1+R_m+1ⁱet il existem0 ∈Ntel que pour tout m ≥m0 on a ^1+R_m+1 < λ−µ. D’où pourm≥m0, ϕm(z)>1−λ. Puisque v ≤ −c_K sur K_R, on obtient v+ 1≤1−c_K ≤1−λet donc ϕ_m, ≡ϕ_m sur un voisinage de KR. De plus d’après les inégalités (2.1) et (2.2)

Z

KR

T∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cϕm)^s≤ Z

Ω⁰_m

T∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cv)^s+δ1||S||e _L. Remarquons que dd^cϕ_m = µdd^cu+_m+1¹ dd^cf ≥ µdd^cu donc (dd^cϕ_m)^s ≥ µ^s(dd^cu)^s et par suite

µ^s Z

KR

T∧(dd^cu)^p ≤ Z

Ω⁰_m

T∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cv)^s+δ1||S||^e _L. CommeΩ⁰_m ⊂Ω⁰rA, alors

µ^s Z

KR

T∧(dd^cu)^p ≤ Z

Ω⁰rA

T∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cv)^s+δ1||S||e _L. Lorsque R→+∞ etµ→c_K,

c^s_K Z

KrA

T∧(dd^cu)^p ≤ Z

Ω⁰rA

T∧(dd^cu)^p−s∧(dd^cv)^s+δ1||S||e _L. Dans toute la suite B^k représente la boule unité de C^k.

Proposition 2.3. SoientA un fermé pluripolaire complet de B^k×B^n−k de Cⁿ et T un courant positif quasi-prh de bidimension (p, p) sur B^k × B^n−krA. On suppose que pourk≤p < n, on a :

a) Il existe 0≤r <1 pour lequelT est de masse localement finie au voisinage des points de l’ensemble{(z⁰, z⁰⁰)∈B^k×B^n−k; |z⁰⁰|> r}.

b) T∧(dd^c|z⁰|²)^k est de masse localement finie sur B^k×B^n−k.

Alors Te existe et est positif quasi-prh sur B^k×B^n−k. Démonstration.

Quitte à considérer T∧β^p−k On peut supposer que k=p. Pourr < a <

t <1, on pose v(z) =max(|z⁰|²−t², 1

t²−a²(|z⁰⁰|²−t²)). La fonctionv est psh, C^∞et vérifie −1≤v <0danstB^k×tB^n−ketv≡ |z⁰|²−t² dans {|z⁰⁰| ≤a}.

Z

(tB^k×tB^n−k)rA

T∧(dd^cv)^k = Z

(tB^k)×{|z⁰⁰|<a}rA

T∧(dd^c|z⁰|²)^k +

Z

(tB^k)×{a≤|z⁰⁰|<t}rA

T∧(dd^cv)^k D’après les hypothèses a) et b), les termes à droite de cette égalité sont finis. SoientKun compact detB^k×tB^n−ketSle courant positif fermé de bidimension(p−1, p−1)de masse localement finie au voisinage des points de Avérifiantdd^cT ≤S sur B^k×B^n−krA. En appliquant la proposition 2.2 avec T, u = |z|²−t², v = v et L = t⁰B^k×t⁰B^n−k où t < t⁰ < 1 on aura

0≤ Z

KrA

T ∧β^p ≤c^−p_K Z

tB^k×tB^n−krA

T∧(dd^cv)^p+δ||S||e _L<+∞.

Par suiteT est de masse localement finie au voisinage des points deA.

Proposition 2.4. Soient A un ensemble fermé pluripolaire complet de B^k ×B^n−k et T un courant positif quasi-prh de bidimension (p, p) sur B^k×B^n−krA. On suppose que pourk≤p < n, on a :

a) Il existe 0≤r <1 pour lequelT est de masse localement finie au voisinage des points de l’ensemble{(z⁰, z⁰⁰)∈B^k×B^n−k, |z⁰⁰|> r}.

b) Il existe un ouvert O ⊂ B^k tel que T ∧(dd^c|z⁰|²)^k soit de masse localement finie sur O ×B^n−k.

Alors Te existe et est positif quasi-prh sur B^k×B^n−k.

Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer quep=k. Par application de la proposition 2.3 sur l’ouvert O ×B^n−k, T est de masse localement finie sur O ×B^n−k. On fixe deux réels r < a < t < 1 et on considère une fonction psh vde classe C^∞ surB^k×B^n−ktelle que(dd^cv)^k soit portée par O et−1≤v <0.

On pose v(z) =max(π^∗v,_t2−a^{1 2}(|z⁰⁰|²−t²))où π est la projection cano- nique de Cⁿ surC^k. Puisque−1≤v<0surtB^k×tB^n−k etv ≡π^∗v sur {|z⁰⁰|< a} on obtient

Z

(tB^k×tB^n−k)rA

T ∧(dd^cv)^p

= Z

(tB^k)×{|z⁰⁰|<a}rA

T∧(dd^c(π^∗v))^p+ Z

(tB^k)×{a≤|z⁰⁰|<t}rA

T∧(dd^cv)^p. Or(dd^c(π^∗v))^pest portée parO ×B^n−k etT est de masse localement finie sur O ×B^n−k, donc la première intégrale du membre droit de la dernière égalité est finie. Par la condition a), la deuxième intégrale est aussi finie ; alors par la proposition 2.2, pour K compact de tB^k×tB^n−k et L un compact de B^k×B^n−k contenanttB^k×tB^n−k dans son intérieur,

Z

KrA

T ∧β^p ≤c^−p_K Z

(tB^k×tB^n−k)rA

T∧(dd^cv)^p+δ||S||e _L

où S est le courant positif fermé de bidimension (p−1, p−1) de masse localement finie au voisinage des points de A vérifiant dd^cT ≤ S sur B^k×B^n−krA. D’où l’existence deT^e. Suite de la démonstration du théorème 2.1. On va montrer que T est de masse localement finie au voisinage de chaque point z0 ∈A. Sans perte de généralité, on peut supposer que z0 est l’origine. Puisque H2p(Supp T ∩ A) = 0, il existe un système de coordonnées et un ouvert B^p×B^n−p ⊂ C^p ×C^n−p, tels que (Supp T ∩A)∩(B^p ×∂B^n−p) = ∅. Par conséquent l’application π : (Supp T ∩A)∩(B^p×B^n−p) −→ B^p est propre. Comme π(Supp T ∩A) est un fermé de mesure de Lebesgue nulle dans B^p, on peut trouver un ouvert O ⊂ B^p rπ(Supp T ∩A). Et par suite T est de masse localement finie dans O ×B^n−p. Donc T vérifie les conditions de la proposition 2.4, d’où Te existe et d’après le Théorème 1.2, le courant dd]^cT −dd^cT^e est positif porté par A. On a S^e≥dd]^cT. Donc dd^cT^e ≤Se or d’après El Mir[6] S^e est fermé, ce qui prouve queT^e est quasi-prh.

Comme consequence du théorème 2.1 on démontre le théorème suivant qui généralise des résultats, de Siu [11] pour les courants positifs fermés, de Dabbek-Elkhadhra-El Mir[4] pour les courants négatifs psh et de Dabbek [2] pour un courant positif pshT tel quedd]^cT existe.

Théorème 2.5. Soient A un ensemble analytique irréductible de dimen- sion complexe p d’un ouvert Ω de Cⁿ et T un courant positif quasi-prh de bidimension (p, p) sur ΩrA tel que T soit de masse localement finie au voisinage d’un point z0 ∈A. AlorsT^e existe et est positif et le courant résiduel dd]^cT−dd^cT^e est positif porté parA.

Démonstration. Notons Ae = {z ∈ Reg(A); T est de masse localement finie au voisinage du point z}. Il est clair queAeest un ouvert non vide de Reg(A). De plus,A^eest fermé. En effet, soit(a_j)j∈Nune suite de points de Aequi converge vers un pointa∈Reg(A)(on suppose quea= 0). Il existe un système de coordonnées (z1, ..., zn) et un ouvert rB^p×rB^n−p tels que Reg(A)∩(rB^p×rB^n−p) = {z_p+1 =.. =z_n = 0}. Comme a_j −→ a = 0 il existe j0 tel que aj0 ∈rB^p×rB^n−p. OrT est de masse localement finie au voisinage dea_j0, doncT satisfait aux hypothèses de la proposition 2.4.

