Disponible à / Available at permalink :

126  Download (0)

Texte intégral

(1)

- - -

- - -

Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository

Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Windey, P. (1978). Schèmes de confinement linéaire des quarks (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/214188/3/cf06b797-8501-4860-92ac-63fe919aabe9.txt

(English version below)

Cette thèse de doctorat a été numérisée par l’Université libre de Bruxelles. L’auteur qui s’opposerait à sa mise en ligne dans DI-fusion est invité à prendre contact avec l’Université (di-fusion@ulb.ac.be).

Dans le cas où une version électronique native de la thèse existe, l’Université ne peut garantir que la présente version numérisée soit identique à la version électronique native, ni qu’elle soit la version officielle définitive de la thèse.

DI-fusion, le Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles, recueille la production scientifique de l’Université, mise à disposition en libre accès autant que possible. Les œuvres accessibles dans DI-fusion sont protégées par la législation belge relative aux droits d'auteur et aux droits voisins. Toute personne peut, sans avoir à demander l’autorisation de l’auteur ou de l’ayant-droit, à des fins d’usage privé ou à des fins d’illustration de l’enseignement ou de recherche scientifique, dans la mesure justifiée par le but non lucratif poursuivi, lire, télécharger ou reproduire sur papier ou sur tout autre support, les articles ou des fragments d’autres œuvres, disponibles dans DI-fusion, pour autant que :

Le nom des auteurs, le titre et la référence bibliographique complète soient cités;

L’identifiant unique attribué aux métadonnées dans DI-fusion (permalink) soit indiqué;

Le contenu ne soit pas modifié.

L’œuvre ne peut être stockée dans une autre base de données dans le but d’y donner accès ; l’identifiant unique (permalink) indiqué ci-dessus doit toujours être utilisé pour donner accès à l’œuvre. Toute autre utilisation non mentionnée ci-dessus nécessite l’autorisation de l’auteur de l’œuvre ou de l’ayant droit.

--- English Version ---

This Ph.D. thesis has been digitized by Université libre de Bruxelles. The author who would disagree on its online availability in DI-fusion is invited to contact the University (di-fusion@ulb.ac.be).

If a native electronic version of the thesis exists, the University can guarantee neither that the present digitized version is identical to the native electronic version, nor that it is the definitive official version of the thesis.

DI-fusion is the Institutional Repository of Université libre de Bruxelles; it collects the research output of the University, available on open access as much as possible. The works included in DI-fusion are protected by the Belgian legislation relating to authors’ rights and neighbouring rights.

Any user may, without prior permission from the authors or copyright owners, for private usage or for educational or scientific research purposes, to the extent justified by the non-profit activity, read, download or reproduce on paper or on any other media, the articles or fragments of other works, available in DI-fusion, provided:

The authors, title and full bibliographic details are credited in any copy;

The unique identifier (permalink) for the original metadata page in DI-fusion is indicated;

The content is not changed in any way.

It is not permitted to store the work in another database in order to provide access to it; the unique identifier (permalink) indicated above must always be used to provide access to the work. Any other use not mentioned above requires the authors’ or copyright owners’ permission.

(2)

U N I V E R S I T E L I B R E D E B R U X E L L E S .

S C H E M E S D E C O N F I N E M E N T L I N E A I R E D E S Q U A R K S .

Paul WINDEY

Thèse présentée pour l'obtention du diplôme de Docteur en Sciences Physiques (grade légal).

ANNEE ACADEMIQUE 1977 - 1978.

(3)

THESE ANNEXE

Il est possible d'obtenir une action invariante pomr 1«5 groupe conforme décrivant l'interaction du chanp gravi fique avec des chaitps fentiioniques sans masse couplés minimalement à des chaitps de jauge. En l'absence de masse cette théorie ne diffère de la relativité générale qu'au niveau des fluctuations quantiques mais ellfi suggère que la corposante de spin zéro du chanp gravif i- que trouve son origine dans la brisure spontanée de la chiralité.

(4)

U N I V E R S I T E L I B R E D E B R U X E L L E S .

BIBLIOTHEQUE DE MATHEMATlQUtS ' ET DE PHYSIQUE

3IM P

S C H E M E S D E C O N F I N E M E N T L I N E A I R E D E S Q U A R K S .

Paul WINDEY

Thèse présentée pour l'obtention du diplôme de Docteur en Sciences Physiques (grade légal).

ANNEE ACADEMIQUE 1977 -1978.

(5)

Globule et Mackmischette

(6)

L'essentiel de ce travail est le fruit d'une passionnante collaboration avec le Professeur François Englert qui m'a initié à la physique théorique et m'en a fait distinguer les aspects essentiels.

Je le remercie pour les joies que cette recherche m'a apportées.

Je dois " aussi beaucoup au Professeur J. Géhéniau qui m'a accordé sa confiance à un 'moment crucial,au début.

Je remercie le Professeur R. Brout pour ses précieuses critiques et les innom - brables éclaircissements qu'il m'a ap - portés.

Et puis,touches de couleur au quotidien, il y a les nombreuses discussions scien- tifiques ou autres avec les membres

du service:P. Castoldi,M. Défrise , M . Evrard , M. Hennaux , J. Moulin ,Ch.

Schomblohd et Ph. Spindel.

Je remercie l'I.R.S.I.A. èt les Instituts Inter- nationaux de Physique et de Chimie, pour leur concours financier.

(7)

mise en garde

"les animaux se divisent en : a) appartenant à l'Empereur, b) embaumés, c) apprivoisés, d) co- chons de lait, e) sirènes, f) fabuleux, g) chiens en liberté, h) inclus dans la présente classifi- cation, i) qui s'agitent comme des fous, j) in- nombrables, k) dessinés avec un pinceau très fin en poils de chameau, 1) et caetera, m) qui viennent de casser la cruche, n) qui de loin

semblent des mouches"

Borges cité par M. Foucault Les Mots et les Choses

perspectives

"le bouton...la fleur...le fruit...

ne sont pas seulement des formes distinctes,mais encore chacune re- foule l'autre parce qu'elles sont mutuellement inconpatibles. Mais en même temps leur nature fluide en fait des moments de l'unité or- ganique dans laquelle elles ne se repoussent pas seulement ,mais

dans laquelle l'une est aussi né- cessaire que l'autre,et cette égale nécessité constitue seule la vie du tout "

Hegel La phénoménologie de l'esprit

(8)

Table des matières

Chapitre 1: Introduction pa-ge 1

Chapitre 2: L'ëtat supraconducteur P^-ge 8 2.1 Etat fondamental supraconducteur P^ge 8

2.2 Phase intermédiaire et lignes de flux P^ge 11 2.3. Supraconducteur relativiste P3.ge 18

2.14. Jauge unitaire et transformation de P'^ge 19 jauge singulière

Chapitre 3: Monopôles magnétiques page 27 3.1. Monopôles de Dirac page 27

2.2. Monopôles de 't Hooft-Polyakov page 3 2

3.3. Souvenirs tronqués d'un voyage en groupe page 4 3 3.4. Caractérisâtion générale des monopôles page 49

de 't Hooft-Polyakov

3.5. Conditions de quantification pour les page 53 monopôles de 't Hooft-Polyakov

3.6. Classification des monopôles de Dirac page 57 3.7. Stabilité topologique et quantification page 60

de la charge topologique conservée

3.8. L'énigme des bosons de spin demi-entier page 61 3.9. Instantons page 69

Chapitre 4: Confinement magnétique 4.1. Le modèle abélien

4.2. Modèles non-abéliens

page 7 0 page 7 0 page 7 2

(9)

Chapitre 5: Confinement électrique page 8 0 5.1. Introduction page 8 0

5.2. Formalisme dual page 85

5.3. Supraconducteur magnétique page 95

b.^. Critère de confinement de Wilson page 99 5.5. Supraconducteur magnétique à 2+1 page 105

dimensions et confinement par instantons

Appendice Références

page

page 111 113

(10)

1

Chapitre 1 : Introduction

L'hypothèse du confinement des quarks â l'intérieur des hadrons émerge comme une tentative de synthèse de deux aspects apparemment antinomiques de la physique subnucléaire. En effet d'une impressionnante accumulation de résultats théoriques et expérimentaux se dégage une description des hadrons en termes de constituants fondamentaux, les quarks, qui paradoxalement n'apparaissent jamais isolés dans les états asymptotiques. La solution de ce dilemme se trouve vraisemblablement dans le com- portement dynamique des quarks en interaction, comportement qui

^ • • - (1 )

en prévient la libération lors des collisions hadroniques.

