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a) On aI1R1+IR=E1,I2R2 +IR =E2. En divisant la première parR1, la seconde par R2, en ajoutant tout en utilisantI1+I2 =R, on obtient
I(1 +R/R1 +R/R2) =E1/R1+E2/R2. SoitI = 1.09 A.
b) SupposonsE1seul. Il débite dansR1+RR2/(R+R2)et fournit donc un courant principal I1(1) =E1/[R1+RR2/(R+R2)]donc la fractionR2/(R+R2)passe dansR, ce qui correspond à un courant
I(1) = E1R2
RR1+R1R2+R2R , et de même, un courant
I(2) = E2R1
RR1+R1R2+R2R , passerait avecE2 seul. On vérifie bien queI =I(1)+I(2).
c) Si la brancheRest ôtée, on a un courant(E2−E1)/(R1+R1)dans la boucle extérieure, et donc une f.e.m. de Thévenine= (E1R2+E2R1)/(R1+R2)alors que la résistance de Thévenin estr=R1R2/(R1+R2), car les deux résistances sont vues en parallèles. On retrouve le résultat commeI =e/(R+r)quand on rétablit la branche.
d) Si on remplaceR par un court circuit, chaque générateur y débite indépendamment, soit un courant de NortonIN=E1/R1 +E2/R2associé à une résistance de Nortonr(la même que pour le générateur de Thévenin). Quand on rétablit la branche, ce générateur débiteIN dansr etR en parallèles, et la fractionI = INr/(r+R)passe dansR, ce qui permet de retrouver le résultat.
a) L’image familière de la tension pour une courant donnéIC dans une capacité, et celle de la tension pour un courant donnéILRdans un assemblageL, Ren série, permettent de construire, à tension donnée, le courant comme somme des deux courants.
AO
ILR RILC
LωILC U
φ
B
O
U
IC
CO
U IC
ILR
I
φ α
On aIC =CωU etILR =U/√
R2+L2ω2avecsinφ=Lω/√
R2+L2ω2.
Tout se calcule sur cette figure, par exempleI2 =IR2+ILR2 −2ICILRsinφ, qui donne l’expression qui sera établie plus bas par les complexes. On pourrait aussi évaluer le déphasageα de I par rapport àU.
b) L’impédance complexeZest telle que 1
Z =jCω+ 1
R+jLω = 1−LCω2+jRCω R+jLω . Donc
Im= Um
|Z| =Um
r(1−LCω2)2+ (RCω)2 R2+L2ω2 .
tandis queαest la différence entre la phase du numérateur de1/Z et celle de son dénominateur.
c) Il faut queZ soit réel, donc que numérateur et dénominateur soient dans un rapport réel, donc que le rapport des parties réelles soit égal à celui des parties imaginaires,
1−LCω2
R = RCω Lω .
