Modélisation et simulation de la réponse des éléments des structures métalliques influencée par des paramètres de cisaillement

Modélisation et simulation de la réponse des éléments des structures métalliques influencée par des

paramètres de cisaillement

Oubraham Chahrazad

Unité de Recherche Matériaux Procèdes et Environnement UR- MPE

Boumerdes, Algérie oubraham.chahrazed@yahoo.fr

Benyounes Khaled

Laboratoire Génie Physique des Hydrocarbures, FHC, Université M’hamed Bougara de Boumerdes, Algérie

Boumerdes, Algérie khaled_benyounes@yahoo.fr Sahoui Hamza

Département de Génie Civil. Faculté de Génie de la Construction Université Mouloud Mammeri

Tizi Ouzou, Algérie Sahamza16@yahoo.fr

Benmounah Abdelbaki

Unité de Recherche Matériaux Procèdes et Environnement UR- MPE

Boumerdes, Algérie benmounah2000@yahoo.fr

Résumé— Les éléments métalliques structuraux (poutre, tôle), sont des éléments importants pour la réalisation des ouvrages civils et industriels. Pour leurs utilisations optimales, il est nécessaire d’étudier l’évolution du comportement d’une structure métallique jusqu'à rupture. A cause de leur géométrie, la théorie de résistance des matériaux ne peut pas décrire convenablement leur comportement, par contre les méthodes numériques permis de simuler le comportement non linéaire des structures jusqu'à la ruine. Dans le cadre de cette étude on s’est intéressé à la modalisation et l’influence du paramètre de cisaillement β, sur la réponse des structures planes métalliques chargées dans leur plan. Le modèle développé utilise la méthode des éléments finis avec des éléments isoparamétriquees quadrilatéraux à huit nouets, le comportement bidimensionnel de l’acier est base sur le cratère de von-mises. L’évolution de l’état de fissuration est prise en compte par la mise à zéro du modèle.

D’élasticité selon la direction de la fissurée et par la redistribution des contraintes correspondantes la simulation du comportement bidimensionnel de l’acier s’appuie par l’emploi dans la matrice d’élasticité de l’élément d’un paramètre de cisaillement β variable, fonction de l’ouverture de la fissure. Les résultats obtenus par l’application de ce modèle (les courbes chargements- flèches) sont comparés avec d’autres résultats obtenus dans la littérature.

Mots de clés— Modélisation, simulation, loi de comportement, fissuration, paramètre de cisaillement, éléments métalliques.

I. INTRODUCTION

L’objectif de ce travail est la modélisation et simulation de la réponse des éléments de structures métalliques, chargés dans leur plan, influencée par le paramètre de cisaillement. Pour la modalisation du comportement élastoplastique d’un élément métallique plan soumis à la compression, un programme de

calcul est développé basé sur un nouveau modèle matériel qui tient compte de la fissuration. Pour décrire le comportement global du matériau considère, une modélisation de la fissuration par approche continue combinée à la plasticité avec écrouissage non linéaire a été employée. Aussi, pour calculer le transfert de contraintes tangentielles à travers la fissure, différentes valeurs du facteur de conservation de cisaillement ont été réinsérées dans la matrice de rigidité. Le modèle ainsi élaboré, sera implanté dans un programme de calcul par éléments finis. Pour sa validation finale, trois types de comportements y sont traités (fragile, semi fragile et ductile).

Une comparaison entre les résultats numériques et les résultats analytiques relatifs au modèle a montré que les résultats obtenus par ce programme sont en corrélation parfaite avec les résultats expérimentaux pour un intervalle de valeur du facteur de cisaillement bien précis.

