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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Wu, X. (1999). Etude et mise en oeuvre de différentes méthodes d'observateur d'état pour un simulateur de bioprocédé (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences appliquées, Bruxelles.

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D QE850

Université Libre de Bruxelles

Faculté des Sciences appliquées

Etude et mise en œuvre de différentes méthodes d’observateur d'état pour un simulateur de

bioprocédé

Travail de spécialisation, présenté sous la direction de Monsieur le Professeurs R.

H ANUS, en vue de l’obtention du grade de D.E.A. en Automatique

WU Xiaohong

Université Libre de Bruxelles

Faculté des Sciences appliquées

AUTORISEE

Consultation

INTERDITE

Signature :

Etude et mise en œuvre de différentes méthodes d'observateur d'état pour un simulateur de

bioprocéde

Travail de spécialisation, présenté sous la direction de Monsieur le Professeurs R.

HANUS, en vue de l’obtention du grade de D.E.A. en Automatique

WU Xiaohong

Année académique 1998-1999

A mes parents

REMERCIEMENTS

J’aurais bien aimé dédier personnellement mon travail à mes parents. Ils ont fait un sacrifice énorme le long de toutes mes études sans jamais cesser de m’adresser leur soutien le plus fort.

Je remercie sincèrement Monsieur le Professeur Raymond HANUS, le Directeur du Service d'Automatique, pour la supervision permanente de ce travail et les conseils judicieux dont il m’a fait bénéficier.

J'adresse également mes remerciements à Monsieur le Professeur Michel KINNAERT, pour ses conseils et ses remarques pertinentes.

J'exprime tout particulièrement ma gratitude à Monsieur Philippe BOGAERT, chercheur au Service d'Automatique, d'avoir accepté de diriger ce travail et de m'avoir adressé incessamment les suggestions les plus fructueuses.

Je remercie aussi Monsieur Lhoussaine EL BAHIR, Adrea HANOMOLO, Josephe YAME et Olivier LAMBIOTTE pour la discussion et la correction de l’orthographe de ce travail.

Je témoigne ma reconnaissance à toutes les personnes qui, de près ou de loin, ont contribué à la réalisation de ce travail.

Je n’oublierai jamais la compréhension et l’encouragement de

mon mari Lars.

Table des matières

INTRODUCTION 1

1 MODELISATION MATHEMATIQUE DES BIOPROCEDES 1

1.1 INTRODUCTION ... 1

1.2 NOTIONS DE MODELISATION ... 1

1.2.1 Définition de modèle ... 1

1.2.2 Types de modèles ... 2

1.2.3 Approches de la modélisation mathématique ...4

1.3 NOTIONS D'OBSERVATEUR ... 5

1.3.1 Introduction ... 5

1.3.2 Observateur linéaire d'ordre plein ... 6

1.3.3 Observateur non linaire ... 10

1.4 STRUCTURE GENERALE DE MODELISATION MATHEMATIQUE DES BIOPROCEDES ... 14

1.4.1 Notions de base des bioprocédés ... 14

1.4.2 Schéma réactionnel des bioprocédés ... 18

1.4.3 Modèle dynamique général ... 19

1.4.3.1 Equation d'évolution des composants du procédé ...19

1.4.3.2 Modèle matriciel ... 20

1.4.3.3 Modélisation du flux de sortie (sous forme gazeuse) ... 21

1.4.3.4 Modélisation du flux d'ajout de substrat externe ... 22

1.4.3.5 Modélisation de la vitesse de réaction ... 23

2 OBSERVATEUR D'ETAT POUR LES BIOPROCEDES 25 2.1 INTRODUCTION ...25

2.1.1 Les hypothèses générales sur les bioprocédés ... 25

2.1.2 L'observabilité ... 28

2.1.2.1 Observabilité exponentielle ... 29

2.1.2.1 Observateur asymptotique ... 30

2.2 FILTRE DE KALMAN ETENDU (CAS CONTINU-DISCRET) ... 30

2.2.1 Filtre de Kalman continu ...31

2.2.2 Filtre de Kalman continu-discret ... 35

2.2.3 Filtre de Kalman étendu (cas continu-discret) ... 36

2.3 OBSERVATEUR ASYMPTOTIQUE ... 39

2.4 OBSERVATEUR HYBRIDE ... 44

2.4.1 Principes de l'observateur hybride ...44

2.4.2 Equations de l'observateur hybride ... 45

2.4.3 Propriétés de l'observateur hybride ...50

3 SIMULATION ET RESULTATS 53 3.1 SIMULATION D'UN BIOPROCEDE ...53

3.2 LES EXPRESSIONS DES OBSERVATEURS POUR LE SIMULATEUR ... 56

3.2.1 Filtre de Kalman étendu ...56

3.2.2 Observateur asymptotique ... 58

3.2.3 Observateur hybride ... 59

3.3 COMPARAISON DES DIFFERENTS OBSERVATEURS ... 61

3.3.1 La convergence en fonction des valeurs initiales estimées ... 61

3.3.2 La convergence en fonction des valeurs du taux de dilution ... 65

3.3.3 La sensibilité aux bruits de mesures ...67

3.3.4 La robustesse vis-à-vis de l'incertitude du modèle ... 70

3.3.4.1 Introduction ... 70

3.3.4.2 La robustesse vis-à-vis de l'erreur sur les paramètres cinétiques ... 71

3.3.4.3 Le traitement numérique du problème du grand écart d'estimation pour l'observateur hybride ... 77

3.3.4.4 La robustesse vis-à-vis de l'erreur sur les coefficients de rendement ... 82

3.3.5 La facilité de la mise en oeuvre des trois observateurs ...85

4 CONCLUSIONS GENERALES 87

BIBLIOGRAPHIE 89

PROGRAMMES 94

Introduction

INTRODUCTION

Le développement de la commande automatique en biotechnologie est gêné par deux obstacles importants:

D'abord, puisque les bioprocédés contiennent des organismes vivants, leurs dynamiques sont souvent mal connues, fortement non linéaires et non permanentes.

La reproductibilité d'expérimentation n'est pas certaine. Les paramètres du modèle ne restent pas constants pendant une longue période à cause des variations métaboliques et des modifications physiologiques.

Une autre difficulté essentielle est liée à l'absence, dans la plupart des cas, de capteurs bon marché et fiables pour servir à commander le procédé en temps réel.

Actuellement, on trouve rarement sur le marché des capteurs qui peuvent fournir des mesures de variables biologiques (comme la concentration de biomasse ou de métabolite) fiables, directes et utilisables en ligne. Ces mesures sont indispensables pour réaliser une stratégie de réglage de haute performance.

Toutes ces difficultés motivent le développement des capteurs logiciels qui peuvent fournir des estimations de mesure (d’une manière continue) en temps réel, basées d'une part sur les signaux mesurés disponibles, et d'autre part sur un modèle mathématique du procédé. Ce sont des algorithmes qui s'appellent observateurs d'état. Ils peuvent donner une estimation d'état qui converge vers la vraie valeur de l’état du procédé.

En toute généralité, dans le domaine du réglage automatique, l'observateur d'état joue un rôle très important. L'observateur d'état pour les systèmes non linéaires est encore un sujet de recherche très vaste.

