Analyse élastique des corps anisotropes

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Analyse Elastique des Corps Anisotropes :

Application aux Ailes d’Avion

UNIVERSITE MENTOURI–CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

N° d’ordre : 205/Mag/2007 Série : 007/GM/2007

MEMOIRE DE MAGISTER

EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER EN GENIE MECANIQUE

OPTION : MECANIQUE APPLIQUEE EN ENGINEERING

Présenté par :

Mr MOUZAOUI Azeddine

Soutenu, le : 07 / 07 / 2007 ; devant le jury :

Président Dr. S. MEZIANI PROFESSEUR Université Mentouri Constantine

Rapporteur Dr. B. NECIB PROFESSEUR Université Mentouri Constantine

Examinateur Dr. F. MILI PROFESSEUR Université Mentouri Constantine

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Introduction ………...………..1

Chapitre 1 : Equations constitutives de l’élasticité 1.1. Introduction ………..……….………... 5

1.2. Essai de traction …..……….………. 5

1.3. Equation d’équilibre …………..……….………...….7

1.4. Loi de HOOKE généralisée ……….………..…. 7

1.5. Propriétés de loi de HOOKE ………...13

1.6. L’élasticité des cristaux ……….….………..17

Chapitre 2 : Analyse élastique des corps anisotropes sous l’effet d’une force transversale 2.1. Introduction ……….…21

2.2. Méthode de résolution ……….21

2.2.1. La distribution des contraintes dans un corps anisotrope avec une forme générale …..21

2.2.2. L’expression générale des fonctions de contraintes F et ψ ………...29

2.2.3. Les formules générales des contraintes et des déplacements ……….31

2.3. Analyse des contraintes sur un corps circulaire soumis une force transversale ………..34

2.3.1. Application sur un matériau isotrope ………37

2.3.2. Application sur un matériau isotrope transverse ………43

2.4. Analyse des contraintes sur un corps elliptique soumis une force transversale …….…49

2.4.1. Application sur un matériau isotrope ……….52

2.5. Analyse des contraintes sur un corps à la forme d’aile d’avion soumis à une force transversale ………...64

2.5.1 Application sur un matériau isotrope ……….66

2.5.2. Application sur un matériau isotrope transverse ………72

Chapitre 3 : Analyse élastique des corps anisotropes sous l’effet d’un moment 3.1. Introduction ………... 78

3.2. La méthode de résolution ………..78

3.2.1. La distribution des contraintes dans un corps anisotrope avec une forme générale ….78 3.2.2. L’expression générale des fonctions de contraintes F et ψ ……… ....85

3.2.3. Les formules générales des contraintes et des déplacements ………….………87

3.3. Analyse des contraintes sur un corps circulaire soumis à un moment ………... 90

3.3.1. Application sur un matériau isotrope ……….92

3.4. Analyse des contraintes sur un corps elliptique soumis à un moment ……….98

3.4.1. Application sur un matériau isotrope ………...100

3.4.2. Application sur un matériau isotrope transverse ………..104

3.5. Analyse des contraintes sur un corps à la forme d’aile d’avion soumis un moment….. 106

(3)

4.1. Introduction ……….……114

4.2. Analyse des contraintes sur un corps circulaire soumis à des sollicitations mixtes …....114

4.3. Analyse des contraintes sur un corps elliptique soumis à des sollicitations mixtes.…...126

4.4. Analyse des contraintes sur un corps à la forme d’aile d’avion soumis à des sollicitations mixtes……….. ………...138

Discussion des résultats ...151

(4)

Chapitre 1

:

Figure 1.01 : Essai de traction ……….………...6 Figure 1.02 : Diagramme de traction ………6 Figure 1.03 : Corps anisotrope soumis à des forces de masse et de volume ……….………...8 Figure 1.04 : Différentes contraintes appliquées sur un corps a trois dimensions ….………...8 Chapitre 2

:

Figure 2.01 : Corps anisotrope soumis a une force transversale ………...22 Figure 2.02 : Corps circulaire soumis à une force transversale ……...………...…35 Figure 2.03 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope) ……….………..39 Figure 2.04 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope) ……….………..41 Figure 2.05 :Variation de la contrainte σ en fonction de l’angle θ (matériau isotrope) _z ………..………...42 Figure 2.06 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope transverse) ……….……….45 Figure 2.07 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope transverse) ………….……….47 Figure 2.08 : Corps elliptique soumise à une force transversale ……….…...50 Figure 2.09 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope) ……….………..54 Figure 2.10 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope) ……….………..56 Figure 2.11 : Variation de la contrainte σ en fonction de l’angle θ (matériau isotrope) ….57_z Figure 2.12 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope transverse) ……….……….60 Figure 2.13 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope transverse) ……….……….62 Figure 2.14 : Corps à la forme d’aile d’avion soumise à une force transversale …...65 Figure 2.15 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope) …….………..68 Figure 2.16 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope) .………..70 Figure 2.17 : Variation de la contrainte σ en fonction de l’angle θ (matériau isotrope) .…71_z Figure 2.18 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope transverse) ………...74 Figure 2.19 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope transverse) ……….…………...76

(5)

Figure 3.01 : Corps anisotrope soumis a un moment ………79 Figure 3.02 : Corps circulaire soumis à un moment ……….……….91 Figure 3.03 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope) ……….……...93 Figure 3.04 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope) ……….…...95 Figure 3.05 : Corps elliptique soumise à un moment ……….………99 Figure 3.06 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope) ……….………102 Figure 3.07 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope) ………...…….…….103 Figure 3.08 : Corps anisotrope à la forme d’aile d’avion soumise à un moment ………….107 Figure 3.09 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope) ……….110 Figure 3.10 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope) ………...…….…….111

Chapitre 4

:

Figure 4.01 : Corps circulaire soumis à des sollicitations mixtes ………..………...115 Figure 4.02 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope) ….………119 Figure 4.03 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope) …….………120 Figure 4.04 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope transverse) ………....123 Figure 4.05 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope transverse) ………...…….124 Figure 4.06 : Corps elliptique soumis à des sollicitations mixtes ……….…....127 Figure 4.07 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope) …….………131 Figure 4.08 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope) ………...…….….132 Figure 4.09 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope transverse) ………..….….135 Figure 4.10 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope transverse) ………...….136 Figure 4.11 : Corps à la forme d’aile d’avion soumis à des sollicitations mixtes ……...139 Figure 4.12 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _xz isotrope) ……….142 Figure 4.13 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope) ………...……..144

(6)

isotrope transverse) ………..….……….147 Figure 4.16 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ (matériau _yz isotrope transverse) ………...……….…149

(7)

Chapitre 2

:

Tableau 2.01 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps circulaire soumis à une force transversale (matériau isotrope) ……….………38

Tableau 2.02 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps circulaire soumis à une force transversale (matériau isotrope) ……….….40

Tableau 2.03 : Variation de la contrainte σ en fonction de l’angle θ pour un corps circulaire _z soumis à une force transversale (matériau isotrope) ……….…..………….40

Tableau 2.04 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps circulaire soumis à une force transversale (matériau isotrope transverse) ………….…44

Tableau 2.05 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps circulaire soumis à une force transversale (matériau isotrope transverse) ………….…46

Tableau 2.06 : Comparaison entre les différentes contraintes pour un corps circulaire soumis a une force transversale ………...48

Tableau 2.07 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps elliptique soumis à une force transversale (matériau isotrope) ………..53

Tableau 2.08 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps elliptique soumis à une force transversale (matériau isotrope) ……….….55

Tableau 2.09 : Variation de la contrainte σ en fonction de l’angle θ pour un corps elliptique _z soumis à une force transversale (matériau isotrope) ………55

Tableau 2.10 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps elliptique soumis à une force transversale (matériau isotrope transverse) ……….59

Tableau 2.11 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps elliptique soumis à une force transversale (matériau isotrope transverse) ……… 61

Tableau 2.12 : Comparaison entre les différentes contraintes pour un corps elliptique soumis a une force transversale ………..……63

Tableau 2.13 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps à la forme d’aile d’avion soumis à une force transversale (matériau isotrope) ……….67

Tableau 2.14 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps à la forme d’aile d’avion soumis à une force transversale (matériau isotrope) ……….69

Tableau 2.15 : Variation de la contrainte σ en fonction de l’angle θ pour un corps à la _z forme d’aile d’avion soumis à une force transversale (matériau isotrope) ……….69

Tableau 2.16 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps à la forme d’aile d’avion soumis à une force transversale (matériau isotrope

transverse)……….73

Tableau 2.17 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps à la forme d’aile d’avion soumis à une force transversale (matériau isotrope

transverse)……….75 Tableau 2.18 : Comparaison entre les différentes contraintes pour un corps a la forme d’aile d’avion soumis a force transversale ……….…77

(8)

Tableau 3.01 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps circulaire soumis à un moment (matériau isotrope) ………...92

Tableau 3.02 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps circulaire soumis à un moment (matériau isotrope) ……….…..94

Tableau 3.03 : Comparaison entre les différentes contraintes pour un corps circulaire soumis à un moment ……….…97

Tableau 3.04 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps elliptique soumis à un moment (matériau isotrope) ……….101

Tableau 3.05 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps elliptique soumis à un moment (matériau isotrope) ……….101

Tableau 3.06 : Comparaison entre les différentes contraintes pour un corps elliptique soumis à un moment ………...105

Tableau 3.07 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps à la forme d’aile d’avion soumis à un moment (matériau isotrope) ……….…....109

Tableau 3.08 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps à la forme d’aile d’avion soumis à un moment (matériau isotrope) ……….109

Tableau 3.09 : Comparaison entre les différentes contraintes pour un corps a la forme d’aile d’avion soumis à un moment ……….…113

Chapitre 4

:

Tableau 4.01 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un xz

corps circulaire soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope) …….…………...….118

Tableau 4.02 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un yz

corps circulaire soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope) ………...….….118

Tableau 4.03 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps circulaire soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope transverse) …...…….122

Tableau 4.04 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps circulaire soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope transverse) ………....122

Tableau 4.05 : Comparaison entre les différentes contraintes pour un corps circulaire soumis à des sollicitations mixtes ………..…….…………...125

Tableau 4.06 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps elliptique soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope) ………...….….130

Tableau 4.07 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps elliptique soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope) ……….…………....130

Tableau 4.08 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps elliptique soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope transverse) ………....134

Tableau 4.09 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps elliptique soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope transverse) …………134

Tableau 4.10 : Comparaison entre les différentes contraintes pour un corps elliptique soumis à des sollicitations mixtes ………....……..137

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corps à la forme d’aile d’avion soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope) …...141

Tableau 4.12 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps à la forme d’aile d’avion soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope) ……143

Tableau 4.13 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _xz corps à la forme d’aile d’avion soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope

transverse) ………...…...146

Tableau 4.14 : Variation de la contrainte tangentielle τ en fonction de l’angle θ pour un _yz corps à la forme d’aile d’avion soumis à des sollicitations mixtes (matériau isotrope

transverse) ………..……148 Tableau 4.15 : Comparaison entre les différentes contraintes pour un corps à la forme d’aile d’avion soumis à des sollicitations mixtes ……….……150

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Je tiens à exprimer ma grande reconnaissance à Monsieur Brahim NECIB,

Professeur au Département de Génie Mécanique, Université de Mentouri Constantine

et Directeur du Laboratoire de Mécanique, de m’avoir proposer ce sujet et de

m’orienter durant tout mon travail par ses conseils précieux. Qu’il trouve ici toute ma

reconnaissance et ma gratitude.

Je tiens aussi à exprimer mes sincères remerciements à Monsieur Salim

MEZIANI, Professeur au Département de Génie Mécanique, Université Mentouri

Constantine, qui m’a fait l’honneur d’avoir bien accepter de présider le jury de

soutenance de ce mémoire.

