Laurent Fargues
18 novembre 2003
Table des matieres
1 G-fonteurs formels 2
1.1 La ategorie Nilp
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Fonteurs surNilp R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Fonteurs representablesetpro-representables. . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Fonteurs assoiessur Comp R etfonteursontinus . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Le fonteurtangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Le theoreme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Theoriede Cartier 10 2.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Fonteurs admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Le premiertheoreme fondamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Modulesde Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Quelquesproprietes de F etV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Produittensoriel reduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Lesexemples fondamentaux deproduitstensorielsreduits . . . . . . . . . . . 23
2.8 Groupesde torsionreduits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 Le deuxieme theoreme fondamental delatheoriede Cartier . . . . . . . . . . 26
2.10 Theorie de CartiersurQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.11 Theorie de CartiersurZ (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.11.1 Idempotents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.11.2 Le premiertheoreme fondamental revisite . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.11.3 E p modulesV reduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.11.4 \ Equivalenede Morita". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.11.5 Le seond theoreme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.12 W etveteurs de Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.13 Quelquesremarques sur leasd'unorps parfait . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.14 Presentationsdes modulesV-reduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.15 Changement debase dansles modulesV-reduits . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.16 Appliationaux relevementsdes groupesformelset de leursmorphismes . . . 48
2.17 Le theoreme des\diviseurselementaires" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.19 Isogenies etmodulede Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.19.1 Frobeniusetmodulede Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.19.2 Vershiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.19.3 Le module V-divise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.19.4 Critere d'isogenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.20 Le asd'unorps parfait. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.21 Classiationdesgroupesformelsp-divisiblessurun orps parfait . . . . . . 60
2.22 Classiationdesgroupesplatsnisonnexes sur unorps parfait . . . . . . 62
3 Isoristaux 62 3.1 Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Classiationdesisoristaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1 Enone dutheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2 Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Anneaudesendomorphismesdes isoristaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 LagerbeetleliendenisparlaategorieTannakiennedesisoristauxsurun orps algebriquement los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5.1 Rappels hamp^etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5.2 Le lien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.3 La gerbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1 G-fonteurs formels
Dans ette setion on demontre un as partiulier de pro-representabilite de [2℄, le as
formellement lisse.
1.1 La ategorie Nilp
R
Soit R unanneauommutatifunitaire.
Denition 1.1. La ategorie Nilp
R
estla ategorie des R algebres (non
neessairement unitaires) nilpotentes, ou de faon equivalente la ategorie des R algebres
augmenteesRI
R
o u l'ideal I
R
est nilpotent.
GeometriquementlesobjetsdeNilp
R
sontdesepaississementsinnitesimauxdeSpe(R )
munisd'une retration:Spe(R )!Spe(RI
R ).
Remarque 1.1. Onse restreint a la ategorie desalgebres augmentees ar vialeur setion
unitelesshemasengroupes, groupesformels...sontloalement representespardes spetres
d'alebres augmentees. Le lemme de Yonedanous dit don qu'ilsuÆt de se restreindre a de
telles algebres.
Denition1.2. Unesuitedemorphismes N 0
!N !N 00
dans Nilp
R
estditeexate(resp.
exate a gauhe) si elle est exate omme suite de groupes abeliens (resp. exate a gauhe
et si l'image de N est un ideal de N 00
)
N estalorsun idealde N,N=N ,!N .
Remarque 1.2. Nilp
R
admetdessommes diretes nies,etinniespourdesalgebres dont
l'indiede nilpotene estborne
Nilp
R
admet des produits bres
Onremarquequel'on aalorsunplongement exatede laategorie mod
R
dansNilp
R
quia M assoie l'algebredont laloi multipliativeest laloi trivialei.e. M 2
=0,ou enore
l'algebre augmentee RM ave ommelois :
(x;m)+(x 0
;m 0
)=(x+x 0
;m+m 0
)
(x;m):(x 0
;m 0
)=(xx 0
;xm 0
+xm)
Exemple fondamental : si M = R alors l'algebre augmentee assoiee est R [℄, l'algebre
des nombres duauxetplusgeneralement pourM =R n
,on aR [
1
;:::;
n
℄; 8i 2
i
=0.
Denition 1.3. Un morphismeN
1
!N
2
dans Nilp
R
estunepetite surjetion si'est une
surjetion telle queN
1
:ker ()=0
L'inter^etdespetitessurjetionsestquetoutesurjetionN
1
!N
2
sedevisseenunesuite
de petites surjetions
N
1
=M
1
M
2
M
n 1
M
n
=N
2
Pourela il suÆtde regarderles N
1
=(N k
1
:ker ()). Lesassertions faisant intervenirles sur-
jetions seramenent donpardevissagea desassertions sur lespetites surjetions.
1.2 Fonteurs sur Nilp
R
Denition 1.4. Soit H :Nilp
R
!Ab unfonteur.
{ H est ditexate (resp.exate a gauhe)si ...
