EN ROUTE VERS LA 1

EN ROUTE VERS LA 1 ^ère SPECIALITE MATHS Corrigés

Partie A : calcul littéral, équations et inéquations

Exercice A1 :

𝐴 = 3𝑥(10𝑥 − 8) 𝐵 = (2𝑥 + 3)(4𝑥 − 1)

𝑨 = 𝟑𝟎𝒙^𝟐− 𝟐𝟒𝒙 𝐵 = 8𝑥⁵− 2𝑥 + 12𝑥 − 3

𝑩 = 𝟖𝒙^𝟐+ 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑 𝐶 = :^;_<𝑥 +_;=^;> :^;_<𝑥 +_;=^?> 𝐷 = 3(2𝑥 − 1)(−𝑥 + 4) 𝐶 =_5<^; 𝑥⁵+_<=^? 𝑥 +_<=^; 𝑥 +_;==^? 𝐷 = 3(−2𝑥⁵+ 8𝑥 + 𝑥 − 4) 𝑪 =_𝟐𝟓^𝟏 𝒙^𝟐+_𝟓𝟎^𝟒 𝒙 +_𝟏𝟎𝟎^𝟑 𝐷 = 3(−2𝑥⁵+ 9𝑥 − 4)

𝑫 = −𝟔𝒙^𝟐+ 𝟐𝟕𝒙 − 𝟏𝟐

𝐸 = (4 + 5𝑥)⁵ 𝐹 = 3(𝑥 + 1)⁵

𝐸 = 4⁵+ 2 × 4 × 5𝑥 + (5𝑥)⁵ 𝐹 = 3(𝑥⁵+ 2 × 1 × 𝑥 + 1⁵) 𝐸 = 16 + 40𝑥 + 25𝑥⁵ 𝐹 = 3(𝑥⁵+ 2𝑥 + 1)

𝑭 = 𝟑𝒙^𝟐+ 𝟔𝒙 + 𝟑

𝐺 = (2𝑥 − 4)⁵ 𝐻 = (3𝑥 + 1)⁵+ (2𝑥 − 1)(4𝑥 + 2) 𝐺 = (2𝑥)⁵− 2 × 2𝑥 × 4 + 4⁵ 𝐻 = 9𝑥⁵+ 6𝑥 + 1 + 8𝑥⁵+ 4𝑥 − 4𝑥 − 2

𝑮 = 𝟒𝒙^𝟐− 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟔 𝑯 = 𝟏𝟕𝒙^𝟐+ 𝟔𝒙 − 𝟏

𝐼 = (3𝑥 + 2)(2𝑥 − 6) − (4𝑥 − 3)⁵ 𝐽 = S√5 − √3US√5 + √3U 𝐼 = 6𝑥⁵− 18𝑥 + 4𝑥 − 12 − (16𝑥⁵− 24𝑥 + 9) 𝐽 = √5⁵ − √3⁵

𝐼 = 6𝑥⁵− 14𝑥 − 12 − 16𝑥⁵+ 24𝑥 − 9 𝐽 = 5 − 3

𝑰 = −𝟏𝟎𝒙^𝟐+ 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟏 𝑱 = 𝟐

Exercice A2 :

𝐾 = (2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) + (3𝑥 − 1)(−6𝑥 + 8) 𝐿 = 2𝑥(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)(5 − 𝑥) 𝐾 = (3𝑥 − 1) × [2𝑥 + 1 + (−6𝑥 + 8)] 𝐿 = (𝑥 − 1) × [2𝑥 − (5 − 𝑥)]

𝑲 = (𝟑𝒙 − 𝟏)(−𝟒𝒙 + 𝟗) 𝐿 = (𝑥 − 1)(2𝑥 − 5 + 𝑥) 𝑳 = (𝒙 − 𝟏)(𝟑𝒙 − 𝟓) 𝑀 = (4𝑥 − 2) + (4𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 𝑁 = 64 − 100𝑥⁵ 𝑀 = 1 × (4𝑥 − 2) + (4𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 𝑁 = 8⁵− (10𝑥)⁵

𝑀 = (4𝑥 − 2) × [1 + (𝑥 + 1)] 𝑵 = (𝟖 − 𝟏𝟎𝒙)(𝟖 + 𝟏𝟎𝒙) 𝑴 = (𝟒𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐)