La connaissance que nous avons des constituants fondamentaux des hadrons vient des propriétés de symétrie de ceux-ci et surtout du comportement à courte distance (inter-

actions à grand transfert d'impulsion) des courants hadroniques.

La classification de Gell-Mann des particules , remarquablement ( 2 ) .

vérifiée expérimentalement , indique que mésons et

baryons sont formés respectivement d'un quark et d'un anti- quark et de trois quarks , fermions de spin un demi

qui forment la base de la représentation fondamentale d'un groupe dit de "saveur" ( flavor ) . Simultanément

chaque quark se transforme comme un triplet sous l'action d'un ( 3 )

groupe SU'^3) de couleur . Ce second nombre quantique est

imposé par la statistique des états baryoniques. Remarquons que si le nombre de ©ouleurs est strictement déterminé, seule la puissance des accélérateurs de particules restreint (pour le

( 4 ) moment en tout cas) le nombre de saveurs à quatre (ou cinq ) :

le 'haut"(up) , le "bas" (df-vyn), J ' "é t rangeté" (strangenese ) Qt le

"chdr'fiiij" .

(11)

2

D'autre part les expériences de leptoproduction à

grand transfert d'impulsion et les interactions électrons-positons permettent de mesurer la transformée de Fourier des produits

des courants hadroniques. Les résultats de ces mesures indi- quent qu'à courte distance les quarks se comportent comme

des particules quasiment libres. Par conséquent il est naturel d'exiger que les interactions fortes soient décrites par une

( 6 )

théorie asymptotiquement libre ,c'est-à-dire telle que la

constante de couplage effective tende vers zéro â courte distance.

Il est donc probable que l'interaction des quarks soit médiatisée ( 7 )

par des "gluons" de Yang-Mills colorés, bosons vectoriels dont le couplage minimal aux fermions assure l'invariance de cette théorie (la chromodynamique quantique ou QCD) sous une transformation de jauge locale de SUC 3) couleur. Remarquons cependant que si le groupe de renormalisation permet de

contrôler parfaitement le comportement à courte distance de la théorie (le calcul des perturbations en puissances de la constante de couplage effective étant permis dans cette région ^ ^"'^ )le compcr -- tement infrarouge en est encore inconnu : pourquoi la chromodyna- mique quantique confine-t-elie les quarks â l'intérieur des hadrons,

comment émerge le spectre physique des états asymptotiques?

Le groupe de renormalisation fournit seulement une indi- cation de la possibilité de confinement dans QCD. En effet la

liberté asymptotique force la constante de couplage effective à croître avec la distance et cela en tout cas dans la région

( 6 )

où le calcul des perturbations est valable . On peut espérui que ce comportement persiste dans la région infrarouge ,autre- ment dit que la constante de couplage effective continue â

croître (comportement dit "esclavage infrarouge") sans atteindre de point fixe entraînant par là une brisure de l'invariance de

(10) couleur

(12)

3

La signification physique de ce comportement est essentiellement la suivante : le vide de QCD se comporte comme un milieu dont la constante diélectrique effective tend vers

(11)

zéro a grande distance . Par conséquent le champ de dépla- cement dû à une charge électrique de couleur ne peut rayonner dans le vide qui manifeste ainsi un effet Meissner électrique.

En effet cette situation est très similaire au confinement des charges magnétiques dans un supraconducteur (abélien) dont la perméabilité magnétique )j(x) tend rapidement vers zéro â une distance supérieure à la longueur d'onde de Compton associée à la masse acquise par le champ électromagnétique. Dans ce shéma un méson est un état lié d'un quark et d'un anti-quark joints par un tube de flux électrique dont la section est l'échelle du confinement et dont la densité d'énergie par unité de longueur est finie.

Notre approche du problème du confinement électrique fut précisément celle-ci: existe-t-il une articulation entre le mé- canisme de confinement et le phénomène supraconducteur. La réponse est affirmative en tout cas dans le cas abélien (chapitre 5).

Un des intérêts de notre formulation réside dans l'existence de deux théories duales entre elles. Dans l'une, essentiellement

la théorie de Ginzburg-Landau de la supraconductivité, des charges d • origine topologique et similaires en cela â des solitons, sont confinées suite à une brisure spontanée de l'invariance de jauge de seconde espèce associée à la conservation de la charge des particules qui forment l'état fondamental condensé dans lequel sont plongées les charges confinées. Inversement l'invariance de jauge et le théorème de Noether assurent la conservation des charges confinées dans la version duale de la théorie; d'autre part aucune brisure spontanée de l'invariance de jauge n'est manifeste. L'existence de cette relation duale indique que le confinement électrique (en tout cas dans le cas abélien) résulte simplement d'une instabilité de l'état fondamental. L'approche du problème du confinement adoptée ici révèle l'importance du rôle joué par la topologie du système. La cause en est la

nécessité d'ajouter un terme topologique a l'action quantique . sans cela inadéquate à la limite semi-classique. L'existence

(13)

de ce terme est peut-être un signal du confinement''" L'espoir que nous avons est que la chromodynamique quantique procède des mêmes principes : certaines structures topologiques y

seraient le contrepoint non-abélien des "paires de Cooper"

magnétiques et les quarks des charges électriques de couleur.

Remarquons encore que dans le modèle qui nous occupe les

charges de Noether et topologiques sont dans le rapport inverse l'une et l'autre et par conséquent atteignent d'éventuels

points fixes (non nuls) simultanément.

Une indication supplémentaire en faveur desfxhémas de confinement des quarks qui donnent naissance â des structures linéaires (tubes de flux) est fournie par leur aptitude à ren- dre compte de la linéarité des trajectoires de Rep;ge (à la limite semi-classique). En effet si l'énergie au repos d'un tube de flux de longueur L est L et si l'on suppose que les extrémités de ce tube se déplacent â la vitesse de la lumière (ce qui est raisonna- ble à la limite de masse nulle des quarks) on obtient pour une rotation rigide.

m = E = 5 _ M i

V

+En effet d'une part l'existence de ce terme permet de définir la théorie même lorsque la relation de quantification qui lie la charge topologique â la charge électrique n'est pas vérifiée (cf. chapitre 5) et d'autre part il est possible que ce fait mêmejqui entraîne la non uniformité de la phase des quarks,pro- duise automatiquement la confinement des charges électriques

(quarks)

(G. Parisi, communication privée)

(14)

5

Notons que nous avons négligé la section du tube. On trouve par conséquent ai = X&itL . Le moment angulaire du meson est

0 s '

et on obtient J = . =s m

( 12 ) Ce comportement de Regge est celui du modèle des cordes duales

pour les hadrons.

En définitive toute théorie qui décrit le confinement des quarks devra répondre à la question fondamentale du spectre des hadrons. D'autre part eu égard au succès de PCAC il

faudra identifier le mécanisme qui brise dynamiquement l'inva- (13) ' ^

riance chirale et produit un pion de masse nulle, état H é

( 14 ) d'un quark et d'un antiquark joints par un tube de flux

Remarquons qu'à la limite chirale l'échelle du confinement

n'est plus arbitraire comme dans le cas de la supraconductivité mais déterminée par la transmutation dimensionnelie fournie par

le groupe de renormalisation des théories invariantes d'échelle.

La structure de notre travail est la suivante :

Au chapitre 2 nous rappelons les propriétés principales des supraconducteurs et le rôle particulier de l'état fondamental dans la formation des tubes de flux. L'intérêt de cette étude

découle de la discussion précédente. Nous analysons aussi les propriétés de l'invariance de jauge de la théorie en présence de lignes de flux, propriétés qui au-delà de leur intérêt in- trinsèque se révéleront importantes dans l'étude de la topologie des champs de jauge.