Le but de ce travail de spécialisation est de synthétiser différents types d'observateurs d'état et de les appliquer à un simulateur de bioprocédés. Le travail est organisé comme suit:

Dans le chapitre 1, nous introduisons certaines notions de base utilisées dans notre

travail, comme la notion de modélisation mathématique d'un procédé, la notion

d'observateur d'état, etc. Nous présentons aussi une structure générale de la

modélisation mathématique des bioprocédés.

Introduction

Un rappel sur l'observabilité exponentielle, l'observabilité asymptotique et les trois observateurs auxquels nous nous sommes intéressés, à savoir le filtre de Kalman étendu continu-discret, l'observateur asymptotique proposé par Bastin et Dochain et l'observateur hybride entre le filtre de Kalman étendu et l'observateur asymptotique est donné au chapitre 2 .

Dans le chapitre 3, nous appliquons ces trois observateurs à un simulateur de bioprocédés. Les performances (la convergence en fonction des valeurs initiales estimées et des valeurs du taux de dilution, la sensibilité au bruit de mesures) et la robustesse vis-à-vis de l'incertitude du modèle (la robustesse vis-à-vis des erreurs sur les paramètres cinétiques, la robustesse vis-à-vis des erreurs sur les paramètres des coefficients de rendement) de ces différentes méthodes sont comparées dans ce même chapitre. Nous étudions aussi quelques problèmes que nous avons constaté dans l’observateur de notre modèle de bioprocédé.

La conclusion générale est donnée au chapitre 4.

2

Çhapifrç I

____

1 MODELISATION MATHEMATIQUE DES BIOPROCEDES

1.1 INTRODUCTION

Dans toutes les disciplines de l'ingénieur, la modélisation tient une place prépondérante: la compréhension et l'amélioration de tout fonctionnement passent par cette phase. Dans le premier chapitre de ce mémoire, nous répondons d'abord à certaines questions qui permettent au lecteur de mieux comprendre ce travail de spécialisation. Par exemple: "Qu’est-ce qu’un modèleV, "Un modèle, pour quoi faire et comment faire!", " Qu'est-ce qu’un observateur d'état!", "Pourquoi construire un observateur d'état!", etc. Nous présentons ensuite une structure générale de modélisation mathématique des bioprocédés, proposée par Bastin et Dochain [1].

1.2 NOTIONS DE MODELISATION

1.2.1 DEFINITION DU MODELE

Selon Eykhoff [4], un modèle est une représentation des aspects essentiels d’un système existant (ou un système qui va être construit). Cette représentation des connaissances du système doit être sous une forme utilisable.

Selon cette définition du modèle, il faut faire certaines remarques:

• Le modèle n'a pas besoin d'être une description exacte d'un mécanisme du système. Il peut être un simulateur qui reproduit le comportement du système.

• Le modèle peut être matériel (instruments, appareils, etc.) ou logiciel (équations mathématiques, programmes, etc.)

• L’objet qu'on doit modéliser peut être soit un système existant, soit un système

qui va être construit.

.Chapitre 1

____

• Les connaissances sur le système doivent être présentées sous une forme utilisable. C'est un point essentiel car le modèle doit fournir des informations pour la future décision. Si le modèle est trop compliqué, son utilité devient douteuse. La simplicité relative est une caractéristique dominante pour la construction d'un modèle. Un modèle est une représentation de la réalité avec une complexité réduite.

Le but principal de construire un modèle peut être illustré comme suit:

• Pour des raisons de sécurité ou/et financières, il est peut être peu réaliste ou même impossible d'accomplir des expériences sur un vrai système. Donc on fait l'expérience sur le modèle du système.

• Nous nous intéressons à certains états physiques du système qui doivent être surveillés. Si ces états ne sont pas disponibles directement en utilisant les mesures, nous pouvons essayer de déduire leurs valeurs en utilisant un modèle.

L'observateur d'état est une des méthodes qui permet de déduire les états non mesurables.

• Le modèle peut être utilisé pour aider un opérateur à prendre des décisions. La décision peut être expérimentée sur un modèle avant de l'appliquer au système réel.

• Beaucoup de méthodes de réglage nécessitent un modèle du système, comme la commande prédictive, le placement de pôles, la commande optimale, etc.

• Le modèle peut servir de guide pour concevoir des expériences dans le futur.

En résumé, un modèle est utilisé pour concevoir, comprendre, prévoir et commander des systèmes.

Nous pouvons établir un modèle non seulement dans les domaines de l’ingénieur, mais également dans les domaines économiques, sociologiques, etc.

1.2.2 TYPES DE MODELES

Les modèles d’un système peuvent être de différents types, tels que:

2

ÇHopitrf I

____

A) Le modèle intuitif: Les comportements du procédé sont enregistrés directement dans le cerveau humain avec une forme non analytique. Ce type de modèle est utilisé, par exemple par un conducteur pour commander, d’une manière intuitive, sa voiture.

B) Le modèle physique: Il est un procédé réel avec une dimension d'échelle plus petite. Le but de développer le modèle physique est d'étudier le comportement d'un procédé réel sous une condition réaliste. Par exemple, la colonne de distillation d'un laboratoire, etc.

C) Le modèle mathématique: Il utilise des structures mathématiques pour caractériser le système. Le lien entre les différentes variables du système est décrit par une relation mathématique. Par exemple, les équations différentielles, les fonctions de transfert, les équations d’état, etc. Le modèle mathématique comprend aussi des représentations graphiques ou tableaux. Par exemple, la réponse impulsionnelle du système, la courbe de Bode, le lieu des racines, etc.

Dans le domaine du réglage automatique, ce sont les modèles mathématiques qui jouissent particulièrement d’un intérêt considérable. Une manière de caractériser mathématiquement le système est d'étudier la relation entre ses signaux d'entrée et ses signaux de sortie.

Perturbation v(t) Entrée

u(t)

Système

Sortie y(t) Figure 1. 1 Description schématique du système

Un système est conduit par les variables d’entrée u{t) et les perturbations v(f). On peut agir

sur les entrées u{t) mais pas sur les perturbations v(r). Les signaux de sortie y(f)

Chapilrç 1

---

fournissent des informations sur l’état du système. Le modèle décrit la dynamique' du système.

Les modèles mathématiques peuvent être classifiés en plusieurs catégories. La classification habituelle est donnée par le tableau 1.1 [5].

Modèle à une seule entrée et à une seule sortie (SISO)

Modèle à plusieurs entrées et plusieurs sorties (M/MO)

Modèle linéaire Modèle non linéaire

Modèle paramétrique Modèle non paramétrique

Modèle permanent Modèle évolutif

Modèle continu Modèle discret

Modèle temporel Modèle fréquentiel

Modèle déterministe Modèle stochastique

Modèle à paramètres localisés Modèle à paramètres répartis

Modèle implicite Modèle explicite

Etc. Etc.