II. MODALISATION PAR ELEMENTS FINIS DU MATERIAU FRAGILE

Le développement rapide des techniques d’analyses numérique a fourni un outil très puissant d’analyse non linéaire des structures, la méthode des éléments infinis est l’un de ces techniques elle a été notamment utilisée pour prévoir le des structures comportement des structures jusqu'à la ruine. En compression, les matériaux fragiles ont été considérés comme des matériaux linéaires élastiques. Nilson [1] à introduit la non linéarité matérielle dans l’analyse en utilisant la résolution par la méthode incrémentales. Quant a la fissuration, elle à été présentée par l’approche dite modèle de la fissuration directe, suite a des difficultés numériques, Rashid [2] a introduit le modèle dite fissuration continue. Dans plus Rashid considère

que le matériau fragile est un matériau élastoplastique. La deuxième approche est la plus utilisée dans l’analyse des structures par la méthode des éléments infinis car elle donne une bonne description de l’état de contraintes.

II.1 MODALISATION PAR ELEMENTS FINIS DU MATERIAU FRAGILE

On adopte une loi de comportement élastoplastique pour un matériau fragile soumise à des efforts de compression. Un essai de compression simple sur une éprouvette en fonte grise, présentés sur la figure 1.

Fig. 1. Courbe contrainte-déformation pour un matériau fragile

Tel que la déformation totale



est la somme d’une déformation élastique



^eet une déformation plastique



^p



p ₊



^e₌



II.2 SURFACE DE CHARGE ET LA REGLE DE LA

DECHARGE

La surface de charge est une fonction de l’état de contraintes et du paramètre d’écrouissage H qui gouverne son évolution. LE paramètre h est déterminé dans un essai uniaxial contrainte- déformation (figure.2) et s’exprime en fonction de la contrainte effective,



et de la déformation effective



_p . Cependant, la fonction de charge peut être réécrite comme suite :

 ^

^,

^ 

^0

f

Fig. 2. Idéalisation du comportement pour du matériau

Tel que



, est considérée comme une fonction de la composante de la déformation plastique dans la courbe uniaxiale contrainte – déformation (figure2) et s’exprime en fonction de déformation plastique multiaxiale moyennant deux méthodes [3], [4] et [5].

Le travail plastique par unité de volume est donné par :

  ^ 

^d

^  ^

^d

^

dw^p  ^p  .

La déformation effective plastique,



^p est simple combinaison des incréments de déformations plastiques.

   

p T

p d

d c

d



 .

 

Avec c, une constante.

La relation entre



et



est donné par deux méthodes. La première méthode est appelée Parabole de Madrid [6]

2

.

. 2 

 



u

E  E



D’âpres la loi de Hooke,

e E







En substituant les deux équations, on trouve la relation entre la déformation effective



^p _et



la contrainte effective.

u p

p

E

E   

   .  2 .

²

.

,

0 . 3 f

_u

   f

_ L’équation précédente donne la relation entre la contrainte effective



et la déformation effective



^p .

La deuxième méthode proposée dans [7] considère la partie non linéaire de la courbe contrainte déformation comme un quart d’ellipse. En utilisant l’expression de l’ellipse, la relation entre



et



s’exprime comme :

1

2

 







 









 

 





 









P P f

f

f

_p

y u

y





La relation elliptique entre



et



utilisée afin de formuler la relation entre



et



est :

p y

p y

u

p

d

f P P

f d f

H

d 



 

 . . .

2























 





 







 



Avec H étant paramètre d’écrouissage.

II.3 CRITERE DE RUPTURE

Le principal type de représentation des cratères est l’espace des contraintes principales



₁,



₂et



₃. Cette représentation possède l’avantage d’être valable pour touts les types de critères. On trouve dans littérature, [3], toute une variété de critères dont voici quelques uns :

II.3.1 CRITERE DE CONTRAINTES DE TENSIONS MAXIMALES DE

RANKINE

Ce critère consiste à imposer à chacune des contraintes principales d’être inferieures à la résistance de tension du matériau ft.

Les équations des surfaces de ruptures sont définies par critère comme :



1=ft ,



₂ =ft ,



₃=ft

Le critère généralement utilisé en mécanique des sols.