Exercice A3 :

a) 4𝑥 − 3 = 12 b) −3𝑥 + 1 = 2(5𝑥 − 2)

⟺ 4𝑥 = 12 + 3 = 15 ⟺ −3𝑥 + 1 = 10𝑥 − 4

⟺ 𝑥 =^;<_d = 3,75 donc 𝑺 = {𝟑, 𝟕𝟓} ⟺ −3𝑥 − 10𝑥 = −4 − 1

⟺ −13𝑥 = −5

⟺ 𝑥 =_j;?^j< =_;?^< donc 𝑺 = k_𝟏𝟑^𝟓l

c) (5𝑥 + 6)(2𝑥 + 3) = 10𝑥⁵+ 2𝑥 − 2 d) (3𝑥 − 1)(−2𝑥 + 3) = 0

⟺ 10𝑥⁵+ 15𝑥 + 12𝑥 + 18 = 10𝑥⁵ + 2𝑥 − 2 Un produit est nul ssi un de ses facteurs est nul.

⟺ 27𝑥 + 18 = 2𝑥 − 2 3𝑥 − 1 = 0 ou −2𝑥 + 3 = 0

⟺ 27𝑥 − 2𝑥 = −2 − 18 ⟺ 3𝑥 = 1 ou −2𝑥 = −3

⟺ −29𝑥 = −20 ⟺ 𝑥 =^;_? ou 𝑥 =^j?_j5=^?₅= 1,5

⟺ 𝑥 =^j5=_j5m= ⁵⁼_5m donc 𝑺 = k^𝟐𝟎_𝟐𝟗l Donc 𝑺 = k^𝟏_𝟑; 𝟏, 𝟓l

e) ^oj;_o = 0 f) 𝑥⁵ = 9 g) 2𝑥⁵− 16 = 0

⟺ 𝑥 − 1 = 0 × 𝑥 = 0 (𝑥 ≠ 0) ⟺ 𝑥 = √9 = 3 ou 𝑥 = −√9 = −3 ⟺ 2𝑥⁵ = 16

⟺ 𝑥 = 1 donc 𝑺 = {𝟏} donc 𝑺 = {𝟑; −𝟑} ⟺ 𝑥⁵ = ^;r₅ = 8

⟺ 𝑥 = √8 ou 𝑥 = −√8 donc 𝑺 = s√𝟖; −√𝟖t Exercice A4 :

a) 4𝑥 − 1 ≥ 7 b) −2𝑥 + 1 > 2 c) ^;₅𝑥 + 1 ≤ 11

⟺ 4𝑥 ≥ 7 + 1 = 8 ⟺ −2𝑥 > 2 − 1 = 1 ⟺ ^;₅𝑥 ≤ 11 − 1 = 10

⟺ 𝑥 ≥^x_d= 2 ⟺ 𝑥 < −^;₅ ⟺ 𝑥 ≤ ^;=z

{

= 10 ×⁵_;= 20

donc 𝑺 = [𝟐; +∞[ donc 𝑺 = }−∞; −^𝟏_𝟐~ donc 𝑺 = ]−∞; 𝟐𝟎]

Exercice A5 :

•2𝑥 + 3𝑦 = 8

4𝑥 + 3𝑦 = 10 et • 4𝑥 − 5𝑦 = 32 5𝑥 + 7𝑦 = −13

Résolvons le 1^er système par combinaison en soustrayant les deux lignes :

•2𝑥 + 3𝑦 = 8 (𝐿_;) 4𝑥 + 3𝑦 = 10 (𝐿₅) ⟺ •

2𝑥 = 2 (𝐿₅− 𝐿_;)

2𝑥 + 3𝑦 = 8 (𝐿_;) ⟺ • 𝑥 = 1

2 + 3𝑦 = 8 ⟺ • 𝑥 = 1

3𝑦 = 8 − 2 = 6 ⟺ •𝑥 = 1 𝑦 = 2

Donc 𝑺 = {(𝟏; 𝟐)}

Pour le 2^e système, multiplions la 1^ère ligne par 5 et la 2^ème ligne par 4 avant de soustraire les deux lignes :