Tableau 1.1 La classification habituelle du modèle mathématique

1.2.3 APPROCHES DE LA MODELISATION MATHEMATIQUE

La modélisation mathématique d’un système peut se faire principalement de deux façons différentes:

A) Modélisation théorique: Celle-ci conçoit une forme du système basée uniquement sur des connaissances a priori du système et des lois physiques, telles que la loi de Newton, la loi de la conservation de l’énergie, etc. Selon le niveau de description du procédé, il convient d'analyser toutes les conditions internes et externes du système et ensuite construire le modèle du système. Il n'utilise aucune mesure du système pour construire le modèle. Toutes les variables et constantes peuvent être interprétées dans

' Dynamique: La valeur instantanée de la variable considérée dépend des valeurs antérieures d'une ou de plusieurs variables [6].

4

Chapitre

/____

des termes physiques. Toutes les constantes doivent être connues a priori.

Evidemment cette approche n’est valable que pour des systèmes relativement simples.

B) Modélisation expérimentale: Celle-ci conçoit une forme de modèle basée entièrement sur des mesures prélevées sur le système. Aucune loi physique n’est utilisée pour la construction du modèle. La structure du modèle est choisie parmi des familles connues qui sont très flexibles et qui ont réussi dans des applications antérieures.

Cela veut dire que les paramètres du modèle n'ont pas de signification physique. On ajuste les paramètres du modèle uniquement pour qu'ils conviennent le mieux possible avec les mesures. On parle également d'identification.

Astrôm [7] considère la modélisation théorique comme un problème en "boîte transparente", la modélisation expérimentale comme un problème en "boîte noire". Il a aussi proposé une méthode mixte appelée "boîte grise", où l’on modélise la partie bien connue du système avec la méthode théorique, et le reste du système, de manière expérimentale.

1.3 NOTIONS D’OBSERVATEUR

1.3.1 INTRODUCTION

Dans le domaine du réglage automatique des systèmes, il est souvent souhaitable de connaître parfaitement les variables d'état. Celles-ci permettent de mettre en œuvre la commande basée sur une rétroaction d’état. On utilise notamment la commande optimale ou de la méthode de placement des pôles de la boucle fermée à des endroits préspécifiés afin d’assurer la stabilité ou d’améliorer certaines performances du système, etc. Tous les algorithmes de réglage basés sur la connaissance des variables d’état supposent que ces dernières sont entièrement mesurées; ce qui n’est pas le cas en général. D’où la nécessité de construire ce qu’on appelle un observateur d’état.

Considérons un système dynamique S{x,y,ü), où x, u, Qi y représentent respectivement

l’état, l’entrée et la sortie du système. Un observateur du système S est un système

dynamique S{x,y,u) ayant y et u comme entrées et x comme état (et sortie), i a la

propriété de converger vers l’état x du processus. On dit que x est une estimation de l’état x

du système.

Chapitre l

____

La conception d’un observateur pour un système linéaire permanent déterministe est introduit par Luenberger [ 8 , 9, 10]. Mais la notion de l’estimation d’état d’un système soumis à des perturbations stochastiques est introduit par Kalman au début des années soixante [11, 12, 13, 14]. Le fameux filtre de Kalman ouvrit une nouvelle phase dans le domaine d’automatique.

1.3.2 OBSERVATEUR LINEAIRE D’ORDRE PLEIN

Prenons un système linéaire, continu, décrit par la représentation en variables d’état suivante:

= A{t)x{t) + B{t)u{t) (l.l.a)

dt

y{t) =C(t)x{t) (l.l.b)

où

- jc(?) € ÎR" le vecteur des grandeurs d'état du système;

- M (f) e 91'” le vecteur des grandeurs d’entrée du système;

- j^(0e9l'

- A{t) - Bit) - Cit)

le vecteur des grandeurs de sortie du système. Supposons ces / grandeurs de sortie linéairement indépendantes;

la matrice de transfert du système, de dimension / î x « ; la matrice de commande du système, de dimension nxm;

la matrice de mesure du système, de dimension Ixn.

En général, la dimension l du vecteur des grandeurs de sortie y est souvent inférieure à la dimension n du vecteur des grandeur d’état x. C.à.d. que les variables d'état du système ne sont pas toutes directement accessibles par la mesure. Un observateur est alors utilisé pour construire ces variables d'état non mesurées, en se basant sur les mesures disponibles du système.

6

Chgpifrt

/____

Défînition 1.1 [ 15] Le système

^ = À{t)m+K{t)y{t)+H{t)u{t) (1.2)

dt

de dimension n, est un observateur d'ordre plein pour le système linéaire décrit par l'équation ( 1 . 1 ), si

implique

HÎ

) = J c (? o ) (1.3)

x{t) = x{t), V (1.4)

pour tout u{t), t>tQ.

où tg est l'instant initial de la prise des mesures. Notons que l'observateur a les mesures de u(t) et de^(r) du système comme entrées et x(t), l'état estimé, comme sortie. La stabilité de l’observateur ne dépend que de la matrice Â(t). Nous précisons aussi que les états d'un observateur ne dépendent que des mesures du passé, _y(t) < t ; non de celles du futur,

y(r) X >t.

L'observateur (1.2) est appelé observateur d'ordre plein parce que son état x(t) a la même dimension n que l'état jr du système décrit par l'équation (1.1). Il est possible de construire un observateur d'ordre réduit. La dimension des grandeurs d'état de cet observateur est égale à n-l (à condition que les / grandeurs de sortie du système soient linéairement indépendantes). Les références [10,15,16] illustrent les détails de cet observateur.

Les matrices A , K Qi H qui apparaissent dans l'équation (1.2) doivent être choisies pour se conformer à la propriété exigée de l'observateur, à savoir la convergence de son état x vers l'état

du système.

Pour déterminer ces matrices, nous définissons l'erreur d'estimation (ou l’erreur de reconstruction).

e{t) =x(t) -x(t) (1.5)

£bai2i(ri I

____

En introduisant les équations (1.1) et (1.2) dans l'équation (1.5), nous avons:

= A{t)x{t) +B{t)u(t) -À{t)[x(.t) K{jt)C(t)x{t) dt

( 1 . 6 )

= À{t)e{t) + {{A{t)-K{t)C{t)) -À{t)]x{t) + [B{t)-H{f)]u{t)

Donc pour que l'erreur d'estimation converge vers zéro quels que soit x{t) et u{t), il faut satisfaire les conditions suivantes:

Àit) = Ait)-Kit)Cit) (1.7)

II

( 1 . 8 )

Quand les conditions (1.7) et (1.8) sont satisfaites, l'erreur d'estimation est gouvernée par

— = À{t)e{t) dt

= {A{t)-K{t)C{t)]e{t) (1.9)

e{t) converge vers zéro, quand t^°°, pour tout e(fg), si et seulement si la matrice Ait) = A(t) - K{t)C(t) est une matrice stable.

En substituant les équations (1.7) et (1.8) dans l’équation (1.2), l’observateur peut être représenté par

= [Ait)-K(t)Cit)]x{t)+B{t)uit)+Kit)y{t) (1.10) dt

Nous voyons que la stabilité de l’observateur est déterminée uniquement par le comportement de la matrice Ait) -Kit)Cit). On appelle Kit) le gain matriciel de l’observateur.