Mes remerciements vont aussi à Monsieur le Professeur Fayçal MILI et Monsieur

Ahmed BELLAOUR Maître de Conférence pour l’importance qu’ils ont accordé à

mon travail en acceptant d’être membre de jury pour ce mémoire.

Que tous les membres de ce jury trouvent ici toutes mes profondes reconnaissances

et gratitudes pour l’importance qu’ils ont données à ce travail.

Mes remerciements vont également à tous les enseignant du au Département Génie

Mécanique qui ont contribués à ma formation de poste graduation.

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Je dédie ce modeste travail à mes chers parents, mes grands parents, à toute

ma famille et en particulier mes frères, mes sœurs, mon grand frère et son

épouse et ses enfants.

Je dédie aussi mon travail à tous mes amis les plus proches et toute

personne qui nous a aidé de prés ou de loin dans l’élaboration de ce projet

et en particulier Ghani, Djamil, Mourad, Hakim , Nassim et Mohamed.

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Introduction

L’utilisation des matériaux composites dans le domaine de l’industrie mécanique, aéronautique, aérospatiale, génie civil et même biomécanique a connue une évaluation considérable durant ces deniers temps. Plusieurs organes de l’industrie automobile, des structures d’avions, des structures des bâtiments et plusieurs types d’étanchéité ainsi que des organes dans le domaine de la biomécanique sont actuellement conçus en matériaux composites, matériaux adaptables et même en matériaux « intelligents »

Les matériaux composites sont en général, réalisés à partir d’empilement de plis constitués de fibres unidirectionnelles continues, qui apportent les caractéristiques mécaniques puis enrobées dans une matrice de résine qui assure la cohésion et la protection de l’ensemble. Les fibres utilisées pour la réalisation des structures travaillantes à haute performance sont en général des fibres de verre, de carbone ou aramides. D’autres fibres existent telles que les fibres de textile (nylon, polyester) de performances plus faibles ou des fibres de bore de coût très élevé.

L’éventail des applications des Matériaux Composites est très large et englobe pratiquement toutes les branches de l’industrie, spécialement :

- Transport aérien : avion de tourisme ou planeurs (tout composite), quelques pièces d’avions (radôme, bords d’attaque, volets, dérives…), planchers, sièges, pales d’hélicoptères, arbres de transmissions, disques de freins,.…

- Transports spatial : corps de propulseurs, corps de rentrée dans l’atmosphère, tuyères, réservoirs…

- Mécanique générale : engrenages, coussinets, boîtiers, carters, corps de vérins, tuyauterie, bras de robots manipulateurs, tubes de forages de pétrole,..

- Transport ferroviaire : avants de motrices, voiture, Wagon, sièges,… - Transport maritime : voiliers, engins de débarquement,…

- Electricité et électronique : isolants, supports de circuit imprimés, support de disjoncteurs, armoires, antennes, éoliennes, ....

- Génie civil : cellules d’habitations, cheminées d’usines, coffrages, panneaux de façades, profilés, cloisons,…

- Transport routier : carrosseries, roues, calandres, arbre de transmission, poutre de châssis, ressorts de suspension, bras de suspension,…

- Sport et loisirs: raquette de tennis, skis, canne à pêche, cadre de bicyclette,..

Le choix de ces matériaux dans ces nouvelles technologies est un point très important qui doit etre soigneusement argumenté sur le plan technique que sur le plan économique. Outre l’activité de leur adaptation et leur contrôle, ces matériaux présentent un ensemble des caractéristiques communes tels que : la légèreté, la performances mécaniques élevées et le comportement fragile. Par contre, d’autres caractéristiques essentielles peuvent être très dissemblables tels que : la raideur, la flexibilité, la résistance en compression et la tenue aux chocs et à l’amortissement durant les vibrations.

Par ailleurs, le coût d’une pièce ou d’une production de pièces en matériaux composites peut se calculer en fonction des coûts des matériaux de bases et du procédé de transformation qui conditionne fortement l’économie de ce produit. En effet, les matériaux composites sont plus chers que les matériaux métalliques classiques vu les matériaux de bases utilisés. Cependant ils sont de plus en plus utilisés dans le domaine de l’industries aéronautique et

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spécialement les structures d’ailes d’avion, car ils permettent de nombreux avantages tels que :

• Gain de masse

• Gain de temps

• Absence de corrosion

• Caractéristiques mécaniques massiques et/ou thermiques nettement supérieures à celles des alliages métalliques.

• Augmentation de la durée de vie de la structure d’avion. Ceci peut être résumé dans le tableau 1 :

Table 1: Gain de masse dans les véhicules d’avions

Diminution de la masse à vide

⇓

Diminution de la motorisation

⇓

Diminution du carburant

⇓

Diminution de la masse totale

c

Gain d’au moins 30% (pour une même mission)

Par ailleurs, la structure internes des ailes d’avion est composée d’un assemblage d’éléments barres ou poutre assemblés sous l’enveloppe d’aluminium ou des matériaux composites pour obtenir la forme voulue de l’aile. L’assemblage constitue donc un corps continu mais de propriétés mécaniques différentes (corps anisotropes), soumis à des vibrations et des sollicitations externes lors de son vol. Leur structure externe est composée de nouveaux matériaux tels que matériaux composites ayant des caractéristiques mécaniques massiques et/ou thermiques nettement supérieures à celles des alliages métalliques ordinaires et sont utilisés dans le but de :

- Diminuer leur poids (Gain de masse) - D’augmenter leur vitesse (Gain de temps) - D’éliminer la corrosion sur les ailes

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Le but de ce travail est donc l’analyse élastique des corps anisotropes de différentes formes sous l’effet de l’application des différents types forces et des moments extérieurs.

En effet la structure des ailes d’avion est composée d’un assemblage d’éléments barres ou poutre assemblés sous l’enveloppe d’aluminium ou des matériaux composites pour obtenir la forme voulue de l’aile. L’assemblage constitue donc un corps continu mais de propriétés mécaniques différentes d’où le corps anisotrope, soumis à des vibrations et des sollicitations externes lors de son vol. L’analyse des corps anisotropes restes donc un axe un axe très importante dans le domaine de l’ingénierie.

