Isomonodromy equations, algebraic solutions and dynamics

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Isomonodromy equations, algebraic solutions and

dynamics

Arnaud Girand

To cite this version:

Arnaud Girand. Isomonodromy equations, algebraic solutions and dynamics. Complex Variables

[math.CV]. Université de Rennes 1; Université Bretagne Loire, 2016. English. �tel-01368560v2�

THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1

sous le s eau de l'Université Bretagne Loire

pour le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE RENNES 1

Mention : Mathématiques et appli ations

É ole do torale MATISSE

présentée par

Arnaud Girand

préparée à l'unité de re her he 6625 du CNRS : IRMAR

Institut de Re her he Mathématique de Rennes

UFR de Mathématiques

Équations

d'isomonodromie,

solutions algébriques

et dynamique.

Thèse soutenue à Rennes

le 31 août 2016

devant le jury omposé de :

Serge Cantat/Dire teur de re her hes 

CNRS, UniversitédeRennes1/dire teurdethèse

Guy Casale / Maître de onféren es 

UniversitédeRennes1/examinateur

Bertrand Deroin/Chargé de re her hes

CNRS,É oleNormale Supérieure/examinateur

Lu ia Di Vizio/Dire tri e de re her hes

 CNRS, Université de Versailles Saint Quentin/

examinatri e

Oleg Lisovyy / Maître de onféren es 

UniversitédeTours/rapporteur

Frank Loray / Dire teur de re her hes 

CNRS, UniversitédeRennes1/dire teurdethèse

Emmanuel Paul Professeur  Université

Il n'est pas impossible que les remer iements onstituent lapartie laplus di ile à é rire

d'un tapus rit de thèse ; il s'agit en tout as de la partie qui tou hera le le torat le plus

vaste ...

Il est de outume de ommen er par remer ier ses dire teurs de thèse, et je ne vois

au une raison de déroger à l'usage. Serge Cantat et Frank Loray ont a ompagné mes

travauxpendant troisans(plusepsilon)ave ungrand professionnalismeetunepatien eà

l'épreuvedesballes. Ilsont ha unàleurfaçonfaçonnémondéveloppementmathématique,

et je pense (et espère) que ela se ressent dans le présent do ument. Mais au delà des

mathématiques que j'ai appris à leur onta t, Serge et Frank ont été un point d'an rage

etunsoutiendont jeleursuis redevableetre onnaissant. Travailler de ette façon durant

trois ansave les mêmespersonnes demande un ertaindegré de ompatibilité, et je suis

heureux de l'avoirtrouvé hez eux 1

.

Je souhaite aussi remer ier haleureusement Oleg Lisovyy et Emmanuel Paul d'avoir

a eptéd'endosserlerlederapporteurs. Tousdeuxontétédebon onseiletjamaisavares

d'en ouragement à mon endroit et je suis honoré du temps qu'il ont dédié à l'évaluation

de mes travaux. Je remer ie également Guy Casale, Bertrand Deroin et Lu ia Di Vizio

d'avoir fait le dépla ement 2

et pris le temps de s'intéresser à mes travaux. Bertrand et

Guy ont toujours étéàmoné outependant estroisansde thèse,etj'aiappris beau oup

à leur onta t ; ils m'ont également oert plusieurs opportunités de venir exposer mes

mathématiques àdiversendroits dont jeleur suistrès re onnaissant.

Une thèse est un pro essus ontinu de développement qui ne se fait ependant pas

uniquement au onta tde ses dire teurs de thèse ;à e propos ilmesemblené essaire de

mentionner les Gentils Organisateurs de l'ANR Iso-Galois, qui m'ont permis de voir du

pays et d'apprendre de belles maths, ainsi que tout le(fort a ueillant) groupe gravitant

autour. Mer i don à Viktoria Heu, Loï Teyssier et Amaury Bittman de Strasbourg,

Charlotte Hardouin, Yohann Genzmer, Stéphane Lamyet Ja ques Sauloyde Toulouse, à

Karamoko Diarrade Bamako, à Ja quesArthur Weil de Limoges ainsi qu'aux itinérants

Thomas Dreyfus,Martin KlimesetGaëlCousinà quije souhaitedes'établir rapidement.

I would also like to thank Masa-Hiko Saito, from Kobe, who took a keen interest to my

worksin e thevery beginning and wasalways ex eedingly supportive.

Un des avantages majeurs de préparer une thèse à l'IRMAR est de pouvoir le faire

au onta t de ses résidents, dont la ompagnie et la ulture mathématique m'ont été

pré ieuses. Je souhaiteraisdon saluermesdeuxfamillesadoptives: l'équipedegéométrie

analytique, ave Dominique qui a le mérite de m'avoir supporté plus longtemps que la

moyenne et d'avoir été un grand père mathématique de première qualité, Fred pour ses

onnaissan es sur la rationalité par haîne et safreditude, JeanMarie pour m'avoir aidé

à survivre en milieu administrativement hostile,Bert, Christophe, MaxetVi tor grâ e à

1

Enespérantquelaré iproquesoitvraie. 2

saufd'homotopiederangsupérieur;etl'équipede théorieergodiqueetsesrepasdulundi

midi au Diapason, ave Ludo pour les hef-boutonnades, Vin ent, Juan et Sebastien qui

ont maintes fois prouvé que l'on pouvait faire des dessins en ourbure négative sur une

nappe en papier, Anna, Barbara, François et Rémi qui ont tous à leur façon ontribué à

e que je mesente bien dans e laboratoire. Je n'oublie pasnon plus eux ave qui je ne

partageais pasuneéquipe maisave qui j'ai eude nombreusesdis ussions intéressantes 3

:

Delphine, Xavier, Mi hel, Matthieu, Felix, Lionel, Mihai,Anne, Benjamin, Eri , Ni olas,

Karel,San...J'enoubliesansdoute,mais 'estpluttbonsignequantàlaqualitéhumaine

etmathématique dulaboratoire, non?

J'ai eu la han e d'enseigner pendant trois ans à l'ENS Rennes 4

, ave une équipe

formidable. Mer idon à Benoît 5

,Mi hel,Karine, Arnaud, Jeremy etThibaut qui m'ont

permis de me sentir entouré et soutenu pendant ette période (et désolé de vous avoir

abandonnépendant laréda tion de e tapus rit).

Et puisil ya biensurlegroupe desdo torants et exdo torantsde l'IRMAR,dont je

devraisréussiràmesouvenir 6

àfor edelesavoir haperonnépourallermanger(aupointde

medemandersilafaminenelesguetted'i iquelquesjours): Axel,Olivier,Yvan,Vin ent,

Charles,Cé ile,Basile,Gwezheneg,Tristan,Ma ,José,Alex,Türkhu,Elise,Kodjo,Maria,

Christian,Federi o, Andrew,Florian,Tristan, Camille,Ri hard,Renan,Blandine, Hélène,

Julie, Coralie, Adrien, Marine, Cyril, Maxime, Salomé, Benoît et Clément. Bien sur,

je garde une pla e spé iale dans ette énumération dithyrambique pour mes obureaux

passés(Sandrine),présents(DamienetNéstor)ethonoraires(Mer edes). Mentionspé iale

auxdo torants d'algèbreetgéométrie dont j'aiorganisé leséminairependant deuxanset

quim'ont impressionné par leurmotivation etleur enthousiasme.

Aussi merveilleux qu'il soit, e laboratoire s'eondrerait 7

en vingt se ondes sans le

travaildesonéquipeadministrative;ilseraitdon malhonnêtedenepasremer ierMarie

Aude, Chantal, Hélène, Nelly, Ni ole, Emmanuelle, Xhensila, Carole, MarieAnni k ou

Véronique ainsi que nos informati iens Patri k et Olivier et nos bibliothé aires Marie

Anni k, MaryseetDominique.