En comparant les équations (1.9) et (1.10), nous soulignons que le comportement asymptotique de l’erreur de reconstruction et la stabilité de l’observateur dépendent du comportement de la matrice Ait) -Kit)Cit). Il est clair que l’erreur de reconstruction eit)

8

Chapitrt I

---

s'approche de zéro, quel que soit sa valeur initiale eit^), si et seulement si l’observateur est asymptotiquement stable.

En tenant compte de (1.1b) et (1.7) dans l’équation (1.10), l'équation d'état de l'observateur peut s'écrire:

——■ = Ait)x{t)+B{t)uit) + K{t)\y{t)-C{t)x{t)] (1.11) dt

Nous constatons que l’observateur comprend deux parties: le modèle du procédé, A{t)x{t) + B{t)u{t), et un terme proportionnel au gain matriciel, K{t)\y{t)-C{t)x{t)].

La quantité

r{t)=y{t) -C(t)Ht) ( 1 . 12 )

est souvent appelé le résidu {residual [Angl\). C'est la différence entre la vraie mesure_y(?) et l’observation

y{t)=C{t)x{t) (1.13)

produite par l’observateur. L’observateur peut être considéré comme un système en boucle fermée conçu pour conduire le résidu vers zéro.

Le problème fondamental de concevoir un observateur pour un système linéaire est de déterminer le gain matriciel K{t) approprié, pour t>tQ, qui assure la stabilité asymptotique de l’équation différentielle de l’erreur d’estimation (1.9). Pour un système continu linéaire permanent, K est constant. On peut considérer les valeurs propres A

A-KC comme des pôles de l’observateur. Les pôles de l’observateur peuvent être placés arbitrairement dans le plan complexe par un choix approprié du gain matriciel K, si et seulement si le système est complètement observable'. L’observateur peut être asymptotiquement stable par un choix approprié du gain matriciel K, si et seulement si le système est détectable^.

' Un état

:(

,) d’un système est dit observable, s’il est possible d’évaluer cet état de manière univoque, connaissant les trajectoires d’entrée

(

) et de sortie y(x) sur un intervalle fini

système est observable, on dit que le système est observable. La notion d'observabilité est introduite par Kalman et al. [17],

^ Un système linaire permanent décrit par l’équation (1.1) (les matrices>1, B, C sont constantes) est détectable si

le sous-espace inobservable est dans le sous-espace stable [18,15].

Chapitre

/____

Une manière intuitive de choisir le gain matriciel, K, qui assure une performance satisfaisante d'un observateur, notamment la convergence rapide de l'erreur de reconstruction vers zéro consiste à choisir K tel que les pôles de l'observateur soient situés dans le demi

mesure. Le filtre de Kalman est une solution optimale qui tient compte de tous les aspects stochastiques de ce problème. C'est un des objets du chapitre suivant.

1.3.3 OBSERVATEUR NON LINEAIRE

La construction d'observateurs pour un système non linéaire est un sujet très intéressant.

Plusieurs auteurs poursuivent leurs recherches dans ce domaine, comme Thau [19], Kou et al. [20], Isidori [21], Keller [22], Hammouri et De Leon [23], Gauthier a/. [24,..., 26].

Un observateur pour un système dynamique tel que (dans la suits de cette section, pour simplifier les notations, nous n’indiquons plus les dépendances temporelles, t,)

est un système ayant comme grandeurs d’entrée l’entrée u et la sortie_y du système et dont la grandeur d’état x est telle que la variable

plan gauche le plus loin possible de l'axe imaginaire (cas du système continu), ce qui revient à choisir le K le plus grand possible. Mais celui-ci rend l'observateur très sensible au bruit de

(1.14.a)

y =g(x,u) (1.14.b)

e = x-x (1.15)

dite erreur d’estimation d’état, converge vers zéro quand t .

Une manière d’obtenir un observateur d'état pour un système non linéaire est d’imiter la procédure utilisée pour un système linéaire. L'observateur contient une partie du modèle du système et une partie dépendante du résidu

r=y-y=y-g{x,u) (1.16)

10

Çhopitre ]

---

L’équation d’observateur est

— = f{x,u) +x {y-g{x,u) ) dx dt

= f{x,u)+yt{r) (1.17)

où x(r) est une fonction non linéaire adéquate. La figure 1.2 illustre la structure générale d’un observateur non linéaire.

Figure 1.2 La structure d'un observateur non linéaire

L’équation différentielle de l’erreur e peut être utilisée pour étudier le comportement de l’observateur. Cette équation est donnée par

de _dx dx dt dt dt

= f {x,u) - f {x,u)-'K{g{x,u)-g{x,u) )

=f {x,u) - f {x - e,u) +%{g{x - e,u) - g{x,u)) (1.18)

ÇhapUn

/____

Supposons que, par un choix convenable de la fonction x(r), le système (1.18) peut être rendu asymptotiquement stable. Donc l’état d’équilibre est atteint quand

de

~dt

=

0

Au point d’équilibre, l’équation (1.18) devient

(1.19)

0 = f{x,u)-f{x-e,u) +'K(gix-e,u)-g{x,u) ) ( 1 . 20 ) quels que soient jc et m . Il est évident que e = 0 est un état d’équilibre de l’équation (1.18).

Ceci implique que si x (r) peut être choisi pour réaliser la stabilité asymptotique à l’origine de l’équation (1.18), alors l’erreur d’estimation converge vers zéro.

Il est important de comprendre que le membre de droite de l’équation (1.20) devient nul indépendamment de x et m seulement si les fonctions non linéaires, /(*,•) et g(’,’) utilisées dans l’observateur sont exactement les mêmes que dans les équations (1.14), définissant le système. Si cette hypothèse n'est pas vérifiée, le membre de droite de l’équation ( 1 . 20 ) n'est pas tout à fait nul, ce qui conduit à des erreurs d’astatisme dans l’estimation de l'état du système. On sait que tous les modèles mathématiques d'un procédé réel ne sont qu’une approximation de la réalité. Ce qui fait qu’en pratique, les erreurs d'astatisme, telle que lime(r), ne sont pas tout à fait nulles. Cependant, des valeurs

f_>oo

acceptables de ces dernières sont obtenues en utilisant un modèle qui donne une bonne approximation du système.

La fonction x (r) doit être choisie pour assurer la stabilité asymptotique à l’origine (e = 0 dans l’équation (1.20)). Selon la première méthode de Lyapounov [27], le système (1.18) est asymptotiquement stable à l'origine, si la matrice jacobienne du système (par rapport aux états), évaluée à l’état équilibre, correspond à un système linéaire asymptotiquement stable, la matrice jacobienne évaluée en e = 0 (c.à.d. x = x) est donnée par

A = K

dx ^-X dx 1 . 21 )

Cette équation est équivalente à l'équation

A^=A-KC ( 1 . 22 )

12

Çhapifrt l

---

du cas linéaire. A Qi C sont respectivement les matrices de transfert et de mesure du système linéaire. Le problème du choix du gain matriciel d’un observateur non linéaire est analogue au cas de l’observateur linéaire, mais plus compliqué de par la présence de la nonlinéarité.

En effet, les matrices (1.21) dépendent de l’état x du système, et sont donc évolutives. La stabilité de l’observateur ne peut pas être déterminée rigoureusement par les valeurs propres de A^.