II.3.2 CRITERE DE CONTRAINTES DE CISAILLEMENT DE TRESCA

Ce critère est porté sur la contrainte tangentielle maximale.

Grace au cercle de Mohr, on démontre facilement que la contrainte tangentielle maximale est égale à _{max 1 3}

2 1

 



 

Avec



_maxest contrainte tangentielle limite.

Le critère généralement utilisé pour les métaux.

II.3.3 CRITERE DE MOHR-COULOMB

Ce critère est gouverné par la relation suivante :

( )

  f

Et assimile cette fonction à une droite faisant un angle



dans le plan de Mohr :

  c   . tg 

Tel que



: Angle de frottement interne et C : Cohésion du matériau.

Fig. 3. Représentation de critère dans le plan de Mohr

II.3.4 CRITERE DE VON MISES

La présence d’un point anguleux sur la surface de charge de Tresca suggère à Von Mises l’aide de remplacer le prisme hexagonal par un cylindre circonscrit sur celui-ci (figure4). Ce critère à un paramètre et il sera aisé de vérifier qu’il ne peut être que pour des matériaux dont la limite élastique en traction est en module égale à la limite d’élasticité en compression.par conséquent, il est plus adapté pour les métaux et il a l’inconvénient de vérifier la traction hydrostatique infinie.

Fig. 4. Représentation de critère de Tresca et celui de Von Mises dans un repère des contraintes principales

II.3.5 CRITERE DE NADAI

La surface limite de Nadai [8] de type Drucker-Parger [9]

se traduit par deux équations suivantes, en fonction des contraintes octaédrales



_oct et



_oct :

1- En compression biaxiale :

0 ) .

1 . 2 .(

3 . . 2

1 . 2 . 1

2 

 



 

_



 





_oct



_oct

f

1

 0



et



₂

 0

2- En traction biaxiale et en traction-compression

0 ) .

1 .(

3 . 2 . 2

1 . 1

2 

 



 

_



 





_oct



_oct

f

1

 0



et / ou



₂

 0

Avec :

3

2

1





_oct 



^ , ¹_{2 2}² ₁

.

₂

3

2    



_oct

  

c t

f

 f



: étant le rapport de la résistance du matériau en traction simple à la résistance en compression simple,

f

c

f

_

 

: étant le rapport de la résistance maximale du matériau en compression biaxiale (pour



₁

 

₂) à la résistance en compression simple. Les essais de Kupfer et Al [10] montre que les coefficients



et



sont respectivement voisins de 0,1 et 1,16.

La surface de charge est réduite de la surface limite en compression biaxiale comme :



_oct

 a . 

_oct

 b . f

_c

( H )  0

Où

1 . 2

) 1 .(

2



 



a 

,

) 1 . 2 .(

3 . 2

 



b 

et H étant le paramètre d’écrouissage.

C’est ce critère qui sera utilisé dans ce ressente travail

II.5 PROCEDURE DE CALCUL NON LINEAIRE

Une structure est chargée expérimentalement et ces éléments possèdent une seule relation contraintes-déformations.

L’analyse peut être définie simplement en connaissant la géométrie de la structure, les propriétés mécaniques du matériau constituant la structure, les conditions aux limites et le chargement. La solution non linéaire est souvent obtenue par l’une des méthodes itératives suivantes :

- La méthode de la rigidité initiale, - La méthode de la rigidité sécante, - La méthode de la rigidité tangente.

La relation contrainte-déformation pour différents éléments de structures non linéaire en compression et linéaire en tension.

Les étapes du calcul sont les suivantes :

1. introduction des données nécessaires pour le maillage 2. introduction des conditions aux limites

3. génération du maillage

4. appliquer un incrément de charge Δfi

5. début de la procédure itérative (Newton Raphson) 6. analyse par la méthode des éléments infinis

7. évaluer le vecteur de contraintes résiduelles, {σ₀}, et le vecteur des forces résiduelles, {f0},

8. calculer la norme du vecteur de forces résiduelles, {f0},

- Si la norme de {f0} est inférieure à la tolérance. La Convergence est vérifiée. Si le chargement final n'est pas atteint, appliquer un nouvel incrément. Répéter les étapes précédentes à partir de (4).