•4𝑥 − 5𝑦 = 32 (𝐿_;) 5𝑥 + 7𝑦 = −13(𝐿₅) ⟺ •

20𝑥 − 25𝑦 = 160 (5𝐿_;) 20𝑥 + 28𝑦 = −52(4𝐿₅) ⟺ •

53𝑦 = −212 (4𝐿₅− 5𝐿_;) 5𝑥 + 7𝑦 = −13(𝐿₅) ⟺ •𝑦 = −^5;5<? = −4

5𝑥 − 28 = −13 ⟺ • 𝑦 = −4

5𝑥 = −13 + 28 = 15⟺ • 𝑦 = −4 𝑥 =^;<

< = 3 donc 𝑺 = {(𝟑; −𝟒)}

Partie B : fonctions

Exercice B1 : on considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 1.

a) 𝑓(0) = 7 × 0 − 1 = −𝟏, 𝑓 :^;_„> = 7 ×^;_„− 1 = 1 − 1 = 𝟎, 𝑓 :_;d^?> = 7 ×_;d^? − 1 =^5;_;d− 1 =^?₅− 1 =^𝟏_𝟐 b) 𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 7𝑥 − 1 = 0 ⟺ 7𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 =^;_„ donc l’antécédent de 𝟎 est ^𝟏_𝟕.

c) 𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟺ 7𝑥 − 1 ≥ 0 ⟺ 7𝑥 ≥ 1 ⟺ 𝑥 ≥^;_„ donc 𝑺 = ~^𝟏_𝟕; +∞~

d) 𝑓 est de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝 avec 𝑚 = 7 et 𝑝 = −1 donc 𝑓 est affine.

Exercice B2 :

1) 𝐷_‡ = [−5; 3[

2) L’image de −2 est 0 et l’image de 1 est −6.

3) 𝑔(−3) = −2

4) −2 a quatre antécédents et −3 a trois antécédents.

5) 𝑆 = {−4,5; −3,5; −2; −1; 2}

6) 𝑆 = [−5; −4,5] ∪ [−3,5; −2] ∪ [−1; 2]

Exercice B3 :

1) La fonction ℎ semble paire car sa courbe représentative semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2) 𝐷_Œ = [−4; 4]

3) 𝑆 = {−2; 2}

4) 𝑆 = [−4; −3] ∪ {0} ∪ [3; 4]

Exercice B4 : soient 𝑓_;: 𝑥 ⟼ ^o_d^•−^mo_d + 1 et 𝑓₅: 𝑥 ⟼^o_?^{+^o_r−^?₅ 1) 𝑓_;(0) = 1 et 𝑓₅(0) = −^?₅.

2) Grâce à 1), la courbe violette correspond à 𝑓_; et la courbe rouge correspond à 𝑓₅. 3) 𝑓_;(𝑥) = 𝑓₅(𝑥) possède trois solutions.

4) Les courbes se coupent au point d’abscisse ^;=_? (en plus des points d’abscisses −3 et 1).

5) 𝑆 = [−3; 1] ∪ ~^;=

? ; +∞}

Exercice B5 :

𝑥 −5 −1 5

Variations de 𝑓 3

−1 −3

𝑥 −5 −3 0 2 4

Variations de 𝑓 0 2,5 2,5 −2 0

𝑥 −4 −3 5

Variations de 𝑓 −1 4

−2 𝑥 −6 −2 2 6

Variations de 𝑓 3 3

−3 −3

Exercice B6 : 𝑥 −15 −7 −3 8 15 21 22

Variations de 𝑓 4 7 3

0 0

2 −3

Signe de 𝑓(𝑥) + − + a)

b) 𝑆 = [−15; 8] ∪ [21; 22]

Exercice B7 :

1) a) Le domaine de définition 𝐷‡ de 𝑔 est [−1; 6]. V F

b) L’image de 0 par 𝑔 est 4. V F

c) 2,5 n’a pas d’image. V F

d) −3 < 𝑔(6) < −1. V F

e) L’équation 𝑔(𝑥) = 7 admet pour ensemble-solution 𝑆 = ∅ V F

f) L’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une unique solution. V F

2)

Exercice B8 :

Appelons 𝑚 ce coefficient directeur : 𝑚 =^{‘(=)j‘(?)}_=j? = ^„j;_=j?=_j?^r = −2 Exercice B9 :

𝑔 est de la forme 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝.