Dans le passé, des matériaux indépendamment de leur composition, ont été habituellement considérés comme homogène et isotrope par ce que de telles prétentions ont eu comme conséquence des calculs simplifiés. Aujourd’hui, ces prétentions simplifiées mènent souvent aux résultats insatisfaisants ou incorrects; notre technologie sophistiquée exige que nous tenions compte de l’anisotropie des matériaux.

Donc les matériaux anisotropes jouent un rôle important dans la technologie moderne. Les concepteurs de missile et d’avion, des physiciens, des fabricants de certaines pièces et des matériaux, et en générale, les gens se sont engagés dans les sciences des matériaux que tous doivent traiter une variété de problème anisotrope.

Il est possible de produire des structures avec l’objet exposé une anisotropie artificielle (par exemple, les plats ondulés et les membranes fait à partir d’une matière qui est élastique isotrope). Certaines structures qui sont renforcées en nervurant également devenu anisotrope. Ainsi nous voyons l’importance de l’anisotropie en beaucoup de phases de technologie moderne.

Afin de calculer la stabilité des corps anisotropes qui subissent de large déformation élastique ou de petites oscillations, il est nécessaire de déterminer les contraintes et les déformations à chaque point du corps afin de situer les points critiques où sa rupture est très probable. Pour cela l’analyse théorique et la modélisation numériques sont utilisées où il est nécessaire de résoudre des problèmes de la théorie d’élasticité d’un corps anisotrope, dont l’étude des contraintes et déformations est devenue de plus en plus nécessaire et s’oriente d’une manière générale vers la recherche des méthodes adéquates et simple permettant un calcul rapide et sure.

Pour résoudre les problèmes qui sont concernes par la distribution de contrainte et de déformation dans un corps anisotrope, on à intervenir la méthode de fonctions de contraintesFetψ, mais il est nécessaire de commencer par les équations de bases de la théorie d’élasticité et de tenir compte du fait que le corps est caractérisé par plus de deux constants élastiques.

A cet effet une analyse théorique et des modèles de calcul ont été développés pour prévoir le comportement élastique de ces types de matériaux anisotropes sous à différentes types de contraintes. Ce travail est composé de quatre chapitres en plus d’une introduction, une conclusion et des références bibliographiques.

Dans le premier chapitre les équations constitutives de l’élasticité de tous les types de matériaux : isotropes, anisotropes et orthotropes avec et sans plan de symétrie ont été déterminées utilisant la loi de Hooke générale dans une ou trois dimensions. Tandis que les

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trois autres chapitres ont été consacrés à l’analyse élastique des corps anisotropes de formes circulaires, elliptiques et d’ailes d’avions. L’analyse est basée sur la détermination de l’équation d’équilibre du corps et sa fonction de déformation ainsi que l’utilisation des équations de compatibilité et les fonctions de contraintes F et ψ aux conditions aux limites et des types de chargement appliqué sur chaque corps considéré.

Dans ce contexte, les matériaux utilisés pour ces corps sont des matériaux isotropes- Aluminium et des matériaux isotropes transverses- Verre E- époxyde ; et la forme des corps étudiés se résume comme suit :

Ø Corps circulaire soumis à une force transversale Ø Corps elliptique soumis à une force transversale

Ø Corps ayant la forme d’aile d’avion soumis à une force transversale Ø Corps circulaire soumis à un moment

Ø Corps elliptique soumis à un moment

Ø Corps ayant la forme d’aile d’avion soumis à un moment Ø Corps circulaire soumis à une force transversale et à un moment Ø Corps elliptique soumis à une force transversale et à un moment

Ø Corps ayant la forme d’aile d’avion soumis à une force transversale et à un moment Les résulta ts des différents cas étudiés sont obtenus et représentés graphiquement ; et une discussion générale des résultats concrétisées dans la dernière partie du mémoire. Il a été noté que la distribution des contraintes dues l’application des forces transverses et des moments ne diffère pas beaucoup dans le cas des corps ayant la forme elliptique et la forme d’aile d’avion.

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Chapitre : 1 Equations constitutives de l’élasticité 1.1. Introduction

Le problème de la mécanique des solides déformables ayant un comportement élastique, consiste à rechercher le champ des déplacements ou des déformations en tous points du solide. Les déformations et les contraintes dans un milieu élastique sont liées par des lois appelées lois de comportement, caractérisant le comportement mécanique du milieu, ce comportement peut être analysé théoriquement, et expérimentalement et par modélisation numérique.

1.2. Essai de traction

L’expérience permet de trouver une relation générale entre la contrainte et la déformation. Considérons une éprouvette de longueur initiale (L et de surface₀) (S . Appliquons sur cette ) éprouvette deux systèmes de forces opposées, uniformes. L’effort (F peut être représenté ) comme une force s’appliquant à la surface de la section(S c'est-à-dire comme une force de ) surface (Figure 1.1). La grandeur de l’effort s’exerçant sur l’unité de surface de la section

)

(S est appelée contrainte (σ qui est égale à :)

S F

=

σ .

Augmentons progressivement la force de traction et notons l’allongement de l’éprouvette. Sur la base de ces expériences construisons le diagramme de dépendance entre la contrainte (σ ) et la déformation(ε .La courbe des essais en traction est représentée par (Figure 1.2) qui est ) caractérisée par les points suivants :

Point A : Caractérise la charge limite Ppr, tant que la charge n’a pas encore atteint cette valeur, le rapport entre la charge et l’allongement reste linéaire.

Point B : Correspond à la charge maximale Pél (l’éprouvette conserve encore ses propriétés élastiques)

Point C : Correspond à la charge maximale Péc (les déformations de l’éprouvette se

poursuivent sous l’augmentation de la charge) on dit que le matériau commence à couler. Point E : Correspond à la charge maximale limite Pmax, après laquelle l’éprouvette commence

à accuser un rétrécissement local sous forme de gorge.

Point F : Correspond à la charge de rupture, (qui provoque la charge de rupture) Prup. Se ci, on tire les caractéristiques essentielles de la résistance de matériau.

