Valeurs spéciales de fonctions L de formes modulaires adéliques

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Valeurs spéciales de fonctions L de formes modulaires

adéliques

Julien Puydt

To cite this version:

Julien Puydt. Valeurs spéciales de fonctions L de formes modulaires adéliques. Mathématiques [math].

Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2003. Français. �tel-00005265�

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Valeurs sp´

eciales de fonctions L de formes

modulaires ad´

eliques

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Introduction

Objet. L’objet principal de la thèse est l’étude des valeurs spéciales de fonc-tions L attachées à des formes modulaires, tordues par des caractères de Dirichlet de conducteurs essentiellement arbitraires :

Lf(j + 1, χ) =X n≥1

χ(n)ann−s

s=j+1

(o`u k ≥ 2 et 0 ≤ j < k − 1 sont entiers, χ est un caract`ere de Dirichlet, et f =P

nanqn une forme modulaire)

Ce qui nous intéresse plus particulièrement, c’est l’existence de propriétés de congruences entre ces valeurs lorsque le conducteur tend vers l’infini, et uniformes pour presque tous les nombres premiers.

Résultats. On introduit une classe de formes modulaires sur GL2(AQ) assez similaire à celle qui est utilisée en théorie des représentations automorphes (par exemple par Bump [3], Gelbart [16] ou Scholl [45]), et on construit des distributions d’Eisenstein qui entrent dans ce cadre, en s’appuyant sur un précédent travail [42]. On construit une distribution µ à valeurs algébriques, dont certaines intégrales sont liées à une version régularisée des Lf(j + 1, χ).

Cette distribution µ est obtenue en trois étapes (essentiellement indépendantes les unes des autres) sous la forme µ = ℓ(π(Φ)), où Φ est une distribution à valeurs modulaires, π est un opérateur de projection sur un sous-espace modulaire, et ℓ est une forme linéaire algébrique.

On définit l’opérateur de projection π par une adaptation adélique de la mé-thode de la projection canonique de Pantchichkine (telle qu’il l’a présentée dans [40, 38, 39]), et on montre que l’espace image est de dimension finie, c’est le théorème de la dimension finie.

On construit explicitement la distribution Φ, comme convolution de deux dis-tributions d’Eisenstein, et on montre qu’elle vérifie le théorème des congruences (version modulaire). On établit ensuite qu’une distribution modulaire qui satisfait de telles congruences, fournit par projection une distribution modulaire π(Φ) qui a de bonnes propriétés de régularité : c’est le critère d’admissibilité ; cela signifie que la famille permet de construire des mesures admissibles au sens p-adique.

On définit ensuite la forme linéaire ℓ, associée à une forme modulaire paraboli-que f , fonction propre des opérateurs de Hecke. On prouve alors le théorème d’algébricité de la forme linéaire, qui affirme que l’image par cette forme linéaire d’une forme à coefficients algébriques, est algébrique. On étudie ensuite la variation horizontale de cette forme, ce qui fournit un théorème de contrôle horizontal.

Le théorème de la dimension finie assure que les congruences pour Φ (théorème des congruences, version modulaire) impliquent des congruences similaires pour les intégrales de la distribution µ ; c’est le théorème des congruences, version scalaire.

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4 INTRODUCTION

Par ailleurs, comme certaines de ces intégrales sont liées aux valeurs spéciales (c’est le théorème d’intégration des caractères de Dirichlet) on en déduit un théorème des congruences, version valeurs spéciales.

Motivations. On sait que ce type de congruence permet de faire de l’interpo-lation p-adique pour d´efinir des fonctions L p-adiques.

Un autre intérêt a été discuté par exemple par Kato, dans son exposé [20] au congrès international en 2002 : dans le cas des formes modulaires de poids 2, attachées à des courbes elliptiques sur Q, il y a un lien entre les valeurs spéciales étudiées ici et les χ composantes du groupe de Selmer.

Sources. L’idée de base de ce travail est dûe à Serre (voir par exemple l’intro-duction de [50]) : des congruences entre coefficients de Fourier de formes modulaires doivent donner lieu à des résultats similaires pour les valeurs spéciales de fonctions L associées de fa¸con plus ou moins directe. On peut à ce propos citer l’exemple des séries d’Eisenstein classiques :

Ek,χ= L(1 − k, χ) 2 + X n≥1 X d|n χ(d)dk−1qn

attachée aux caractères de Dirichlet χ définis modulo M ≥ 1, qui fournissent des congruences pour les valeurs spéciales L(1 − k, χ) = −Bk,χ/k des séries de Diri-chlet, où les Bk,χ= Mk−1P

a mod Mχ(a)Bk(a/M ) sont les nombres de Bernoulli généralisés. Le cas χ = 1 par exemple est discuté en détails par Serre dans [49].

Dans l’article [15], Deligne et Ribet construisent des distributions bornées sur le groupe de Galois de l’extension maximale abélienne d’un corps de nombres tota-lement réel K. Ils établissent ensuite que ces distributions interpolent une version régularisée des valeurs spéciales de la fonction ζ de Dedekind du corps K. Nous obtenons des résultats similaires pour les fonctions L des formes modulaires para-boliques.

Enfin, on utilise, après l’avoir adaptée à un cadre adélique, la méthode de la projection canonique développée par Alexei Pantchichkine, et présentée par exemple dans son article [40].

Notation1. On se fixe une forme modulaire F , de poids k ≥ 2, de niveau N , propre pour les opérateurs de Hecke, à coefficients entiers algébriques. On suppose que le support de N et S sont disjoints.

Moyens techniques. Les formes modulaires avec lesquelles on travaille ne sont pas les formes classiques ; ce sont des formes presque-holomorphes arithmé-tiques, telles que celles discutées par Shimura dans son récent livre [56] par exemple (en particulier la section 13) ; on peut les voir comme simplement des séries formelles de la forme :

X n,r

an,rqnRr∈ C[[q]][R]

où la somme est sur n ≥ 0, et 0 ≤ r est borné indépendamment de n ; cette série est telle que si on évalue par q = exp(2iπτ ) et R = (4πℑτ )−1_{, on obtient une forme} modulaire C∞ _{sur le demi-plan de Poincaré, annulée par une puissance de ∂/∂ ¯}_z. Les formes modulaires holomorphes sont en particulier annulées par la première puissance de cet opérateur, et rentrent donc dans cette théorie. Les espaces qu’elles

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INTRODUCTION 5 engendrent peuvent munies d’une structure rationnelle (sur Q) ou enti`ere (sur O) via les coefficients an,r.

Pour obtenir des résultats semi-adéliques sur ces formes, on procède en deux étapes :

– on se fixe d’abord un ensemble fini S de nombres premiers, qui sert de base aux différentes études, où on laisse le niveau des formes croˆıtre, mais à support fixé (lié à S). On appelle cette dépendance la “variation verticale” ;

– on discute ensuite de l’impact de l’ajout d’un nombre fini de places `a S sur ces constructions – on appelle cette seconde d´ependance la “variation horizontale” ;

Notation 2. On note en général MS un espace de formes modulaires dans lequel on a fixé S pour discuter de la variation verticale.

On note MS le produit des p de S ; et si ν est une famille index´ee par S, M_Sν est le produit pour p ∈ S des pνp_{. On ´ecrit aussi NS} _{pour N MS}_.

Distributions modulaires. Les distributions modulaires sont obtenues par convolution de deux distributions d’Eisenstein adéliques, très similaires à celles construites dans [42]. Une telle construction est motivée par le fait que l’on cherche à utiliser la méthode de Rankin-Selberg.

On souhaite contrˆoler ces distributions suivant deux aspects :

– contrˆole du niveau, qui permet de se restreindre `a travailler dans un espace du type MS, pour la variation verticale ;

– contrôle algébrique, avec des résultats de congruences entre les coefficients de Fourier ;

Plus précisément, ces distributions sont construites via une convolution de deux distributions d’Eisenstein, tordue par un caractère de Dirichlet :

Φj = (−1)jE1(j)∗1(.,N )=1E

(j) 2 (o`u 0 ≤ j < k − 1)

Cette convolution admet plusieurs ´ecritures explicites ; en voici une : Φj(χ) = (−1)jE1(j)(χ)E

(j)

2 (1(.,N )=1χ)

Projections. Techniquement, les projections font intervenir un syst`eme de valeurs propres αp non-nulles des op´erateurs de Atkin-Lehner (pour tout p ∈ S) sur les formes modulaires presque-holomorphes.

Ces op´erateurs agissent sur le d´eveloppement formel via : UMX

n,r

an,rqnRr=X n,r

aMn,rqn(M R)r

Définition 1. (page 74) Le sous-espace Mα,S _{d’un espace de formes} modu-laires M est l’intersection des espaces αpcaractéristiques pour Up, pour tout p ∈ S. On note πα,SS la projection associée.