(15)

6

Le chapitre 3 est consacré à l'étude de ces propriétés topologiques et â la construction de solutions régulières des équations classiques du mouvement (monopôles et instantons).

Ensuite après avoir rappelé certaines notions de théorie des groupes de Lie nous présentons une étude détaillée de la quan- tification des charges magnétiques dans tous les groupes de Lie simples compacts connexes. A partir de là nous démontrons les propriétés de conservation topologiques de ces charges. Tout au long de cette étude la distinction est établie entre les résultats qui dépendent de la structure globale des groupes de

Lie et ceux liés â leur algèbre. Les conditions de quantifi-

cation obtenues dans ce chapitre nous permettent aussi d'étendre à tous les groupes de Lie une étude du moment angulaire des

états liés particule-monopole. Nous terminons ce chapitre en rappelant les quelques notions relatives aux instantons dont nous aurons besoin au chapitre 5. L'intérêt de ce chapitre, outre d'approfondir la connaissance des théories de jauge, est de donner la connaissance détaillée des monopoles magnétiques indispensable dans la discussion des modèles de confinement magnétique c 'est-à-dire basés sur une stricte analogie avec le

supraconducteur.

Un courte revue des avantages et surtout à notre point de vue des inconvénients du confinement magnétique des quarks constitue le chapitre U; Dans ces modèles, les monopoles mag- nétiques jouent le rôle de quarks et un effet Meissner tradi- tionnel conduit à la formation de tubes de flux et d'états liés quark-antiquark (mésons ? ).

Le chapitre 5 est consacré à l'étude du confinement électrique (c'est-à-dire que les quarks sont les sources du champ électrique - de jauge ), mécanisme dénué des ambiguités

(16)

7

et des vices détaillés au chapitre 4. Les principales moti- vations de notre étude d'un modèle de confinement électrique abélien ont été présentées plus haut. Ce modèle est d'abord une reformulation de la théorie de la supraconductivité en termes d'un potentiel axio-vecteur. Ceci permet de comprendre

le confinement des charges magnétiques dans un supraconducteur comme un mécanisme électrique (le champ de jauge étant couplé minimalement aux charges magnétiques) et donne une vérification du critère de confinement de Wilson. D'autre part notre modèle met en évidence le rôle crucial joué par les propriétés topo-

logiques du système. Ces propriétés sont essentielles dans la compréhension de la limite semi-classique de la théorie. En effet nous montrons pourquoi l'action quantique ne peut-être utilisée à la limite classique en raison d'effets topologiques.

L'élimination de cette difficulté rend manifeste l'analogie entre le confinement électrique et magnétique au niveau semi- classique. Enfin la version euclidienne à 3-dimensions de

notre modèle nous permet de mettre en évidence le lien existant entre l'état fondamental supraconducteur et le vide d'une

théorie de jauge.

(17)

8

Chapitre 2: L'état supraconducteur

La formation de tubes de flux dans un supraconducteur de type II soumis â un champ m-^gr^étique extérieur est la seule réalisation connue du confinement d'un champ de jauge . Le flux magnétique qui parcourt ces tubes est quantifié.

La compréhension de la théorie de la supraconductivité éclaire le problème de ce confinement â deux niveaux.D'une part le confinement du champ magnétique est lié â la structure de l'état fondamental supraconducteur et sa description peut se

(16) faire dans le formalisme de la théorie des champs . D'autre part, il relève des propriétés d'invariance et topologiques de la théorie, propriétés dont l'importance apparaîtra tout au long de ce travail.

2.1. Etat fondamental supraconducteur

Dans un métal, les(quasi-)électrons de spin et d'impulsion opposés et voisins de la surface de Fermi subis-

sent une interaction attractive due à l'échange de phonons.

A basse température ,lorsque l'agitation thermique s'atténue, l'influence de cette agitation s'accroît et en deçà d'une tem- pérature critique est responsable de la formation de paires

( 17 ) de Cooper, états liés de deux électrons.

Il convient de rappeler que l'état normal du métal = est décrit en bonne approximation comme une mer de quasi-

électrons libres ,une renormalisation de masse tenant compte en moyenne de toutes les interactions entre électrons hormis

les interactions électrons-phonons. En réalité les paires de Cooper sont donc formées de deux quasi-particules. L'état

(18)

9

fondamental du métal en deçà de la température critique ap- paraît comme un superfluide chargé,résultat de la condensa- tion de Bose-Einstein des paires de Cooper dont la "fonction d'onde"4>=çe acquiert une signification classique : la densité de charge des paires d'électrons et la conservation du courant se substituent respectivement â la densité de pro- babilité des particules du superfluide et â la conservation locale de cette probabilité. En termes d'opérateurs de création et de destruction d'électrons , <^ est défini par

où crée un électron de spin T et d'impulsion et où b"^^ ' crée une paire de Cooper.

Ce qui précède permet de construire une théorie phénoménologique des métaux supraconducteurs basée sur l'identification de à un paramètre d'ordre. Le comporte- ment de celui-ci rend compte des transitions de phase du

système. En particulier,dans la phase supraconductrice, la valeur moyenne de 4* est non nulle et sa phase constante

énumère différents états fondamentaux dégénérés. L'apparition de la supraconductivité est par conséquent concomitante â une

(18) brisure spontanée de la symétrie de phase quantique U(l)

Point de boson de Goldstone cependant et ce pour la raison suivante: le caractère chargé des paires de Cooper permet d'identifier l'invariance de phase mentionnée avec la symé- trie de jauge de 1'électromagnétisme. En conséquence les fluctuations d'énergie infinitésimale de la phase peuvent

^ S •

être absorbée par une transformation de jauge du potentiel vecteur A^^ ; celui-ci acquiert un état de polarisation lon- gitudinale qui se substitue au boson de Nambu-Goldstone po-

, ^ . , (19) tentiel

L'existence de forces électromagnétiques à "longue portée dans l'état condensé dote le photon d'une masse invari- ants de jauge

(19)

10

Un champ électrmagnétique statique ne peut donc pas pénétrer à l'intérieur d'un supraconducteur au-delâ d'une distance ~ »vty ce phénomène porte le nom d'effet Meissner.

Cette description phénoménologique de la supracon- ductivité peut se déduire de la connaissance du Lagrangien de Ginzburg-Landau

où Aj^ est le potentiel vecteur et 1^ paramètre d'ordre.

La constante de couplage e vaut deux fois la charge de l'électron puisque 4 décrit les paires de Cooper. Le cou- plage électromagnétique de ^st déterminé par invariance de jauge de seconde espèce ,tandis que le potentiel V est choisi tel que son minimum soit situé en I 4^1 = \ 4'cl # ° exprimant ainsi la brisure spontanée de l'invariance U(l) . Dans la description semi-classique fournie par (2-1) la

(19) (21) V£ileur moyenne du paramètre d'ordre est :

et la masse du champ Aj^ est:

m / = ^ (Z.3)

(20)

11

Il convient de remarquer que cette description oblitère la structure microscopique du système: point de trace de 1'appariement des électrons ni de l'existence d'un saut dans le spectre des excitations électroniques.L'existence de ce seuil dans l'énergie dfexcitation est principalement • responsable de la stabilité des mouvements collectifs des paires de Cooper.

2.2. Phase intermédiaire et lignes de flux

Certains supraconducteurs dits de type II peuvent exister dans une phase intermédiaire entre l'état normal et l'état entièrement supraconducteur. Cet état intermédiaire est réalisé lorsque le champ magnétique extérieur H est compris entre deux valeurs critiques et H2 • En deçà de le métal esL purement supraconducteur, tandis que au-delâ de l'état normal réapparaît.