Pour construire un observateur, on fait l'hypothèse que le système est observable. Il faut au moins que le système soit détectable. Pour un système linéaire, l’observabilité est indépendante de la grandeur d'entrée u du système. Pour le système non linéaire, ce n'est pas toujours vrai. En général le système non linéaire a des grandeurs d'entrées singulières qui le rendent inobservable. Quand la grandeur d'entrée est égale à cette "mauvaise entrée", l'observation devient impossible. Quand la grandeur d'entrée s’approche de cette "mauvaise entrée", l'observation devient de plus en plus difficile. Donc l’observabilité du système non linéaire dépend de la grandeur d’entrée «. On constate que pour certaines entrées appliquées au système, l’observateur ne converge pas vers les bonnes valeurs. Les références [24] - [31]

donnent plus de détails sur l'observabilité des systèmes non linéaires.

Néanmoins les techniques utilisées pour choisir le gain d’un observateur linéaire peuvent être adaptées pour un observateur non linéaire. Les deux méthodes les plus employées sont:

1. la méthode de placement de pôles. [1, 21, 22, 32 - 36];

2. la méthode du filtre de Kalman étendu [1, 28, 37, 38].

Une autre méthode a été proposée par Gauthier étal. [25, 26], la méthode des observateurs à grand gain {high gain méthodes [Ang]). Cette méthode est basée sur l’hypothèse que le système est uniformément' observable pour toutes les entrées u. La garantie de convergence exponentielle de l’observateur est assurée par le choix d’un grand gain [25, 26, 39, ..., 42].

La comparaison de trois méthodes (linéarisation globale, linéarisation locale, méthode de grand gain), de point vue de la performance et de la robustesse, est donnée dans [43, 44].

Toutes les méthodes pour construire des observateurs non linéaires mentionnées jusqu’à présent ont un paramètre d’ajustement pour régler la vitesse de convergence. Mais le grand défaut de ces méthodes est qu’elles sont basées sur des modèles du système, donc les résultats d’estimation dépendent fortement de la qualité de ces derniers.

‘ Le sens de l'observabilité uniforme est que l'état initial d'un système peut être reconstruit en se basant sur les

mesures antérieures de la grandeur de sortie et les {n-1) premières dérivées de la grandeur de sortie.

Çhapifrt i

____

Bastin et Dochain ont présenté une autre méthode pour construire un observateur non linéaire pour les bioprocédés [1]. Il s’agit de l’observateur asymptotique. Dans cette méthode on n’a pas besoin de modèle cinétique du bioprocédé qui par ailleurs est souvent mal connu.

La vitesse de la convergence est déterminée entièrement par les conditions expérimentales en l’occurrence le taux de dilution) et il n’y a pas de paramètre d’ajustement. L’observateur asymptotique est présentée au chapitre suivant.

1.4 STRUCTURE GENERALE DE MODELISATION MATHEMATIQUE DES BIOPROCEDES

Dans cette section, nous présentons la méthodologie pour la modélisation des bioprocédés proposée par Bastin et Dochain [1]. On divise cette section en trois sous-sections. Dans la première partie nous expliquons les notions de base des bioprocédés. La deuxième partie introduit le concept de schéma réactionnel des bioprocédés. Et la troisième partie définit le modèle dynamique général des bioprocédés.

1.4.1 NOTIONS DE BASE DES BIOPROCEDES

Essentiellement, un bioréacteur est un réservoir dans lequel certaines réactions biologiques ont lieu simultanément dans une même culture. Un diagramme schématique d’un bioréacteur est donné par la figure 1.3. Les réactions biologiques concernées dans le processus peuvent être classées en deux catégories:

1 . les réactions de croissance microbienne (on fait souvent allusion aux réactions micro-biologiques)

2 . les réactions catalysées par des enzymes (on les appelle aussi les réactions biochimiques ou les biotransformations).

14

£bapiLr( l

____

F._oui

V do

s, X

s, X

Figure 1.3 Représentation d'un bioréacteur

Dans certaines conditions expérimentales (température, pH, etc.) favorables, les micro­

organismes (bactéries, levures, etc.) croissent en consommant les substrats adéquats (glucose, glucide, azote, oxygène, etc.). L’ensemble des micro-organismes vivants ou des cellules vivantes est appelée biomasse.

Souvent dans un bioréacteur, le procédé est supposé dans des conditions complètement mélangées. Ceci implique que les constituants de culture sont homogènes dans le réacteur.

En introduisant la définition du taux de dilution

le comportement dynamique d’une population de micro-organismes peut être exprimé par les équations (1.24), qui sont obtenues directement par un bilan massique.

équation du bilan massique en biomasse

D = ^ (1.23)

dX ,

- = (p-D)Z (1.24.a)

équation du bilan massique en substrat

(1.24.b)

£h<mtn 1

---

équation de la variation de volume

---=F. -F =DV-F dV dt OUt ^ O ^(1.24.C)

où

- X la concentration en biomasse dans le réacteur et le fluide de sortie;

-S la concentration en substrat dans le réacteur et le fluide de sortie;

- la concentration en substrat dans le fluide d’entrée;

- F.^ le débit du fluide d’entrée;

- le débit du fluide de sortie;

- H la vitesse spécifique de croissance de la biomasse;

- un coefficient de rendement du substrat consommé par la biomasse;

- V le volume de culture.

Notons qu’en réalité, la situation envisagée dans les applications de fermentation est beaucoup plus compliquée que celle décrite par le modèle dynamique de base dans les équations (1.24). Plusieurs réactions biochimiques et micro-biologiques peuvent coexister dans le bioréacteur. Chacune d’elle peut contenir certains substrats limitants et certains produits de réaction (parfois appelés des métabolites). Dans ces cas, d'autres équations dynamiques doivent être introduites pour que la description dynamique du processus soit plus complète. Nous allons introduire un modèle général dans le §1.4.3 qui peut décrire la complexité du processus pour une grande variété d’applications. Voir [1] pour plus des détails.

La seule hypothèse du modèle (1.24) est que le terme de croissance de la biomasse ([ j Z) et le terme de consommation du substrat {-k^ ) sont proportionnels à la concentration de la biomasse X. Cette hypothèse ayant déjà été validée plusieurs fois, on l’acceptera communément.

Nous décrivons ici trois cas particuliers de conditions expérimentales: opérations discontinues {"batch" [Ang.]), opérations semi-continues {"fed-batch" [Ang.]) et opérations continues.

16

Chapitre l Modélisation Malhémalique Des Bioprocédés

Le réacteur discontinu {batch reactor [ Ang.\)

Un réacteur discontinu est un réacteur sans flux d’entrée ni flux de sortie

(1.25) Aucun substrat externe n'est introduit pendant la fermentation. Le volume de la culture est constant et le modèle dynamique est donné par l’équation (1.24) avec

Le substrat est ajouté progressivement pendant la fermentation. Le modèle dynamique est donné par l’équation (1.24) avec = 0.

• Le réacteur continu (continous stirred tank reactor [ Ang.\)

Le réacteur est rempli continuellement avec le fluide d’entrée de substrat. La vitesse du fluide de sortie est égale à la vitesse du fluide d’entrée et le volume de culture reste constant:

£> = 0 .