Le but de cet projection est de s’assure que les distributions projetées sont à valeurs dans un espace de dimension finie, car on sait qu’alors on contrôlera les dénominateurs éventuels introduits par la forme linéaire.

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6 INTRODUCTION

Formes linéaires. Une fois obtenues des distributions à valeurs modulaires dans des espaces de dimension finie, on souhaite leur appliquer des formes linéaires, qui possèderaient les deux propriétés-clefs suivantes :

– définies sur Q, c’est-à-dire que l’image d’une forme modulaire à coefficients algébriques est algébrique ;

– à variation horizontale contrôlée ;

Le fait que l’on souhaite utiliser la méthode de Rankin-Selberg incite à construire ces formes linéaires via le produit scalaire de Petersson.

Notation3. On fixe maintenant le choix de αp et f : f est une forme propre des opérateurs de Hecke, à coefficients entiers algébriques, et αp est une des racines réciproques de son polynôme de Hecke en p. On note α′

p l’autre racine réciproque. Définition 2. (page 76) Dans le cas précédent, on dit que la famille (αp)p est adaptée à f .

Définition 3. (page 79) On définit la forme linéaire ℓα,Sf par :

g 7→ lim ν→∞ hf0 α,S, α −ν S U ν SgiNS hf0 α,S, fα,S,0iNS o`u : fα,S,0= f |Y l∈S (I − α′lVl) et fα,S0 = f ρ α,S,0|WNS f0

α,S et fα,S,0 sont donc des formes modulaires obtenues `a partir de f en modifiant les facteurs d’Euler en les places p ∈ S, via l’action d’op´erateurs simples et explicites (ρ _{est l’action de la conjugaison complexe, par exemple).}

Distributions scalaires. Une fois que l’on dispose des familles précédentes, on peut les réunir pour définir une famille de distributions à valeurs scalaires :

D´efinition 4. (page 93) On pose : µα,Sf,j : ϕ 7→ ℓ

α,S f (π

α,S S Φj(ϕ)) (o`u ϕ est une fonction-test)

Résultats principaux. Passons maintenant en revue les principaux résultats de ce travail ; on suppose que poids et caractères sont fixés, on ne les précisera donc pas.

Sur les projections. On a besoin, pour contrôler la régularité de la forme linéaire ℓα,S_f , de savoir qu’elle est définie sur des espaces dont la dimension ne croˆıt pas indéfiniment avec le niveau, à S fixé ; c’est le résultat suivant qui garantit ce point : Théorème (théorème de la dimension finie). (énoncé page 75) L’espace de formes modulaires presque-holomorphes Mα,S_{(N M}ν

S) est de dimension finie, born´ee ind´ependamment de ν.

La démonstration de ce résultat (en page 75) fait appel à des outils très élémentaires d’algèbre linéaire.

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INTRODUCTION 7 Sur les distributions modulaires.

Notation4. YS est le produit des Z∗

p pour p ∈ S.

D´efinition 5. (page 85) Une distribution sur YS est une forme lin´eaire sur les fonctions localement constantes.

Théorème (théorème des congruences, version modulaire). (énoncé en page 89) Si on considère une famille d’ouverts élémentaires a + (M_Sν) ⊂ YS, avec a ∈ Z, on a : U_Sν t X j=0 t j

(−a)t−jΦj(a + (M_Sν)) ≡ 0 mod M_StνO[[q]][R]

La démonstration (page 89) utilise le fait que l’on connaˆıt explicitement le développement de Fourier, pour évaluer les valuations en les différentes places de S.

D´efinition6. (page 87) Pour tout p ∈ S, la famille πα,S_S Φj permet de d´efinir une distribution Φα,S_(p) sur les fonctions localement polynomiales en la projection yp: YS → Z∗ p, de la fa¸con suivante : Z U ypjdΦ α,S (p) = Z U dπ_Sα,SΦj

(les Φα,S_j sont en fait les moments de Φα,S_(p))

On dispose d’une notion de régularité pour ces distributions p-adiques : l’ad-missibilité, dans un sens très proche de ce qu’utilise Visik dans [60]. Le résultat suivant donne un critère pour reconnaˆıtre si une famille de distributions, telle que celle décrite précédemment, forme des distributions p-adiques admissibles, via la construction que l’on vient de présenter :

Théorème (critère d’admissibilité). (énoncé page 90) On suppose que pour tout ouvert élémentaire a + (MSν) ⊂ YS, a ∈ Z, on dispose de la condition de niveau :

∀j, Φj(a + (M_Sν)) ∈ M(M_Sν) ainsi que, pour tout t ∈ [[0, h[[, de la condition de congruence :

U_Sν t X j=0 t j

(−a)t−jΦj(a + (M_Sν)) ≡ 0 mod M_StνO[[q]][R]

enfin, on suppose que pour tout p ∈ S, h ≥ vp(αp) ; alors la famille π_Sα,SΦj forme une mesure S-adique h-admissible.

Ce théorème, bien que l’énoncé fasse apparaˆıtre “Φj”, n’utilise pas de connais-sance précise des coefficients de Fourier, et est donc plus général que le cas dans lequel on l’applique. La démonstration (page 90) est basée sur le contrôle de l’action des opérateurs de projection sur le développement de Fourier.

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8 INTRODUCTION

Sur les formes linéaires. On a vu que la définition de ℓα,S_f faisait intervenir le produit scalaire de Petersson. On obtient donc a priori une forme linéaire définie sur C, ce qui ne permet pas de discuter de congruences. C’est pourquoi le résultat suivant est très intéressant, puisqu’il affirme qu’elle est en fait définie sur Q :

Théorème(théorème de contrôle algébrique). (énoncé page 75) ℓα,S_f : Mα,S_S (Q) → Q

La démonstration (page 75) utilise un argument de stabilité par les opérateurs de Hecke.

Notation5. On note λf l’homomorphisme de valeurs propres de f défini sur l’algèbre de Hecke, à valeurs algébriques, et les (Tp)p sont les opérateurs de Hecke. Théorème(théorème de contrôle horizontal). (énoncé page 83) Si on sait que λf(Tl) 6= 0 pour tout l ∈ Σ − S, alors :

ℓα,Σ_f = Y l∈Σ−S " 1 − (p + 1)α ′ p pλf(Tp) 1 − 2(p + 1)α ′ p pλf(Tp) + α′ p 2 λf(Tp) pk_λf_(Tp) !−1# ℓα,S_f

La démonstration (page 83), longue et calculatoire, consiste à étudier tour à tour chacun des éléments dépendant de S, puis à comparer ces différentes variations. Sur les distributions scalaires et les valeurs spéciales. Les résultats précédents permettent d’affirmer le théorème suivant sur les distributions µα,S_f,j :

Théorème(théorème des congruences, version scalaire). (énoncé page 93) Il existe une constante Cα

S algébrique non-nulle, telle que pour tout ouvert élémentaire a + (M_Sν) ⊂ YS, a ∈ Z, on a : CSα t X j=0 t j (−a)t−jµα,S_f,j(a + (MSν)) ≡ 0 mod M (t−h)ν S O

De fa¸con similaire, on peut transporter le résultat d’admissibilité, pour obtenir un équivalent scalaire :

Théorème (d’admissibilité des distributions scalaires). (énoncé page 94) La famille de distributions µα,Sf,j forme une mesure S-adique h-admissible, où h = maxp∈Svp(αp).

On a besoin d’introduire un certain nombre de notations avant de pouvoir énoncer le théorème suivant :

Notation6. Si χ est un caract`ere de Dirichlet, on note cχ son conducteur, et Gχ sa somme de Gauss.

Notation 7. Si ϕ est une fonction localement constante `a support compact sur A2

f, lui associe une fonction ζ sur GL2(Af) de la fa¸con suivante : ζk,s(ϕ)(gf) = X m∈Q∗ ϕ g−1f x 0 x−k|x|−2s

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INTRODUCTION 9 Notation 8. Si ϕ est une fonction localement constante `a support compact sur Af, on note F ϕ sa transform´ee de Fourier.

On est maintenant en mesure d’´enoncer le :

Théorème(théorème d’intégration des caractères de Dirichlet). (énoncé page 94) Soit f une forme modulaire adélique holomorphe de poids k, niveau N et ca-ractères (ψ1, ψ2), forme propre des opérateurs de Hecke, et (αp)p une famille de valeurs propres des opérateurs de Atkin-Lehner adaptée à f .

Soit enfin χ un caract`ere de Dirichlet de conducteur cχ premier avec N et S = Z(cχ) le support de ce conducteur.