Une étude des équations du mouvement (voir plus loin) montre que le système supraconducteur admet dans la phase intermédiaire des excitations telles que l'induction magnétique puisse traverser l'échantillon sous forme de

(22)

fins pinceaux appelés tubes de flux . L'apparition de ceux-ci est déterminée par la balance entre deux quantités d'énergie. D'une part , la destruction localisée de la supraconductivité entraîne une récupération d'énergie de condensation; d'autre part ,1a pénétration de l'induction magnétique â l'intérieur des tubes de flux résulte en une déperdition de l'énergie cinétique nécessaire à l'expulsion de l'induction magnétique . Que le bilan soit favorable au

second effet et l'on assistera â la formation de vortex.

Les lignes de flux peuvent être soit infinies soit fermées sur elles-mêmes. Ces vortex possèdent un coeur â l'intérieur duquel Jo module du paramètre d'ordre varie de iiéro (le lonp, d'j 1 'a/'; ' 'Miti'al ) ù sa valeur 4>r, dans le

(21)

12

reste de 1 ' échan l"illon. Le rayon de ce coeur , donné par ni (où = I est la masse du champ scalaire) est

la longueur de cohérence de l'état condensé. Il est donc clair que si la longueur de pénétration m,"'' est -nt^^ ,

le champ magnétique peut pénétrer dans l'échantillon suivant un tube centré autour du coeur. L'aspect de ces lignes de flux est représenté par la figure 1.

(22)

13

Recherchons maintenant les solutions des équations du mouvement dérivées de (2-1) qui correspondent à de

telles configurations des champs. Les équations a résoudre sont :

A  _ V ( V .  ) = -ie [ 4)''V4 - 4 ^ 4 > ' ] + :ie l4^r (2.4)

Nous allons montrer que (2-M-) et (2-5) admettent des so- lutions telles celles décrites plus haut. Considérons d'abord un tube de longueur infinie (cf. fig. 1 ) . A

grande distance d de l'axe du tube 1^ densité d'énergie de l'excitation électromagnétique doit tendre vers zéro;P3-^

conséquent l'én'-;rgie ciné-tique et- potentielle dnlveiat s'annu- ler. La forme asymptotique de la solution doit donc satisfaire

(2.7)

De (2-6) on déduit 4= = \ a<p-iX(r) et en utilisant

cette relation dans (2-7) on obtient ,à des termes inférieurs

^ 1

^ 4 1 DM. 4>\ =

el-

V + A ) 4 = 0

(23)

La phase X peut être une fonction multiforme telle que cepen- dant <{> reste uniforme. Le calcul par le théorème de Stokes de la circulation de K le long d'une courbe fermée enserrant

le tube donne

r — r — / — oTTvi ; n entier

Nous sommes maintenant en mesure de comprendre l'existence d'un axe le long duquel 14>\ s'annule. La phase

X(f) définit l'application d'une quelconque courbe fermée dams l'espace sur une courbe fermée dans l'espace du

groupe U(l) . L'espace de ce groupe est un cercle et admet une ir.finité discrète Z de courbes topologi-

quement distinctes. L'ensemble de ces courbeSjindicées par un nombre entier n, forme le premier groupe d'homotopie de UCl) La courbe C peut donc être caractérisée par un de ces entiers

( par exemple pour un tube de flux cylindrique on peut choi- sir %(r)= a *f où ^ est l'angle azimuthal) par

conséquent ,lorsque n?^ 0 , C ne peut être déformée en un point â l'intérieur du supraconducteur ( ! "4>| 4= ^ ). L'axe est par conséquent le lieu des points où [4[ = o . La

quantification du flux et son lien avec un nombre quantique topologique assure la stabilité des lignes de flux infinies;

en effet aucune transformation continue des champs ( par example l'évolution dans le temps ) ne peut changer la valeur du nombre quantique topologique.

Nous allons maintenant trouver la solution du type ligne de flux à la limite de London "^v » o . Dans ce cas , le champ scalaire ( paramètre d'ordre ) tend vers sa valeur

I I excepté au centre de la ligne de flux où | 4>J = o et les équations du potentiel vecteur deviennent:

(24)

as

A A _ V ( 7 A ) = m=; [A _ 1 V?C] (2.10)

d'où l'on déduit la valeur du supercourant conservé invari- ant de jauge

e

Remarquons que l'existence d'une contrainte sur 4* rie nous autorise pihus â utiliser l'équation (2-5) sauf si l'on tient compte des modifications dues â l'introduction d'un paramè- tre de Lagrange dans (2-1).

Bien que ces équations ne soient strictement vala- bles qu 'en dehors de l'axe du tube, l'existence d'une sin- gularité en l/d dans V 7^ (cf. plus haut) gouverne les so- lutions de l'équation (2-10) . Nous pouvons donc conserver

(2-10) et (2-11) telles quelles en tout point â condition de traiter les dérivées de V X le long de l'axe au sens des distributions. En effet (2-11) donne

où nous ne pouvons annuler le dernier terme sous peine de violer le théorème de Stokes pour la circulation de le

long d'une courbe fermée quelconque C entourant l'axe (fig.l) On obtient en effet (cf. (2-9) )

on pose V X V X = - e §3 (^M)

Bç peut être interprété comme un champ magnétique fictif.

(25)

16

Il donne naissance â un flux îEiî- qui parcourt le tube

de vortex dans le sens opposé au flux physique . On peut donc regarder _i75^ comme le potentiel vecteur d'un solénoïde fictif confondu avec l'axe du tube de flux. Nous appeleronà un tel solénoïde une corde. On vérifie que

où l'on intègre le long de l'axe du tube (cf. fig 2). On peut donc écrire

V / J3 = _ m \ ( B + B 3 ) et

L'équation (2-17) est l'équation de London. Si l'on se don- ne le flux §=inî' et l'axe-6 <îu tube,les solutions de (2-17) et (2-18) sont

V r - - m j r - r 1

En effet on vérifie que V^ s O en utilisant V f oû'x 7)= - <3û'(Vx73 et on tire de

r r

que (2-17) est vérifié si B est donné par (2-15) . La valeur

(26)
(27)

18

Remarquons qu<s la divergenC':.- logarithmique dans (2-22) est due â la limite —». . Loi snue l'on utili-

se fini ,1e champ scalaire |4| s'accroit continuement de zéro â sa valeur asymptotique l^d et ceci fournit un

"cut-off" logarithmique -Crv 1!h qui rend B fini le long de l'axe. Par conséquent les lignes de flux dans un supra- conducteur représentent des configurations stables avec une densité d'énergie finie.

2.3 Supraconducteur relativiste

L'écriture invariante relativiste de la théorie exposée au paragraphe précédent ne présente aucun problème.

Le Lagrangien de Ginzburg-Landau devient

avec = '^/^A^ _ C^•^'^J)

Les notations utilisées sont les suivantes:

F ^ ^ = - , . . . •> = - E , , . - .

Ce Lagrangien proposé pour la première fois par Nielsen et Olesen^ %^Gr it une théorie relativiste de champs qui pos- sède 1 s caractéristiques essentielles du supraconducteur.

En particulier (2-23) conduit â une brisure spontanée de l'invariance de jauge et donc â l'apparition d'un boson de Nambu-Goldstone qui est absorbé par le champ électromagné- tique . Celui-ci acquiert une masse comme dans le cas de la supraconductivité. D'autre part il est évident que les

(28)

19

lignes de flux décrites plus haut seront des solutions statiques des équations classiques du mouvement.

Il faut cependant remarquer que contrairement au cas non relativiste, deux types de charges de signes opposés peuvent exister dans ce modèle: cette symétrie entre parti- cule et anti-particule découle comme d'habitude de l'inva- riance de Lorentz. En résulte une valeur moyenne nulle de la charge dans le vide:en effet l'opérateur de charge est maintenant

ç> = _ -Le ( 4>* 2)„ 4> _ 4> ^o'f'*)

et non plus [ «fi /* .