Or 𝑚 =^{‡(m)j‡(?)}_mj? = ^xjd_r =^d_r =⁵_? donc 𝑔(𝑥) =⁵_?𝑥 + 𝑝

De plus, 𝑔(3) = 4 donc ⁵_?× 3 + 𝑝 = 4 ⟺ 2 + 𝑝 = 3 ⟺ 𝑝 = 3 − 2 = 1 donc 𝑔(𝑥) =⁵_?𝑥 + 1 Exercice B10 :

Exercice B11 :

Sur le 1^er repère : la fonction bleue a pour expression 𝑥 ⟼ −2𝑥 − 1, la fonction jaune 𝑥 ⟼ −𝑥 + 1 et la fonction rouge 𝑥 ⟼ 𝑥 + 2

Sur le 2^ème repère : la fonction bleue a pour expression 𝑥 ⟼ ^;₅𝑥 − 3, la fonction jaune 𝑥 ⟼^;_?𝑥 + 1, la fonction rouge 𝑥 ⟼ −4 et la fonction verte 𝑥 ⟼ −2𝑥 + 3

Partie C : géométrie

Exercice C1 :

a) 𝑢“⃗ = 𝐷𝐸“““““⃗ = 𝐹𝐺“““““⃗ = 𝐾𝐽““““⃗ = 𝐻𝐼““““⃗ et 𝑣⃗ = 𝐻𝐺““““““⃗ = 𝐺𝐽““““⃗ = 𝐹𝐾“““““⃗.

b) 𝑃 et 𝑀 tels que 𝐺𝑃“““““⃗ = 𝑢“⃗ et 𝐶𝑀““““““⃗ = 𝑣⃗. c) 𝑁 tel que 𝐷𝑁““““““⃗ = 𝑢“⃗ + 𝑣⃗. d) 𝑂 tel que 𝐸𝑂“““““⃗ = 𝑢“⃗ − 𝑣⃗

Exercice C2 : grâce à la relation de Chasles et à la figure :

1) 𝐴𝐸“““““⃗ + 𝐸𝑂“““““⃗ = 𝐴𝑂“““““⃗ 2) 𝐴𝐷“““““⃗ + 𝐴𝐵“““““⃗ = 𝐴𝐵“““““⃗ + 𝐵𝐶“““““⃗ = 𝐴𝐶“““““⃗

3) 𝐴𝑂“““““⃗ + 𝐹𝐶“““““⃗ = 𝐴𝑂“““““⃗ + 𝑂𝐵“““““⃗ = 𝐴𝐵“““““⃗ 4) 𝐵𝐷““““““⃗ − 𝐵𝐶“““““⃗ = 𝐵𝐷““““““⃗ + 𝐶𝐵“““““⃗ = 𝐶𝐵“““““⃗ + 𝐵𝐷““““““⃗ = 𝐶𝐷“““““⃗

5) 𝐴𝐸“““““⃗ + 𝑂𝐹“““““⃗ + 𝐷𝑂““““““⃗ = 𝐴𝐸“““““⃗ + 𝐷𝑂““““““⃗ + 𝑂𝐹“““““⃗ = 𝐴𝐸“““““⃗ + 𝐷𝐹“““““⃗ = 𝐴𝐸“““““⃗ + 𝐸𝐵“““““⃗ = 𝐴𝐵“““““⃗

6) 𝑂𝐶“““““⃗ + 𝐵𝐴“““““⃗ − 𝑂𝐹“““““⃗ = 𝑂𝐶“““““⃗ + 𝐵𝐴“““““⃗ + 𝐹𝑂“““““⃗ = 𝐹𝑂“““““⃗ + 𝑂𝐶“““““⃗ + 𝐵𝐴“““““⃗ = 𝐹𝐶“““““⃗ + 𝐵𝐴“““““⃗ = 𝐹𝐶“““““⃗ + 𝐶𝐷“““““⃗ = 𝐹𝐷“““““⃗