Sous ces hypoth`eses, on a :

µα,S_f,j(χ) = H(f, α, S, j, χ)Lfα,S,0(j + 1, χ) o`u : H(f, α, S, j, χ) = a1,0GχΓ(k − 1)(2iπ) j+1₍₋₁₎k_cj χα −ν S Γ(j + 1)hf0 α,S, fα,S,0iNS ζj+1,0(1ˆ_Z× F−1(1(.,N )=1χ))(1f)Lfα,S,0(k − 1, F 1YS)

Comme corollaire de ces deux th´eor`emes, on a le :

Corollaire(congruences pour les valeurs spéciales). (énoncé en page 99) On suppose que l’on dispose d’une combinaison linéaire finie de caractères de conduc-teurs MSν, qui vérifie une congruence :

X χ γχχ ≡ 0 mod M_SτO alors : CSα X χ γχH(f, α, S, j, χ)Lfα,S,0(j + 1, χ) ≡ 0 mod M (j−h)ν+τ S O o`u on rappelle que : H(f, α, S, j, χ) = a1,0GχΓ(k − 1)(2iπ) j+1₍₋₁₎k_cj χα −ν S Γ(j + 1)hf0 α,S, fα,S,0iNS ζj+1,0(1ˆ_Z× F−1χ)(1f)Lfα,S,0(k − 1, F 1YS)

Plan du travail. Le chapitre I commence par fixer les notations qui seront utilisées dans le reste du texte. Il passe ensuite en revue les résultats de base sur le théorème d’approximation forte, la réduction d’endomorphismes et les fonctions confluentes hypergéométriques. Au passage, on introduit le formalisme des “tours modulaires”, qui sans être absolument nécessaire, permet de mieux exprimer les problèmes de variations verticale et horizontale.

Le chapitre II présente en détails les formes modulaires qui sont étudiées dans ce texte. Il commence bien évidemment par leur définition, en précisant le lien avec les formes classiques, et avec la présentation plus classique des formes modulaires adélique. Il se poursuit en discutant les notions de développements, automorphe et de Fourier. Il se termine par la construction de séries d’Eisenstein qui rentrent dans ce cadre.

Le chapitre III pr´esente tous les outils sur les formes modulaires dont on aura besoin. Il commence donc par un passage en revue de tous les op´erateurs, qui sont

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10 INTRODUCTION

définis, puis étudiés (en mettant l’accent sur les propriétés qui sont utiles à la suite, bien sûr). Il se poursuit par la définition de la fonction L d’une forme modulaire, avec à nouveau une discussion des propriétés essentielles. Enfin, le produit de Petersson est introduit, avec le cas particulier des intégrales de Rankin-Selberg, et des calculs explicites qui montrent le lien entre ces intégrales et les valeurs spéciales.

Le chapitre IV contient les premiers résultats intéressants ; en effet, c’est là que sont définies et étudiées la projection canonique et la forme linéaire. En particulier, on discute de l’intérêt de la projection canonique par rapport à d’autres projections, avant de prouver le théorème de contrôle de la dimension. On discute ensuite de familles de formes propres, car elles sont nécessaires à la définition de formes linéaires. Cette dernière définition est détaillée point par point, pour justifier que tout ce qu’on introduit est bien nécessaire pour obtenir les résultats attendus. La variation horizontale de ces formes linéaires occupe le reste du chapitre, qui se termine par une synthèse dans laquelle on montre que l’on peut, à partir des diverses formes, en obtenir une indépendante de S.

Le chapitre V discute des distributions à valeurs modulaires ; d’abord dans un cadre général, en donnant des exemples, et en discutant de leur “admissibilité”, avant de se pencher sur le cas particulier de la convolution de deux distributions d’Eisenstein, et prouver le théorème des congruences. Le critère d’admissibilité est alors énoncé puis prouvé ; la distribution construite et étudiée précédemment en vérifie évidemment les hypothèses !

Le chapitre VI enfin, définit les distributions à valeurs scalaires à partir des distributions modulaires, de la projection et de la forme linéaire construits précédemment. On peut alors prouver que ces distributions vérifient aussi un théo-rème des congruences, et forment une famille admissible. On établit ensuite que certaines de leurs intégrales sont liées aux valeurs spéciales auxquelles on s’intéresse. On en déduit alors un résultat de congruence pour les valeurs spéciales.

Remerciements

Je tiens en premier lieu à remercier chaleureusement mon directeur de thèse, Alexei Alexeiev Pantchichkine pour ses conseils, ses avis et ses explications durant ces années.

Un grand merci à Siegfried Böcherer et Serge Vladut pour avoir accepté d’être rapporteurs sur ce travail, et ce, malgré un calendrier extrêmement court.

Je suis très content que Gilles Robert et Roland Gillard se soient joints aux précédents pour former le jury de cette thèse.

Je remercie pour leurs questions et remarques lors de mes expos´es Gilles Robert, Fabienne Jory-Hugues et Bertrand Gorsse, qui m’ont permis de rendre ce texte plus compr´ehensible.

Je remercie C´eline, Pierre et Diane Puydt, qui m’ont support´e sans trop se plaindre.

Je tiens finalement à remercier tous ceux qui ont contribué à LA_{TEX, car sans} cet outil fabuleux, présenter un travail mathématique de fa¸con aussi lisible serait une véritable gageure.

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Table des mati`

eres

Introduction 3 Objet 3 Résultats 3 Motivations 4 Sources 4 Moyens techniques 4 Distributions modulaires 5 Projections 5 Formes linéaires 6 Distributions scalaires 6 Résultats principaux 6

Sur les projections 6

Sur les distributions modulaires 7

Sur les formes lin´eaires 8

Sur les distributions scalaires et les valeurs sp´eciales 8

Plan du travail 9 Remerciements 10 Chapitre I. Préliminaires 15 1.1. Notations, conventions 15 1.1.1. Général 15 1.1.2. Anneaux 15 1.1.3. Groupes 15 1.1.4. Objets adéliques 16 1.1.5. Espaces topologiques 17 1.1.6. Facteurs d’automorphie 17 1.2. Caractères 18 1.2.1. Caractères de Dirichlet 18 1.2.2. Exponentielle adélique 18 1.3. Théorème d’approximation forte 18

1.3.1. Enonc´e 18

1.3.2. Unicité de l’écriture 18 1.3.3. Passage à un groupe plus petit 19

1.4. Tours 19

1.4.1. S-tour 20

1.4.2. Morphisme de tours 20

1.4.3. Restriction et extension de tour 20 1.4.4. Tour de dimension finie 21 1.5. R´eduction d’endomorphismes : espaces caract´eristiques 21

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12 TABLE DES MATI `ERES

1.5.1. Point de vue polynomial 21 1.5.2. Point de vue grassmannien 22 1.5.3. Comparaison des deux points de vue 22 1.5.4. Calcul effectif de la projection 23 1.6. Fonction confluente hyperg´eom´etrique 23

1.6.1. Définition 23 1.6.2. Prolongement analytique 23 1.6.3. Equation fonctionnelle 24 1.6.4. Valeurs particulières 24 1.6.5. Développement polynomial 24 1.7. Lemme de Rankin 24

1.8. Transform´ee de Fourier sur Af 25

1.8.1. D´efinitions 25

1.8.2. Outils de calcul 25

1.8.3. Transform´ee de Fourier d’un caract`ere de Dirichlet 26

1.8.4. Transform´ee inverse 26

Chapitre II. Formes modulaires ad´eliques 29

2.1. D´efinition 29

2.1.1. Rappel : formes modulaires classiques 29

2.1.2. Cadre ad´elique 29

2.1.3. Lien avec d’autres définitions 30 2.1.3.1. Théorie de la représentation 30 2.1.3.2. Formes semi-adéliques 30 2.1.4. Lien entre formes classiques et adéliques, torsion 31 2.1.4.1. Passage classique-adélique 31 2.1.4.2. Passage adélique-classique 32 2.1.4.3. Torsion par un caractère 33 2.2. Presque-holomorphie et développement de Fourier 33 2.2.1. Objectifs : structure entière/rationnelle 33 2.2.2. Développement automorphe 34

2.2.3. Fonction de Whittaker 34

2.2.4. Presque-holomorphie sur le demi-plan de Poincar´e 35 2.2.5. Presque-holomorphie des formes modulaires 35 2.2.6. Dimension des espaces de formes modulaires 36

2.3. S´eries d’Eisenstein 36

2.3.1. Distributions d’Eisenstein analytiques 37 2.3.2. Convergence et prolongement analytique 37

2.3.3. Modularit´e 39

2.3.4. D´eveloppement automorphe et presque-holomorphie 39

2.3.5. Version alg´ebrique 42

2.4. Tours modulaires 43

2.4.1. D´efinition de MS 43

2.4.2. Variation horizontale 43

Chapitre III. Outils sur les formes modulaires 45

3.1. Op´erateurs de base 45

3.1.1. Action des matrices rationnelles 45

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TABLE DES MATI `ERES 13 3.1.3. Op´erateurs U de Atkin-Lehner 48