0 S P_pr pr = σ : Limite de proportionnalité. 0 S P_él él = σ : Limite élastique. 0 S P_éc éc = σ : Limite d’écoulement. 0 max S P rés = σ : Limite de résistance. 0 S P_rup rup =

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F

0

F

0

F

S

0

S

L

0

L

Fig.(1-1) : Essai de traction

σ

(N/m2)

ζ

σres

σrup

σel

σpr

σéc

ζ

pr

ζ

el

ζ

ec

ζ

res

ζ

rup

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1.3. Equation d’équilibre [4]

Afin de prédire les contraintes (σ_ij) à l’intérieur d’un corps de masse (m), de volume (W) et de surface (S) soumise à des forces de surface F(x), il faut que ce dernier soit en équilibre (Figure 1.3). 0 = +

∫

mdW FdS s i w i (1.1) On a : F_i =n_j.σ_ji (1.2) Avec σ_ij=σ _ji i,j=1−3

On remplace l’équation (1.2) dans (1.1) on trouve : 0 . +

∫

=

∫

m dW n ijdS s j w i σ 0 = ∂ +

_∫

∫

mdW _ijdW w j w i σ 0 ) ( +∂ =

∫

m _j _ij dW w i σ 0 = ∂ + j ij i m σ (1.3) Explicitement la formule (1.3) prend la forme suivante :

x ∂ ∂σ11 ₊ y ∂ ∂σ12 ₊ z ∂ ∂σ13 ₊ =₀ x m x ∂ ∂σ12 ₊ y ∂ ∂σ22 ₊ z ∂ ∂σ23 ₊ =₀ y m (1.4) x ∂ ∂σ13 ₊ y ∂ ∂σ23 + z ∂ ∂σ33 ₊ =₀ z m

m_x, m_yet m_zsont les composantes de la force volumique suivant les directions x, y et z. 1.4. Loi de HOOKE généralisée

Pour obtenir la relation entre les contraintes et les déformations dans corps anisotrope (Figure 1.4), on utilise la formule de TAYLOR au voisinage de ε =0. _ij

σij =fij(0)+ kk ij f ε ∂ ∂ kl ε + 4 1 mn kl ij f ε ε ∂ ∂ ∂2 ε_mnε_kl +... (1.5) ε_kl =0    = = 0 0 mn kl ε ε σ_ij =f_ij(0)+C_ijklε +D_kl _ijklmnε_klε_mn+….. mn klε ε →0 (petites déformations)

(19)

Fig.(1-3) : Corps anisotrope soumis à des forces de volume σ33 σ31 σ32 σ11 σ12 σ13 σ22 σ21 σ23 σ11 σ12 σ13 σ32 σ32 σ33 σ22 σ23 σ21

Z

Y

X

(20)

f_ij(0)=0 (contraintes résiduelles ) Donc σ_ij devienne : [5] σ_ij = C_ijklε (1.6) _kl 3 1 ,j= − i

La matrice de rigidité C_ijkl contient 81 constantes qui est un nombre important ; Du fait la symétrie des tenseurs des contraintes et des déformations σ_ij=σ _jiet

ji ij ε

ε = , ainsi que la symétrie des termes Cijkl= Cklij et Cijkl= Cjilk.

La matrice de rigidité [C] se réduit à 36constantes ayant la forme :

                    12 13 23 3 2 1 τ τ τ σ σ σ =                     66 56 46 36 26 16 55 45 35 25 15 44 34 24 14 33 23 13 22 12 11 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c .                     12 13 23 3 2 1 γ γ γ ε ε ε (1.7) 23 23 2ε γ = 13 13 2ε γ = 12 12 2ε γ =

Ainsi que on peut écrire les déformations en fonction des contraintes comme suite :

                    12 13 23 3 2 1 γ γ γ ε ε ε =                     66 56 46 36 26 16 55 45 35 25 15 44 34 24 14 33 23 13 22 12 11 s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s .                     12 13 23 3 2 1 τ τ τ σ σ σ (1.8)

[S] la matrice de complaisance (matrice inverse)

Selon P. BEKHTEREV, les constantes s sont les cœfficients de la déformation, et les _ij

constantes c sont les modules d'élasticité. [6] Les modules d'élasticité peuvent être _ij

uniquement exprimés en termes de coefficients de déformation quand les causes déterminantes du sixième ordre, qui se composent de constantes s et _ij c établissent dans ij

l'ordre, diffèrent de zéro. Si un potentiel élastique existe, le nombre de constants élastiques dans le cas le plus général de l'anisotropie est réduit à 21. Un potentiel si élastique existe quand la variation du corps sous la déformation se produit isotherme ou adiabatique.

Considérant seulement des questions d'équilibre, nous supposerons que les variations pour la déformation se produisent isotherme ; c'est-à-dire, la température de chaque élément demeure

(21)

constante. En conséquence, près s et _ij c nous voudrons dire les coefficients isothermes de _ij

déformation et les modules d'élasticité (que d'une manière générale, différer des constantes élastiques adiabatiques [7]).

Nous avons les relations suivantes : σ_x = x V ε ∂ ∂r ,σ =_y y V ε ∂ ∂r ,σ =_z z V ε ∂ ∂r , ………..,τ =_xy xy V γ ∂ ∂r (1.9)

Vr : L’énergie potentielle de la déformation par unité de volume

L’expression générale de Potentiel d’élasticité de la déformation peut avoir deux formes suivantes : 1erforme : + + + + + + + + = s x s x y s x z s x yz s x xz s x xy s y s y z V ₁₁σ2 ₁₂σ σ ₁₃σ σ ₁₄σ τ ₁₅σ τ ₁₆σ τ ₂₂σ2 ₂₃σ σ 2 1 2 1 r 2 44 36 35 34 2 33 26 25 24 2 1 2 1 yz xy z xz z yz z z xy y xz y yz y s s s s s s s s σ τ + σ τ + σ τ + σ + σ τ + σ τ + σ τ + τ 2 66 56 2 55 46 45 2 1 2 1 xy xy xz xz xy yz xz yz s s s s s τ τ + τ τ + τ + τ τ + τ + (1.10) 2eme forme : + + + + + + + + = c x c x y c x z c x yz c x xz c x xy c y c y z V ₁₁ε2 ₁₂ε ε ₁₃ε ε ₁₄ε γ ₁₅ε γ ₁₆ε γ ₂₂ε2 ₂₃ε ε 2 1 2 1 r 2 44 36 35 34 2 33 26 25 24 2 1 2 1 yz xy z xz z yz z z xy y xz y yz y c c c c c c c c ε γ + ε γ + ε γ + ε + ε γ + ε γ + ε γ + γ 2 66 56 2 55 46 45 2 1 2 1 xy xy xz xz xy yz xz yz c c c c c γ γ + γ γ + γ + γ γ + γ + (1.11) Nous notons que le potentiel élastique est une quantité positive pour toutes les valeurs (réelles) des composants des efforts ou de la contrainte.