Le réacteur semi-continu ifed-bach reactor [Ang.\)

Un réacteur semi-continu est un réacteur sans flux de sortie

(1.26)

(1.27)

(1.28)

Le modèle dynamique est donné par l’équation (1.24) avec:

F (1.29)

£bapJLrf {

____

1.4.2 SCHEMA REACTIONNEL DES BIOPROCEDES

Un procédé biotechnologique est une série de m réactions contenant n composants. Chaque réaction (réaction irréversible ou réaction catalytique') peut être représentée de la façon suivante:

(1.30)

où et h,J sont des composants de la réaction, appelés respectivement réactifs et produits. 9 est la vitesse de la réaction, c.à.d. la vitesse de consommation des réactifs, qui est égale à la vitesse de formation des produits.

Dans le cas d’une réaction autocatalytique, un produit est un catalyseur de sa propre production, une telle réaction est décrite de la façon suivante;

(1-31)

La flèche en rétroaction veut dire que est un autocatalyseur. Il ne peut pas être consommé par la réaction, mais il peut être accumulé par la réaction et il active celle-ci.

Les commentaires importants suivants nous aideront à avoir une meilleure compréhension de la notion de schéma réactionnel.

• Le schéma réactionnel ne précise pas les rapports stochiométriques entre les composants, par opposition aux réactions chimiques classiques.

• Les composants du schéma réactionnel sont essentiellement de quatre types:

- les micro-organismes les enzymes

- les substrats externes (c.à.d. les substrats qui sont introduits de l'extérieur dans le réacteur)

' Une réaction catalytique est une réaction dans laquelle un composant (appelé catalyseur) apparaît dans les deux membres du schéma de réaction. C’est-à-dire que le catalyseur est supposé être consommé et produit simultanément avec une même vitesse dans la réaction. De cette manière, ce composant reste continuellement en équilibre.

18

Chamin 1

____

les produits / les substrats intérieurs {Le. les composants qui sont produits par une réaction et peuvent être des substrats d’une autre réaction).

Néanmoins, s’il existe d'autres composants qui sont utiles, d’un point de vue d’ingénierie, ces derniers peuvent être compris dans le schéma réactionnel (par exemple, le composant utilisé pour régler le pH d’une réaction).

• Le schéma réactionnel d’un bioprocédé est un outil pour déduire un modèle dynamique des processus et pour résoudre des problèmes d’ingénierie. Il n’est jamais une description complète des processus. Par exemple, les produits d’une réaction qui ne sont pas des substrats des autres réactions et qui ne sont pas intéressants pour les utilisateurs peuvent être omis. Par conséquent, le schéma réactionnel peut ne pas être cohérent avec la loi de la conservation de masse, mais cela ne pose généralement pas de problème dans les applications de l’ingénieur.

Une fois le schéma réactionnel établi, le modèle dynamique d’un bioprocédé peut être construit systématiquement.

1.4.3 MODELE DYNAMIQUE GENERAL

Dans cette section nous présentons un modèle général décrivant les procédés biologiques.

Pour simplifier la présentation, nous utilisons la même notation pour dénoter un composant et la concentration du composant en phase liquide dans un bioréacteur.

1.4.3.1 EQUATION D’EVOLUTION DES COMPOSANTS DU PROCEDE

Selon le schéma réactionnel du bioprocédé étudié, un modèle dynamique général relatif aux n composants (i = !,•••,n) intervenant dans les m réactions (y = 1 ,•••,/«), peut être décrit systématiquement suivant:

dt -DÇ, (1.32)

ÇHapitrç I

---

OÙ

- J ' i signifie que la somme est limitée aux réactions d’indice j où apparaît le composant d’indice i ;

- (Py représente la cinétique de réaction;

- k-j sont les coefficients de rendement. Ils portent le signe quand est un réactif (c.à.d. quand il apparaît dans la partie de gauche du schéma réactionnel) et le signe "+" quand est un produit de réaction (c.à.d.

quand il apparaît dans la partie droite du schéma réactionnel);

- D est le taux de dilution;

■ ^outi flux de sortie du composant sous forme gazeuse;

- est le flux d’ajout du composant s’il est un substrat externe, sinon = 0 .

1.4.3.2 MODELE MATRICIEL

En introduisant les notations matricielles suivantes:

(1.33.a) (1.33.b)

^out ^outl ’ * ^outn ]

(1.33.C)

(1.33.d)

K = [AT,.,.

matrice avec

=

•J V

(1.33.e)

20

Çhapitn l

---

nous obtenons un modèle des bioprocédés sous une forme matricielle:

^ = /C(p(|,()-û|-G_(g) + /v.

at (1.34)

C'est une équation non linéaire dans espace d’état, dans laquelle le terme K^%,t) représente les cinétiques des réactions biochimiques et micro-biologiques qui ont lieu dans le procédé, et les termes -(|) + représentent la dynamique du transport de composants qui sortent ou entrent dans le bioréacteur.

Nous introduisons les notations (p(^,t) et pour souligner que cp et (parfois même peuvent être variables au cours du temps et peuvent dépendre des états § du procédé. La modélisation des , F.^ et (p(§,r) est le sujet des sections suivantes.

1.4.3.3 MODELISATION DU FLUX DE SOTIE (SOUS FORME GAZEUSE)

Gouti représente le flux de sortie du composant sous forme gazeuse qui est soluble dans la phase liquide et devient gazeux sous la pression atmosphérique. Si la concentration du composant est inférieure au niveau de saturation pendent toute la période de réaction, si nous négligeons les dynamiques de transfert entre la phase liquide et la phase gazeuse, nous supposons naturellement que le flux de sortie G^^,. sous forme gazeuse est proportionnel à la concentration dans la phase liquide.

^outi = (1.35)

avec

jO ^ |3,

(1.36)

où (3, est la vitesse spécifique de transfert entre liquide et gaz, est la concentration de

saturation de g,.

Chapitre I

____

En définissant la matrice B\

B=diag{Ç>f}

le modèle dynamique général (1.34) peut s’écrire:

at

(1.37)

(1.38)

1.4.3.4 MODELISATION DU FLUX D’AJOUT DE SUBSTRAT EXTERNE

F.^i représente le flux d’ajout du composant qui est un substrat externe introduit dans le réacteur. Les différentes formes de substrat (liquides ou gazeuses) et les différentes manières de l'introduire dans le réacteur (substrat dilué d’abord dans l’eau avant de l’introduire dans le réacteur ou substrat introduit directement dans le réacteur) mènent aux différentes méthodes de modéliser le flux d’ajout. Dans le cas où le substrat externe sous forme liquide et dilué d’abord dans l’eau, le flux d’ajout est proportionnel à la concentration du substrat dans le fluide d’entrée. Le coefficient de proportionnalité est le taux de dilution D. Donc peut être modélisé comme suit:

(1.39)

OÙ 5. dénote la concentration en substrat dans le fluide d’entrée.

Quand tous les substrats externes sont sous forme liquide, nous pouvons définir un vecteur:

«-40)

l’équation (1.39) devient

F =DS

(1.41)

22

Çhapifr?