Enn, je on lus omme il est de outume par remer ier ma famille et bellefamille,

eux qui ont pu être là omme eux qui n'ont pas pu. Je dirai sobrement que je ne serai

paslàoù jesuis sanseux 8

. Et biensurOphélie, par eque.

3

Parordredé roissantd'étagepourles onnaisseurs 4

Flambantneuve! 5

Enversquij'aiuneardoisede afédéraisonnable. 6

Non ontra tuel! 7

Figurativementoulittéralementselonle as. 8

Résumé en français 9

I1 Déformations isomonodromiques, groupe modulaire . . . 11

I1.1 Déformations isomonodromiques desphèresépointées. . . 11

I1.2 Systèmes deGarnier . . . 16

I1.3 Variétédes ara tères d'une surfa e épointée. . . 17

I1.4 A tion dugroupe modulaire . . . 21

I1.5 Quelquesavan éesré entes . . . 23

I1.6 Solutions algébriques de systèmes de Garnier obtenues à l'aide de quintiquesplanes . . . 25

I2 Convolution intermédiaire de Katz . . . 31

I2.1 Pro édégénéral . . . 32

I2.2 Appli ation à l'étudedesorbites sousl'a tion de

Mod(0, n)

. . . 37

I2.3 Résultats originaux relatifs aux onvolutions intermédiaires . . . 39

I Algebrai Garniers solutions obtained using plane quinti urves 41 1 A lassi ation result 43 1.1 Preliminaryremarks . . . 45

1.1.1 The CorletteSimpson theorem . . . 45

1.1.2 The ZariskiVan Kampen method . . . 46

1.2 Proof ofTheorem A . . . 51

1.2.1 Understanding thelist . . . 51

1.2.2 Large singularities . . . 54

1.2.3 Eliminating groups . . . 59

1.2.4 Remaining quinti urvesandtheir fundamentalgroup . . . 65

2 Mapping lass group orbits 73 2.1 Restri ting aplane onne tionto generi lines . . . 73

2.1.1 General method. . . 73

2.1.2 Mapping lass grouporbits . . . 76

2.2.2 Extended orbits. . . 79

3 First family of solutions 83 3.1 Setupandmain results . . . 83

3.1.1 Topology ofthe omplement of aparti ular plane quinti . . . 83

3.1.2 Mainresults. . . 85

3.1.3 Isomonodromi deformations . . . 87

3.1.4 LotkaVolterra foliations. . . 88

3.2 Proofof TheoremC . . . 88

3.2.1 Arank two brebundle . . . 89

3.2.2 Arank one proje tive bundle . . . 90

3.2.3 Logarithmi at onne tions . . . 91

3.2.4 Trivialisations . . . 92

3.2.5 Monodromyrepresentation . . . 94

3.3 Algebrai Garniersolutions . . . 95

3.3.1 Painlevé VIsolutions . . . 95

3.3.2 Restri tionto generi lines. . . 98

3.3.3 Rationalparametrisations . . . 99

3.4 LotkaVolterra foliations . . . 103

3.4.1 Proofof TheoremE . . . 105

3.4.2 Invariant urves. . . 106

3.5 Proofof TheoremD . . . 107

3.5.1 First ase:

λ

0

and

λ

1

arenot linearlydependant over

Z

. . . 107

3.5.2 Se ond ase: thereexists

(p, q)

in

Z

2

_{\ {(0, 0)}}

su hthat

pλ

0

+ qλ

1

= 0

108 4 Se ond family of solutions 111 4.1 Ranktwo onne ted bundle . . . 111

4.1.1 Setup . . . 111

4.1.2 Asuitable double over . . . 113

4.1.3 Constru tingthe onne tion . . . 114

4.2 Asso iated isomonodromi deformation . . . 116

4.2.1 Restri tionto generi lines. . . 116

4.2.2 Asso iatedGarnier solution . . . 117

II Katz's middle onvolution and derivatives 121 5 Some new orbits 123 5.1 Mainresult . . . 123

5.1.1 Framework . . . 123

5.2.1 Sele ting freegrouprepresentations . . . 125

5.2.2 Middle onvolutionalgorithm . . . 129

5.3 Further study of themapping lass group orbits . . . 133

5.3.1 Expli it mapping lassgroup orbits. . . 134

5.3.2 Regression to Painlevé VI . . . 136

6 Virtual ellipti middle onvolution 139 6.1 Frameworkand main result . . . 139

6.2 Ellipti middle onvolution . . . 140

6.2.1 Adho bre bundle . . . 140

6.2.2 Ane groupanda tion on anerepresentations . . . 141

6.2.3 A quotient ve tor spa e . . . 142

6.2.4 Algorithm . . . 144

6.3 Ee tive omputations . . . 145

Appendi es 151 A Computingmapping lass group orbits 151 1.1 Pure mapping lassgrouporbits . . . 151

1.2 Mapping lassgroup orbits . . . 154

B Expli it omputations 155

Cettethèseestdédiéeàla onstru tiondesolutionsalgébriquesd'équationsd'isomonodromie

et à l'étude de diérents pro édés ee tifs pour générer et al uler de tels objets. Les

travauxprésentési is'arti ulentautourdeplusieurs orrespondan esétablies esdernières

dé ennies entre des objets de nature analytique (solutions de systèmes hamiltoniens) et

géométrique (orbites sous une ertaine a tion du groupe modulaire), es dernières nous

permettant d'utiliser des outils provenant de diverses bran hes des mathématiques pour

parvenirà nosns.

Si

E

est un bré ve toriel audessus d'une variété omplexe

X

, une onnexion loga-rithmique

∇

sur

E

est un morphisme

C

linéaire entre le fais eau des se tions de

E

etle produittensorielde edernierpar eluides

1

formesméromorphesàples logarithmiques sur

X

vériant une formule de Leibnitz. Une telle onnexion est dite plate si elle admet unsystèmefondamentaldese tionshorizontales(i.edanslenoyaude

∇

)entoutpointdu omplémentaire de sonlieupolairedans

X

. Le prolongement analytique detelles se tions livre une représentation

ρ

∇

du groupe fondamental omplémentaire du lieu polaire de

∇

dans

X

,appelée monodromiede la onnexion.

Unedéformationisomonodromiquealgébriquesur

X

estunefamillealgébriquedebrés ve torielssur

X

munisde onnexionslogarithmiquesplatesdemême(modulo onjugaison à l'arrivée) représentation de monodromie. Il a été établi par S hlesinger, Garnier et

Malmquistque esobjetssontéquivalentsàladonnéedesolutionsalgébriquesd'unefamille

parti ulièred'équation auxdérivéespartielles,appeléessystèmesdeGarnier. Lessolutions

généralesde essystèmessontmal onnues,etl'obje tifprin ipaldestravauxprésentési i

est de onstruire expli itement detelles déformationsisomonodromiques and'obtenir de

nouvellessolutions algébriques.

Plus parti ulièrement, onsidérons une ourbe

Q

(non né essairement irrédu tible ou lisse) proje tive omplexede degré inqdansleplanproje tif

P

2

_(C)

. Sil'ondisposed'une

onnexionlogarithmiqueplate

∇

derang

2

audessusde

P

2

_(C)

dontlelieupolaireestégal

à

Q

, alors pour toute droite générique

L

⊂ P

2

, la onnexion

∇

L

obtenue par restri tion de

∇

à

L

peutêtre assimilée à une onnexion logarithmique plate audessus de la droite proje tive omplexe

P

1

_(C)

dont le lieu polaire est égal à inq points distin ts de ette

dernière ; de plus la platitude de

∇

permet de prouverque la famille des onnexions

∇

L

formeunedéformationisomonodromiqueparamétréeparunouvertdeZariskidansledual

de

P

2

desystèmes de Garnier pouvant êtreobtenuespar e pro édé.