Les constants élastiques jouent différents rôles et ont les différentes significations que physiques dans les équations de la loi de HOOKE généralisé. P.BEKHTEREV proposé une manière de classifier ces constants élastiques [6]. Il divise toutes les constantes en six groupes par rapport à leurs endroits dans les bons côtés des équations (1.09) ou (1.10). Nous considérerons en détail les propriétés de ces constants élastiques par rapport à la loi de la conservation de l'énergie et des changements d'un système du même rang à l'autre.

Les questions de la déformation et de la stabilité des corps avec l'anisotropie d'une forme particulière, certain auteur (N.G.CHENTSOV et I.SEKERZH-ZENKOVICH) employer le prétendu : constantes techniques, à ce que sont reliés avec s et_ij c , le module de YOUNG, _ij

coefficients de POISSON et modules de cisaillement [8]. A.L.RABINOVICH a proposé un système de (des constantes techniques) pour le cas général de l'anisotropie. Dans le cas le plus général d'un corps anisotrope, les équations de la loi du HOOKE généralisé (1.10), en utilisant les notations d'A. L .RABINOVICH, peuvent être écrites de la façon suivante:[9]

(22)

ε x= x E 1 (σ _x-υ_yxσ _y-υ_zxσ _z+η_{yz ,}_xτ +_yz η_zx,_xτ +_xz η_xy,_xτ ) _xy y ε = y E 1 (-υ σ_xy _x+σ _y-υ σ_zy _z+η_{yz ,}_yτ +_yz η_zx,_yτ +_xz η_{xy ,}_yτ ) _xy z ε = z E 1 (-υ σ_xz _x-υ σ_yz _y+σ _z+η_yz,_zτ +_yz η_zx,_zτ +_xz η_{xy ,}_zτ ) (1.12) _xy yz γ = yz G 1 (η_x,_yzσ _x+η_y,_yzσ _y+η_{z ,}_yzσ _z+τ +_yz µ_zx,_yzτ +_xz µ_xy,_yzτ ) _xy xz γ = xz G 1 (η_x,_zxσ _x+η_y,_zxσ _y+η_{z ,}_zxσ _z+µ_{yz ,}_zxτ +_yz τ +_xz µ_xy,_yzτ_xy) xy γ = xy G 1 (η_x,_xyσ _x+η_y,_xyσ _y+η_z,_xyσ _z+µ_yz,_zxτ +_yz µ_zx,_xyτ +_xz τ ) _xy Où :

• Ex,Ey,Ez : Sont des modules de YOUNG dans les directions x, y et z

respectivement.

• Gxy,Gxz,Gyz : Sont des modules de cisaillement pour les plans qui sont parallèles aux

plans yoz, xoz et xoy respectivement.

• υzy,υzx,υxy,υyz,υxz,υyx : Sont des modules de POISSON.

• µzx,yz,µyz,zx,µxy,yz,µyz,xy,µzx,xy,µxy,zx : Sont des cœfficients de CHENTSOV.

• ηyz,x,ηzx,x,ηxy,x,ηyz,y,ηzx,y,ηxy,y,ηyz,z,ηzx,z,ηxy,z : Sont des cœfficients mutuels de

premier qualité.

• ηx,zx,ηy,zx,ηz,zx,ηx,yz,ηy,yz,ηz,yz,ηx,xy,ηy,xy,ηz,xy : Sont des cœfficients mutuels de

deuxième qualité.

(23)

P.BEKHTEREV groupé les constants de déformation comme suite : 1 : s₁₁ = 1 E_x, s₂₂ = 1 E_y et s₃₃ = 1 E_z 2 : s₁₂ =-x yx E υ =-y xy E υ , s₁₃ =-z xz E υ =-x zx E υ , s₂₃ =-z yz E υ =-y zy E υ 3 : s₄₄= yz G 1 , s₅₅= xz G 1 , s₆₆= xy G 1 4 : s₅₆= xz zx xy G , µ = xy xy zx G , µ s₄₆= yz yz xy G , µ = xy xy yz G , µ s₄₅= yz zy zx G , µ = xz zx yz G , µ 5 : s₁₄= x x yz E , η = yz yz x G , η s₂₅= y y zx E , η = xz zx y G , η (1.13) s₃₆= z z xy E , η = xy xy z G , η 6 : s₂₄= y y yz E , η = yz yz y G , η s₃₅= z z zx E , η = xz zx z G , η s₁₆= x x xy E , η = xy xy x G , η s₃₄= z z yz E , η = yz yz z G , η s₁₅= x x zx E , η = xz zx x G , η s₂₆= y y xy E , η = XY xy y G , η

(24)

1.5. Propriétés de loi de HOOKE [10]

Dans ce paragraphe, nous allons adopter la notion contractée qui réduit de moitié le nombre des indices, d’où un seul indice pour un tenseur de second ordre et deux indices pour un tenseur du quatrième ordre (Tsai et Massard, 1985)

j ij i j ij i s c σ ε ε σ = =

Avec σ : Tenseur des contraintes d’ordre 2 _i ε : Tenseur des déformations d’ordre 2 _i c : Tenseur des rigidités d’ordre 4 _ij

s : Tenseur des souplesses d’ordre 4 _ij

1.5.1. Matériaux complètement anisotropes

La loi la plus générale pour un matériau anisotrope linéairement élastique liant les contraintes et les déformations, est la loi de HOOKE généralisée. Les constantes non nulles intervenant dans la relation sont au nombre de 36. On dit qu’un matériau est complètement anisotrope s’il ne possède aucun plan de symétrie.