7) 𝐴𝐵“““““⃗ + 𝐶𝐷“““““⃗ = 𝐴𝐵“““““⃗ + 𝐵𝐴“““““⃗ = 𝐴𝐴“““““⃗ = 0“⃗

8) 𝐴𝐶“““““⃗ + 𝑂𝐴“““““⃗ + 𝐹𝐴“““““⃗ = 𝑂𝐴“““““⃗ + 𝐹𝐴“““““⃗ + 𝐴𝐶“““““⃗ = 𝑂𝐴“““““⃗ + 𝐹𝐶“““““⃗ = 𝑂𝐴“““““⃗ + 𝐴𝐸“““““⃗ = 𝑂𝐸“““““⃗

Exercice C3 :

a) 𝐴𝐵“““““⃗ + 𝐵𝑀““““““⃗ = 𝐴𝑀““““““⃗ b) 𝐷𝐶“““““⃗ + 𝐶𝐷“““““⃗ = 𝐷𝐷““““““⃗ = 0“⃗ c) 𝑀𝑃““““““⃗ + 𝐴𝑀““““““⃗ = 𝐴𝑀““““““⃗ + 𝑀𝑃““““““⃗ = 𝐴𝑃“““““⃗

d) 𝐴𝐵“““““⃗ − 𝑃𝐵“““““⃗ = 𝐴𝐵“““““⃗ + 𝐵𝑃“““““⃗ = 𝐴𝑃“““““⃗ e) 𝐷𝐶“““““⃗ − 𝐷𝐶“““““⃗ = 𝐷𝐶“““““⃗ + 𝐶𝐷“““““⃗ = 𝐷𝐷““““““⃗ = 0“⃗

f) −𝑆𝐾“““““⃗ + 𝑀𝐾“““““““⃗ = 𝐾𝑆“““““⃗ + 𝑀𝐾“““““““⃗ = 𝑀𝐾“““““““⃗ + 𝐾𝑆“““““⃗ = 𝑀𝑆““““““⃗

Exercice C4 :

a) 𝐼 :^o˜™o₅ ^š;^›˜™›₅ ^š> donc 𝐼(3,5; 3,5). De même : 𝐽(0; 0,5), 𝐾(−1; −2,5) et 𝐿(2,5; 0,5).

b) 𝐼𝐽“““⃗ :𝑥_œ− 𝑥_•

𝑦_œ− 𝑦_•> donc 𝐼𝐽“““⃗ :−3,5−3 >. De plus, 𝐿𝐾“““““⃗ :𝑥_ž− 𝑥_Ÿ

𝑦_ž− 𝑦_Ÿ> donc 𝐿𝐾“““““⃗ :−3,5−3 >.

Comme 𝐿𝐾“““““⃗ = 𝐼𝐽“““⃗, alors 𝐼𝐽𝐾𝐿 est un parallélogramme.

Exercice C5 : a) 𝐾𝐿“““““⃗ :𝑥_Ÿ− 𝑥_ž

𝑦_Ÿ− 𝑦_ž> donc 𝐾𝐿“““““⃗ :6

8>. De même : 𝐾𝑀“““““““⃗ : 9 12>.

Or 𝑑𝑒𝑡 S𝐾𝐿“““““⃗; 𝐾𝑀“““““““⃗U = 6 × 12 − 8 × 9 = 72 − 72 = 0 donc 𝐾𝐿“““““⃗ et 𝐾𝑀“““““““⃗ sont colinéaires.

b) Ainsi, les points 𝐾, 𝐿 et 𝑀 sont alignés.

c) On a toujours donc 𝐾𝐿“““““⃗ :68>. De plus, donc 𝑀𝑁“““““““⃗ :𝑥_£− 𝑥_¤

𝑦_£− 𝑦_¤> c’est-à-dire 𝑀𝑁“““““““⃗ :69>.

Comme 𝑒𝑡 S𝐾𝐿“““““⃗; 𝑀𝑁“““““““⃗U = 6 × 9 − 8 × 6 = 54 − 48 = 6 ≠ 0, 𝐾𝐿“““““⃗ et 𝑀𝑁“““““““⃗ ne sont pas colinéaires, ce qui implique que les droites (𝐾𝐿) et (𝑀𝑁) ne sont pas parallèles.