Nous ommençonspardéterminerpourquelles ourbesquintiquesplanesdans

P

2

_(C)

il

estpossibled'obtenirunedéformationisomonodromiquealgébriquen'appartenant pasaux

famillesd'exemples déjà onstruites par Mazzo o[46℄ etDiarra[24℄ ;nousutilisons pour

e faire la lassi ation des groupes fondamentaux de omplémentaires de telles ourbes

quintiques établiepar Degtyarev [19℄. Il est susant de mener ette étude au niveau des

représentations de es groupes fondamentaux ; en eet, la orrespondan e de Riemann

Hilbert lassique [21℄ arme en parti ulier qu'à toute telle représentation il est possible

de faire orrespondre une onnexion logarithmique plate. Dans un se ond temps, nous

onstruisonsdefaçonexpli itelesdéformationsisomonodromiquesetsolutionsalgébriques

deGarnier asso iéesà es représentations degroupes.

Le deuxième volet de ette étude on erne ladynamique de l'a tiondu groupe

modu-laired'unesphèreépointéesurlavariétédes ara tères asso iée. Pluspré isément, omme

le groupe fondamental d'une sphère à

r

trous est isomorphe à un groupe libre à

r

− 1

générateurs

F

r

−1

, une représentation de e groupe dans

SL

d

(C)

est totalement dé rite par un

r

uplet de matri es dont le produitest égal à l'identité ; on en déduit une a tion par onjugaison diagonalede

SL

d

(C)

sur lavariété desreprésentationsde e groupe fon-damental. Le quotient atégorique (au sens de la théorie géométrique desinvariants) de

etespa e par ette a tionest appelévariétédes ara tères de

F

r

−1

dans

SL

d

(C)

etnoté

Char

d

(0, r)

. Comme le groupe modulaire

Mod(0, r)

formé par les lasses d'isotopie des homéomorphismesdelasphèreà

r

trousagitparautomorphismesextérieurssurlegroupe fondamental de ette dernière, on obtient une a tion de

Mod(0, r)

sur

Char

d

(0, r)

. Les travauxdeDubrovin,Mazzo o[27℄ etCousin[16℄ontétabliune orrespondan eentreles

solutions algébriques de systèmes de Garnier et les orbites nies sous ette a tion. Nous

al ulons expli itement les orbites asso iées aux solutions obtenues par le pro édé dé rit

idessus et montrons que e dernier donne naissan e à deux familles à paramètres de

solutions algébriques distin tes. Nous détaillons une méthode ee tive pour al uler des

tellesorbites à l'aided'outils de al ul formel.

Dansladeuxième partie de ettethèse, nousétudions lepro édéde onvolution

inter-médiaire de Katzetquelquesunes de ses appli ationsà l'étudedesdéformations

isomon-odromiques algébriques de surfa es omplexes. Ce pro édé utilise l'a tion naturelle du

groupedestressesà

r

brins d'Artinsurlegroupelibreà

r

− 1

générateurs pour onstruire une appli ation surlavariété

Char

_∗

(g, b) :=

[

d

_∈N

∗

Char

d

(0, r)

équivariante sous l'a tion du groupe modulaire

Mod(0, r)

. Nousinspirant des travauxde Boal h [7℄ et utilisant lades ription expli ite de la onvolution intermédiaire donnée par

Völklein [57℄, Dettweiler et Reiter [22,23℄, nous onstruisons de nouvelles orbites nies

images sont ontenue dans un sousgroupe ni de

SL

3

(C)

, nous obtenons de nouveaux morphismesde

F

4

dans

SL

2

(C)

dont lesorbitessousl'a tiondugroupemodulairedoivent être nies par équivarian e. Un algorithme expli ite pour mener à bien es al uls est

présenté.

Enn, nousnousintéressonsà unpossible analoguede ette onvolution intermédiaire

dans le as d'un tore à deux trous

T

2

2

. En l'o urren e, nous dénissons un pro édé équivariant sousl'a tion desautomorphismes extérieursdu groupe fondamental d'untore

à trois trous envoyant une représentation de

π

1

(T

2

2

)

sur une représentation déniesur un de ses sousgroupes distingués. Nousdonnons un algorithme expli ite mettant en ÷uvre

ette nouvelle onvolution intermédiaire.

I1 Déformations isomonodromiques, systèmes de Garnier et

dynamique du groupe modulaire

Danslasuitede etteintrodu tion,nousdénissonsles on eptsné essairesàl'établissement

des résultats que nous venons d'énon er, en donnant les éléments de ontexte historique

pertinents. Une fois eux i établis, nous énonçons pré isément les résultats importants

de ette thèse.

I1.1 Déformations isomonodromiques de sphères épointées

I1.1.1 Connexions logarithmiques plates

On se xe dans e paragraphe une variété analytique omplexe

X

et un bré ve toriel

E

_{→ X}

derang

r

sur

X

. Onnotera

O

X

(resp.

M

X

)lefais eaudesfon tionsholomorphes

(resp. méromorphes) sur

X

et

Ω

1

X

(resp.

M

1

X

) elui des

1

formes holomorphes (resp. méromorphes) sur

X

. Pour toutbréve toriel

F

→ X

audessus de

X

on notera

Γ(

·, F )

(resp.

M(·, F )

) le fais eau des se tions holomorphes (resp. méromorphes) de

F

. Pour une exposition plus omplète des résultats présentés i i, nous renvoyons le le teur à la

référen e [50℄.

Dénition et é riturelo ale.

Dénition I1.1. Onappelle onnexionméromorphe sur

E

tout morphisme

C

linéaire

∇ : Γ(·, E) → M

1

X

⊗

O

X

Γ(

·, E)

tel que pour toute se tion lo ale

(f, s)

de

O

X

× E

on ait l'identité deLeibnitz :

Ce iimplique quedansune trivialisationlo alede

E

on peuté rire

∇ = d + Ω

(E2)

ave

Ω

une matri e de

1

formes méromorphes lo ales sur

X

. Sipour toute telleé riture

Ω

et

dΩ

sont à ples simples, ondira que

∇

est une onnexion logarithmique sur

E

. Ces expressions lo ales permettent de "visualiser" une telle onnexion omme un

sys-tème diérentiel : en eet, audessus d'un ouvert de trivialisation

U

⊂ X

du bré

E

, re her her les se tions horizontales de

∇

, i.e les éléments

s

∈ Γ(U, E)

tels que

∇s = 0

, revient à her her lessolutions

Y : U

→ C

r

du systèmediérentiel:

dY =

−ΩY .

(E3)

Ce i nous permettra aussi de parler des résidus de la onnexion

∇

, que nous dénissons omme euxd'une tellematri e

Ω

au voisinagedu ple onsidéré.

Dénition I1.2. Soient

∇

et

∇

′

deux onnexions sur le bré ve toriel

E

et soit

U

un ouvert detrivialisation de

E

sur lequel on ait les é ritures lo ales suivantes :

∇ = d + Ω

et

∇

′

_{= d + Ω}

′

_.

1. On ditque

∇

et

∇

′

sont jaugeséquivalentes sur

U

s'il existe une appli ation holo-morphe

H : U

→ GL

r

(C)

telleque :

Ω

′

= HΩH

−1

_{− dH · H}

−1

;

2. on ditque

∇

et

∇

′

sont(partout) jaugeséquivalentessi elles lesontsur tout ouvert detrivialisation de

E

.

DénitionI1.3. Une onnexionméromorphesurlebréve toriel

E

→ X

est dite platesi elleadmetunsystèmefondamentaldesolutions entoutpoint, i.esipourtout

x

0

∈ X

il ex-isteunvoisinage

V

de

x

0

et

r

se tionslo aleslinéairementindépendantes

s

1

, . . . , s

r

∈ Γ(V, E)

telles que :

∀i ∈ [r] := {1, . . . , r}, ∇s

i

= 0 .