                    12 13 23 3 2 1 τ τ τ σ σ σ =                     66 56 46 36 26 16 55 45 35 25 15 44 34 24 14 33 23 13 22 12 11 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c .                     12 13 23 3 2 1 γ γ γ ε ε ε (1.14)

A partir de ces considérations, on peut montrer que la matrice de rigidité est symétrique ; en raison de cette symétrie, seul 21 des 36 constantes sont indépendants.

1.5.2. Matériaux monocliniques :

En fonction de la symétrie du matériau, le nombre de constantes indépendantes diminue. Par exemple si le plan 1-2 d’équation z=0 est un plan de symétrie, toutes les constantes associées à la direction positive de l’axe 3 ou z, doivent être identiques à celles associées avec la direction négative du même axe. Les composantes de déformation de cisaillement γ et₁₃ γ₂₃ ne sont couplées qu’avec les composantes de contraintes de cisaillementτ et₁₃ τ₂₃. Le système (1.16) peut être simplifié pour un matériau monoclinique et devient alors :

(25)

                    12 13 23 3 2 1 τ τ τ σ σ σ =                     66 36 26 16 55 45 44 33 23 13 22 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 c c c c c c c c c c c c c .                     12 13 23 3 2 1 γ γ γ ε ε ε (1.15)

Dans ce repère, le nombre de constantes non nulles ne sont 20, et 13 d’entre elle sont indépendantes. Si le repère change de manière arbitraire, le nombre de constantes passes à 36, mais le nombre de constantes indépendantes demeure égale à 13, ce qui est caractéristique d’un matériau monoclinique quel que soit le repère considéré.

1.5.3. Matériaux orthotropes

Ces matériaux possèdent 3plans de symétries orthogonaux (les normales à ces trois plans sont les directions principales de l’élasticité). Dans ce cas, les nombres des constantes indépendantes passent de 13 à 9. Si les plans de symétrie coïncident avec ceux du système de coordonnées, les constantes non nulles ne sont aux nombres 12. Si un seul des plans de symétrie coïncide avec l’un des plans du système de coordonnées, ces constantes non nulles ne sont celles du cas monoclinique. Le nombre de constantes indépendantes reste toujours égal à 9 pour un matériau orthotrope quelle que soit l’orientation des axes de coordonnées. Le système (1.16) peut être simplifié pour un matériau orthotrope et devient alors :

                    12 13 23 3 2 1 τ τ τ σ σ σ =                     66 55 44 33 23 13 22 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c c c c c c c c c .                     12 13 23 3 2 1 γ γ γ ε ε ε (1.16)

En terme de constantes techniques, la matrice des souplesses pour ce cas à la forme:

[ ]

                                  − − − = 12 13 23 3 3 23 3 13 2 2 12 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 G G G E E E E E E s υ υ υ (1.17)

(26)

Avec E₁.υ₂₁= E₂.υ₁₂;E₂.υ₃₂ = E₃.υ₂₃;E₃.υ₁₃ =E₁.υ₃₁

• E1,E2,E3 : Sont des modules de YOUNG dans les directions x, y et z

respectivement.

• G12,G13,G23 : Sont des modules de cisaillement pour les plans qui sont parallèles aux plans yoz, xoz et xoy respectivement.

• υ32,υ31,υ12,υ23,υ13,υ21 : Sont des modules de POISSON.

1.5.4. Matériaux transversalement isotropes

Pour ces matériaux, les constantes non nulles ne sont au nombre de 9, parmi lesquelles 5 sont indépendantes. Il s’agit d’une configuration importante, car elle est souvent utilisée pour décrire les constants élastiques d’une fibre ou d’un matériau unidirectionnelle. Dans les deux cas, le plan d’isotropie est normal aux fibres. Le passage de 9 à 5 constantes non nulles se fait en utilisant les relations suivantes (le plan yoz est isotrope, les coordonnées y et z sont donc interchangeables) : 2 , , , 22 23 44 66 55 12 13 33 22 c c c c c c c c c = = = = −

La dernière équation est déduite de l’équivalence qui existe entre un cisaillement pur et une traction -compression combinée.

Donc le système (1.16) prend la forme suivant :

                    12 13 23 3 2 1 τ τ τ σ σ σ =                     − 66 66 23 22 22 23 12 22 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 c c c c c c c c c c .                     12 13 23 3 2 1 γ γ γ ε ε ε (1.18) 1.5.5. Matériau isotrope

Si le matériau possède un nombre infinie de plans de symétries, on dit qu’il est isotrope ; dans ce cas, le nombre de constantes indépendantes vaut seulement 2.

2 , , 11 12 66 55 44 31 23 12 33 22 11 c c c c c c c c c c c = = = = = = = −

(27)

                    12 13 23 3 2 1 τ τ τ σ σ σ =                         − − − 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 12 11 12 11 12 11 11 12 12 11 12 11 c c c c c c c c c c c c .                     12 13 23 3 2 1 γ γ γ ε ε ε (1.19)

On peut écrire la formule (1.21) comme suite : 3 1 , , ... 2 . . + = − = _ij _kk G _ij i j k ij λδ ε ε σ (1.20) Avec

• λetG : sont les constantes de LAME et sont reliées en fonction des constantes élastiques comme suit : [11]

) 1 ( 2 2 ) 2 1 .( υ υ υ λ + = − = E G , ) 1 ).( 2 1 ( . υ υ υ λ + − = E

• δ : Kronecker delta définit comme suit : ij

   ≠ = = = j i j i ij ij ... 0 ... 1 δ δ • ε : Changement de volume kk ε_kk =ε₁₁+ε₂₂+ε₃₃

En terme de constantes techniques, la matrice des souplesses pour ce cas à la forme :

[ ]

                              − − − = G G G E E E E E E s 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 υ υ υ (1.21) s₁₁ = s₂₂=s₃₃= E 1 , s₁₂ =s₁₃= s₂₃ =-E υ , s₄₄= s₅₅= s₆₆= G 1 = 2 12 11 s s −