- Si la norme de {f0} est supérieure à la tolérance. La convergence n'est pas vérifiée et le nombre d'itération maximum n'est pas atteint, répéter les étapes précédentes à partir de (5).

9. affichage des résultats.

Fig. 5. Organigramme de calcul

II.5 APPLICATION ET DISCUTIONS DES RESULTATS II.3.1 EXEMPLE D’UNE PLAQUE EN ACIER DOUX [11]

Début

Introduction des données nécessaires au maillage

Début des iterations

Evaluations des quantités

 

0



et

  f

0

Résolution du système d’équilibre Par la méthode des éléments Calcul et assemblage de la matrice

Test de convergence ^f0 ^{ tolérance}

Fin

Oui Non

Construction da la matrice des degrés de liberté

Une plaque en acier doux soumise à une force répartie uniaxiale.

Fig. 6. Modèle physique d’une plaque en acier doux sollicitée à la traction

Les caractéristiques mécaniques sont données sur le tableau1

TABLEAU 1. CARACTERISTIQUES MECANIQUES DE LA PLAQUES DOUX EN TRACTION

Propriétés du matériau Chargement appliqué Module d’élasticité E=205800Mpa

Coefficient de poisson v = 0.3

Force de traction F= 1550KN Limite élastique fy=313MPa Limite a la rupture ft= 313 MPa

Fig. 7. La moitié du modèle par élément fini

Fig. 8. Courbe force déplacements à mi-travée pour les différentes valeurs de Béta (plaque de 60éléments)

Fig. 9. Déplacements à mi travée à F= 1550KN pour les différentes valeurs de Béta ²

II.3.2 EXEMPLE D’UNE POUTRE ISOSTATIQUE EN FONTE GRISE [12]

La poutre est soumise à une force concentrée, uniaxiale, comme le montre la figure.8. Les caractéristiques mécaniques du matériau, le chargement appliqué sont illustrés sur le tableau.2, et la géométrie est donnée sur la figure suivante :

Fig. 10. Modèle physique de la poutre isostatique en fonte grise soumise à une force concentrée

Les caractéristiques mécaniques sont données sur le tableau2

TABLEAU 2. CARACTERISTIQUES MECANIQUES DE LA POUTRE Propriétés du matériau Chargement appliqué Module d’élasticité E=116000Mpa

Coefficient de poisson v = 0.3

Force de traction F= 40KN Limite élastique fy=972MPa Limite a la rupture ft= 124 MPa

Fig. 11. La moitié du modèle par élément fini

Fig. 12. Courbe forces-déplacements à mi travée pour les différentes valeurs de Béta (poutre de 20 éléments)

Fig. 13. Déplacement à mi travée pour différentes valeurs de Béta dont F=40KN

Fig. 14. Déplacements à mi travée en fonction du nombre d’éléments pour la poutre isostatique

II.3.3 EXEMPLE D’UN PANNEAU DUCTILE (SEMI FRAGILE) [12]

Un panneau en fonte ductile qui a été étudié expérimentalement par M.Hecht. Les caractéristiques mécaniques du panneau sont données au tableau.3, et sa géométrie sur la figure.9.

