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Plus précisément, on fixe un entier natureln et on étudie les équations X =f1n(X) +...+fkn(X), les inconnues(f1

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech,

MINES Saint-Étienne, MINES Nancy,

TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP).

CONCOURS 2016

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES (Durée de l’épreuve : 3 heures)

L’usage de l’ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :

Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international).

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

Mathématiques II - PC

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

(2)

Wronskien et problème de Waring

En1770Edward Waring, se basant sur des calculs empiriques, pose la conjec- ture suivante : pour un entiernnaturel fixé, on peut exprimer tout entier naturel comme somme d’au plus g(n) puissancesn-ièmes d’entiers naturels,g(n) ne dé- pendant que den. Le casn= 2avait déjà été formulé par Fermat en1640, Euler et Lagrange ont traité des cas particuliers et finalement en1909Hilbert a pu établir ce résultat (appelé parfois théorème de Hilbert-Waring).

On se propose ici de résoudre un problème analogue dans le cadre (algébrique) des polynômes à coefficients complexes. Plus précisément, on fixe un entier natureln et on étudie les équations

X =f1n(X) +...+fkn(X),

les inconnues(f1, ..., fk)étant dansC[X]. On s’intéresse particulièrement auplus petit entier k =k(n) pour lequel cette équation possède des solutions. L’objectif de ce problème est de prouver quek(2) = 2et que pourn3, on a l’inégalité

n < k2(n)k(n).

On considère dorénavant que n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Soient d1,· · ·, dn des nombres réels. On note

V(d1,· · ·, dn) = - - - - - - - - - -

1 1 · · · 1

d1 d2 · · · dn

... ... ...

dn−1 1 dn−2 1 · · · dn−n 1 - - - - - - - - - -

le déterminant de Vandermonde de(d1,· · ·, dn). On rappelle que V(d1,· · · , dn) = Ù

1≤i<j≤n

(djdi)

Pour toutdR etk1, on note

(d)k=d(d1)· · ·(dk+ 1), et on introduit le déterminant

D(d1,· · ·, dn) = - - - - - - - - - -

1 1 · · · 1

(d1)1 (d2)1 · · · (dn)1

... ... ...

(d1)n−1 (d2)n−1 · · · (dn)n−1

- - - - - - - - - - .

(3)

A Propriétés élémentaires du Wronskien

1. Montrer queD(d1,· · · , dn) =V(d1,· · · , dn).

On fixe à présent un intervalle I =]a, b[ de R avec −∞ ≤ a < b +. Soient f1,· · ·, fndes fonctions de I dansR,(n1)fois dérivables sur I ; leurWronskien Wn(f1,· · · , fn)est la fonction définie sur I par

Wn(f1,· · · , fn)(x) = det

f1(x) f2(x) · · · fn(x)

f1(x) f2(x) · · · fn(x)

... ... ...

f1(n1)(x) f2(n1)(x) · · · fn(n1)(x)

.

2. Montrer que le Wronskien des fonctions monômiales(xÔ→a1xd1),· · ·,(xÔ→

anxdn)est égal à

V(d1,· · ·, dn)xd1+···+dn(n2) Ùn

i=1

ai.

3. Soitg une fonction (n1)fois dérivable sur I, montrer que Wn(f1g, f2g,· · · , fng) =gnWn(f1,· · · , fn).

4. Pourf1 ne s’annulant pas sur I, montrer que Wn(f1,· · ·, fn) =f1n Wn1

A3f2 f1

4 ,

3f3 f1

4 ,· · · ,

3fn

f1 4B

.

B Annulation du wronskien

On noteCn1(I; R)l’espace vectoriel des fonctions(n1)fois dérivables de I dansR.

5. Montrer que si f1,· · ·, fn forment une famille liée dans Cn1(I; R) alors Wn(f1,· · · , fn) est identiquement nulle sur I.

6. Soit f1 et f2 deux éléments de Cn1(I; R). On suppose que W2(f1, f2) = 0 sur I et que f1f2 ne s’annule pas sur I. Montrer alors que f1 et f2 forment une famille liée deCn1(I;R).

(4)

7. Donner un exemple de fonctionsf1, f2formant une famille libre dansCn−1(I;R) et telles queW2(f1, f2) = 0.

8. En utilisant la question 4 montrer que siWn(f1,· · ·, fn)est la fonction nulle sur I, alors il existe un sous-intervalle J I, sur lequel les restrictions de f1,· · ·, fnà J forment une famille liée dansCn−1(J;R).

On suppose maintenant que0I, que les fonctionsf1, . . . , fnsont développables en séries entières au voisinage de 0, qu’elles coïncident avec leur développement sur I et qu’elles formentune famille libredeCn−1(I;R). On définit l’ordred’une série entière non nulle qn≥0anxn comme le plus petit entier naturel d tel que adÓ= 0.

9. Démontrer qu’il existe une matrice inversibleAMn(C)telle que (f1, . . . , fn)A = (g1, . . . , gn),

où lesg1, . . . , gnsont des fonctions développables en série entière non nulles dont les ordresd1, . . . , dnsont deux à deux distincts. On commencera d’abord par le casn= 2.

On souhaite démontrer que pour ces fonctions (g1, . . . , gn), il existe un réel CÓ= 0tel que

Wn(g1, . . . , gn)(x) =C xd1+...+dn(n2) (1 +o(1)) (1) au voisinage de0.

10. Traiter le cas où pour touti= 1,· · ·, n, on adin1.

11. On choisit un entieratel que pour tout i= 1,· · ·, n, on aitdi+an1.

En utilisant la question 3 avecg(x) =xa, montrer (1).

12. En déduire queWn(f1,· · · , fn)est non nulle au voisinage de0.

C Problème de Waring sur C[X]

Pournfixé, on se propose d’étudier les équations X=f1n(X) +· · ·+fkn(X),

(5)

en les inconnues f1(X),· · ·, fk(X) C[X] et plus particulièrement le plus petit entier kpour lequel cette équation possède des solutions. On notera ce plus petit entier k(n). Sif appartient àC[X], on note

∆f(X) =f(X+ 1)f(X)etpf= ∆1p1f2.

Lorsque cela est nécessaire, on identifie polynômes et fonctions polynomiales asso- ciées.

13. Montrer quen1(Xn)est de la formeaX+bavecaÓ= 0, et en déduire que l’ensemble des solutions de l’équation est non vide et quek(n)n.

On notera en particulier que k(n) est fini.

14. Montrer que toutg C[X]peut s’écrire sous la forme g(X) =g1n(X) +· · ·+gnk(n)(X).

15. Montrer quek(2) = 2.

Nous allons maintenant montrer que pourn3, n < k2(n)k(n).

SoitX=f1n(X) +· · ·+fk(n)n (X)avecfiC[X]. On considère les Wronskiens Z1=Wk(n)(f1n,· · ·, fk(n)n ) et Z2=Wk(n)(X, f2n,· · · , fk(n)n ).

16. Montrer queZ1=Z2puis que Z1n’est pas le polynôme nul.

17. Montrer queZ1est divisible par rk(n)i=1 fink(n)+1. 18. Montrer que

degZ21 +n 3k(n)

Ø

i=2

degfi

4

k(n)(k(n)1)

2 .

19. Déduire des questions 17 et 18 que

ndegf1(k(n)1)

k(n)

Ø

i=1

degfik(n)(k(n)1)

2 + 1.

20. Montrer quen < k2(n)k(n).

Fin du problème

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