Le nombre de coefficients indépendants se réduit à 2 constants

Ø Nous présentons dans le tableau suivant une synthèse des différents comportements des matériaux selon le nombre de plan de symétrie :

(28)

Type du matériau

Nb. constantes indépendantes

Nb. constantes non nulles des axes

Nb. constantes non nulles hors axes Nb. constantes non nulles cas général Triclinique 21 36 36 36 Monoclinique 13 20 36 36 Orthotrope 9 12 20 36 Iso. transverse 5 12 20 36 Isotrope 2 12 12 12

Tableau 1.1 : synthèse des différents comportements des matériaux 1.6. L’élasticité des cristaux [12]

En générale il existe trente deux (32) formes qui sont divisées en sept (7) classes qui sont : Triclinique, monoclinique, rhombique, tetragonal, trigonal, hexagonale, et cubique. Les éléments géométriques des cristaux sont :

1- Plan de symétrie (notation avec la lettre P)

2- Un axe de symétrie ou un axe de rotation de némeordre (la notation est Ln) L’angle de rotation égal (2

n π

)

3- Un axe de symétrie complexe de l’ordre n (la notation est L_n) 4- Le centre de la symétrie ou le centre d’inversion (la notation est C)

Exemple : 3L23PC

La forme cristallographique est :

3 axes de symétrie de deuxième ordre, 3 plans de symétrie, 1 centre de symétrie

Classe 1. Classe triclinique : Les formes de symétries sont :

(1)Pas d’élément de symétrie, (2) C (centre de la symétrie). L’axe Z est dirigé arbitrairement

Le nombre des constants indépendants N égal 21 La matrice inverse est comme suite :

[ ]

S =                     66 56 46 36 26 16 55 45 35 25 15 44 34 24 14 33 23 13 22 12 11 s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s (1.22)

Classe 2. Classe monoclinique : Les formes de symétries sont : (3)L2, (4) P, (5) L2PC

L’axe z coïncide avec L2 ou perpendiculaire au P Le nombre des constants indépendants N égal 13 La matrice inverse est comme suite :

(29)

[ ]

S =                     66 36 26 16 55 45 44 33 23 13 22 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 s s s s s s s s s s s s s (1.23)

Classe 3. Classe rhombique : Les formes de symétries sont : (6)3L2, (7) L22P, (8) 3L23PC

L’axe z coïncide avec L2 , l’axe X coïncide avec l’autre L2 ou est perpendiculaire au P Le nombre des constants indépendants N égal 9

La matrice inverse est comme suite :

[ ]

S =                     66 55 44 33 23 13 22 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s s s s s s s s s (1.24)

Classe 4. Classe trigonale : Les formes de symétries sont : (17)L33L2, (18) L33P, (20) L3

63L

2

3PC

L’axe z coïncide avec L3_{, l’axe X coïncide avec L}2_{ou est perpendiculaire au P}

[ ]

S =                     66 56 55 44 24 14 33 23 13 22 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s s s s s s s s s s s s (1.25) Où : s₁₁ =s₂₂,= s₁₃ =s₂₃,s₄₄ =s₅₅,s₆₆ =2(s₁₁−s₁₂),s₂₄ =−s₁₄ =−s₅₆

Classe 4a. Classe trigonale : Les formes de symétries sont :

(30)

(16)L3, (19) L3₆C

L’axe z coïncide avec L3

[ ]

S =                     66 56 46 55 25 15 44 24 14 33 23 13 22 12 11 0 0 0 0 0 0 s s s s s s s s s s s s s s s (1.26) Où : s₁₁=s₂₂,=s₁₃ =s₂₃,s₄₄ =s₅₅,s₆₆ =2(s₁₁−s₁₂),s₂₄ =−s₁₄ =−s₅₆,s₁₅ =−s₂₅ =−s₄₆ Classe 5. Classe tetragonal :

Les formes de symétries sont :

(10)L44L2, (12) L44P, (13) L44L25PC, (15) L2 42 L

2

2P

L’axe z coïncide avec L4 , l’axe X coïncide avec L2 ou est normal au P Le nombre des constants indépendants N égal 6

[ ]

S =                     66 55 44 33 23 13 22 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s s s s s s s s s (1.27) Où : , , , ₁₃ ₂₃ ₄₄ ₅₅ 22 11 s s s s s s = = = =

Classe 5a. Classe tetragonal : Les formes de symétries sont : (9)L4, (11) L4PC, (14) L2₄ L’axe z coïncide avec L4 ou L2₄

(31)

[ ]

S =                     66 26 16 55 44 33 23 13 22 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s s s s s s s s s s s (1.28) Où : s₁₁=s₂₂,=s₁₃ =s₂₃,s₄₄ =s₅₅,s₁₆ =−s₂₆

Classe 6. Classe hexagonale : Les formes de symétries sont :

(21)L3_{P, (22) L}3_3L2_{4P, (23) L}6_{, (24) L}6 _6L2_{, (25) L}6_{PC, (26) L}6_6P,

(27) L6_6L2_7PC

L’axe z coïncide avec L6 ou L3 , l’axe X coïncide avec L 2(si existe L2) Le nombre des constants indépendants N égal 5.

[ ]

S =                     66 55 44 33 23 13 22 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s s s s s s s s s (1.29) Où : ) ( 2 , , , ₁₃ ₂₃ ₄₄ ₅₅ ₆₆ ₁₁ ₁₂ 22 11 s s s s s s s s s = = = = = −

Classe 6a. Classe hexagonale : Les formes de symétries sont :

(28)4L33L2, (29) 4L3₆3L23PC, (30) 3L2₄4 L36P, (31) 3L44 L36L2, (32) 3L4_4L3

66 L 2_9PC.

L’axe z coïncide avec L2ou L2 4.

(32)

[ ]

S =                     66 55 44 33 23 13 22 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s s s s s s s s s (1.30) Où : s₁₁ =s₂₂ =s₃₃,s₁₂ =s₁₃ =s₂₃,s₄₄ =s₅₅ =s₆₆