3.1.4. Op´erateurs V 52

3.1.5. Op´erateurs W 53

3.1.6. Action de la conjugaison complexe 56

3.2. R`egles de commutation 57

3.2.1. U et V 57

3.2.2. W et V 58

3.2.3. Torsion par un caractère 58 3.2.3.1. Opérateurs matrices, U et V 59 3.2.3.2. Opérateur W 59 3.2.3.3. Conjugaison complexe 59 3.3. Opérateurs de Hecke 59 3.3.1. Classes doubles 59 3.3.2. Opérateurs Tp 62 3.3.3. Opérateurs Tpr 63 3.3.4. Opérateurs Tm 64

3.3.5. Action sur les coefficients de Fourier 64

3.4. Fonctions L 65

3.4.1. Formes propres des op´erateurs de Atkin-Lehner 65 3.4.2. Formes propres des op´erateurs de Hecke 65 3.4.3. Lien valeurs propres-coefficients automorphes 66 3.4.4. Lien valeurs propres-coefficients de Fourier 66

3.4.5. Lin´earisation 67

3.4.6. Définition de la fonction L 68 3.4.7. Fonctions L et torsion 68 3.4.8. Propriétés analytiques 68 3.5. Produit scalaire de Petersson 69

3.5.1. D´efinition 69

3.5.2. Propriétés élémentaires 69 3.6. Intégrales de Rankin-Selberg 70

3.6.2. Expression en termes des fonctions de Whittaker 70 3.6.3. Lien avec le produit double usuel 71

Chapitre IV. Syst`emes de projections et de formes lin´eaires compatibles 73 4.1. Projections sur des sous-espaces de dimension finie 73

4.1.1. Exemples 73 4.1.1.1. Opérateur de trace 73 4.1.1.2. Trace normalisée 73 4.1.1.3. Projecteur de Hida 73 4.1.2. Projections (α, S)-caractéristiques 73 4.1.2.1. Espaces caractéristiques 73 4.1.2.2. Tours Mα,S_Σ 74 4.1.2.3. Projecteurs π_Σα,S 74

4.2. Familles de formes propres 76

4.2.1. Formes fα,S,0 76

4.2.2. Formes f0

α,S 76

(15)

14 TABLE DES MATI `ERES

4.3.1. D´efinition na¨ıve 77

4.3.2. D´ependance en niveau 77

4.3.3. Factorisation par Mα,SS 78 4.3.4. Contrôle algébrique 78 4.4. Variation horizontale de ces formes linéaires 79 4.4.1. Comparaison de fα,S,0 et fα,Σ,0 79 4.4.2. Comparaison de f0

α,S et fα,Σ0 80

4.4.3. Comparaison des formes sans normalisation algébrique 80 4.4.4. Comparaison des facteurs de normalisation algébrique 81 4.4.5. Synthèse : forme linéaire indépendante de S 83 Chapitre V. Construction de distributions modulaires S-adiques 85

5.1. Distributions sur YS 85

5.1.1. Fonction-tests 85

5.1.3. Convolution des distributions 85

5.1.4. Distribution p-adique 86

5.1.5. h-admissibilité (p-adique) 87 5.1.6. Distributions S-adique, h-admissibilité 87 5.2. Distributions à valeurs modulaires 88

5.2.1. Exemples classiques 88

5.2.1.1. Distribution d’Eisenstein 88 5.2.1.2. Formes modulaires partielles 88 5.2.1.3. S´eries theta partielles 88

5.2.2. Construction des Φj 88

5.2.3. Congruences pour les Φj 89 5.3. Crit`ere d’admissibilit´e 90

5.3.1. Enoncé du théorème 90

5.3.2. Preuve du th´eor`eme 90

Chapitre VI. Application : distributions scalaires 93

6.1. D´efinition 93

6.2. Théorème des congruences (version scalaire) 93 6.3. Théorème d’admissibilité 94 6.4. Intégration des caractères de Dirichlet 94

Conclusion 101

(16)

CHAPITRE I

Pr´

eliminaires

1.1. Notations, conventions

1.1.1. Général. On fixe un entier N et un caractère de Dirichlet ψ défini modulo N . On notera S et Σ des ensembles finis variables de places de Q, avec S ⊂ Σ ; et on écrira : MS = Q

l∈Sl et NS = N MS. On fera toujours le choix N ∧ MΣ= N ∧ MS= 1.

On notera par des lettres soulign´ees des multi-indices de NS _{ou N}Σ_{, et si µ, ν ∈} NS, on notera :

– ν = (νp)p∈S; – M_Sν :=Q

p∈Spνp;

– ν ≤ µ lorsque νp≤ µp pour tout p ∈ S ; – µ − ν = (µp− νp)p∈S si on sait ν ≤ µ ; – µ + ν = (µp+ νp)p∈S,

– tν = (tνp)p∈S lorsque t ∈ N ; – ν + n = (νp+ n)p∈S(n entier) ;

– enfin, (ν, 0) ∈ NΣ _{est le prolongement de la famille (νp)p∈S} _{par z´ero sur} Σ − S ;

ces multi-indices se révéleront d’un usage très pratique.

1.1.2. Anneaux. Si A est un anneau commutatif unitaire, on notera A× le semi-groupe des r´eguliers, et A∗ le groupe des inversibles.

Sur un anneau A, A[[qQ_{]][R] ne forme pas un anneau. Cependant, la limite} inductive : lim∞|NA[[qN1Z]][R] admet une structure d’anneau. C’est `a cette limite

que l’on fera r´ef´erence quand on parlera de l’anneau A[[qQ_]][R].

On se placera souvent dans le cas o`u l’anneau de base sera Q, C ou un des corps de Tate Cp. On rappelle que sont des corps alg´ebriquement clos. On se fixe des plongements :

i∞: Q → C il: Q → Cl qui resteront en g´en´eral implicites...

O ⊂ Q est l’anneau des entiers alg´ebriques et Zp ⊂ Qp l’anneau des entiers p-adiques pour tout p.

On note A l’anneau des adèles, et Af l’anneau des adèles finis. ˆZ est l’anneau complété des entiers, isomorphe à Q

lZl. On sait que A = Af× R et Af = ˆZ⊗ Q. 1.1.3. Groupes. On travaillera avec des sous-groupes de GL2sur divers an-neaux, que l’on va noter ainsi :

(17)

16 I. PR ´ELIMINAIRES B = ∗1 ∗2 0 ∗3 P = 1 ∗1 0 ∗2 Z = ∗ 0 0 ∗ D = ∗1 0 0 ∗2 U = 1 ∗ 0 1

naturellement, en plus de ces groupes-ci, on consid`erera les groupes usuels SL2, SO2, O2, etc, lorsque cela a un sens. En particulier, on notera r(θ) la rotation d’angle θ dans SO2(R).

De même, toujours lorsque cela a un sens (par exemple sur ˆZ ou Z), on considèrera les groupes B(a), P (a), etc, où a est un idéal, qui sont obtenus comme image réciproques des sous-groupes correspondants dans le quotient.

On r´eserve les notations Γ0(N ), Γ1(N ) et Γ(N ) aux sous-groupes de congruences habituels dans SL2(Z) : respectivement B(N ), U (N ) et le noyau de la r´eduction modulo N .

Dans le cas des sous-groupes sur sous-corps de R, on notera+_{pour signifier que} l’on se restreint au sous-groupe de déterminant strictement positif (avec la réserve suivante : comme les matrices d’homothéties sont de toutes fa¸cons de déterminant positif, cela signifiera que le rapport est strictement positif).

Il est pratique de disposer d’une fa¸con de nommer les coefficients d’une matrice :

γ = aγ bγ cγ dγ ∈ GL2

1.1.4. Objets adéliques. Quand on considèrera un objet de nature adélique, disons o, on notera o∞sa partie archimédienne, et of sa partie non-archimédienne. Par exemple, si i est un idèle, i∞ sera un élément de R∗_{, et if} _{un élément de A}∗

f. On notera aussi op pour la partie p-adique de o.

Etant donné un objet (non-)archimédien, on parlera aussi parfois de lui comme d’un objet adélique. Cela signifiera que l’on utilisera implicitement un plongement canonique de la partie considérée dans l’espace adélique correspondant. Ainsi, un réel non-nul x considéré comme un adèle est l’adèle dont la partie archimédienne est x, et la partie non-archimédienne est nulle. Le même réel considéré comme un idèle est l’idèle dont la partie archimédienne est x, et la partie non-archimédienne est 1.

Il y a une exception importante à cette dernière convention : les rationnels ont des plongements naturels à la fois dans les parties archimédiennes et non-archimédiennes ; dans ce cas, on privilégiera le plongement diagonal. Par exemple, une matrice γ ∈ GL2(Q) se plonge en une matrice de GL2(A) telle que γ∞= γ et γf = γ.