{ H verie la propriete deMayer Vietoris si8N 0
!N N
00
,
H(N 0
N N
00
)
!H(N 0
)
H(N) H(N
00
)
{ H est ditlisse si pour toute surjetion , H() estunesurjetion
Proposition 1.1. H estexat a gauhe ssi il verie la proprietede Mayer Vietoris.
Onveried'abordquepourH veriantl'unedesdeuxproprietesdont onveutmontrer
l'equivalene,H(0)=0 (ilsuÆtd'erire 0=00). SoitH veriant M.V. Alors, pourtout
morphisme :N !N 0
, ker()=N
N 0
0 et donM.V. )H(ker ()) =ker (H()) e qui
impliquel'exatitude a gauhe deH.
Soit reiproquement H exate a gauhe. Montrons tout d'abord que H preserve les
sommes diretesniesi.e.H(N N 0
)
!H(N)H(N 0
).En eet, lasuiteexate
0!N !N N 0
!N 0
!0
est transformee en unesuite exatea gauhe
0!H(N)!H(N N 0
)!H(N 0
)
Mais lasuitepreedenteetaitsindee via N 0
!N N 0
,donlasuiteest exatesindeeet
donne l'isomorphismevoulu.Commenonsparun lemme:
N
//
N
2
i
N
1
//
N
3
o u iestune injetion faisant de N
2
un ideal de N
3 .
Ce diagramme est artesien ssi la suite suivante estexate :
0!N !N
1
!N
3
=N
3
Laveriationde elemme estimmediate.Onremarquequeelui-i estegalementvrai
(en enlevant l'hypothese\ideal") dansAb.
On en deduit immediatement en appliquant le lemme dans Nilp
R
, en appliquant H
exat agauhe, puisenreappliquant lelemme dansAb(arH(i) estuneinjetion)queH
verieM.V. pourde telsdiagrammesartesien.
Pour undiagramme artesienquelonque
N
//
N
2
i
N
1 u //
N
3
onpeuttoujoursserameneraequeisoituneinjetionenletransformantenlediagramme
artesien
N
//
N
1 N
2
i 0
N
1 N
2
//
N
1 N
2 N
3
oui 0
estinjetivemaisl'imagede i 0
n'estpasforement unideal.CommeH ommuteaux
sommesdiretes nies, si e diagramme est transforme en un diagramme artesien, on en
deduitque
H(N)
//
H(N
1
)H(N
2 )
_
H(i 0
)
H(N
1
)H(N
2 )
//
H(N
1
)H(N
2
)H(N
3 )
est artesienet quedon(faile)
H(N)
//
H(N
2 )
H(N
1 )
//
H(N
3 )
est artesien.
image soitunideal. Celasefait pardevissage :on montrel'existene d'undiagramme
N
//
N
2 _
M
n
//
Q
n _
M
n 1
//
Q
n 1
_
_
M
1
//
Q
1 _
N
1
u //
N
3
dans lequelhaque arre est artesien et l'image du morphisme de droite est un ideal . Il
suÆtpourela de hoisirn telque N n+1
2
=0,de poserQ
i
=N
2 +N
3 :N
i
2 et P
i
=u 1
(Q
i ).
Sion prend H de e diagramme, haque arre est transforme en un arre artesien parle
aspreedent et donle tout sereolle pour donner un arre artesien (un arre artesien
n'etant qu'une limite projetive, ela n'est rien d'autre le fait qu'une limite projetive de
limiteprojetive estunelimite projetive).
Denition 1.5. Un G fonteur formel est un fonteur G : Nilp
R
! Ab exat et qui
ommute aux sommesdiretes arbitraires.
Cette denitions'interpreteainsi :
{ L'exatitude agauhe est uneonditionneessairede pro-representabilite
{ On demande de plus la lissite e qui veut dire lorsque G est pro-representable que
l'algebre augmentee assoiee estunealgebre deseriesformelles.
{ la ommutativite aux sommes diretes quelonques est une sorte de ontinuite du
fonteur(puisquel'exatitude impliquedeja qu'ilommuteauxsommes nie)
1.3 Exemples
Soit A=RI
R
uneR algebre augmentee (nonneessairement nilpotente) .Onverie
que G
m A
(N) = ((1+I
A
R
N);) (la restrition des salaires de G
m
sur A a R ) est un
G-fonteur formel lorsqueI
A
est plat surR .
Parexemplesi A=R [t℄,G
mR [t℄
(N)=f1+tu
1
++t r
u
r ju
i 2Ng.
SiA =RI
A
est uneR -algebre augmentee nilpotenteon note Spf(A) lefonteur de
Nilp
R
dansEnsdeniparSpf(A)(N)=H om
R (I
A
;N)=H om
R
(A;RN).Parlelemme
de Yoneda on obtient ainsi un plongement de Nilp
R
dans la ategorie des fonteurs sur
Nilp
R
.De plus dans e as la, Spe(A) = Spf(A) i.e. le fonteurest represente dans la
ategorie des shemas. On obtient ainsi un plongement des shemas en groupe aÆne nis
surR dansH om(Nilp
R
;Ab).