D’où T est de masse localement finie au voisinage des points de rB^p × rB^n−p, c’est à dire que a ∈ Ae et par suite Ae est un fermé de Reg(A).

CommeReg(A)est connexe, on a Ae=Reg(A). De plus H2p−1(Supp T ∩ Sing(A)) = 0, le théorème 2.1 implique queT est de masse localement finie au voisinage des points de Sing(A), donc T^e existe et le courant résiduel

dd]^cT−dd^cT^e est positif porté parA.

Si on note parSle courant positif fermé de la définition qui dominedd^cT alors Se n’est pas nécessairement fermé, donc Te peut être non quasi-prh.

3. Cas des zéros d’une fonction strictement k−convexe Définition 3.1. Soituune fonction continue à valeurs réelles définie dans un ouvertΩdeCⁿ. On dit queuest strictementk-convexe surΩs’il existe une (1,1)-forme ω continue sur Ω et admettant en chaque point (n−k) valeurs propres strictement positives telle que le courant dd^cu−ω soit positif dans Ω.

Lemme 3.2. [7] Soient u une fonction strictement k-convexe dans un ouvertΩdeCⁿet γ une(1,1)−forme positive à coefficients continus dans Ω. Alors pour tout z ∈ Ω, il existe un voisinage V_z de z dans Ω et une fonction f strictement psh de classeC^∞dansVz telle quedd^cu∧(dd^cf)^k− γ^k+1 soit positif dansVz.

La démonstration du résultat principal de cette section (Théorème 3.5) est basée sur la proposition suivante

Proposition 3.3. Soit u une fonction strictement k-convexe sur un ou- vert Ω de Cⁿ. Pour c ∈ R, on pose Ω_c = {z ∈ Ω; u(z) ≤ c}. Soit T un courant positif quasi-prh de bidimension (p, p) sur ΩrΩ_c.

Si p≥k+ 1 alors T se prolonge en un courant de masse localement finie au voisinage des points de Ω_c.

On retrouve le résultat d’El Mir[7] (pour les courants positifs fermés).

Démonstration. Il suffit de prolonger T au voisinage des points de ∂Ω_c. Soitz0∈Ωtel queu(z0) =c. Montrons qu’il existeW un voisinage ouvert de z0 tel que l’intégrale

Z

WrΩ

c+ 2s

T∧β^p soit bornée indépendamment de s. Par hypothèse, il existe un système de coordonnées, un voisinage ouvert V de z0 etλ >0tels que

dd^cu+ λ 2

k

X

j=1

idz_j∧dz_j−2

n

X

j=k+1

idz_j∧dz_j

soit un courant positif sur V. Soit r > 0 tel que B(z0, r) ⊂ V et χ une fonction de classe C^∞ sur Ω telle que χ = 0 sur B(z0,^r₂) et χ = −1 sur ΩrB(z0,²₃r). Pour δ > 0 suffisamment petit, on pose v = u+δχ.

Choisissonsεssuffisamment petit tel que la suite régularisantevs=v∗ρεs

vérifie 0≤v−vs≤ 1 s et dd^cvs+λ

k

X

j=1

idzj ∧dzj−

n

X

j=k+1

idzj∧dzj

soit une forme positive pour tout s. D’après le lemme précédent dd^cv_s∧ α^k−β^k+1 ≥ 0, avec α = dd^cf. Or f est strictement psh, donc il existe une constante τ >0telle queτ α^p−(k+1)≥β^p−(k+1). Quitte à remplacer f par c.f on a dd^cvs∧α^p−1−β^p ≥0, donc T ∧β^p ≤T∧dd^cvs∧α^p−1 sur V rΩ_c.

Soit (h_s)_s une suite de fonctions convexes, croissantes et positives telle que

• 0≤sup(t−c,0)−h_s(t)≤ ¹_s ∀s∈N, ∀t∈R

• h⁰_s(t) = 1 pour t≥c+¹_s.

Posons us =hs◦vs.