/____

Le modèle dynamique général (1.34) peut s'écrire:

-^ = Kt%.t)-Dk-G„%)+DS„

at (1.42)

1.4.3.5 MODELISATION DE LA VITESSE DE REACTION

Souvent la vitesse de réaction cpy(^,t) est une fonction très complexe des conditions

vaste sujet de recherche. Bastin et Dochain proposent l’utilisation d’une vitesse spécifique de réaction (§,?), qui est une fonction du temps et de la concentration des composants. On peut décomposer chaque vitesse de réaction en deux facteurs: le premier est la vitesse spécifique de réaction aj%,t) et le second est le produit des concentrations de tous les composants activant la réaction (réactifs, catalyseurs, autocatalyseurs). Le modèle cinétique peut donc être structuré comme suit:

réactifs, catalyseurs, autocatalyseurs dans la réaction y. La vitesse spécifique de réaction aj%,t) doit être une fonction bornée pour des raisons de rigueur mathématique. Cette structure nous assure que la vitesse d’une réaction s’annule lorsque la concentration en l’un de ses réactifs (ou catalyseurs, ou autocatalyseur) s'annule.

En introduisant la forme vectorielle

expérimentales et des variables d’état. Le modèle analytique de cette fonction est encore un

(1.43.a)

0 <a^.d, 0 <a„,, (1.43.b)

La notion n ^ j signifie que la multiplication est faite sur toutes les concentrations des

=[a,,a2,---,aj (1.44.a)

ÇhapUr^ I

____

et la matrice G % )

G(^)= diag

( \ n§. )

(1.44.b)

le modèle dynamique général (1.34) s’exprime par

Qhapifrç 2

____

2 OBSERVATEURS D’ETAT POUR LES BIOPROCEDES

On sait que pour suivre et régler des bioprocédés en temps réel, il faut avoir des mesures des concentrations en les différents constituants. Pour obtenir ces mesures à l’aide de capteurs matériels, on est confronté à un certain nombre de problèmes:

• Les capteurs utilisés pour les bioprocédés sont très coûteux et peu fiables dans la plupart des cas.

• Les capteurs doivent être stérilisés.

• Les techniques de mesure sont souvent destructives.

• Les capteurs peuvent dégrader les propriétés hydrodynamiques du bioréacteur.

• Les mesures sont souvent obtenues sous forme d’échantillons peu fréquents avec une analyse de très longue durée.

Avec tous les problèmes mentionnés ici, nous voyons clairement l’intérêt d’utiliser des capteurs logiciels qui donnent des estimations continues en ligne, basées d’une part sur des signaux mesurés et d’autre part sur des modèles mathématiques du système. Cet algorithme s’appelle l’observateur d’état, introduit dans le chapitre précédent.

Parmi toutes les méthodes pour construire un observateur d’état non linéaire pour les bioprocédés, nous décrivons trois méthodes dans ce chapitre: le filtre de Kalman étendu (cas continu-discret), l’observateur asymptotique de Bastin et Dochain et l’observateur hybride (entre le filtre de Kalman étendu et l'observateur asymptotique).

2.1 INTRODUCTION

2.1.1 LES HYPOTHESES GENERALES SUR LES BIOPROCEDES

Soit le modèle général des bioprocédés

Chapitre 2

____

( 2 . 1 )

OÙ

- ^eDl" le vecteur des variables d’état qui sont les concentrations des n composants dans les schémas réactionnel;

- la matrice des coefficients de rendement;

- cp(?)eD{'" le vecteur des vitesses de réaction; nous supposons qu'il ne dépend pas explicitement du temps f, donc cp(^,f) =q)(^) ; - Z)eDl le taux de dilution;

le vecteur des flux de sortie sous forme gazeuse; nous faisons l'hypothèse que les flux de sortie sous forme gazeuse sont mesurés;

- Fin e 31" le vecteur des flux d’ajout de substrats externes.

Supposons que

1. le taux de dilution D, les flux d’ajout de substrats externes F.^ et les flux de sortie sous forme gazeuse, , sont connus à tout instant

2 . certaines concentrations sont mesurées; le vecteur des concentrations § € DI" se décompose en une partie mesurée e Dl^ et une partie non mesurée I 2 ^

1 = ( 2 . 2 )

|,=CÇ=[/, (2.3)

OÙ C 6 D^'’^ est la matrice de mesure, I, e Dl^^ est la matrice identité et 0 , e est la matrice nulle;

26

Chapifrf 2

____

3. les concentrations mesurées sont obtenues sous forme d’échantillons y{t^) :

yitt)=^iUic)+eitt) (2.4)

e {t,^ ) est le bruit de mesure, supposé blanc (échantillons non corrélés entre eux) et distribuée selon une gaussienne de moyenne nulle et de matrice de covariance

Rit,)>0,

£’[E(t,)] = 0 \fk (2.5)

=ô, (2.6)

où ô,- est un indice de Kronecker

/ = 0

i^O (2.7)

O P U

^) est la variance de lapème mesure à l’instant .

4. il n’y a pas de bruits sur l’état.

Notre but est de synthétiser des algorithmes d’observateur pour reconstruire les variables d’état non mesurées, §2 » temps continu, en se basant d’une part sur les échantillons de mesure, yit^), qui sont entachés d'erreurs et d'autre part, sur le modèle général du bioprocédé (2.1). Les principales difficultés sont:

1 . le modèle cinétique du procédé cp(Ç) qui est fortement non linéaire et très difficile à modéliser;

2 . les mesures, qui ne sont disponibles que dans forme d'échantillons y{t,^),

l’observateur devant quant à lui donner une estimation d’état en temps continu.

.Qwpitrç 2

____

2.1.2 L’OBSERVABILITE

Dans le §1.3.3, nous avons présenté une manière de construire un observateur pour un système non linéaire. Elle consiste à imiter la procédure utilisée pour un système linéaire.

Récrivons l'équation (1.17)

— = f{x,u) +x (y-g{x,u) ) dt

= /(i,«)+x(r) (2.8)=(1.17)

L'équation (2.8) peut être interprétée comme une copie du modèle f{x,u) en ajoutant un terme lié aux résidus y-g{x,u). Celui-ci disparaît en cas d’estimation parfaite. Si le deuxième terme de l'équation ( 2 . 8 ) est proportionnel aux résidus, nous avons

'K{y-g{x,u))=')i{x)[y-g(x,u)\ (2.9)

L'équation d'observateur d'état (2.8) devient

— = f{x,u)+n{x)\y-g{x,u)] dx ( 2 . 10 ) dt

En utilisant l'équation (2.10) dans le cas d'un bioprocédé décrit par les équations (2.1) et (2.4), l'estimation d'état de ce bioprocédè peut être fournie par

^ = AT(p(|)-D|-G„ ^■F^ +x(|)È, - 1,1 ( 2 . 11 ) dt

Nous voyons dans l'équation (2.11) que, à part K (§), tous les termes sont liés soit au modèle du système, soit effectués sur le système. Donc le problème de construire un observateur d'état pour un bioprocédé revient à choisir un gain matriciel % (^ ) raisonnable. Pour résoudre ce problème nous introduisons l’erreur d’estimation

e=^-i ( 2 . 12 )

28

Chwilrt 2

____

L’équation différentielle de l'erreur d'estimation est

de «

— = /:[(pt+e)-(pd)]-Z)e-x(5)Ce (2.13)

dt

Nous remarquons que e = 0 est un point d’équilibre du système (2.13). Si nous linéarisons ce modèle autour de l’état d’équilibre e = 0, comme dans le §1.3.3, nous avons

— = [A%)-K(^)C]e de (2.14.a)

dt avec

(2.14.b)

Nous devons déterminer un gain matriciel x(|) adéquat tel que le modèle linéarisé (2.14) possède les propriétés souhaitables, notamment une erreur d'estimation asymptotiquement nulle, pour t .

