Fonction Exponentielle

L.S.Marsa Elriadh

Fonction Exponentielle

M : Zribi

4 ^èmeSc Fiche

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El Amine

A) Définition et premières conséquences.

Théorème et définition

On appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

Conséquences

 La fonction exp est définie dans , dérivable (donc continue) sur .  Pour tout réel x, exp’(x) = exp(x).

 exp(0) = 1.

 Pour tout réel x, exp(x) 0 .

 Pour tout réel x et pour tout réel y stricement positive ; y=e^x signifie x= lny.

 pour tout réel x ; Ln(e^x)=x et pour tout x >0 ; e^Lnx=x

B) Propriétés algébriques

Relation fonctionnelle caractéristique

Pour tous réels a et b,

Conséquences

Pour tous réels a et b, et tout entier relatif n,

C) ^Nombre e . Notation e x .

^ Le nombre exp(1) est noté

e et on a e

^2,718

En prenanta1 la dernière relation donne :  ⁿ , exp(n) = eⁿ

 Pour tout réel x, on note exp(x) = e^x

exp(a + b) = exp(a)  exp(b)

exp(- b) = 1

exp(b) exp(a - b) = exp(a)

exp(b) exp(na) = exp(a)

 

ⁿ

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Ainsi, les propriétés précédemment établies s’écrivent maintenant :

e⁰

 1

et e¹

 e

.

Pour tout réel x,

^ex  0

Pour tous réels a et b, et tout entier relatif n

 



a + b a b

e = e × e - b 1

e = be ea a - b e = be

na a n

e e

D) Variations et courbe de la fonction x e x .

1- La fonction exp est définie sur .

2- La fonction exp est dérivable sur et exp'(x) = ex

Or ex 

0

pour tout réel x donc la fonction exp est strictement croissante sur .

3-

x

ex 0

lim

_ ^{ et}

lim

_x ^{ex  }

4- T.D.V

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5- Courbe représentative ( C)

- l’axe des abscisses est asymptote à ( C) en .

- La fonction x x + 1 est la

meilleure approximation affine de la fonction exp au voisinage de 0.

E) Equations et inéquations.



La fonction exp étant strictement croissante sur : pour tous réels a et b :

ea e b a b

a b

e e a b

  

  

F) Des limites à connaître.

x

ex

lim

_ x ^{ }

lim

_x ^{xex 0-}

lim

_{x 0} ^ex_x^{1 1}

G) Croissances comparées des fonctions exponentielle et puissance.

Théorème

Pour tout entier strictement positif n et m ,

xlim

mx

e n

x

   et lim

0

x_ x en mx



« à l’infini, l’exponentielle de x l’emporte sur toute puissance de x »

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El Amine H) Fonction composée exp

O

u.

Dérivée de

exp

O

u

Théorème : si

u

est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction composée

e u

est dérivable sur I et :

(e )' = ^U

u' e u

Primitive de

u’ e

^U

Théorème : si

u

est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors

une primitive de

u’ e u

sur I est

e ^u