L'existence de lignes de flux dans ce modèle avait conduit Nielsen et Olesen à les considérer comme une réali- sation,dans le cadre d'une théorie des champs, d'une structu- re de cordes duales pour les hadrons.Le problème principal dans cette approche est d'y inclure les quarks de manière consistante avec la liberté asymptotique et la symétrie de couleur. Nous reviendrons sur ce problème lors de la discus- sion du confinement magnétique.

2.4 Jauge unitaire et transformation de jauge singulière

Dans la phase supraconductrice et en l'absence de lignes de flux ,une transformation du groupe.permet le passa- ge â la jauge unitaire. Cette transformation révèle le spectre physique de la théorie, c'est-à-dire un boson vectoriel massif et une particule scalaire massive (cf. le cas non relativiste).

Si nous effectuons dans (7-20) la transformation suivante

(29)

20

A u . = A L * . + i - c) u . /

alors

où f a une valeur moyenne non nulle *fc =

Si on introduit dans (2-27) la définition ^ = % + i

des fluctuations quantiquea du champ ^ autour de sa valeur moyenne ,on constate que le champ vectoriel a acquis une masse invariante de jauge = ie fg, (cf. C2-3) )due

à l'absorption du boson de Nambu-Goldstone et qu'il ne subsiste qu'un seul champ scalaire massif

En présence d'une ligne de flux la démarche reste la même. Dans ce cas cependant la phase absorbée dans la transformation de jauge n'est plus uniforme lors- que l'on parcourt une courbe fermée encerclant la tube de flux: le champ vectoriel est donc singulier avec B^^^ . Cette singularité est du même type que la singularité de corde rencontrée lors de l'étude de la limite de London, bien que sa signification en diffère: en effet A'^ défini par (2-16) reste singulier même lorsque est fini et

par conséquent n'induit pas de singularité dans le super- courant invariant de jauge. Nous nous référerons à cette particularité en parlant de"cordes de jauge".

Le flux est donné par

(30)

21

si 4 = l'^c I %C^) loin du tube de flux ,ou si nous imposons le théorème de Stokes

L'équation ( 2 - 2 9 ) nous donne 1[ ôu,3v] % = -

^ s ^

où représente le champ électromagnétique fictif qui produit le flux ^ = jttra . Sa valeur est

où l'intégrale est prise sur la surface d'univers de la ligne de singularité. La transformation ( 2 - 2 6 ) est donc

singulière en présence d'une ligne de flux. On en déduit que le Lagrangien libre du champ électromagnétique n'est plus invariant de jauge. .. ' ' .

Nous allons transformez»-ce Lagrangien de manière â retrouver la symétrie de jauge U(l). Définissons le

tenseur

(^.31)

La somme porte sur toutes les lignes de singularités(qui portent un flux quantifié ) . 2 ^ sont les coordonnées de la Surface d'univers de ces cordes paramétrisée par O'^ etv.^ .

Remarquons que dans le cas statique dz^dz" et la contribu- tion d'une seule corde à M ^ v ($=•^'"'3-) ^st

^ - ^ ^ àz^ 5^(2-x) (2.M)

Si on compare (2-33) et (2-15) on constate que

= _ M oc: Pi = (M°', M » 0 (2.33';

(31)

22

Ces tenseurs sont introduits^^^^ Lagrangien pour détruire le champ é.m. fictif (2-30) dû aux singularités du champ dans la jauge unitaire. Cette élimination est effectuée par la substitution suivante dans le Lagrangien du champ é.m.

H^. = 1 M"!" ( £ - " ^ ^ = 0 ^ (5.3s;

substitution dont on va montrer la consistance avec les équations de Maxwell, â condition de traiter les paramètres de la corde comme des variables indépendantes.

Le principe variationnel s'applique donc à l'action

où donne le couplage minimal aux autres champs. La va- riation de (2-3 6) par rapport au potentiel vecteur donne le premier groupe d'équations de Maxwell

dans lequel 'D*^ est le courant fictif covariant néces-

saire à la création de la corde de jauge et égal à _ 'à^f^^ •

Le premier membre donne la somme des potentiels dont les courants réels et les courants fictifs sont les sources.

Le champ é.m. physique définit par (2-34) est obtenu en soustrayant le champ fictif de A^..^ .

Le deuxième groupe d'équations de Maxwell correspond â

(32)

23

= ^ f ([ ^cr^- £iî. [ S'*Cx-z,), z"] •

où par le théorème de Stokes l'intégrale sur dz'*' est effectuée sur la frontière de la surface d'univers de lai/' corde.Dans le cas d'une corde fermée cette frontière est nulle et dans le cas d'une corde infinie elle est rejetée à l'infini. On obtient donc

Remarquons que la relation de dualité pour n'importe quel tenseur antisymétrique O est

C o ^ r = - 0 .

Les deux groupes d'équations de Maxwell étant satisfaits, il ne nous reste plus qu'a démontrer que les

variables de" la corde n'introduisent pas de nouveaux degrés de liberté. La variation de (2-36) par rapport à sur la

surface donne

^ ^ ^ 1 -èv^ ^o-L ^ s. \ c j r L -'?)7.'

(33)

2k

Le théorème de Stokes appliqué au premier terme donne zéro.

Les termes restant nous donnent les équations du mouvement de cordes

O M .

Le crochet [^2,^ z"^J_représente la projection orientée de

l'élément de surface de la surface d'univers sur le plan yu-v.

L'examen de l'équation (2-41) révèle que les courants physi- ques ne peuvent pas pénétrer dans la surface d'univers des cordes de jauge mais doivent lui être tangents 5 c'est-â-dire que les charges électriques ne peuvent jamais se trouver sur les cordes de jauge. Dans les jauges unitaires où les cordes de jauge se trouvent â l'intérieur des tubes de flux cette condition est toujours réalisée: elle correspond en effet

à l'annulation des supercourants le long de l'axe du tube de flux . . • • .

(34)

25

Les équations du mouvement des coordonnées des surfaces repro- duisent donc une condition physique toujours réalisée dans les supraconducteurs. Il est par conséquent parfaitement correct de décrire ces systèmes par l'action (2-36) lorsque les potentiels se trouvent définis dans une jauge unitaire.

La validité de cette théorie au niveau de la pre- mière quantification est assurée par la non observabilité des singularités de jauge dans des expériences du type de celle de Bohm-Aharanov. Lorsqu'une particule chargée du milieu condensé décrit une trajectoire fermée autour de la corde de jauge la phase de sa fonction d'onde s'accroit de

. La contrbution à cet accroissement due au potentiel de la corde (donné par (2-28) est e Ç = «aita,

ce qui assure la non-observabilité des cordes en mécanique quant ique. -

Précisons encore que les cordes de jauge intro- duites ici ne reposent pas sur la limite de London et ne

sont pas identiques aux lignes de singularités utilisées dans ce cadre-lâ . Simplement- à la limite mg_^oo.la sin- gularité de jauge est confondue avec la singularité in-

variante de jauge qui intervient dans le supercourant (2-18).

Précisons ceci en considérant une ligne de flux statique à la limite de London ,décrite dans une jauge unitaire.

L'équation (2-11) devient

T = _ Â ' ) V Â ' = 0 (û-'^^)

où Â est le potentiel vecteur dans la jauge unitaire.

L'équation (2-10) nous conduit maintenant â un résultat incorrect

A À' _ m^^ Â'= o (2.43)

(35)

26

qui est inconsistant avec (2-17) et (2-37). Cependant on voit facilement que le terme manquant dans (2-4-3) vient j'- dans la jauge singulière^. du tenseur M^v qui contribue par un courant solénoïdal _ 'è^ H''"'**'' dans (2-37). L'équation correcte pour A est par conséquent

qui est en accord avec (2-17).

Le formalisme développé dans ce paragraphe sera particulièrement utile dans la suite de ce travail. D'abord il peut s'appliquer à la théorie des monopôles magnétiques

(24) . .

de Dirac sans grande modification,les cordes de jauge

devenant les nécessaires lignes de singularités du potentiel vecteur. D'autre part les jauges singulières seront abonda- ment utilisées pour présenter la généralisation des mono-

" (25)

pôles de Dirac dans les groupes de jauge non-Abéliens et lors de l'établissement au chapitre 3 des règles de quanti- fication des charges magnétiques de ces monopoles^^

Finalement le modèle de confinement électrique des quarks que nous présenterons au chapitre 5 fera appel au même formalisme pour la description des tubes de flux.