Remarque I1.4. 1. Ce i entraîne que, quitte à interse ter

V

ave un ouvert de trivi-alisation de

E

de façon à e que

∇

y admette une é riture lo ale du type (E2),on a équivalen e entre les propriétés suivantes:

(i)

∇

est plate ;

(ii) pour tout

x

0

∈ X

n'appartenant pas au lieu polaire de

∇

, il existe une unique matri e fondamentale pour

∇

en

x

0

, i.e il existe un voisinage de trivialisation

V

de

x

0

et une unique appli ation holomorphe

B : V

→ GL

r

(C)

telsque :

(

dB =

_−ΩB

B(x

0

) = I

r

;

(iii) on a l'égalité de

1

formesméromorphes suivante au voisinage de

x

0

:

dΩ = Ω

_{∧ Ω ;}

(E4)

(iv)

∇

est lo alement jaugeéquivalente à la onnexion triviale

d

.

2. La propriété (iii) supra implique en parti ulier que si

dim(X) = 1

alors toute on-nexion méromorphe y est plate. De plus, si

r = 1

, une onnexion est plate si et seulement la 1forme méromorphe dénie par

Ω

est une forme fermée.

La notion d'équivalen e de jauge permet enpratique de donner des"modèles lo aux"

des onnexions étudiées. Par exemple, si

∇

est une onnexion logarithmique plate dont le lieu polaire est une hypersurfa e lisse

Y

⊂ X

, on peut munir

X

d'un système de o-ordonnées holomorphes lo ales

(x

1

, . . . , x

n

)

dans lesquelles

Y =

{x

1

= 0

}

et alors

∇

est lo alement jaugeéquivalente àune onnexiondu type suivant [50℄ :

d + M (x

1

)

dx

1

x

1

,

où

M

est une appli ation holomorphe lo ale en

x

1

à valeurs dans

M

r

(C)

appelée résidu de

∇

en

Y

.

Monodromie. Supposons que

∇

soit une onnexionlogarithmique plate sur

E

dont le

lieupolairesoitégalàune ertainehypersurfa e(nonné essairementlisse)

Y

⊂ X

(i.etelle

que

∇

|

X\Y

soit holomorphe). Fixons unpoint

x

0

∈ X \ Y

et onsidérons un la et ontinu

γ : [0, 1]

_{→ X \ Y}

basé en

x

0

. Comme

∇

est plate, il est possible de onsidérer l'unique matri e fondamentale

B

asso iéeen

x

0

; ette dernière étant holomorphe au voisinage de

x

0

,on peutlaprolonger analytiquement lelong de

γ

. In ne, on obtient une appli ation

holomorphe

B

γ

dénieauvoisinagede

x

0

àvaleursdans

GL

r

(C)

telleque

∇B

γ

₌

_{∇B = 0}

.

Cependant,

B

γ

_(x

0

)

n'est pasné essairement égale àl'identité.

Proposition I1.5. [50℄ Le pro édé dé rit idessus fournitune représentation degroupes,

appelée monodromie de la onnexion

∇

:

ρ

_∇

: π

1

(X

\ Y, x

0

)

→ GL

r

(C)

[γ]

7→ B

γ

_.

Remarque I1.6. On a la propriété suivante [50℄ : si

∇

et

∇

′

sont deux onnexions

existe une matri e

M

∈ GL

r

(C)

telleque

∀[γ] ∈ π

1

(X

\ Y, x

0

),

ρ

∇

([γ]) = M

· ρ

∇

′

([γ])

· M

−1

.

I1.1.2 Équations de S hlesinger

Dans toute la suite, on se xe un bré ve toriel de rang deux

E

0

_{→ P}

1

_(C)

(la droite

proje tive étant identiée via une oordonnée adho à

C ∪ {∞}

) muni d'une onnexion logarithmique plate

∇

0

ayant ses ples en

n

pointsdistin ts

a

0

1

, . . . , a

0

n

∈ C

et au point à l'inni.

Supposonsde plusque

∇

0

soit une

sl

2

(C)

 onnexion, i.e quesamonodromie

ρ

0

soit à

valeursdans

SL

2

(C)

(et don queles résidus de

∇

0

en ses ples soient dans

sl

2

(C)

). On se pose ensuite la question suivante : omment estil possible de déformer les résidus de

∇

0

(vus omme fon tions de

a

0

_{:= (a}

0

1

, . . . , a

0

n

)

) de telle sorte que la monodromie reste in hangée (à onjugaison près) ?

Déformations isomonodromiques. Commençons par xer un espa e de paramètres

adéquat en onsidérant lerevêtement universel

Z

˜

π

−

→ Z

de

Z :=

_{{a ∈ C}

n

_{| ∀i 6= j, a}

i

6= a

j

}

surlequel ondisposedesproje tions naturelles

˜

pr

_i

: ˜

Z

_{→ C}

a

7→ (π(a))

i

pour

i

∈ [n]

. Onaalors lerésultat suivant.

Théorème I1.7 (Malgrange,1983 [44℄). Àisomorphisme près, il existe ununique bré à

onnexion

(E,

∇)

derang

2

audessus de

P

1

_{× ˜}

_Z

tel que :

(i)

∇

est une

sl

2

(C)

 onnexion logarithmique plate dont les ples sontexa tement les

Y

i

:=

{(x, a) ∈ P

1

× ˜

Z

| x = ˜

pr

i

(a)

}

pour

i

∈ [n]

et

Y

_∞

:=

{(∞, a) | a ∈ ˜

Z

} ;

(ii) pour tout

a

∈ ˜

Z

,si on onsidère l'inje tion

i : P

1

֒

_{→ P}

1

_{× ˜}

Z

x

_{7→ (x, a)}

alors

i

∗

_E

est isomorphe omme bré ve toriel à

E

0

et

i

∗

_∇

est jaugeéquivalente à

∇

0

. En parti ulier, les monodromies de es deux onnexions sont onjuguées.

Lebréà onnexion

(E,

∇)

estappelé déformationisomonodromiqueuniversellede

(E

0

_,

_∇

0

₎

.

Équations d'isomonodromie. Supposons à présent que les brés ve toriels

E

0

et

E

soienttriviauxetquelerésidude

∇

lelongde

Y

∞

soitunefon tion onstantedelavariable

a

_{∈ ˜}

Z

;ona alors une é riture(globale) de laformesuivante[50℄:

∇ = d +

n

X

i=1

A

i

(a)

d(x

_{− a}

i

)

x

_{− a}

i

ave l'abus denotation

a

i

:= ˜

pr

i

(a)

. En remplaçant e i dans l'équation(E4) exprimant laplatitude de

∇

onmontre alors lerésultat suivant.

Théorème I1.8 (S hlesinger). Ave les notations supra, on a l'équivalen e entre les

pro-priétés suivantes :

(i)

∇

est plate ;

(ii) les résidus de

∇

vérientles équations de S hlesinger :

∀i ∈ [n],

dA

i

=

−

X

j

_6=i

{A

i

, A

j

}

a

i

− a

j

d(a

i

− a

j

)

où

{A

i

, A

j

} := A

i

A

j

− A

j

A

i

.

Supposonsque

A

∞

soitdiagonalisable;alorsquitteà hangerdejaugeonpeutsupposer

A

_∞

=

θ

∞

0

0

_−θ

_∞

!

.