Alorsdd^cu_s∧α^p−1= (h⁰_s◦v_s)dd^cv_s∧α^p−1+2(h⁰⁰_s◦v_s)i∂v_s∧∂v_s∧α^p−1. Pour a∈B(z0,^r₂)rΩ_c+2

s, v_s(a)≥v(a)−¹_s =u(a)− ¹_s ≥c+²_s −¹_s =c+¹_s. Donc sur B(z0,^r₂)rΩ_c+2

s

, on a h⁰_s◦vs = 1 et h⁰⁰_s ◦vs = 0 ce qui donne dd^cus∧α^p−1 = dd^cvs∧α^p−1 ≥β^p. De plus us s’annule sur un voisinage U_s de Ω_c qui dépend des.

Soitgune fonction de classeC^∞, à support compact dansΩrΩ_c telle que U_s∩Suppg6=∅avec0≤g≤1,g≡1sur un voisinage de∂B(z0, r)∩Suppg et s’annulant surB(z0,²₃r)∩Supp g. PosonsTε=T∗ρε,Br =B(z0, r) et W =B^r

2, alors Z

WrΩ

c+ 2s

T∧β^p≤ lim

ε→0

Z

Br

Tε∧dd^cus∧α^p−1

D’autre part, on a Z

Br

Tε∧dd^cus∧α^p−1= Z

Br

Tε∧dd^c(gus+ (1−g)us)∧α^p−1

= Z

Br

T_ε∧dd^c(gu_s)∧α^p−1 +

Z

Br

(1−g)u_sdd^cT_ε∧α^p−1

≤ Z

Br

Tε∧dd^c(gus)∧α^p−1 +

Z

Br

(1−g)usSε∧α^p−1 La suite (gus)_s converge uniformément versg(v−c).

Il en résulte que Z

Br

Tε∧dd^c(gus) ∧α^p−1 est finie ; car g est nulle au voisinage de l’obstacle. De plus

Z

Br

(1−g)usSε∧α^p−1 est bornée car Se existe. Donc

Z

Br

Tε∧dd^cus∧α^p−1 est bornée indépendamment de εet de s. D’où T est de masse localement finie sur W rΩ_c. Corollaire 3.4. Soitu une fonction strictement psh positive de classe C² sur un ouvert Ω de Cⁿ. Pour a ∈ R, on note Ba ={z ∈ Ω; u(z) < a}.

Soient 0≤s < r et 0< δ < r−s tels que B_r+δ ={z∈Ω; u(z)< r+δ}

soit relativement compact dans Ω et T un courant positif de bidimension

(p, p) sur ΩrBs. On suppose qu’il existe un courant positif fermé S de bidimension (p−1, p−1) et de masse localement finie au voisinage des points de A vérifiant dd^cT ≤S sur ΩrBs. Alors il existe c1 >0, c2 >0 tels que

Z

BrrBs

T∧(dd^cu)^p ≤c1

Z

C(r−δ,r+δ)

T∧(dd^cu)^p+c2||u||^p_∞(L)||S||e _L où C(r−δ, r+δ) ={z∈Ω; r−δ < u(z)< r+δ}, L=Br+δ. En particulier, si u(z) =|z|² alors

||T||_BrrBs ≤c1||T||_{C(r−δ,r+δ)}+c2||u||^p_∞(L)||S||e _L.

Ce corollaire sera utile pour la preuve du théorème 5.2. Notons que ce résultat est démontré dans [4] pour un courant négatif psh.

Démonstration. Posonsu¹

m(z) = max(u(z)−_m¹ −s,0)etΨ_m=u¹

m∗ρεm. Pourεmsuffisamment petit on add^cΨ_m ≥ ^dd₂^cu sur{z∈Ω; u(z)> _m² +s}

donc 1 2 Z

C(²

m+s,r)

T∧(dd^cu)^p ≤lim

ε→0

Z

Br

T_ε∧dd^cΨ_m∧(dd^cu)^p−1.

Par une démonstration analogue à celle de la proposition 3.3, en choisissant g∈D(C(r−δ, r+δ)), 0≤g≤1,g= 1sur un voisinage deC(r−^δ₂, r+₂^δ), la suite (gΨm)_m converge vers g(u−s)pour la topologie C².

Z

Br

Tε∧dd^c(Ψ_m)∧(dd^cu)^p−1

= Z

Br

Tε∧dd^c(gΨm+ (1−g)Ψm)∧(dd^cu)^p−1

= Z

Br

T_ε∧dd^c(gΨ_m)∧(dd^cu)^p−1+ Z

Br

(1−g)Ψ_mdd^cT_ε∧(dd^cu)^p−1

≤ Z

Br

T_ε∧dd^c(gΨ_m)∧(dd^cu)^p−1+ Z

Br

(1−g)Ψ_mS_ε∧(dd^cu)^p−1.