Plusgeneralement,siA estuneR algebre augmentee omplete (parrapportasonideal
d'augmentation), A = limA
i
, Spf(A) est le fonteur prolonge par ontinuite a partir des
Spf(A
i
) en posant
Spf(A)(N)=lim
!
Spf(A
i
)(N)=H om
Cont (I
A
;N)
ouN estmunide latopologiedisrete.
Parextension du lemme de Yoneda, ela donneun plongement des R -algebres augmentees
ompletes dans les fonteurs sur Nilp
R
. De plus Spf(A) est represente dans la ategorie
des shemas formels(f. EGA).
En partiulier, le fonteurN 7! N n
est pro-represente par R [[X
1
;:::;X
n
℄℄. Ainsi on a
un plongement desgroupesformelssurR danslaategorie desfonteurspro-representables
a valeurs dansAb. Et l'on saitbien qu'un fonteur pro-representable est lissessi 'est un
groupe formel.
1.4 Fonteurs assoies sur Comp
R
et fonteurs ontinus
Soit Comp
R
la ategorie des R algebres augmentees ompletes (par rapport a leur
ideal d'augmentation). On s'interesse aux fonteurs H :Comp
R
!Ens(ou Ab) quisont
determinesparleurrestrition aNilp
R .
Denition 1.6. H sera dit ontinu si 8N = limN
i
, H(N)
! limH(N
i
) est un isomor-
phisme.
L'injetion de la ategorie des fonteurs ontinus sur Comp
R
dans elle des fonteurs
sur Nilp
R
possedeun adjoint :si H:Nilp
R
!Ens, lefonteurontinuassoie est
b
H :N =limN
i
7 !limH(N
i ):
Iletend H a Comp
R .
Dans le as ou H = Spf(A), on verie aussit^ot que b
H enore note Spf(A) est deni
par
Spf(A)(N)=H om
Cont (A;N)
ou Cont signie les morphismes ontinus pour A et N munis de leur topologie d'algebre
omplete.Dorenavant,pourHunfonteursurNilp
R
onnoteraenoreHpour b
Hl'extension
anonique de H.
Onnoteraquel'onaenoreunlemmedeYoneda:pourH :Nilp
R
!Ens,H om(Spf(A);H)'
H(A).
Denition1.7. PourH:Nilp
R
!Ab,onposet
H
lefonteurtangentegalalarestrition
deH a mod
R
vue omme sous ategorie de Nilp
R
Soit l'hypothese
(+) t
H
(MN)'t
H
(M)t
H (N)
ouM etN sont desR -modules
Lemme 1.2. Si H verie (+) alors il se fatorisea travers mod
R .
En eet,les appliations
+:M M !M
et8r2R
r:M r
!M
donnent par fontorialite et le fait que t
H
(M M) ' t
H
(M)t
H
(M) une struture de
R module sur t
H
(M) puisqueles axiomes d'un R -module peuvent s'exprimerpar des dia-
grammesommutatifs.Onverieegalement quelaloiH(+) onideave ellede Ab.
L'interpretation geometrique du fonteur tangent est que t
H
(R ) est \l'espae tangent
de Zariski" de H, puisquesi H est representable par N, t
H
(R ) ' (N=N 2
)
. Lorsque l'on
herhe a (pro-)representer H, un systeme de generateurs de t
H
(R ) devrait orrespondre
a un systeme generateur de l'algebre. Si H est lisse il n'y aura pas de relations. Dans le
asontraire le probleme est plusomplique (dans d'autres ategories que Nilp
R
,l'espae
tangent est souvent interprete omme unH 1
tandisqu'unH 2
representeles relations).
SoitM 2 mod
R
,Hveriant(+)etm2M.L'appliation
m
:r!Mdemultipliation
parmdonne alorsuneappliation
M
R t
H
(R )!t
H (M)
m 7!t(
m )()
dont on verie aussit^ot que'estun morphismede R -modules.
Proposition 1.2. Si de plus H est exate a droite et ommute aux sommes arbitraires
alors ette appliation est un isomorphisme. On a don un isomorphisme de fonteurs
t
H (R )
!t
H ( )
Pour M =R l'appliation estlairement un isomorphisme. En partiulierela est vrai
pour H un G-fonteur formel. H ommutant aux sommesquelonques, 8I 'est vrai pour
R (I)
.Sil'on hoisit uneresolution
R (I)
!R (J)
!M !0
Alors H et
R t
H
(R )etant tousdeux exates agauhe
t
H (R
(I)
)
//
'
t
H (R
(J)
)
//
'
t
H (M)
//
0
R (I)
R t
H (R )
//
R (J)
R t
H (R )
//
M t
H (R )
//
0