Exercice C6 :

a) 𝐺𝐻 = ¥(𝑥_¦ − 𝑥_§)⁵ + (𝑦_¦ − 𝑦_§)⁵ = ¥(5 − 3)⁵+ (2 − 3)⁵ = ¥2⁵+ (−1)⁵ = √4 + 1 = √5.

b) 𝐻𝐼 = ¥(𝑥_• − 𝑥_¦)⁵ + (𝑦_•− 𝑦_¦)⁵ = ¥(0 − 5)⁵+ (−3 − 2)⁵ = ¥(−5)⁵+ (−5)⁵ = √25 + 25 = √50 𝐺𝐼 = ¥(𝑥_•− 𝑥_§)⁵+ (𝑦_•− 𝑦_§)⁵ = ¥(0 − 3)⁵+ (−3 − 3)⁵ = ¥(−3)⁵ + (−6)⁵ = √9 + 36 = √45 c) Dans le triangle 𝐺𝐻𝐼, on a :

• 𝐻𝐼⁵ = 50

• 𝐺𝐼⁵+ 𝐻𝐺⁵ = 5 + 45 = 50.

Comme 𝐻𝐼⁵ = 𝐻𝐺⁵ + 𝐺𝐼⁵, l’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle 𝐺𝐻𝐼 est rectangle en 𝐺.

Exercice C7 : a) 𝐴𝐵“““““⃗ :𝑥_©− 𝑥_ª

𝑦_©− 𝑦_ª> donc 𝐴𝐵“““““⃗ : 1−2> et 𝐴𝐶“““““⃗ :36>

b) 𝐶𝐷“““““⃗ «𝑥^¬− 4

𝑦_¬ − 5- donc 𝐴𝐵“““““⃗ = 𝐶𝐷“““““⃗ ⟺ • 𝑥^¬− 4 = 1

𝑦_¬− 5 = −2 ⟺ • 𝑥_¬ = 1 + 4 = 5

𝑦_¬ = −2 + 5 = 3 donc 𝐷(5; 3).

Exercice C8 :

(𝑑_;) est dirigée par 𝑢““““⃗ :1_;

2>, (𝑑₅) par 𝑢““““⃗ :0₅

1>, (𝑑_?) par 𝑢““““⃗ :5_?

2> et (𝑑_d) par 𝑢““““⃗ : 3_d

−1>.

Exercice C9 :

Exercice C10 : on considère la droite (∆) qui admet pour équation cartésienne 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 a) 𝑢“⃗ :−𝑏𝑎 > donc 𝑢“⃗ :23>

b) 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 ⟺ −2𝑦 = −3𝑥 − 1 ⟺ 𝑦 =^?₅𝑥 +^;₅

c) 3 × (−1) − 2 × (−1) + 1 = −3 + 2 + 1 = 0 donc 𝐴 ∈ (∆).

3 × 0 − 2 × :−^;₅> + 1 = 0 + 1 + 1 = 2 ≠ 0 donc 𝐵 ∉ (∆).

Exercice C11 :

𝑀(𝑥; 𝑦) ∈ (𝑑) ∩ (𝑑^·) ⟺ • 𝑦 =^;₅𝑥 + 6 𝑦 = −3𝑥 − 1⟺ •

;

5𝑥 + 6 = −3𝑥 − 1 𝑦 = −3𝑥 − 1 ⟺ •

;

5𝑥 + 3𝑥 = −6 − 1 𝑦 = −3𝑥 − 1 ⟺ •

„

5𝑥 = −7

𝑦 = −3𝑥 − 1⟺ • 𝑥 = −7 ×⁵_„= −2

𝑦 = −3 × (−2) − 1 = 6 − 1 = 5 Donc 𝑆 = {(−2; 5)} . Ainsi 𝑀(−2; 5)

Exercice C12 : déterminer une équation cartésienne de la droite (𝑑) passant par 𝑀(1; 3) dirigée par 𝑢“⃗ :−12 >.

𝑁(𝑥; 𝑦) ∈ (𝑑) ⟺ 𝑀𝑁“““““““⃗ «𝑥 − 1𝑦 − 3- et 𝑢“⃗ :−12 > colinéaires

⟺ det(𝑀𝑁“““““““⃗; 𝑢“⃗) = 0 ⟺ (𝑥 − 1) × 2 − (−1) × (𝑦 − 3) = 0 ⟺ (𝑥 − 1) × 2 − (−1) × (𝑦 − 3) = 0

⟺ 2𝑥 − 2 + 𝑦 − 3 = 0 ⟺ 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0