(36)

2 7

Chapitre 3 : Monopoles magnétiques

3.1 Monopoles de Dirac

Il est possible d'introduire des monopôles magnétiques dans la théorie de Maxwell de 1'électromagnétisme par le trai- tement symétrique du tenseur "f^y et de son dual ; plus

précisément on conserve l'équation (2.37) ^ ^ F ^ ^ s -

tandis que (2.39) est modifiée par l'introduction de sources magnétiques.

\ F-*-^^ = (3.1)

Remarquons immédiatement que le lien entre le potentiel vecteur et le tenseur F^v doit être modifié puisque les identités de Blanchi

découlent de - - '^/^ '

Il est intéressant de savoir si l'équation (3.1) est néanmoins compatible avec la description de 1'électrodynamique en termes d'un potentiel vecteur , description qu'il est

important de conserver puisque joue un rôle essentiel en assurant l'invariance de jauge de seconde espèce à travers le couplage minimal aux champs de matière.

Notre étude de la supraconductivité (chapitre 2) suggère une réponse â cette question. En effet nous avons vu qu'une corde de jauge engendrée par un courant solénoîdal

'b^ H*^^ contribue à ^ v p a r un pur terme de jauge; il s'en suit qu'une corde ouverte finie ne peut qu'ajouter un terme dépendant de ses extrémités à La figure 3 où deux cordes fermées

possèdent une partie commune illustre clairement ce fait.

La linéarité des équations de Maxwell implique que le champ au ' point P à l'extérieur des solénoîdes est identique pour les

(37)

28

deux cordes ouvertes II et II ' et par conséquent dépeiid unique- ment de leurs extrémités A et A'. Par symétrie le champ qui émane de chaque extrémité doit être radial et A et A' portent donc respectivement une charge -i-g et -g.

^Cx) g cil')

p p

Indépendance du champ de la forme d'une corde ouverte Fig. 3

Ces remarques nous amènent à présumer la modification suivante de en présence de monopoles

M

(3.i) (3.3)

où <j- et T- décrivent le mouvement d'une corde arbitraire dont l'extension spatiale est comprise entre l'infini et la position Z^^c-c) du monopôle; sont les charges des monopole

(38)

29

Les cordes (3-4) furent introduites pai^ Dirac et nous les appelerons cordes de Dirac.

Les équations du mouvement des potentiels A^c et des charges électriques et magnétiques dérivent du principe variation ne 1 suivant ".

où les deuxième et troisième termes donnent respectivement l'action des charges électriques et magnétiques.

Remarquons que la modification apportée dans la définition (3-2) du champ électromagnétique ne change pas le couplage minimal des champs de matière au potentiel vecteur (dernier terme dans (3.5)) l'invariance de jauge de seconde espèce est ainsi préservée.

Vérifions que l'action (3-5) donne les équations du mouvement cherchées en procédant comme au paragraphe 2.4/. La variation de (3-5) par rapport au potentiel vecteur conduit au premier groupe d'équations de Maxwell

Le deuxième groupe d'équations de 'Maxwell en présence de charges magnétiques résulte de la définition de f^v :

cù 1 ' intégrale de contour est prise le long dt; la direction positive de l'axe du temps.

)•

(39)

30

L'extension à la mécanique quantique requiert, comme dans le cas des singularités de jauge, la non-observabilité des cordes qui impose la condition de quantification de Dirac de la charge magnétique

où e est la plus petite charge électrique présente dans le système. De la relation (3-9) découle 1'inobservabilité de la contribution due au flux fictif M^^ cT c ^ dx/^ -,

cet accroiss'3inent de phase peut être isolé en prenant un contour infinitésimal autour de la corde.

L'équation (3-9) fut longtemps considérée comme un argument de faveur de la théorie de Dirac puisqu'elle prédit

D'universalité de la charge électrique. Cependant cette uni-

versalité découle d'une façon plus élégante de toute théorie dans laquelle le groupe de jauge de 1'électromagnétisme est an sous- groupe d'un groupe non abélien simple compact.

D'autre part on vérifie aisément que les variables des cordes de Dirac, variées à l'intérieur des surfaces balayées, n'introduisent pas de nouveaux degrés de liberté En effet la dérivation est identique â celle du paragraphe 2.4/ :

Q^F/^- [2,,7^1^. = l^lZ.Z^r. = o f3..o)

L'équation (3-9) impose aux courants électriques de ne jamais intercepter une corde de Dirac.

(40)

31 Cependant contrairement au cas du supraconducteur, cette

contrainte ne reflète pas une propriété physique du système mais plutôt une carence du formalisme . Ce veto de Dirac sur les

positions respectives des lignes de singularités et des charges électriques rend vraisemblablement caduqiîe la quantification

• ( 2 7 )

de cette théorie. Certaines tentatives ont été faites pour résoudre cette incohérence notamment par l'introduction du for- malisme des sections de Wu et Yang''^^^ Ces approches, ne ré- solvent cependant pas le problème crucial de la seconde quanti-

fication. Malgré ces réserves le formai i Riae développé ici se révélera utile dans la suite de ce travail. Il nous reste à effectuer la variation des coordonnées des extrémités des cordes de Dirac

où le théorème de Stokes a été utilisé en considérant la surface paramétrisée par a de - à o et par T de -oo à + oo

le long de la trajectoire de la particule. Le terme aux limites contribue puiqque la surface n'est pas infinie contrairement à (2-38) On trouve donc la force de Lorentz exercée sur un monopole magnétique

2,'

m

(41)

3 2

Enfin on vérifie immédiatement que l'équation du mouvement des charges électriques est

qui reproduit la force de Lorent?, à condition que le veto de Dirac soit respecté. Le principe variationnel (3-7) conduit donc aux équations classiques du mouvement correctes.

Remarquons pour terminer cette section qu'il est im- possible d'introduire des charges magnétiques par l'utilisation d'un second potentiel dans lè formalisme lagrangien.

3-2 Monopoles de 't Hooft - Polyakov

11 est intéressant de considérer le problème des singularités de Dirac d'un point de vue moins formel.

Nous allons montrer qu'il est impossible de décrire des monopoles magnétiques dans le cadre d'une théorie de jauge

^ ( 2 8 )

abélienne (électromagnétisme) sans introduire des singularités du potentiel vecteur. En effet le flux rayonné par un monopôle de charge g à travers une calotte sphériqueSest

^ K.àx = 2 T r < ^ ( t _ C4rte) = $ ( 3 . 1 3 )

X

E n e = o , f ( o ) = o e t «M, © = i r , f C T r ) =

Or en Os-ir , la courbe)? se réduit à un point et (3.13) devrait être nulle si le potentiel était régulier. Nous aurions pu touver ce résultat immédiatement en calculant le f l u x $ ' à travers la calotte sphérique S' : - dx^ a + air^j. (n-Ce^ 6) ce qui conduit à la même inconsistance puisque $ 4 - •

Cette contradiction nécessite l'introduction du terme de Dira:; dans (3.2).

(42)

33

Fig. 4 : Singularités du potentiel d'un monopôle.

Cette approche , permet de trouver la forme du potentiel d'un monopole lorsque sa ligne de singularités est le long de

l'axe z négatif. Dans la jauge V Â = 0 on trouve en utilisant la symétrie cylindrique du problème:

On vérifie que (3-14) est solution des équations de Maxwell (3-7) puisque

A A - = - - r , / _ 2 N ^ ,

et où =. «,T^ SCx)S(^) \

vient de la contribution de corde de Dirac

(43)

31+

Un obtient le champ magnétique pour un monopole i B = Vx  - = ^/ '^^

Rappelons que la condition d ' inobservabilite de cette ligne de Dirac exige que ^ïïe<^ = 2.tn o**. ~ '^/•^ •

En effet lors d'une expérience de diffraction d'un faisceau de particules chargées autour d'une ligne de Dirac (et dans une région loin du monopôle et où 6<£. ^ le déphasage sera donné par i"e ^ A,.d^ où C est une courbe fermée autour de

la ligne de Dirac.

