Feuille d’exercices n10 - CALCUL MATRICIEL
PRODUIT ET PUISSANCES DE MATRICES Exercice 128. () A 12 23 12 0 0 0 , B 1 2 2 1 , C 30 12 4 0 , D 1 2 1, E 3 0
1. Quels produits matriciels sont possibles ? Les calculer. 2. Donner la transpos´ee des 5 matrices.
3. Calculer si possible DADT, ETBE et ETBTE.
Exercice 129. ()
Soit J la matrice de MnpRq ne contenant que des 1. Calculer J2 et en d´eduire Jp pour pP N.
Exercice 130. () Pour θP R, on pose Apθq
cospθq sinpθq sinpθq cospθq
1. Pourpθ, θ1q P R2, calculer ApθqApθ1q. 2. En d´eduirepApθqqn pour pθ, nq P R N.
Exercice 131. ( )
Soit AP Mn,ppKq non nulle, on pose B AT A et C A AT. 1. A-t-on B C ?
2. Montrer que les coefficients de la diagonale de B et C sont positifs ou nuls. 3. Ces matrices sont-elle sym´etriques ?
4. Montrer que si B est antisym´etrique alors A est la matrice nulle.
Exercice 132. ()
Calculer les puissances des matrices suivantes :
A a 0 b a , B 1 1 1 0 , C 10 11 11 0 0 1 , D 10 11 01 0 0 1 , E 1 a1 1 a0 1 0 1 . Exercice 133. ()
Soit AP MnpRq telle que A2 2A 3In 0.
D´eterminer An en fonction de A et In pour nP t3, 4, 5, 6u.
INVERSES DE MATRICES Exercice 134. ()
Calculer, lorsque c’est possible, l’inverse des matrices suivantes
A 1 1 2 1 , B 1 i i 1 , C 12 11 30 1 1 1 , D 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 Exercice 135. ( )
Soit AP MnpKq telle qu’il existe une matrice B non nulle de MnpKq v´erifiant AB 0n. Montrer que A n’est pas inversible.
Exercice 136. ()
1. Soit AP MnpRq. Montrer que In Ap pIn AqpIn A ... Ap1q. 2. On dit qu’une matrice A de MnpKq est nilpotente d’ordre p P N lorsque :
Ap 0n et@k ¤ p 1, Ak 0n
Montrer que si A est nilpotente d’ordre p alors In A est inversible et donner son inverse.
Exercice 137. ()
Avec un polynˆome annulateur 1. Posons A 1 01 0 12 0 1 1 . Montrer que A3 3A 3I 3 0. En d´eduire que A est inversible et la valeur de son inverse. 2. Posons B 31 12 11 2 2 1 . Exprimer B3 3B2 en fonction de B et I 3. En d´eduire que B est inversible et la valeur de son inverse.
Feuille d’exercices n10 - CALCUL MATRICIEL
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EQUATIONS ET SYST`EMES MATRICIELS
Exercice 138. () R´esoudre l’´equation X2 2X 1 0 6 3 d’inconnue la matrice X. Exercice 139. () Soient les matrices A
1 2 3 4 et B 1 5 0 3 11 2 . 1. On veut r´esoudre l’´equation AX B d’inconnue X.
Quelle est la taille de la matrice X ? D´eterminer les solutions X. 2. On veut r´esoudre l’´equation Y A B d’inconnue Y .
Quelle est la taille de la matrice Y ? D´eterminer les solutions Y .
Exercice 140. () Soient A 2 1 3 2 , B 3 2 5 3 et C 2 4 3 1 . D´eterminer les solutions de l’´equation AXB C.
Exercice 141. ()
R´esoudre les syst`emes suivants :
a) $ & % x 3y z 1 2x 5y z 0 3x 2z 3 b) $ & % y z 1 4x 3y 11z 2 2x y 4z 1 Exercice 142. ( )
On souhaite r´esoudre l’´equation X2 A d’inconnue X P M3pRq o`u :
A 10 04 12 0 0 16
1. Montrer que X2 A implique AX XA.
2. En d´eduire que la matrice X a au plus 5 coefficients non nuls. 3. En d´eduire les solutions de l’´equation.
On appelle ces matrices les « racines carr´ees de A ».
APPLICATION DES MATRICES Exercice 143. ()
On consid`ere les matrices : A 01 12 31 1 1 2 et P 11 1 11 0 1 0 1 .
1. Montrer que P est inversible et calculer P1.
2. Calculer la matrice D P1AP ainsi que Dn pour tout nP N. 3. En d´eduire An pour tout nP N.
4. Mˆemes questions avec A 2 13 4 42 2 0 1 et P 10 01 11 1 1 1 . Exercice 144. ( )
SoientpunqnPN etpvnqnPN deux suites d´efinies par : u0 1, v0 2, @n P N, un 1
1
3p2un vnq et vn 1 1
3pun 2vnq 1. On pose, pour nP N, la matrice Xn
un vn
. Proposer une matrice A telle que Xn 1 AXn. 2. En d´eduire Xn en fonction de A, de n et de X0. 3. On pose N 1 1 1 1
. Calculer les puissances successives de N . 4. En d´eduire les puissances successives de A.
5. En d´eduire l’expression de un et de vn en fonction de n.
COMMUTANT D’UNE MATRICE Exercice 145. ( )
Soient λ1, . . . , λn des ´el´ements de K deux `a deux distincts.
D´eterminer les matrices de MnpKq commutant avec D diagpλ1, . . . , λnq.
Exercice 146. ( )
Soit A pai,jq P MnpKq. Montrer que :
@B P MnpKq, AB BA ô Dλ P K, A λ.In