Ce iimplique quele oe ient

(2, 1)

de lamatri e

A :=

n

X

i=1

A

i

(a)

x

_{− a}

i

est dela forme

P (x, a)

(x

− a

1

) . . . (x

− a

n

)

ave

P (

·, a)

unpolynmeen

x

dedegré

n

− 2

. Lesra inesde e dernierdonnentalors

n

− 2

fon tions des variables

a

1

, . . . , a

n

. Quitte à omposer par une homographie

ι

envoyant

(a

n

₋₂

, a

n

₋₁

)

sur

(0, 1)

et xant le point à l'inni, on obtient

n

− 2

fon tions

r

1

, . . . , r

n

−2

I1.2 Systèmes de Garnier

Noussommes maintenant enmesured'énon erunrésultatfondamentalliant déformations

isomonodromiquesdesphèresépointéesetsolutionsalgébriquesd'une lasseparti ulièrede

systèmeshamiltoniens,enl'o urren elessytèmesdeGarnier. Pourdéniruntelsystème,

ommençons par onsidérer,pour

n

≥ 1

:

(

∂

s

k

ν

i

=

−∂

ρ

i

K

k

i, k

∈ [n]

∂

s

k

ρ

i

= ∂

ν

i

K

k

i, k

∈ [n]

,

(E5)

enles in onnues

(ν

i

, ρ

i

) = (ν

i

(s), ρ

i

(s))

. Les fon tions

K

k

sont i i delaforme :

K

k

:=

−

Λ(s

k

)

T

′

_(s

_k

₎

n

X

i=1

T (ν

i

)

(ν

i

− s

k

)Λ(ν

i

)



ρ

2

_i

−

n+2

X

j=1

θ

j

− δ

k,j

ν

i

− s

j

ρ

i

+

κ

ν

i

(ν

i

− 1)





,

où



















κ :=

1

4



_P

n+2

j=1

θ

j

− 1



2

− (θ

∞

+ 1)

2



,

Λ : u

_7→

Q

n

_j=1

(u

_{− ν}

j

) ,

T

: u

7→

Q

n+2

j=1

(u

− s

j

) ,

ave la onvention

s

n+1

= 0, s

n+2

= 1

et pour un

n + 3

uplet de paramètres xés

(θ

1

, . . . , θ

n+2

, θ

∞

)

∈ C

n+3

. Ee tuonsà présent le hangement de variables suivant :



























t

k

:=

s

k

s

k

− 1

,

q

i

:= s

i

Λ(s

i

)

T

′

_(s

_i

₎

,

p

i

:= (1

− s

i

)

P

n

_k=1

T (s

i

)ρ

k

Λ

′

_(ν

_k

_)ν

_k

_(ν

_k

_{− 1)(ν}

_k

_{− s}

_i

₎

,

quitransforme(E5)enunnouveausystèmehamiltonien[46℄,quenousappelleronssystème

deGarnier

(

G

n

)

:

(

∂

t

k

p

i

=

−∂

q

i

H

k

i, k

∈ [n]

∂

t

k

q

i

= ∂

p

i

H

k

i, k

∈ [n]

.

(E6)

Dans le as d'une seule variable (

n = 1

), e hangement de paramètres n'est pas né essaire: le système(E5) vérie également la propriété de Painlevé et est équivalent à

l'équationde Painlevé VI:

d

2

_y

du

2

=

1

2

 1

y

+

1

y

− 1

+

1

y

− u

  dy

du



2

−

 1

u

+

1

u

− 1

+

1

y

− u

 dy

du

+

y(y

− 1)(y − u)

u

2

_(u

_{− 1)}

2



α + β

u

y

2

+ γ

u

− 1

(y

_{− 1)}

2

+ δ

u(u

− 1)

(y

_{− u)}

2



,

pour lesparamètres

α =

(θ

_∞

− 1)

2

2

, β =

−

θ

2

₂

2

, γ =

θ

2

₃

2

et

δ =

1

− θ

2

1

2

.

Lelienentre essystèmeshamiltoniensetlesdéformationsisomonodromiquesestdonné

par lerésultat fondamentalsuivant,du auxtravauxdeGarnier et Malmquist.

Théorème I1.9(Garnier,Malmquist). Pour

i

∈ [n − 2]

, notons

q

i

(resp.

t

i

)les fon tions algébriques

r

i

(resp. les points

a

i

∈ P

1

) du paragraphe pré édent. Alors il existe

n

− 2

fon tions algébriques

p

i

des variables

(t

1

, . . . , t

n

−2

)

telles que

(p

i

, q

i

)

i

soit solution d'un système deGarnier

(

G

n

−2

)

:

(

∂

t

k

p

i

=

−∂

q

i

H

k

i, k

∈ [n]

∂

t

k

q

i

= ∂

p

i

H

k

i, k

∈ [n]

,

pourdes paramètres

θ

i

égaux aux valeurs propres des résidus

A

i

.

Les solutions algébriques de systèmes de Garnier font l'objet d'une attention

parti -ulière [7,10,11,27,34℄ et ont même été totalement lassiées dans le as

n = 1

[42℄. Un résultat duà Okamoto [38℄ (voiraussilethéorème I1.7)armealors que e système

véri-e lapropriété de Painlevé, qui pres rit la position dessingularités " ompliquées" de ses

solutions. Plus pré isément, les seules singularités possiblespour une solution

(p

i

, q

i

)

i

∈[n]

du système(E6) en dehors deszones ritiques

t

i

= t

j

(pour

i, j

∈ [n + 2]

tels que

i

6= j

) doivent être des ples. Autrement dit, les seules singularités mobiles (i.e dépendant du

hoix dela solution)de l'équation sont desples.

I1.3 Variété des ara tères d'une surfa e épointée

Soit

Γ

ungroupedetypenietsoit

A

unanneauintègre;onpeutalors onsidérerl'ensemble desreprésentationsde

Γ

dans

SL

d

(A)

(pour

d

≥ 1

):

Rep

d

(Γ, A) := Hom(Γ, SL

d

(A)).

Considérons une présentation du groupe :

Γ =

ha

1

, . . . , a

k

| (R

n

(a

1

, . . . , a

k

))

n

_≥0

i

;

alors

Rep

d

(Γ, A)

s'inje te dans

SL

d

(A)

k

ommel'ensemble suivant :

{(A

1

, . . . , A

k

)

∈ SL

k

d

| ∀n ≥ 0, R

n

(A

1

, . . . , A

k

) = I

d

}.

Commeleséquations

R

n

(A

1

, . . . , A

k

) = I

d

sontpolynomialesà oe ientsentiers,l'ensemble

Rep

_d

(Γ, A)

estune sousvariétéde

SL

d

(A)

k

. En parti ulier, ilest naturellement muni de

deux topologies : elle induite par la topologie produit sur

SL

d

(C)

k

et la topologie de

Zariski.

peut onsidérerlequotient atégorique(ausens delathéoriegéométriquedesinvariants):

Rep

_d

(Γ, A)//SL

d

(A)

de

Rep

d

(Γ, A)

sous l'a tion diagonalede

SL

d

(A)

par onjugaison simultanée. Il s'agitpar dénitionde lavariétéalgébrique:

Spec



C[Rep

_d

(Γ, A)]

SL

d

(A)



_,

où

C[Rep(Γ, A)]

SL

2

(A)

est l'anneau des fon tions polynomiales sur

Rep(Γ, A)

invariantes sous l'a tion de

SL

d

(A)

;on peutmontrer qu'il s'agit dans le as omplexe du plus petit quotient séparé (au sens de la topologie induite) du quotient topologique

Rep

d

(Γ, C)/

SL

d

(C)

.

Dénition I1.10. Soit

Σ

une surfa e fermée ompa te de genre

g

et soient

p

1

, . . . , p

b

b

points distin ts de ette dernière. Alors le groupe fondamental

Γ

de la surfa e (non ompa te)

Σ := Σ

\ {p

1

, . . . , p

b

}

est de type ni et ne dépend que du ouple

(g, b)

. La variété algébrique suivante

Char

d

(g, b) := Rep

d

(Γ, C)//SL

d

(C)

est alors appelée variétédes ara tères de la surfa e

Σ

.

Remarque I1.11. Remarquons que l'on peut donner une présentation simple du groupe

fondamental de la surfa e

Σ

: si

b

6= 0

, il s'agit d'un groupe libre et dans le as ontraire il est isomorphe à

ha

1

, b

1

, . . . , a

g

, b

g

| [a

1

, b

1

]

· · · [a

g

, b

g

]

i

.

Deux variétésde ara tèresvont êtreamenées àjouerunrle majeurdansles travaux

présentés i i : elles des sphères à quatre et inq trous dans

SL

2

(C)

, que nous dé rivons don brièvement i i. Dans lebut d'alléger lesnotations danslasuite de e texte,on pose

Char(g, b) := Char

2

(g, b) .