Si l'on calcule la circulation de A le long de cette courbe

fermée, on retrouve comme condition d'inobservabilité la condition de quantification de Dirac .D'autre part si en chaque point de la courbe C est associé un élément du groupe de jauge on

obtient une application de C sur une courbe de l'espace du groupe.

L'uniformité de la fonction d'onde implique que cette dernière courbe soit fermée. Par conséquent une lacet dans l'espace corres- pond à un élément du premier groupe d'homotopie. du groupe de j auge.

Ce lien avec la tODOlogie du groupe va nous permettre d'analyser la nature des singularités de Dirac et de montrer la

• ' (25)

possibilité de construire des monopoles magnétiques , solutions régulières (sauf en un point) des équations du mouvement, dans des théories de jauge non abéliennes. En effet considérons un monopole de Dirac dans cette théorie. Au DÔle nord N d'une

sphère imaginaire (voir fig.5) dans laquelle pénètre une ligne

de singularitésde Dirac^ la circulation du potentiel sera non nulle.

La validité de la mécanique quantique exige comme nous avons vu qu'un parallèle soit homomorpbe à une courbe fermée dans l'espace du groupe. Cependant si le goupe de symétrie est tel que cette

(44)

35

courbe soit homotope â zéro (réductible continuement en ce point), on pourra par une transformation de jauge continue en d

éliminer la ligne de singularités.

Fig. 5

La ligne de singularitésde Dirac pourra être éliminée. La structure globale du groupe de jauge détermine donc la nature de la singularité : de jauge ou réelle. Par exemple dans le

cas de 1 'électromagnétisiria, dont le groupe de jauge U(l) possède une infinité dénombrable Z de classes d'homotopie différentes , on retrouve la nécessité d'une singularité du potentiel vecteur.

Nous reviendrons en détail sur la justification de ces considérations intuitives dans les sections suivantes.

Maintenant passons â la construction explicite d'une - . ^ " (25)

telle solution régulière (le monopole de 't Hooft - Polyakov ) (29)

en suivant cette démarche . Considérons une théorie décrite

par le lagrangien invariant sous une transformation du groupe S0(3)

(45)

36

Le paramètre ^* est choisi négatif de telle sorte que le champ acquiert une valeur moyenne dans le vide non nulle.

Le champ scalaire <^'*' appartient â la représentation adjointe du groupe. Sous une transformation de jauge la champ A^se transfor- me suivant

s A';: = i l A;: j^si'

d n.sr' ^

3.20

Les équations du mouvement sont

On cherche une solution de ces équations qui soit statique et â énergie finie.

Pour satisfaire à cette dernière exigence le comportement asymptotique de ^ est déterminé par

^ = o <\>^4>^ = ^ = F ( 3. 2 0

(46)

3 7

En général on choisit une jauge telle que le scalaire isovectoriel pointe dans une direction déterminée dans l'espace du groupe.

Dans cette jauge dite abélienne ^^^^ une solution de (3-26) est

= 4 a = ° , +1. = i f tandis que (3 - 25) et (3 - 23) donnent

Ces équations admettent des solutions du type monopole de Dirac.

L'élimination de la singularité de Dirac requiert une transformation de j augei2(e|>f) du type décrit plus haut c'est-â- dire telle qu'en 9=o Jfl(6,f) réalise une rotation de

lorsque f varie de o à zir et une rotation nulle en 6=-T^où & 0

*f sont les angles polaire et azimuthal dans l'espace.

La matrice

(25a) réalise une telle transformation de jauge

L'équation (3-21) donne

Le premier terme dans (3-3D effectue en chaque point de l'espace-temps une rotation d'un angle & autour de Tjdans 1'isoespace du vecteur oJr

La nature de cette rotation peut être visualisée dans l'espace à 3-dim.ensions en prenant un vecteur constant dans l'isoespace dirigé le long de l'axe 3 et de longueur unité dans l'espace.

(47)

38

Si on superpose deux systèmes de coordonnées cartésiens st (1,2,::!) dans l'espace et 1 ' isoespace alois JX

transforme 1 ' iso-vecteur <^''=. (^o^c^ i) en un nouvel iso-vecteur 4> = , ^ , JÎL^ D'autre part on voit immédiatement d'après la fig.

que "o^SL doit être singulier le long de l'axe-Z négatif puisque ce terme est proportionnel à 'à^'f et que son coefficient varie de 0 â-| lorsque^varie de 0 à TT. Par conséquent ce terme annule la singularité de corde si

eg = l

soit deux fois la valeur minimale de Dirac.

La transformation de jauge (3-3 0) donne

- a r u - ' = J<l-T''^ x , T ( 3 . 3 3 )

et

= ^ e A ^ ( x r t ) ^ u - A i r r - ( 3 . 3 f )

ou É-^ok est le tenseur antisymétrique de Levi-Civita si et est égal à zéro si |i=o

Ces deux résultats nous donnent la valeur des champs dans la nouvelle jauge

^"^ ' ^ Û ( 3- 3 6 )

(48)

3 0

>

jauge abélienne

jauge sphérique

- 4> eV f

Transformation de jauge (3-30) pour un isovecteur constant dirigé le long de l'axe 3 d'isospin

Fig. 6

(49)

no

Les champs (3-35) et (3-36) sont solutions des équations classiques du mouvement sauf en un point . Cette singularité ponctuelle peut être éliminée en multipliant 2^ et par des facteurs de forme tels que ces solutions soient partout ré- gulières. Le champ scalaire est radial dans l'espace d'isospin en chaque point de l'espace (fig 6) : la symétrie initiale G=S0C3) est brisée et seule subsiste une invariance H=U(1) qui correspond au petit groupe de (^i"^ . On remarque que la solution (3-35) inter- pole entre les différents minima du potentiel \l(<^) à l'infini et que seule la présence du champ de jauge dans l'équation (3- 23) rend finie l'énergie de cette solution.

Le lien entre le champ de jauge et le triplet d'iso- spin apparaît clairement si l'on construit un tenseur électro- magnétique invariant de jauge. Ce tenseur introduit par

,^ „ ^^(25a)(29) ^ , . 't Hooft est d e f m i par

f> v = - 1 ^.U 4 " ^ ^ $ ' ^J" C 3. 3 ? )

Il peut s'écrire sous la forme suivante

o ù M ^ v = V - '^v ( S . M o )

e

(50)

41

On constate immédiatement que dans la jauge Abélienne fvw = A V - t*^- AÎv c'est-à-dire que l'on retrouve la

définition usuelle du tenseur électromagnétique.La défini- tion traditionnelle du courant magnétique

1^"^= ^ Z^^"^ e)p f,<|i, se réduit dans une jauge régulière à

Dans une telle jauge le courant électromagnétique conservé est complètement indépendant des champs de Yang-Mills.

La loi de conservation de la charge magnétique qui en découle est purement topologique et procède du développement suivant

Cette dernière intégrale est effectuée sur la sphère X*x'*= R î^/{ _ j__ ( s/ j.'j. 'Sl'^ ^^'^ où f| et %^ paramétrisent

la sphère et l'intégrant est la racine carrée du déterminant du tenseur métrique de la sphère unité.A chaque point de la sphère correpond un point de la sphère unité et lorsque parcourt

la sphère à l'infini le vecteur 4^ parcourt la sphère unité n_j_ fois avec le signe positif et n_ fois avec le signe négatif.

(51)

U2

La différence n^ - n_ doit être un nombre entier puisque doit être uniforme.