(18)

1.1. NOTATIONS, CONVENTIONS 17 1.1.5. Espaces topologiques. Les espaces de base dans ce travail seront les YS =Q

l∈SZ∗l. Ce sont des espaces topologiques profinis, donc compacts. La topo-logie de YS est d´efinie par les voisinages de ses points ; pour un point a ∈ YS une base de ces voisinages est a + (MSν), o`u ν ∈ NS.

On consid`erera aussi le demi-plan de Poincar´e usuel H = {τ ∈ C/ℑ(τ ) > 0}, sur lequel GL+2(R) agit par homographies.

On notera : H∞ = y x 0 1 ∈ GL+2(R) Hf = y x 0 1 ∈ GL2(Af)

les ´equivalents matriciels du demi-plan de Poincar´e ; en particulier, on peut identifier Het H∞: H → H∞ τ 7→ ℑ(τ ) ℜ(τ ) 0 1

Proposition 1.1. On dispose de la d´ecomposition suivante (topologique !) de GL+2(R) :

GL+₂(R) ⋍ Z+(R) × H∞× SO2(R)

Démonstration. Il suffit de considérer l’action des homographies sur i : le stabilisateur est formé par le centre et les rotations, et cette action induit un

hom´eomorphisme : H∞⋍ H.

Proposition 1.2. L’application τ : GL+₂(R) → H définie précédemment, transforme la multiplication par une matrice de GL+2(Q) en action par homographie par cette même matrice.

Démonstration. On considère γ = a b c d ∈ GL+₂(Q), et τ = x + iy ∈ H (où on voit x et y comme des fonctions de τ , et où on identifie H et H∞) ; alors on peut prouver : a b c d y x 0 1 = y(γτ ) x(γτ ) 0 1 r(α)

o`u α est d´efini par : cτ + d = |cτ + d| exp(iα). 1.1.6. Facteurs d’automorphie. Pour γ =

a b c d

∈ GL+₂(R) et τ ∈ H, on peut d´efinir trois facteurs d’automorphie :

j0(γ, τ ) = (cτ + d)−1

j1/2(γ, τ ) = p| det γ|(cτ + d)−1 j1(γ, τ ) = det γ(cτ + d)−1

Il v´erifient tous, pour tous γ, g ∈ GL+2(R) et τ ∈ H, la r`egle de composition suivante :

(19)

18 I. PR ´ELIMINAIRES

Par ailleurs, on d´efinit, pour tout k ∈ N, une action des matrices de GL+2(R) sur les fonctions H → C, via :

f |kγ(τ ) = j1/2(γ, τ )k_{f (γτ )} 1.2. Caract`eres

1.2.1. Caract`eres de Dirichlet. Un caract`ere de Dirichlet modulo N est un morphisme de groupes : (Z/N Z)∗ _{→ C}∗_.

On dit qu’un caract`ere de Dirichlet est de conducteur N lorsqu’il ne se factorise pas via la r´eduction modulo D pour un diviseur strict D de N .

1.2.2. Exponentielle adélique. Il s’agit d’un caractère additif Ψ : A/Q → C, que l’on définit localement :

– sur la place infinie, on consid`ere Ψ∞: x 7→ exp(2iπx) ;

– sur chaque place finie p, on considère Ψp : x 7→ exp(−2iπx), où cette définition est à comprendre comme définissant l’image d’un nombre p-adique par l’image de sa partie fractionnaire, l’image des entiers étant triviale. Cette exponentielle engendre tous les caractères de A/Q.

Remarque 1.1. Se fixer explicitement un caractère additif de base possède un avantage sur une approche plus généraliste : elle permet de se contenter de la définition des sous-groupes de congruence donnée plus loin : nul besoin de rajouter une “différente” pour tenir compte du fait que le caractère n’est pas trivial sur Zp pour tout p.

1.3. Th´eor`eme d’approximation forte

1.3.1. Enoncé. On rappelle sans le démontrer le résultat suivant, connu sous le nom de “théorème d’approximation forte” :

Th´eor`eme1.1. Si K est un sous-groupe d’indice fini de GL2(ˆZ), tel que : – pour presque tout p, Kp= GL2(Zp) ;

– pour tout p, le d´eterminant det : Kp→ Z∗

p est surjectif.

alors GL2(A) = GL2(Q). GL+2(R) × K (o`u le produit par des matrices rationnel-les doit se comprendre par le plongement diagonal, comme convenu !)

On va souvent utiliser ce théorème appliqué dans le cas suivant ; on parlera alors d’appliquer le théorème d’approximation forte “en niveau N ” :

Corollaire1.1. GL2(A) = GL2(Q). GL+2(R) × B(N )

1.3.2. Unicité de l’écriture. Il est important de comparer deux décompo-sitions d’une même matrice adélique g ∈ GL2(A) via ce corollaire. Imaginons que g = gQ.(g+_R × gN) = g′ Q.(g′+R × gN′ ), avec gQ, gQ′ ∈ GL2(Q), g + R, g ′+ R ∈ GL + 2(R) et gN, g′ N ∈ B(N ). On pose h = g′−1Q gQ∈ GL2(Q). On a alors :    g′ Q = gQh−1 g′+ R = hg + R g′ N = hgN

ce qui montre que h est un bon indicateur du défaut d’unicité de la décomposition. Voyons ce que ces égalités fournissent comme indication sur h :

(20)

1.4. TOURS 19 – la première ligne provient directement de la définition de h, et montre que c’est une matrice à coefficients rationnels, ce qui permet de la voir à la fois comme archimédienne et non-archimédienne ;

– la seconde ligne indique que le déterminant de h est strictement positif ; – la dernière ligne donne beaucoup d’indications : h est à coefficients entiers, et

son coefficient (2, 1) est congru à 0 modulo N . Par ailleurs, son déterminant (qui est donc entier) doit être inversible modulo tous les nombres premiers : c’est donc ±1.

On voit alors que si deux décompositions diffèrent, c’est nécessairement par une matrice de Γ0(N ). Et inversement, si on se donne une décomposition d’une matrice, il est clair qu’on peut en obtenir une autre en faisant agir une matrice de ce groupe. Remarque 1.2. Ce théorème est dicuté de fa¸con très claire dans le livre [16] de Gelbart, où sont données aussi un certain nombre de références sur des résultats similaires. On trouve une preuve pour le groupe algébrique SL2 dans le livre [18] de Hida.

1.3.3. Passage à un groupe plus petit. On choisit g ∈ GL2(A), et on imagine qu’on en connaˆıt une écriture dans la décomposition GL2(Q).(GL+2(R) × B(N )) ; et on souhaite en déduire alors une écriture dans GL2(Q).(GL+2(R) × B(M N )), si possible. On va voir que si M |N , on peut le faire.

Pour cela, il suffit de consid´erer 1∞× u avec u ∈ B(N ). On va voir qu’il existe une matrice h ∈ Γ1(N ), que l’on donnera explicitement, telle que hfu ∈ B(M N ).

A l’aide de cette matrice h, on peut ´ecrire : 1∞× u = h−1.(h × hu) Voyons maintenant comment calculer h ; on pose :

h = 1 0 N α 1 u = a b N c d alors : 1 0 N α 1 a b N c d = a b N (c + aα) d + N bα

et on voit qu’il suffit de faire un choix de α ∈ Z tel que c + aα ≡ 0 mod M . C’est là qu’intervient l’hypothèse M |N ; en effet, pour être sûr de pouvoir faire un tel choix, il faut que ap ∈ Zp soit inversible, pour tout p|M . Or, si M |N , ces conditions sont vérifiées, car ad − bN c ∈ ˆZ∗. Si maintenant ap est inversible, alors il existe αp∈ Zp tel que cp+ apαp ≡ 0 mod pvp(M)_{. Cet entier (de Zp) est unique}

modulo pvp(M)_{. On utilise alors le th´eor`eme chinois pour obtenir un entier (relatif !)}

α, d´efini modulo M , qui recolle les donn´ees des αp, pour tous les p|M . 1.4. Tours

On va travailler avec des familles d’espaces vectoriels sur des corps algébrique-ment clos (généralealgébrique-ment Q ou C), structurées par des applications linéaires plus ou moins simples. Il est donc relativement naturel de chercher à définir un certain vocabulaire, qui sans exprimer de choses bien complexes, permettra néanmoins de rendre l’exposé plus compréhensible.

(21)

20 I. PR ´ELIMINAIRES 1.4.1. S-tour. Une S-tour est la donn´ee : – pour chaque ν ∈ NS_{, d’un espace vectoriel E}ν_;

– pour chaque couple ν ≤ µ ∈ NS _{d’une application linéaire hν,µ}_{: E}ν_{→ E}µ_; – pour chaque couple ν ≤ µ ∈ NS _{d’une application linéaire bµ,ν}_{: E}µ_{→ E}ν_; Eν_{est l’étage ν, E}0_{est le rez-de-chaussée. Les applications hν,µ}_{sont les ascenseurs} ascendants et les bµ,ν sont les ascenseurs descendants.