I1.3.1 Variété des ara tères de la sphère à quatre trous

Ons'intéresseàlasphèredeRiemann

S

2

privée dequatrepoints,quenousnoterons

S

2

4

. Si onxeunpoint debase

z

0

∈ S

2

4

,legroupe fondamental

π

1

(S

2

4

, z

0

)

estisomorpheaugroupe libre

F

3

engendré,par exemple,par lestroisla etsélémentaires

d

1

, d

2

et

d

3

de lagure1. Onsouhaiteétudierlavariétédesreprésentations dugroupe fondamental delasphère

S

2

4

dans

C

,soit :

Rep

₂

(F

3

, C) := Hom(F

3

, SL

2

(C)).

Commelegroupe

π

1

(S

2

4

, z

0

)

estungroupelibreàtroisgénérateurs,unélément

ρ

∈ Rep

2

(F

3

, C)

b

b

b

b

d

3

_d

2

d

1

z

0

b

Figure1: Groupe fondamental de lasphèreépointée

S

2

4

.

une bije tion:

Rep

₂

(F

3

, C) ∼

= SL

2

(C)

× SL

2

(C)

× SL

2

(C).

Onsouhaite i idé rire lavariétédes ara tères de

S

2

4

,àsavoir :

Char(0, 4) = Rep

₂

(F

3

, C)//SL

2

(C).

Il est onnu [5℄ que e quotient atégorique estisomorphe àl'image de l'appli ation

suiv-ante :

χ : Rep

₂

(F

3

, C)

→ C

7

ρ

7→ (a, b, c, d, x, y, z)

où :

a := Tr(ρ(d

1

)),

b := Tr(ρ(d

2

)),

c := Tr(ρ(d

3

)),

d := Tr(ρ(d

1

d

2

d

3

))

x := Tr(ρ(d

1

d

2

)),

y := Tr(ρ(d

2

d

3

)),

z :=

−Tr(ρ(d

1

d

3

))

.

Plus pré isemment, on peutmontrer en suivant les travauxde Benedettoet Goldman [5℄

que lavariété

Char(0, 4)

seréalise dans

C

7

omme laquartique:

x

2

+ y

2

+ z

2

= xyz + Ax + By + Cz + D

(E7) où :

A := ab + cd

,

B = bc + ad

,

C =

−(ac + bd)

D := 4

− a

2

_{− b}

2

_{− c}

2

_{− d}

2

_{− abcd}

.

Remarque I1.12. Si on xe

A, B, C

et

D

dans l'équation E7, on obtient une surfa e

ubique

S

(A,B,C,D)

de

C

3

. Onremarque alors que

S

(0,0,0,4)

=

S

C

est la ubique de Cayley. Il s'agitde la seule surfa e de type

(

S

(A,B,C,D)

)

possédant

4

pointssinguliers.

Figure2: Surfa es

S

(0,0,0,D)

pour

D =

1

2

,

D = 3

,

D = 4

et

D = 6

(parties réelles).

I1.3.2 Variété des ara tères de la sphère à inq trous

Dansle as delasphère à inqtrous, la lassed'unereprésentation

ρ : F

4

=

hd

1

, . . . , d

4

| ∅i → SL

2

(C)

dans la variété de ara tères

Char(0, 5)

est de la même façon déterminée par les quinze fon tions oordonnées suivantes :

t

1

:= Tr(ρ(d

1

)), t

2

:= Tr(ρ(d

2

)), t

3

:= Tr(ρ(d

3

)),

t

4

:= Tr(ρ(d

4

)), t

5

:= Tr(ρ(d

1

d

2

d

3

d

4

)),

r

1

:= Tr(ρ(d

1

d

2

)), r

2

:= Tr(ρ(d

1

d

3

)), r

3

:= Tr(ρ(d

1

d

4

)),

r

4

:= Tr(ρ(d

2

d

3

)), r

5

:= Tr(ρ(d

2

d

4

)), r

6

:= Tr(ρ(d

3

d

4

)),

r

7

:= Tr(ρ(d

1

d

2

d

3

)), r

8

:= Tr(ρ(d

1

d

2

d

4

)), r

9

:= Tr(ρ(d

1

d

3

d

4

)), r

10

:= Tr(ρ(d

2

d

3

d

4

)).

Notons que, omme dans le as de la sphère à quatre trous, es dernières ne sont pas

similaire auparagraphe pré édent (voir aussilestravauxde Komyo [40℄ surlesujet).

I1.3.3 Correspondan e de RiemannHilbert

Un résultatfondamentalde l'étudedes onnexions logarithmiquesplatesestla

orrespon-dan edeRiemannHilbert,quiarmequetoutpointdelavariétéde ara tères orrespond

à une déformation isomonodromique. Ce ijustie notredémar he de her herà lassier

ertaines représentations de groupes avant de tenter de onstruire la déformation

orre-spondante.

ThéorèmeI1.13(RiemannHilbert). Soit

(g, b)

∈ N

2

;alorspourtoutpoint

[ρ]

∈ Char(g, b)

il existe une onnexion logarithmique plate

∇

sur lebré trivial derang

2

audessus d'une surfa e fermée de genre

g

à

b

trous telle que

[ρ

∇

] = [ρ]

dans

Char(g, b)

. Ré iproquement, à toute telle onnexion logarithmique plate on peut asso ier un unique point de la variété

de ara tères

Char(g, b)

.

Pour plus de détails, le le teur est invité à onsulter le hapitre 3 de [58℄, le

para-graphe III.18de [35℄ ainsiqueles travauxde Deligne[21℄ surlesujet.

I1.4 A tion du groupe modulaire

Dans e paragraphe nous nous proposons de dé rire l'a tion du groupe modulaire d'une

surfa e fermée sursa variété des ara tères. Le le teur pourratrouver plusde détails sur

les groupesmodulaires danslaréféren e[29℄.

Soit

Σ

une surfa e fermée ompa te de genre

g

et soient

p

1

, . . . , p

b

des points deux à deux distin ts de ette dernière ; on onsidère lasurfa e épointée

Σ := Σ

\ {p

1

, . . . , p

b

}

.

On notealors

Homeo

+,∂

_(Σ)

(resp.

Homeo

+,∂

_(Σ)

) l'ensemble deshoméomorphismes de

Σ

préservant sonorientation et xant son bord

{p

1

, . . . , p

b

}

dansson ensemble (resp. point par point).

Dénition I1.14. Soit

Σ

une surfa eferméedegenre

g

à

b

trous. Ona alorsunerelation d'équivalen e

∼

sur

Homeo

+,∂

_(Σ)

(resp.

Homeo

+,∂

_(Σ)

) dénie de la façon suivante : on

note

f

∼ g

si et seulement si il existe une isotopie reliant

f

à

g

sur

Σ

dans

Homeo

+,∂

_(Σ)

(resp.

Homeo

+,∂

_(Σ)

).On dénit alors les deux groupes suivants, ne dépendant à

isomor-phisme près que du ouple

(g, b)

: 1. le groupe modulairede

Σ

:

Mod(g, b) := Homeo

+,∂

(Σ)/

∼ ;

2. le groupe modulairepur de

Σ

:

Remarque I1.15. 1. Si

b

≤ 1

, on a naturellement

PMod(g, b) ∼

= Mod(g, b)

. En règle générale toutefois,

PMod

est lenoyau dumorphisme surje tif naturel

Mod(g, b) ։ S

b

donné par l'a tionde

Homeo

+,∂

_(Σ)

sur

{p

1

, . . . , p

b

}

. En parti ulier,

PMod(g, b)

est unsousgroupe distingué d'indi e

b!

dans

Mod(g, b)

.

2. Notons que l'a tion naturelle de

Homeo

+,∂

_(Σ)

sur

Σ

n'est pas ompatible ave la relationd'isotopie, etdon ne passe pasau quotient.