Comme g est nulle sur un voisinage de Bs alors Z

Br

Tε ∧dd^c(gΨm) ∧ (dd^cu)^p−1 est bornée. Par l’inégalité de Chern-Levin-Nirenberg, il existec1>0, c2 >0 indépendantes dem et de ε, telles que

Z

Br

Tε∧dd^cΨ_m∧(dd^cu)^p−1≤c1

Z

Supp g

T∧(dd^cu)^p+c2||u||^p_∞(L)||S||e _L.

En tendant mvers l’infinie, il suit que Z

BrrBs

T∧(dd^cu)^p≤C Z

Supp g

T∧

(dd^cu)^p+c2||u||^p_∞(L)||S||e _L. Théorème 3.5. Soientu une fonction positive strictement k-convexe sur un ouvert Ω de Cⁿ, A = u⁻¹({0}) et T un courant positif quasi-prh de bidimension (p, p) sur ΩrA.

Si p≥k+ 1 alors Te existe.

Si p≥k+ 2 et u est de classe C², alors dd^cT^e=dd]^cT.

Remarque 3.6. Si de plusp≥k+ 3alors d’aprèsEl Mir [7],S^e est fermé et donc T^e est quasi-prh.

Démonstration. Sip≥k+ 1alors d’après la proposition 3.3,Te existe. On suppose que p≥k+ 2 etu est de classeC² surΩ. Comme S−dd^cT ≥0 est fermé de dimension p−1 sur ΩrA et p−1 ≥ k+ 1 alors d’après le premier cas, S^−dd^cT existe, c’est à dire que dd]^cT existe. D’après [4,

theorem 4], on a dd^cT^e=dd]^cT.

Corollaire 3.7. Soient Ω un ouvert de Cⁿ et A une variété Cauchy- Riemann de classe C¹ dans Ωtelle que dimCRA =k. Soit T un courant positif quasi-psh de bidimension (p, p) sur ΩrA.

Si p≥k+ 1 alors Te existe et est positif sur Ω.

Si de plus p ≥ k+ 2 alors dd^cT^e = dd]^cT et il existe une suite (%_s)_s de classe C^∞, nulle sur un voisinage deA, et qui converge uniformément sur tout compact de ΩrA vers1lΩrA telle que dT^e= lim

s→+∞%sdT. On retrouve le résultat de [4] pour un courant négatif psh.

Démonstration. Localement, il existe une fonction positive u, strictement k-convexe de classeC² telle que A =u⁻¹({0}). Il suffit donc d’appliquer le théorème 3.5 pour avoir le résultat. L’existence de la suite (%_s)_s a été prouvé dans la demonstration de [4, theorem 4].

Corollaire 3.8. SoientK un compact pluripolaire complet d’un ouvert Ω de Cⁿ et T un courant positif quasi-prh de bidimension (p, p) sur ΩrK.

Si p≥1 alors Te existe et est positif.

Si p≥2alorsTe est quasi-prh et le courant résidueldd]^cT−dd^cTe est positif porté par K.

Ce corollaire nous permet, dans le cas d’un obstacle compact pluripo- laire complet, de s’affranchir de l’hypothèse sur la dimension de Haus- dorff de l’obstacle (qui est essentiel) dans le théorème 2.1. En fait, El Mir dans [6], a donné un exemple d’un compact pluripolaire complet de dimension de Hausdorff assez grande.

Démonstration. D’après El Mir[6], il existe un ensemble Ω⁰ strictement pseudoconvexe de Cⁿ tel que K ⊂ Ω⁰ ⊂⊂ Ω, et une fonctionu négative, psh sur Ω⁰ telle que e^u soit continue et K = {z ∈ Ω⁰; u(z) = −∞}.