On demande aux ascenseurs de vérifier les propriétés suivantes : – c’est l’identité si µ = ν ;

– si ν ≤ µ ≤ λ, l’ascenseur associé au couple ν ≤ λ est le composé des ascen-seurs associés à ν ≤ µ et µ ≤ λ.

On dira plus simplement que (E, h, b) est une S-tour pour d´ecrire cette situa-tion.

Remarque 1.3. Les ascenseurs ascendants et descendants forment deux fa-milles de morphismes, avec des propriétés de cohérences internes à chaque famille, mais sans propriété qui les lie : ils ne sont pas inverses les uns des autres, en particulier.

1.4.2. Morphisme de tours. Etant données (E, h, b) une S-tour et (E′_{, h}′_{, b}′₎ une Σ-tour, et une famille d’applications linéaires (indexée par NS_{) fν} _{: E}ν _→ E′(ν,0)_{, on dit que cette famille forme un morphisme de tours si pour tous ν ≤ µ ∈} NS_{, on a :}

– la condition de compatibilit´e ascendante : le diagramme suivant commute

Eµ fµ _{// E}′(µ,0) Eν fν // hν,µ OO E′(ν,0) h′ (ν,0),(µ,0) OO

– la condition de compatibilit´e descendante : le diagramme suivant commute

Eµ fµ // bµ,ν E′(µ,0) b′ (µ,0),(ν,0) Eν fν // E ′(ν,0)

Remarque 1.4. Il n’est pas possible de d´efinir de fa¸con satisfaisante un mor-phisme d’une Σ-tour dans une S-tour pour une raison simple : la S-tour a moins d’indices !

1.4.3. Restriction et extension de tour. Clairement, si S ⊂ Σ, et si on dispose d’une Σ-tour (E, h, b), on peut en faire une S-tour (E|S, h|S, b|S) de la fa¸con suivante :

– E|ν_S = E(ν,0)_;

– (h|S)ν,µ= h(ν,0),(µ,0); – (b|S)µ,ν= b(µ,0),(ν,0);

(22)

1.5. R ÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES : ESPACES CARACT ÉRISTIQUES 21 On ne va pas définir la notion d’extension de tours comme réciproque de la restriction, car cela serait trop restrictif : on dira qu’un morphisme f entre une S-tour et une Σ-tour est une extension s’il est injectif à chaque étage.

Si S = Σ, et les morphismes sont des inclusions, on parlera plutôt de sous-tour. 1.4.4. Tour de dimension finie. On s’intéressera principalement à des tours dont chaque étage est de dimension finie ; mais évidemment, même dans ce cas, il n’est pas impossible que dim Eν _{tende vers +∞ quand on fait tendre ν vers} “l’infini”.

On parlera donc de tour de dimension finie uniquement dans le cas où la dimension des étages est bornée.

1.5. Réduction d’endomorphismes : espaces caractéristiques Dans toute cette section, on va travailler avec un corps K algébriquement clos, un espace vectoriel E de dimension finie sur K, et U, V deux K-endomorphismes de E, tels que U V = V U .

1.5.1. Point de vue polynomial. On rappelle d’abord un résultat très sim-ple mais fondamental sur les polynômes d’endomorphismes :

Lemme1.1 (lemme des noyaux). Si P1, . . . , Pn ∈ K[X] sont premiers entre eux deux `a deux, on a :

Ker(P1. . . Pn)(U ) = KerP1(U ) ⊕ · · · ⊕ KerPn(U )

Démonstration. On va commencer par montrer que la somme est directe : soient i 6= j, et supposons que x ∈ KerPi(U ) ∩ KerPj(U ). On applique le théorème de Bézout à Pi et Pj, ce qui permet d’écrire : QiPi+ QjPj = 1. Si on calcule le polynôme en U associé à cette égalité, évalué en x, il vient : x = 0.

Il reste maintenant à montrer que cette somme directe vaut ce que l’on attend. L’inclusion de la somme dans le noyau du produit est claire ; il suffit donc de prouver l’autre inclusion : fixons x ∈ Ker(P1. . . Pn)(U ), le but est de le décomposer en somme d’éléments dans les autres noyaux. Pour j ∈ [[1, n]], notons ˆPj le produit de tous les Pi, sauf i = j. On applique alors le théorème de Bézout à ces polynômes pour écrire : Q1P1ˆ + · · · + QnPnˆ = 1. Quand on calcule au point x le polynôme en U associé à cette égalité, il vient x = x1+ · · · + xn, où xi= Qi(U ) ˆPi(U )(x) est un élément de KerPi(U ), par définition de x, ce qui donne l’écriture cherchée. Si maintenant on utilise le fait que K est algébriquement clos pour écrire le po-lynôme minimal de U (il existe : on est en dimension finie !) sous la forme suivante :

ΠU(X) = (X − α1)ν1_{× · · · × (X − αn)}νn

A partir de cette d´ecomposition polynomiale, le lemme des noyaux donne une d´ecomposition vectorielle :

E = Ker(U − α1)ν1_{⊕ · · · ⊕ Ker(U − αn)}νn

et cette décomposition est respectée par V : il respecte les noyaux des polynômes en U car il commute avec ce dernier.

On a donc une décomposition vectorielle de l’espace total, qui présente des propriétés intéressantes, puisqu’elle est respectée par les endomorphismes raison-nables, et fait intervenir des calculs sur des puissances de U fixée. Son défaut est de nécessiter la connaissance explicite de toutes les valeurs propres de U .

(23)

1.5.2. Point de vue grassmannien. On note GEl’ensemble des sous-espaces vectoriels de E. L’endomorphisme U , qui agit sur les points induit U : GE → GE qui agit sur les espaces.

On peut évidemment composer les applications sur cette grassmannienne, mais on dispose d’une possibilité supplémentaire : on peut définir une “composition infinie”, de la fa¸con suivante : si V ∈ GE est tel que U (V ) ⊂ V , on définit U∞_{(V ) comme ∩nU}n_{(V ). Cette composée vérifie une propriété de projection :} U∞_{◦ U}∞_{= U}∞_{; mais ce n’est plus une fonction sur les points de E !}

On va voir que c’est une v´eritable projection, en un certain sens ; posons : KerU∞ ₌ _∪nKerUn

ImU∞ = ∩nImUn

o`u le noyau est le plus grand sous-espace sur lequel U est nilpotent, et l’image le plus grand sous-espace dont les points sont image d’une puissance quelconque de U .

Proposition1.3. On a la d´ecomposition suivante : E = KerU∞⊕ ImU∞

D´emonstration. C’est l’intuition qu’il s’agit d’une sorte de projecteur qui doit guider !

Montrons que la somme est directe : soit y = KerU∞_{∩ ImU}∞_{. Alors y =} U∞_{(x), car c’est un sous-espace de l’image. On peut alors utiliser la propriété de} stabilité : y = U∞_(U∞_{(x)) = U}∞_{(y), mais comme y est un sous-espace du noyau,} il vient : y = 0.

Pour montrer que la somme est totale, avec un projecteur normal, on écrirait l’identité comme I = U∞_{+ (I − U}∞_{), mais ceci n’est pas disponible sur la} grass-mannienne. On dispose par contre du théorème du rang, que l’on peut appliquer à Un _{pour tout n ≥ 0 : dim E = dimKerU}n _{+ dimImU}n_{. En passant à la} li-mite dans cette égalité, on voit que les dimensions des sous-espaces considérés sont supplémentaires ; or il sont en somme directe, donc ils engendrent tout l’espace. On obtient donc une décomposition vectorielle intéressante car elle est stable par des endomorphismes raisonnables, et elle ne demande pas de trop bien connaˆıtre l’opérateur U . Cependant, elle fait intervenir un passage à la limite qui n’est pas des plus explicites.

1.5.3. Comparaison des deux points de vue. Si on se fixe une valeur propre α de U , on a deux décompositions intéressantes associées à (U, α) :

E = Ker(U − αI)να_⊕M

β6=α

Ker(U − βI)νβ

E = ∪n≥0Ker(U − αI)n⊕ ∩n≥0Im(U − αI)n on va montrer qu’en fait :

∪n≥0Ker(U − αI)n = Ker(U − αI)να

∩n≥0Im(U − αI)n ₌ M β6=α

Ker(U − βI)νβ

ce qui montre que pour calculer une projection sur les noyaux, il suffit de faire le calcul pour une puissance donn´ee de U − αI, et que la connaissance de toutes les

(24)

1.6. FONCTION CONFLUENTE HYPERG ÉOM ÉTRIQUE 23 valeurs propres n’est pas nécessaire : on dispose d’une décomposition à laquelle on peut appliquer des outils classiques de calcul algorithmique.