Exemple I1.16. [29℄

1. legroupe modulaire dela sphère

S

2

est trivial ;

2. legroupe modulaire du tore

R

2

_/Z

2

est isomorphe à

SL

2

(Z)

;

3. dans le as d'unesphère à

b

≥ 1

trous, on a l'isomorphisme suivant[6,29℄ :

PMod(0, b) ∼

= P B

b

₋₁

/Z(P B

b

₋₁

)

où

P B

b

−1

est le groupe des tresse pures à

b

− 1

brins et où pour tout groupe

G

la notation

Z(G)

désigne le entre du ditgroupe.

I1.4.1 Des ription générale

Fixons une surfa e fermée

Σ

de genre

g

ainsi que

b

points distin ts

p

1

, . . . , p

b

de ette dernière et onsidérons la surfa e épointée

Σ

:= Σ

\ {p

1

, . . . , p

b

}

. Posons également

Γ := π

1

(Σ, p

0

)

pourun hoix arbitrairede

p

0

∈ Σ

. Nousauronségalement besoindefaire usagede l'appli ation de quotient atégorique

χ : Rep

d

(Γ, C) ։ Rep

d

(Γ, C)//SL

d

(C) = Char(g, b) .

Legroupe

Aut(Γ)

desautomorphismesdugroupefondamentalde

Σ

agitnaturellement sur

Rep

d

(Γ, C)

de lafaçon suivante:

Aut(Γ)

→ Aut(Rep

d

(Γ, C))

Φ

7→ (ρ 7→ ρ ◦ Φ

−1

) .

Onobtientdefaitunea tionparautomorphismesde

Aut(Γ)

surlequotient

Char

d

(g, b)

eton peutremarquerque legroupe

Inn(Γ)

des automorphismesintérieurs de

Γ

agit triv-ialement sur la variété de ara tères

Char

d

(g, b)

. On a don une a tion du groupe des automorphismes extérieurs

Out(Γ) := Aut(Γ)/Inn(Γ)

sur

Char

d

(g, b)

. L'inje tion na-turelle

Mod(g, b) ֒

→ Out(Γ)

[29℄ assurealors l'existen ed'un morphisme:

I1.4.2 Le as des sphères épointées

L'a tiondugroupemodulairesurlavariétédes ara tèresquenousvenonsdedé rireaété

reliée àl'étudedesdéformationsisomonodromiquesdansle asdessphèresà quatretrous

dans les arti lesséminaux de Philip Boal h [7℄, BorisDubrovin etMarta Mazzo o[27℄ ;

des résultats similaires ont depuis été obtenus par Gaël Cousin dans le as de sphères

épointées générales [16℄.

Supposons que nous disposions d'une déformation isomonodromique de la sphère à

n

trous

S

2

n

de monodromie asso iée

ρ

: F

n

−1

→ SL

2

(C)

; on peut alors s'intéresser à l'orbite de la lasse

[ρ]

de

ρ

dans la variété de ara tères

Char(0, n)

sous l'a tion de

Mod(0, n)

. Cette dernière peut être visualiséede la façon suivante: à notre déformation isomonodromiqueonpeutasso ieruneéquationdeS hlesinger(ThéorèmeI1.8)delaforme

∀i ∈ [n], dA

i

=

−

X

j

_6=i

{A

i

, A

j

}

a

i

− a

j

d(a

i

− a

j

)

portant sur les résidus de la onnexion logarithmique plate asso iée. L'a tion des

auto-morphismesextérieursde

F

n

surlavariétédes ara tèrespeutalorsêtrevue ommelefait de déformerles la etsélémentaires engendrant e dernier(vu omme groupefondamental

de la sphèreépointée) en "faisant tourner les pointsmarqués les uns autour desautres" :

ela revient de fait à étudier la monodromie de ette équation. Lorsque la déformation

est algébrique, e pro édé ne peut qu'é hanger les bran hes de la solution algébrique du

système de Garnier

(

G

n

)

asso iée à ette déformation isomonodromique e qui implique que l'orbite de

[ρ]

sous l'a tion de

Mod(0, n)

doit êtrenie.

Dans leur arti le [27℄, Dubrovin et Mazzo o ont prouvé la ré iproque dans le as

dessolutions algébriques de ertaines équationsde Painlevé VI,ellemêmeéquivalenteau

systèmede Garnier

(

G

1

)

. Cerésultat aétédéterminantdansla lassi ation dessolutions algébriques de ette dernièreéquation, ouvrant lavoixà une étudequi aété systématisée

par Cantat et Loray [11℄ puis a hevée par Lisovyy et Tykhyy [42℄ ; itons également les

travaux deBoal h [8,9℄, Deift,Its, KapaevetZhousur e sujet[20℄.

Un résultat analogue liant orbites nies sous l'a tion du groupe modulaire et

solu-tions algébriques de systèmes de Garnier aété ré emment obtenu par Cousin[16℄ dansle

as de déformations isomonodromiques logarithmiques de rang

2

sur une sphère épointée quel onque. De fait, la re her he d'orbites nies sous ette a tion paraît une poursuite

pertinenteetviable dansle adrede notreétude.

I1.5 Quelques avan ées ré entes

I1.5.1 Théorème de CorletteSimpson

Comptetenudenosobjetsd'études,nousallonsêtreamenésànousintéresseraux

représen-tationsdegroupesfondamentauxdevariétésquasiproje tivesdans

SL

2

(C)

. Cesdernières ont fait l'objetd'une étude poussée par Corlette et Simpson [15℄ puis par Loray, Pereira

etTouzet[43℄,qui afait ressortirl'importan e d'unesous lasse detelles représentations,

par ailleurs déja très présente dans la littérature [1℄ : elles se fa torisant à travers une

ourbe.

Dénition I1.17. Soit

X

une variété quasiproje tive omplexe etsoit

Γ

songroupe fon-damental. Onditqu'une représentation

ρ : Γ

→ SL

2

(C)

sefa toriseà traversune ourbe si il existe une ourbe proje tive omplexe

C

, un diviseur

∆

(resp.

δ

) dans

X

(resp.

C

), unmorphismealgébrique

f : X

\∆ → C \δ

etunereprésentation

ρ

˜

dugroupe fondamental de

C

\ δ

dans

P SL

2

(C)

telsque lediagramme

π

1

(C

\ δ)

˜

ρ

&&

◆

◆

◆

◆

◆

◆

◆

◆

◆

◆

◆

π

1

(X

\ ∆)

f

∗

oo

P◦ρ◦m



P SL

2

(C)

ommute, où

P

et

m

sontles morphismesde groupes naturels

P : SL

2

(C)

→ P SL

2

(C)

et

m : π

1

(X

\ ∆) → Γ

.

Cette lasse de représentations va jouer un rle majeur dans notre étude ; en eet

on peut par exemple iter leranement suivant par Loray, Pereira etTouzetdu résultat

séminal deCorlette etSimpson.

ThéorèmeI1.18(CorletteSimpson[15℄,LorayPereiraTouzet[43℄). Soit

X

une variété quasiproje tive omplexe et soit

Γ

son groupe fondamental. Alors toute représentation nonrigide (i.e pouvant se déformer de façon analytique dans la variété des ara tères)

ρ : Γ

→ P SL

2

(C)

d'imageZariskidense sefa torise à travers une ourbe.

I1.5.2 Solutions se fa torisant à travers une ourbe

ÀlalumièreduthéorèmeI1.18,laquestionsuivanteapparaîtnaturelle: quellessontles

so-lutionsalgébriques d'unsystèmedeGarnierasso iéesà desreprésentationsdemonodromie

se fa torisantà traversune ourbe ?