Fig. 15. Modèle physique d’un panneau en fonte ductile (semi fragile) soumis à une force concentré

Les caractéristiques mécaniques sont données sur le tableau3

TABLEAU 3. CARACTERISTIQUES MECANIQUES DE LA PLAQUES DOUX EN TRACTION

Propriétés du matériau Chargement appliqué Module d’élasticité E=150000Mpa

Coefficient de poisson v = 0.3

Force de traction F= 55KN Limite élastique fy=900MPa Limite à la rupture ft= 500 MPa

Fig. 16. La moitié du modèle par élément fini

Fig. 17. Courbe forces-déplacements à mi travée pour les différentes valeurs de Béta (poutre de 20 éléments

Fig. 18. Déplacement à mi travée pour différentes valeurs de Béta dont F=55KN

Fig. 19. Déplacements à mi travée en fonction du nombre d’éléments

III. CONCLUSION

Il est présenté ici un modèle de calcul numérique pour évaluation de la réponse des éléments de structures métalliques sous l’action des charges statiques dans le domaine élastoplastique. La précision des solutions obtenues par la méthode des éléments infinis dépend essentiellement de la taille d’élément utilisé (voir figures 14 et 19), plus le maillage est raffinée plus la précision de la solution s’améliore. Son utilisation efficace dépend de la compréhension du problème à analyser. Les résultats de simulation numériques s’accordent bien avec les résultats expérimentaux. On constate aussi que le choix d’un paramètre de cisaillement joue un rôle important dans la réponse globale des éléments métalliques. La valeur de β comprise entre 0.3 et 0.5 pour les matériaux fragile et semi fragile et entre 0.0 et 0.3 pour le matériau ductile donne des résultats satisfaisant (voir figures 8, 12, et 17).Pour les futures recherches et comme perspective, une amélioration peut être obtenue en introduisant dans le modèle un facteur de cisaillement β qui diminue lorsque la déformation normale à la fissure augmente c'est-à-dire un coefficient qui varie en fonction de l’ouverture des fissures. Une remarque est portée sur l’influence du facteur de cisaillement du matériau, car il joue un rôle assez important. Un consensus pourrait être fait sur la valeur de 0.3 car elle a donnée des résultats satisfaisants dans les applications.

REFERENCES

[1] Nilson A. H., Non Linear Analysis Of Reinforced Concrete by the F.E.M.- J.A.C.I, 1968.

[2] Rashid, Y. R. « Analysis of Prestressed Concrete nuclear reactor structures », unpublished notes presented at conference on prestressed concrete nuclear reactor structures, University of California, Berkley, March 1968.

[3] De Borst, R., Smeared Cracking, Plasticity, Creep, And Thermal Loading-A Unified Approach, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1987, vol. 62, pp. 89-110.

[4] Rots, J.G. Smeared And Discrete Representations Of Localized Fracture,. International Journal of Fracture, 1991, vol. 51, pp.45- 59.

[5] Weihe, S., Kroplin, B., De Borst, R. Classification of Smeared Crack Models Based on Materiel and Structural Properties, International journal pf solids and Structures, 1998, vol; 35, n°12, pp.1289-1308.

[6] Owen D.R.J., fgueiras J.A. et Damjanic F., Finite Elements Analysis Of Reinforced concrete Structures Including Thermal Loading, com. Mech., vol.41, pp 323-366.

[7] Lin F.B., Bazant Z.P.,et Marchertas A.H., Material Model With Normality And Sequential Identification, Com Struct.Vol.26, 1987, pp 1011-1025.

[8] Nadai A., Theory Of Flow And fracture Of solid, Deuxieme edition, New York, Mc Graw Hill, 1650, Vol.1, 572 p.

[9] Drucker D.C., Prager W., « Soil mechanics and plastic analysis or limit design », Quart. Appl. Math., 1952, 10, 157-165.

[10] Kupfer, H.B., Gerstle, K.H., « Behaviour of concrete under biaxial stresses », Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 1973, Vol.99, n°4, pp. 853-866.

[11] Jeom Kee Paik, Y.V. Satish Kumar, Jae Myung Lee, Ultimate Strebgth of Cracked Plate Elements Under Axial Compression Or Tension, Elsevier, Thin-Walled structures 43(2005) 237-272.

[12] M.Hecht, Eléments Pour Le Calcul Des Pièces En Fonte Supportant Des Efforts De Flexion, Ctif, 1957.