En fait, comme on sait dispose de renseignements sur les dimensions de ces espaces, on va se contenter de prouver :

Ker(U − αI)να _⊂ _{∪n≥0Ker(U − αI)}n

Ker(U − βI)νβ _⊂ _{∩n≥0Im(U − αI)}n

La première inclusion est claire, regardons la seconde (dans laquelle bien sûr β 6= α). Comme U − αI fixe Ker(U − βI)νβ _{(U commute avec lui-même !), on va}

prouver que c’est un isomorphisme de cet espace.

Pour cela, on remarque que : U − αI s’écrit (U − βI) + (β − α)I, donc se met sous la forme (β − α)(I − N ) où N est un opérateur nilpotent. Or on sait que de tels opérateurs sont inversibles (l’inverse de I − N est la somme [finie par nilpotence] : P

iNi).

1.5.4. Calcul effectif de la projection. On va essayer de voir comment la discussion précédente permet de calculer explicitement la projection avec un logiciel capable de faire un certain nombre de manipulations sur l’espace considéré.

On se fixe donc l’opérateur U sur l’espace, et une de ses valeurs propres α. On imagine que l’on dispose d’une base quelconque B de l’espace, et que l’on est capable de projeter tout élément dans toute base.

On commence par calculer l’image de chaque élément de la base par U , et sa projection sur la base ; cela détermine la matrice M de U dans la base initiale.

On calcule M′ _{= M}d _o`_{u d est la dimension de l’espace. Si on dispose de} renseignements plus fins sur la valeur propre (comme son ordre dans le polynˆome minimal de U sur cet espace), on peut calculer une puissance plus faible.

On cherche alors le noyau de M′_{, ce qui donne un certain nombre de vecteurs,} qui forment une base de l’espace caract´eristique cherch´e.

Il reste enfin à calculer l’image de M′_{, dont on ne conserve que le minimum de} vecteurs nécessaires pour en avoir une base : on a alors une base du supplémentaire canonique (pour U ) de l’espace caractéristique.

Ces deux bases forment une base de l’espace total, adaptée à la décomposition caractéristique : il suffit de projeter un vecteur dans cette nouvelle base pour connaˆıtre sa projection sur l’espace caractéristique.

1.6. Fonction confluente hyperg´eom´etrique

Ces fonctions, dont l’une va jouer un rôle crucial pour établir des résultats de régularité pour les séries d’Eisenstein, sont étudiées, preuves à l’appui, dans divers textes ; la référence centrale est l’article [52] de Shimura, mais Hida donne d’autres preuves dans [18].

1.6.1. D´efinition. On consid`ere, pour y ∈ R∗

+ et α, β des complexes : σ(y; α, β) =

Z ∞ 0

(u + 1)α−1uβ−1exp(−yu)du

cette int´egrale converge bien lorsque β est de partie r´eelle strictement positive. 1.6.2. Prolongement analytique. La fonction (exp(2iπβ) − 1)σ(y; α, β) se prolonge en une fonction holomorphe sur tout le plan (α, β) ∈ C2_.

(25)

1.6.3. Equation fonctionnelle. La fonction ω(y; α, β) 7→ yβ_Γ(β)−1_{σ(y; α, β)} est invariante via les substitutions (simultan´ees !) α 7→ 1 − β et β 7→ 1 − α :

ω(y; α, β) = ω(y; 1 − β, 1 − β)

1.6.4. Valeurs particulières. On sait évaluer la fonction ω dans les cas sui-vants très simples :

– lorsque ℜ(α) > 0, ω(y; α, 0) = 1 ; – lorsque ℜ(β) > 0, ω(y; 1, β) = 1 ; 1.6.5. D´eveloppement polynomial.

Proposition1.4. On dispose de l’expression de r´ecurrence suivante, pour tout entier naturel r : ω(y; α, β) = r X j=0 (−1)j r j Γ(α) Γ(α − j)y −j_{ω(y; α − j; β + r)}

Cette relation de r´ecurrence permet d’obtenir un d´eveloppement polynomial : Corollaire1.2. Si r est tel que ℜ(α − r) > 0, alors on a :

ω(y; α, −r) = r X j=0 (−1)j r j Γ(α) Γ(α − j)y −j

D´emonstration. En effet, pour ces choix, on sait que l’on peut utiliser les valeurs particuli`eres connues de la fonction ω.

1.7. Lemme de Rankin

Lemme1.2 (de Rankin). Supposons données deux suites (ar) et (br), vérifiant les propriétés suivantes :

( _P r≥0arXr = (1−αX)(1−α1 ′ X) P r≥0brXr = 1 (1−βX)(1−β′_X) alors on a : X r≥0 arbrXr₌ (1 − αα′ββ′X2) (1 − αβX)(1 − α′_{βX)(1 − αβ}′_{X)(1 − α}′_β′_X)

Démonstration. On commence par se ramener à un énoncé qui ne fait inter-venir que les α, α′_{, β et β}′_{; en décomposant les séries en (ar) et (br) via le produit,} on obtient les expressions suivantes :

_ar ₌ P

i+j=rαiα′j br = P

k+l=rβkβ′l

Par ailleurs, en d´ecomposant la fraction rationnelle, on a : (1−αα′

ββ′

X2₎

(1−αβX)(1−α′_{βX)(1−αβ}′_X)(1−α′_β′_X)

= (1 − αα′_ββ′_X2_{) ×}P

a,b,c,d≥0αa+cα′b+dβa+bβ′c+dXa+b+c+d = P

a,b,c,d≥0αa+cα′b+dβa+bβ′c+dXa+b+c+d −P

(26)

1.8. TRANSFORM ´EE DE FOURIER SUR Af 25

prouver le lemme revient donc `a ´etablir : X

a,b,c,d≥0

αa+cα′b+dβa+bβ′c+d = X i,j,k,l≥0

αiα′jβkβ′l

avec les contraintes : a + b + c + d = r et ad = 0 à gauche, et i + j = r et k + l = r à droite ; et ceci pour tout r ≥ 0. Il s’agit donc essentiellement de trouver un changement de variables adéquat.

Il suffit en fait de considérer les points i et k sur le segment [[0, r]]. Ils coupent le segment en trois. La longueur du premier morceau sera c, la longueur du dernier, b. La longueur du segment du milieu sera a si k ≤ i, et d si i ≤ k ; avec a ou d nul si non précisé. Il est clair que cela reste cohérent si k = i. Récapitulons : si k ≤ i, alors c = k, a = i − k, b = j et d = 0 ; si i ≤ k, alors c = i, d = k − i, b = l et a = 0. Ce changement de variable établit l’égalité, donc le lemme.

1.8. Transform´ee de Fourier sur Af

1.8.1. Définitions. Soit ϕ : Af → C une fonction localement constante à support compact (notons LC leur ensemble). On définit sa transformée de Fourier par la formule suivante :

F ϕ(x) = Z

Af

ϕ(t)Ψf(−tx)dt o`u Ψf =Q

pΨpest l’exponentielle semi-adélique déjà introduite (en 1.2.2, page 18). Si a est un adèle fini, on note Tal’opérateur qui agit sur ϕ ∈ LC par translation :

ϕ|Ta(x) = ϕ(x + a)

Pour λ un idèle fini, on note Hλl’opérateur qui agit sur ϕ ∈ LC par homothétie : ϕ|Hλ(x) = ϕ(λx)

1.8.2. Outils de calcul. Les propriétés suivantes permettent de calculer la transformée de Fourier d’une fonction quelconque plus facilement.

Proposition1.5. On a : F1ˆZ= 1ˆZ

Démonstration. En effet, la transformée de Fourier s’interprète alors comme une somme sur des racines de l’unité : s’il y a un dénominateur, la somme est nulle.

Sinon, la somme vaut 1.

On va noter Ψa la fonction x 7→ Ψf(ax). Elle est bien localement constante, mais son support n’est pas compact.

Proposition1.6. Pour tous a, x ∈ Af et ϕ ∈ LC, on a : F Taϕ = ΨaF ϕ D´emonstration. Il suffit d’effectuer le changement de variable : u = t + a et

du = dt dans l’int´egrale.

Proposition1.7. Pour tous a ∈ Af et ϕ ∈ LC, on a : F (Ψaϕ) = T−aFϕ Démonstration. L’exponentielle décale simplement la variable dans l’inté-grale, sans changement de variable. Proposition1.8. Pour tous λ ∈ If et ϕ ∈ LC, on a : F Hλϕ = |λ|−1_f H_λ−1F ϕ Démonstration. Il suffit d’effectuer le changement de variable u = λt et du = |λ|fdt dans l’intégrale.