Les onnexionsplatesdontlamonodromiesefa toriseà traversune ourbe

orrespon-dent à des solutions de Garnier qui sont onstruites par la "méthode du tiréenarrière"

développée par Doran[26℄, Andreev etKitaev [2℄. Karamoko Diarra a démontré danssa

thèse[24℄queseulslessystèmesdeGarnier

(

G

n

)

pour

n

≤ 3

admettentdessolutionsà mon-odromie d'image Zariskidense obtenues par e pro édé ; es solutions s'obtiennent alors

en tirant en arrière des onnexions logarithmiques platessur lebrétrivialde rang

2

au dessusde

P

1

_{\ {0, 1, ∞}}

(aussiappeléeséquations hypergéométriques) par desrevêtements

ramiés.

La monodromie

ρ : F

3

=

hd

1

, d

2

, d

3

| d

1

d

2

d

3

= 1

i → SL

2

(C)

d'une onnexion hyper-géométrique algébrique est ara térisée (en tant que point dans

Char(0, 3)

) par letriplet

liste les tels triplets

(p

0

, p

1

, p

∞

)

ainsi que les types de rami ation des revêtements don-nantlieu àdesdéformationsisomonodromiquesàmonodromieZariskidense d'unesphère

épointée, tout en pré isant le degré

d

du revêtement et l'indi e

n

du systèmede Garnier

(

G

n

)

orrespondant ;nousreproduisons ette liste idessous.

(p

0

, p

1

, p

∞

)

d

Type de rami ation

n

(2,

_{∞, ∞)}

2

(2, 1 + 1, 1 + 1)

1

3

(2 + 1, 3, 1 + 1 + 1)

1

(2, 3,

_∞)

4

(2 + 2, 3 + 1, 1 + 1 + 1 + 1)

2

6

(2 + 2 + 2, 3 + 3, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)

3

(2, 4,

_∞)

4

(2 + 2, 4, 1 + 1 + 1 + 1)

1

(2, 3, 7)

10

(2 + 2 + 2 + 2 + 2, 3 + 3 + 3 + 1, 7 + 1 + 1 + 1)

1

12

(2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, 3 + 3 + 3 + 3, 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)

2

I1.6 Solutions algébriques de systèmes de Garnier obtenues à l'aide de

quintiques planes

Dans e paragraphe, nousexposonsles résultatsde la première partie de ette thèse, qui

ont trait à la lassi ation des solutions algébriques de systèmes de Garnier obtenues à

l'aide dequintiques planes.

I1.6.1 Un résultat de lassi ation

L'objet du premier hapitre de ette thèse est de lassier les représentations de groupes

ρ : Γ

→ P SL

2

(C)

, où

Γ

est le groupe fondamental du omplémentaire d'une ourbe de degré inq dans

P

2

_(C)

,satisfaisant les onditions suivantes :

(C1) l'image de

ρ

estinnie etirrédu tible ;

(C2)

ρ

ne sefa torise pasàtravers une ourbe (voir dénitionI1.17).

Àlalumièrederésultatsobtenuspar Diarra[24℄etMazzo o[46℄, esdeux onditions

paraissent former un bon point de départ pour obtenir, à travers la orrespondan e de

RiemannHilbert(théorèmeI1.13),unenouvelledéformationisomonodromiquealgébrique.

En parti ulier, elles orrespondant à une monodromie d'image Zariskidense ne

satis-faisant pas (C2) ont été lassiées par le premier ; nous démontrons don le théorème

suivant.

Théorème A. Soit

Γ

le groupe fondamental du omplémentaire d'une ourbe

Q

dedegré inq dans

P

2

_(C)

et soit

ρ : Γ

→ P SL

2

(C)

telle que :

•

l'image de

ρ

est innieet irrédu tible ;

Alors le triplet

(Γ, ρ, Q)

est (modulo onjugaison globale à l'arrivée pour

ρ

) l'un des suivants (pour un ertain ouple

(u, v)

∈ C

∗

× C

∗

):

1.

Γ ∼

=

ha, b, c | (ab)

2

_(ba)

−2

_{= (ac)}

2

_(ca)

−2

_{= [b, c] = 1}

_i

,

ρ : a

_7→

0

1

−1 0

!

,

b

_7→

u

0

0 u

−1

!

,

c

_7→

v

0

0 v

−1

!

et

Q

est formée detrois droiteset d'une onique tangentes à es dernières ; 2.

Γ ∼

=

ha, b, c | [a, b] = [a, c

−1

bc] = 1, (bc)

2

_{= (cb)}

2

_i

,

ρ : a

_7→

u

0

0 u

−1

!

,

b

_7→

v

0

0 v

−1

!

,

c

_7→

0

1

−1 0

!

,

et

Q

est forméede troisdroites on ourantesetd'une oniquetangenteà exa tement deux d'entre elles ;

3.

Γ ∼

=

ha, b, c |, [a, b] = [b, c

2

_{] = 1, ca = bc}

_i

,

ρ : a

_7→

u

0

0 u

−1

!

,

b

_7→

u

−1

0

0

u

!

,

c

_7→

0

1

−1 0

!

.

Dans edernier as

Q

esttoujourslaréuniond'une ubiqueave deuxdroitess'interse tant enunpointde ettedernière ;la onguration exa te est détaillée dansle hapitre 1

(voir aussi la gure 3).

Ladémonstrationde erésultatreposesurlestravauxde lassi ationsmenéspar

Degt-yarev [19℄ sur les groupes fondamentaux non abéliens de omplémentaires de quintiques

proje tives planes. Nous donnons une des ription détaillée des ourbes orrespondants à

ha undes as itésdanslethéorèmeA;pré isonstoutefoisque ederniernedonnequ'une

onditionné essairepourquele ouple

(Γ, ρ)

satisfasse(C1)et(C2);laquestiondesavoir dansquels as es onditions sont ee tivement satisfaitesfait l'objetdes hapitres3et4.

I1.6.2 Représentations de monodromie et orbites sous l'a tion du groupe

modulaire

Danslese ond hapitre de edo ument, nousposons lesbases delaméthodequi vanous

permettre de onstruire desdéformationsisomonodromiquesee tives orrespondant aux

représentations apparaissant dansle théorèmeA. Cette dernière, inspirée par les travaux

de Hit hin [34℄ sur l'équation de Painlevé VI, repose sur la remarque suivante : si l'on

dispose d'une onnexion logarithmique plate

∇

audessus de

P

2

dont le lieu polaire est

une ourbequintiquealors, ommeunedroite génériqueinterse teunetelle ourbeen inq

points, lafamillede onnexionsdonnéesparlesrestri tionsde

∇

auxdroitesgénériquesdu plan proje tif nous livre une déformation isomonodromique de monodromie ayant même

Figure 3: Courbes quintiques apparaissant dans le théorème A. En haut (de gau he à

droite) les as1 et2,le as3 en bas.

Pluspré isément,soit

L

unedroite hoisiegénériquement dansleplanproje tif

P

2

_(C)

;

alors

L

oupe lelieu polairede

∇

en exa tement inq points, quenous pouvons, à homo-graphieprès,supposerégauxà

0, 1,

∞

et

t

1

, t

2

∈ C

∗

_\{1}

. Enrestreignant

∇

àladroite

L

, onobtientune onnexionlogarithmiqueplateaudessusdelasphèredeRiemannépointée

P

1

₅

:= P

1

_C

_{\ {0, 1, t}

1

, t

2

,

∞}

dont lamonodromie

ρ

L

est donnéepar lediagramme

π

1

(P

1

5

) ∼

= F

4

ρ

L

''

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

τ

//

π

₁

(P

2

C

− Q)

ρ

∇



SL

2

(C)

où

τ

estlemorphismesurje tif natureldonné par lethéorèmede l'hyperplan de Lefs hetz (voir [47℄, théorème 7.4). Comme la onnexion

∇

est plate, il est onnu [44℄ que

ρ

L

ne dépend pas (à onjugaison près) de la droite générique

L

et don il existe un ouvert de Zariski

U

dans le dual

\

P

2

_(C)

tel que les onnexions

(

∇

L

)

L

∈U

aient toutes la même monodromie(modulo onjugaison).

Enutilisant lades riptionexpli itedes ourbesasso iéesauthéorèmeA,noussommes