M - ^ . surface de la sphère unité • n=vt -vi .C^-^^)

Alt e. ) + -

Ceci explique la conservation de la charge magnétique qui, quantifiée,ne peut être changée par l'évolution continue du système dans le temps. La loi de conservation topologique ^ '^^

obtenue peut être généralisée â des groupes G et H différents de S0(3) et U(l).En.effet si on suppose que le groupe G

agit transitivement sur l'espace des minima du potentiel du champ scalaire et si H est le sous-groupe de G non bri- sé par la solution statique alors l'espace quotient G/H est le lieu des minima du potentiel.La condition d'énergie fi- nie nous permet d'identifier chaque point à l'infini de l'espace avec un point de G/H . Rappelons que l'on cara- ctérise l'application d'une sphère à deux dimensions sur un espace par le second groupe d 'homotopie Tîj. de cet es- pace. D'autre part on démontre que la suite d'applications

est une séquence exacte ,c'est-â-dire que le noyau de 1 ' homomorphisme fa est l'image de 1 ' homomorphisme "-P-j Dans le cas où G est simplement connexe et simple on a

! -> TT^ C'^/H) TT, CH) — 1 d'où rr^ C^ / H ) - TT, C H ) .

Cet isomorphisme permet de caractériser simplement les solutions topologiquement stables qui existent dès que H n'est pas simplement connexe. Dans le cas présenté^

TI, C H ) =r Tr^ ( U(1)) =: z donne le résultat obtenu.

(52)

4 3

Nous avons montré la possibilité de construire des monopoles magnétiques réguliers dans une théorie de jauge non abélienne. La charge magnétique est quantifiée et la stabilité topologique de cette charge dépend du groupe de jauge non brisé.

En général la condition de quantification dépend du groupe de jauge.

^ans la suite de ce chapitre nous allons dériver les conditions de quantification des charges magnétiques des monopôles de 't Hooft pour tous les groupes de Lie simples compacts

Nous analyserons aussi les lois de conservation topologique qui leurs sont reliées et la possibilité d'introduire des mono- pôles de Dirac non abéliens.

La déduction de ces résultats nous conduit à rappeler certains théorèmes de la théorie des groupes de Lie et à fixer les notations.

3-3 Souvenirs tronqués d'un voyage en groupe(31)

Les définitions et théorèmes énoncés dans ce paragraphe s'appliquent â des groupes de Lie compacts connexes semi-simples G dont l'algèbre de Lie sera notée g.

(53)

44

a) Algèbre et décomposition de Cartan.

On appelle sous-algèbre de Cartan de g une sous-algèbre de Lie t abélienne maximale.

La dimension de t est égale au rang r de £ .

Toute algèbre de Lie g possède des sous-algèbres de Cartan;

chacune d'elles engendre un tore maximal T c'est-â-dire un sous- groupe de Lie abélien compact connexe de G.

On démontre (théorème I) que tout élément de G est contenu dans au moins un tore conjugué gTg~^ (g"€. G ) d'un tore maximal fixé T.

Nous serons amené à utiliser certains corollaires de ce théorème (i) deux tores maximaux de G sont conjugués

(ii) tout générateur de G est le conjugué d'au moins un générateur de T

(iii) tout élément de G commutant avec tous les élé'ments de G est contenu dans T et, le centre de G, Z (G) C. T Une sous algèbre de Car'^'^"^ t induit dans g les sous-espaces

Ê < = t ^ * ^ H ' r ' 4 = 0( (T) X pour t } où 0^ prend des valeurs sur t dual de ^ ( ensemble, des formes linéaires sur t ) qui définissent une décomposition de Cartan de ^

S - :t + E (théorème II)

OÙ ^ est le sous-ensemble des non nuls et tels que 0 Remarquons que t^ =

Les éléments de <^ , appelés racines , sont en nombre fini.

Cet ensemble de définitions permet d'établir les propo- sitions suivantes :

-Pour tout ^ , & € b ' ^ , [ ^ ^ , f.^-] C

-Si et^-€teL- ck * ^ ^0 , oJbo-n «M ,i>owt or+tvO(goi^-="^ ^ievUvevwe^^t-

à la forme de Killing K de _g définie par Tr(adX oad Y) où adX

(54)

45 est 1'endomorphisme de g tel que à tout Z, [adX z]=[x,z]

(Par exemple si on choisit pour base de £ un ensemble Xj_ de

générateurs et si ^ijk sont les constantes de structure on obtient TadT. oadT.l T, = -c.^^ c , v.T _^ „ r , „ ,^1 • • N t.^ A-^ C L i D i k 1 ] k ^ s e t Tr\ adTjoadT.j = K(i,] )t ^i..*-y • k<^

particulier: K(^,£ ) = 0 pour v et la restriction de la forme de Killing à t est non dégénérée, (théorème III)

On peut identifier t avec t : â tout <^ t correspond, un élément unique tel que (T) =K(T^,T) pour tout T-£ t

Théorème IV

a) ^ sous - tend t

b) si d^-C <^ alors - cK € ^

c) soit tX-e ^ , X-d^^ , Y-é-g^,alors [X,Y] = K(X,Y)

d ) si c's.-e. ^ alors | ^ g . e < 5 £ - u n i d i m e n s i o n n e l et H est sa base

e) ol,(H^)= K(H^,Hd^) ^ 0 pour o( -£ Ç

f ) si c<^-€.^ et si X ^ e s t un élém.ent n o n n u l de

il existe Y ^ £ g _^ tel que X ^ ,Y^ ,T^=[Xj,Y^^

sous - tendent une sous-algèbre simple de £ isomorphe â SL(2,C) : X,-^

^^ T-i - 2Ho<. ; T = - T .

D'autre part on démontre que ^ définit un système de racines de rang r dont la définition axiom^atique est la sui-

vante : Un sous-ensemble"^ d'un espace euclidien E de dimension r est un système de racines de E si

a) ^ est fini, sous-tend E et ne contient pas 0 b) sio(€.'^ les seuls multiples deo( dans~^ sont't.O^

c) sio^^'§ la réflection <3".t Cp)= p - I ^ ^ ^ d , -él 2 pour-tout ^-e. ^ (ici i'^yA] est le produit sca- laire) ^ ^

d) si oC ^ Ç ^'^v P > ^ ^°^'f ^ ^

(55)

46

Ce dernier axiome quantifie l'angle séparant deux racines et le rapport de leurs longueurs.

Les valeurs possible de cet angle sont X 3. , 2J TT 3j 2. ' 3 3 •* M- tf

C T

Les réflections CT^ forment le groupe de Weyl W, Enfin les éléments 4*^ = ^ = ) " } forment aussi un système de racines appelé système dual de $ . Continuons l'étude des systèmes de racines.

Un sous-ensemble A de $ système de racine de rang r est appelé base cie ^ lorsque

a) A est une base de E

b) chaque racine p> $ peut être écrite comme

(b = Zi o< ( «-e A) o-vtc des coéfficients V non négatifs ou tous non positifs.

Les racines qui composent A sont les racines simples On appelle graphe de Dynkin de $" (relativement à une base A ) le graphe dont les sommets sont les éléments de A , deux sommets distincts oC et ^ étant joints par 0,1,2 ou 3 arrêtes suivants que <^ o<^ . <• jS , o< > = ou. 3 .

Un flèche entre deux sommets pointe vers la plus petite racine.

Le graiphe â« Dynkin d'un système de racines!' suffit pour déter- miner sa matrice de Cartan définie par ( <o<^,ev^->_)

Tout système; de racines ^ irréductible de rang "6 (c ' e^st-à-dire s'il n'est pas décomposable en deux sous-systèmes or1h ogonaux) est

associé à l'un des graphes de Dynkin- Coxeter suivants

A , f ^ > 1 ) o o o p o

^2)

0

o

-0 0 —

(56)

47

o-1 -0--

0- -a--

e

-0-

-^^^^ ^

Or- O-.

a —°<f

0 < 0, ( 2.

Les graphes de Dynkin irréductibles déterminent une classification de toutes les algebres de Lie simples.

L'existence de cette classification repose sur les deux théorèmes suivants :

a) Soit ^ un système de racines. Il existe une algèbre de Lie semi-simple dont le système de racines est isomorphe à $

Figure

Updating...

Références

Updating...

Sujets connexes :