Soit ϕune fonction continue, strictement psh exhaustive sur Ω⁰. On pose c= sup

z∈K

ϕ(z) et on considère la suite : u_s= supϕ−c−1

s, e^1su+|z|2 −1 s, 0

Posons Ks = {z ∈ Ω⁰; us(z) = 0}. Comme dans la démonstration de la proposition 3.3, on montre qu’il existe une constante c > 0 telle que

||T||Ω⁰rKs < cpour tout entiers, doncT^eexiste. D’après le théorème 3.5, le courant résidueldd]^cT−dd^cTeest positif et porté parK. OrS^eest fermé (K est fermé pluripolaire complet, on applique [6]) doncTe est quasi-prh.

4. Cas d’un obstacle fermé

Dans cette section on considère le cas général, un obstacle fermé, et sous des hypothèses sur sa dimension de Hausdorff on arrive à prolonger un courant positif quasi-prh.

Théorème 4.1. SoientAun fermé d’un ouvert ΩdeCⁿ etT un courant positif quasi-prh de bidimension (p, p)sur ΩrA tels queH2p−2(Supp T∩ A)soit localement finie. AlorsTe existe surΩet le courant résidueldd]^cT− dd^cT^e est positif porté par A. En outre, si H2p−2(Supp T ∩A) = 0 alors dd]^cT =dd^cT^e.

On retrouve le résultat de Dabbek-Elkhadhra-ElMir (courant né- gatif psh).

Démonstration. Le problème est local au voisinage des points deSupp T∩ A, donc on suppose que l’origine 0∈Supp T ∩A. On a H2p−1(Supp T ∩ A) = 0, d’après Shiffman [10], il existe un système de coordonnées tel que pour toute projection πI : Cⁿ → C^p−1, πI(z) = (zi1, ..., zip−1), où

I = (i1, .., ip−1) est un multi-indice strictement croissant, on a π_I⁻¹({0} ∩ (Supp T ∩ A)) = {0} et si B^p−1 × B^n−p+1 ⊂ C^p−1 × C^n−p+1, alors (B^p−1×∂B^n−p+1)∩(Supp T ∩A) =∅.

Soit δ > 0 tel que {B^p−1 ×B^n−p+1(1−δ,1 +δ)} ∩(A∩Supp T) = ∅.

Pour z⁰ ∈B^p−1, on note A_z⁰ = (Supp T ∩A)∩({z⁰} ×B^n−p+1). Comme H2p−2(Supp T ∩A) est localement finie, d’après Shiffman [10], A_z⁰ est un ensemble discret pour presque toutz⁰. Sans perte de généralité on peut supposer queA_z⁰ ={(z⁰,0)}.T estC−normal surΩrAdonc il estC−plat sur ΩrA.

La tranche T, πI, z⁰ existe et est un courant positif quasi-prh de bidi- mension(1,1)surΩrAz⁰ porté par{z⁰} ×B^n−p+1. SoitK un compact de B^p−1×B^n−p+1. Montrons que

Z

KrA

T∧π^∗_Iβ^0p−1∧βest finie. En appliquant le corollaire 3.4 avec T, πI, z⁰ , il existec1, c2 >0 telles que

Z

B^n−p+1((z⁰,0),1)rA_z0

T, π_I, z⁰ ∧β

≤c1

Z

B^n−p+1(1−δ,1+δ)

T, π_I, z⁰ ∧β+c2khS, π_I, z⁰ ik_L

où L= (1 +δ)B^n−p+1. Par application de la formule de tranchage, Z

KrA

T ∧π^∗_Iβ^0p−1∧β

≤B Z

z⁰

Z

B^n−p+1((z⁰,0),1)rA_z0

D T, π_I, z^{0 E}∧ββ^0p−1

≤c⁰₁ Z

z⁰

Z

B^n−p+1(1−δ,1+δ)

D T, π_I, z^{0 E}∧ββ^0p−1

+c⁰₂ Z

z⁰

Z

L

D S, π_I, z^{0 E}β^0p−1

≤b1

Z

B^p−1×(1−δ,1+δ)B^n−p+1T∧π_I^∗β^0p−1∧β +b2

Z

B^p−1×L

S∧π_I^∗β^0p−1<+∞

Il nous reste à montrer que le courant dd]^cT existe, pour cela on montre que dd^cT^e est d’ordre zéro. Pour presque tout z⁰, le courant h T, π_I, z⁰ i est positif quasi-prh en dehors de Az⁰, qui est fermé pluripolaire complet