2.1.2.1 OBSERVABILITE EXPONENTIELLE

Au sein de la forme particulière (2.14.a) de la dynamique de l'erreur d'estimation, il est souhaitable de pouvoir fixer arbitrairement la vitesse de convergence de l'estimation d'état

§ (f) vers la vraie valeur de l'état § (t), en fixant librement les valeurs propres de la matrice [ A(^) - X (§)C ], par un choix adéquat de la matrice x (|). Si cette possibilité existe, on dit que le système ( 2 . 1 ) est exponentiellement observable et l'observateur ( 2 . 11 ) est un observateur exponentiel.

Une condition nécessaire pour que le système soit exponentiellement observable est que la

condition suivante soit remplie:

.Çhppifr^ 2

---

c CAii) rang [0\ = rang CA%)

(2.15)

= n

avec

(2.16)

où n est la dimension de l’état. O est la matrice d’observabilité. Il est important de remarquer que la condition (2.15) est une condition nécessaire, mais pas suffisante, de l'observabilité exponentielle.

2.1.2.2 OBSERVATEUR ASYMPTOTIQUE

Quand le système (2.1) n’est pas exponentiellement observable (c.à.d. quand les valeurs propres de la matrice A(§) - x (^)C ne peuvent pas être fixées arbitrairement) et que l'erreur (2.14.a) admet pourtant un point d'équilibre asymptotiquement stable en e=0, le procédé peut être observable, mais ses dynamiques sont partiellement déterminées par les conditions expérimentales via la matrice A(Ç). Les observateurs de ce type sont appelés observateurs asymptotiques [ 1 ].

2.2 FILTRE DE KALMAN ETENDU (CAS CONTINU - DISCRET)

Dans ce paragraphe, nous présentons successivement le filtre de Kalman continu, le filtre de Kalman continu-discret et le filtre de Kalman étendu continu-discret d’un biopocédé.

30

ChajPitrf 2

____

2.2.1 FILTRE DE KALMAN CONTINU

Prenons le système linéaire continu suivant:

= Ait)x{t) + B{t)u(t) + N {t)w{t) (2.17.a) dt

t >to

y{t)=C{t)x{t)+e{t) (2.17.b)

où

x(f)eîR", «(f)eîR'”, sont respectivement les états, les entrées déterministes et les mesures du système;

A(t), B(f), Cif), N(t) sont des matrices de dimensions appropriées;

w(^) € 91'’ est le bruit d’état (on l’appelle aussi le bruit du processus), supposé blanc, de moyenne nulle et de covariance lF(t) > 0 ;

e (t) e 'ÜH' est le bruit de mesure, supposé blanc, de moyenne nulle et de covariance R(f) >0; cela signifie que toutes les composantes des mesures sont entachées d’erreur. On dit aussi que le problème est non singulier.

supposons que le vecteur [w^ (t),e^ (r)] est un bruit blanc de covariance

V(t) = W(t) YL^t)

V^it)

Rit) (2.18)

et que w(t) et e (t) sont non corrélés, c.à.d. que (f) = 0 ;

l’état initial de système jc(?o) est une variable aléatoire, de moyenne

£■{-^(^ 0 )} = ^o (2.19)

et de la variance

£{ U(?o) -

] (^0) “

(2.20)

Çhmir? 2

___

supposons que x{tQ) n’est pas corrélé avec w{t) et e(t).

Considérons un observateur d’ordre plein pour le système (2.17)

= A{t)x{t) + B{t)u{t) + K{t)\y{t) -C{t)x(f)] (2.21) dt

où x{t) e Jî" dénote l’état estimé du système et K(t) est le gain de l’observateur.

Le système (2.21) est un filtre de Kalman si et seulement si le gain du filtre K(t), t>tg et l’état initial de l’observateur xitg) ont été choisis tels que l’erreur quadratique moyenne de reconstruction (on l’appelle aussi l’erreur quadratique moyenne d’estimation):

E{e^(t)e(t)} ( 2 . 22 )

où

e(t) = x(t) -x{t) (2.23)

soit minimale pour t > to •

La solution du gain du filtre de Kalman pour le système décrit par l’équation (2.17) en respectant les hypothèses décrite ci-dessus (le covariance du bruit de mesure ^(r) > 0 , w{t) et e (t) sont des bruits blancs non corrélés) est donnée par

Kit) = Pit)C^ it)R-^ it), t> t, (2.24)

où PU) est la solution de l’équation matricielle de Riccati suivante

= AU)PU) + PU)A^ U) - PU)C^ U)R-' U)Cit)P{t) +NU)Wit)N^ U), t> L dt

(2.25) avec la condition initiale

Pit,)=P, (2.26)

32

£hapiSn Z

____

La condition initiale de l’état du filtre doit être choisie comme suit:

i(fo) =X

(2.27)

Si les équations (2.24) et (2.27) sont satisfaites, l’erreur quadratique moyenne d’estimation E{e^it)e{t)} est minimale pour tout t>t^. La matrice de variance de l’erreur d’estimation est donnée par:

E{e{t)e{tŸ] = P{t) (2.28)

et l’erreur quadratique moyenne

E{e^{t)e{t)}=tr{P{t)} (2.29)

Si nous définissons l’erreur quadratique moyenne d’estimation par

E{e^ it)Q{t)e{t)} (2.30)

où Q(t) est une matrice de pondération d'ordre /ix/z, symétrique, semi-definie positive, Q(t) >0, tous les résultats seront conservés sauf que

E{eUt)Q(t)e(t)} = tr{Q(t)P(t)) (2.31) La solution pour construire un observateur optimal est indépendante de la matrice de pondération.

Dans [11], Kalman et Bucy ont prouvé que le filtre de Kalman est un estimateur linéaire

optimale qui minimise l'erreur quadratique moyenne d'estimation. C.à.d. que nous ne

pouvons pas trouver d'autre fonctions linéaires de la mesure _y(t) et de l'entrée u(x),

tg <x <t, qui produisent une estimation d'état x(t) avec une erreur quadratique moyenne

plus petite que celle donnée par le filtre de Kalman. En plus, il a été prouvé (Jazwinski [28])

que, si l'état initial du système x(tg) est une variable aléatoire, de distribution gaussiènne, et

si le bruit du processus w(r) et le bruit de mesure e (t) sont des bruits blancs, de distribution

gaussiènne, alors le filtre de Kalman produit une estimation x(t) de x(t), qui a une erreur

quadratique moyenne minimale parmi tous les estimateurs (linéaire ou non linéaire) qu’on

peut obtenir en se basant sur les mesures de >»( t ) et de m ( t ), pour tg <x <t.