(27)

1.8.3. Transformée de Fourier d’un caractère de Dirichlet. On sou-haite calculer la transformée de Fourier d’un caractère de Dirichlet χ de conduc-teur cχ. Pour cela, on va commencer par expliquer comment on peut le considérer comme une fonction de LC ; par définition :

χ = X a mod cχ

χ(a)1_a+c_χˆZ

Pour faire le calcul à l’aide des propositions précédentes, on le réécrit alors sous la forme : χ = X a mod cχ χ(a)T−aH_c−1 χ 1ˆZ On obtient alors : Fχ(x) = X a mod cχ χ(a)F TaH_c−1 χ 1ˆZ(x) = X a mod cχ χ(a)Ψf(−ax)F H_c−1 χ 1ˆZ(x) = X a mod cχ χ(a)Ψf(−ax)1 cχHcχF 1ˆZ(x) = 1 cχ X a mod cχ χ(a)Ψf(−ax)Hcχ1ˆZ(x) = 1 cχHcχ X a mod cχ χ(a)Ψf −ax cχ 1ˆ_Z(x)

dans cette expression, on voit une somme sur les valeurs d’un caractère, tordue par une exponentielle : cela fait penser à une somme de Gauss. On va donc tenter de forcer l’apparition de Gχ dans l’expression de la transformée de Fourier :

Fχ(x) = 1 cχHcχ X a mod cχ χ(a)Ψf −ax cχ 1ˆ_Z(x) = 1 cχHcχχ(x) X a mod cχ χ(ax)Ψf −ax cχ 1ˆZ(x)

on voit alors que la condition 1ˆ_Z(x) est inutile, car χ(ax) la contient déjà ; la somme est donc la somme de Gauss, et on obtient l’expression finale de la transformée de Fourier de χ :

F χ(x) = Gχ cχ χ(cχx)

1.8.4. Transformée inverse. On peut légitimement se demander quelle est l’expression de la transformée de Fourier inverse ; comme les formules de calcul de la transformée directe sont inversibles, on obtient aisément et sans calcul :

(28)

1.8. TRANSFORM ´EE DE FOURIER SUR Af 27 Proposition1.9. Si a ∈ Af, λ ∈ If et ϕ ∈ LC, on a : F−11ˆ_Z = 1_Zˆ F−1Taϕ = Ψ−aF−1ϕ F−1Ψaϕ = TaF−1ϕ F−1Hλϕ = |λ|−1f H −1 λ F−1ϕ

(29)

(30)

CHAPITRE II

Formes modulaires ad´

eliques

2.1. D´efinition

2.1.1. Rappel : formes modulaires classiques. Il n’est pas inutile de rap-peler la définition des formes classiques : cela permet de motiver les définitions qui seront données dans le cadre adélique.

Une forme modulaire classique, de poids k pour un sous-groupe d’indice fini Γ ⊂ SL2(Z) est une fonction H → C, qui v´erifie :

∀τ ∈ H, γ ∈ Γ, f |kγ(τ ) = f (τ )

et qui est presque-holomorphe ; c’est une condition de régularité qui est discutée plus en détail en section 2.2.4. On note l’espace vectoriel sur C engendré par ces formes Mk(Γ).

On parle de forme modulaire (classique) de poids k et de niveau N pour les formes appartenant à Mk(Γ1(N )). Cet espace se décompose de fa¸con naturelle sous la forme : Mk(N ) = ⊕ψMk(N, ψ), où la somme porte sur les caractères définis modulo N , et f est dans Mk(N, ψ) lorsqu’elle est dans Mk(N ) et vérifie de plus : f |γ(τ ) = ψ(γ)f (τ ).

On dit qu’elle est parabolique lorsqu’elle s’annule sur toutes les pointes. Les espaces de formes paraboliques sont plutôt notés avec un S (de l’allemand Spitz) ; Sk(N, ψ) est donc l’espace des formes paraboliques de poids k, niveau N et caractère ψ.

2.1.2. Cadre ad´elique. On dit que F : GL2(A) → C est une forme modulaire de poids k, pour le sous-groupe d’indice fini K ⊂ GL2(ˆZ), lorsqu’elle v´erifie les conditions suivantes : (g ∈ GL2(A))

– ∀γ ∈ GL2(Q), F (γg) = F (g) ; – ∀z ∈ R∗_{, F (gz) = F (g) ;}

– ∀θ ∈ R, F (gr(θ)) = exp(−ikθ)F (g) ; – ∀k ∈ K, F (gk) = F (g),

– F est presque-holomorphe (la notion, importante, est discut´ee en d´etail en section 2.2.4).

On note Mk(K) l’espace vectoriel sur C engendré par ces fonctions. On verra plus loin qu’il est possible de le munir d’une structure entière/rationnelle, grâce aux coefficients de Fourier.

On dit que F est de poids k et de niveau N lorsqu’elle appartient à Mk(U (N )). On préfèrera noter cet espace Mk(N ). Comme dans le cadre classique, cet espace se décompose le long de caractères :

Mk(N ) = ⊕ψ1,ψ2Mk(N, ψ1, ψ2)

(31)

30 II. FORMES MODULAIRES AD ´ELIQUES

où la somme porte sur les couples de caractères de Dirichlet modulo N . L’espace Mk(N, ψ1, ψ2) est le sous-espace de Mk(N ) formé par les formes F telles que :

F (gγ) = ψ1(aγ)ψ2(dγ)F (g) lorsque γ ∈ B(N ).

Remarque 2.1. Si F est dans Mk(N, ψ1, ψ2), comme r(π) = −1, on a : F (gr(π)) = F g −1 0 0 −1

où l’on voit la seconde matrice comme élément de B(N ), et donc : ψ1ψ2(−1) = (−1)k

ce r´esultat est coh´erent avec ce qu’on a dans le cadre classique.

Remarque_{2.2. Comme B(N )/U (N ) ⋍ (Z/N Z)}∗2_{, qui est commutatif, on a :} F (GL2(Q)gR× gNg′

NU (N )) = F (GL2(Q)gR× gN′ gNU (N ))

2.1.3. Lien avec d’autres définitions. La définition précédente de forme modulaire ne correspond pas exactement à ce qui se trouve dans la littérature ; donnons rapidement quelques points de comparaison.

2.1.3.1. Théorie de la représentation. La définition plus couramment utilisée dans les articles/livres où l’auteur est plus intéressé par l’aspect théorie de la représentation (comme par exemple dans les livres de Gelbart [16], Hida [18] et Li [25]) est la suivante : une forme modulaire de poids k, niveau N et caractère ψ (un seul caractère !) est définie comme vérifiant :

– F (γg) = F (g), pour tout γ ∈ GL2(Q) ; – F (gr(θ)) = F (g) exp(−ikθ), pour tout θ ∈ R ; – F (zg) = ψ(az)F (g), pour tout z ∈ Z(A) ; – F (gb) = ψ(ab)F (g), pour tout b ∈ B(N ) ;

– des conditions de régularité (en général holomorphie, avec éventuellement des conditions de croissances pour les formes paraboliques - nous n’avons pas encore discuté ce point).

La condition sur le centre adélique se décompose en fait en une condition sur le centre réel, et une au centre non-archimédien ; on voit donc qu’en fait, la forme ainsi définie est dans Mk(N, ψ, 1). On verra que cette définition est alors plus adaptée pour avoir une correspondance avec les formes classiques ; mais on perd le parallèle entre les formes avec caractère et sans caractère, c’est la raison pour laquelle on ne l’a pas retenue ici.

2.1.3.2. Formes semi-adéliques. Ces formes sont utilisées dans l’article [45] de Scholl, et un précédent travail [42] ; elles sont définies sur H × GL2(Af). Une forme

˜

F v´erifie :

– ˜F (γτ, γg) = j1(γ, τ )−k_{F (τ, g), pour tout γ ∈ GL}_˜ + 2(Q) ;

– une propriété d’invariance à droite pour un sous-groupe K ⊂ GL2(Af) ; – une condition de régularité (holomorphie ou presque-holomorphie).

La principale différence avec les formes étudiées ici réside dans cette différence de comportement vis-à-vis de GL2(Q). Voyons comment obtenir une forme adélique F à partir de la forme ˜F ; il suffit d’utiliser les propriétés du facteur d’automorphie pour avoir une idée de la définition : j1(γτ, i) = j1(γ, τ )j1(τ, i) où on identifie τ ∈ H à τ ∈ H∞, et donc où j1(τ, i) = y.

(32)

2.1. D ´EFINITION 31 Il suffit donc de consid´erer j1(τ, i)k_{F (τ, g) pour obtenir une fonction GL}_˜ +

2 (Q)-invariante : c’est le lien cherch´e.

Remarque 2.3. La partie archimédienne de l’espace de définition est plutôt C− R, donc deux copies de H, mais on se ramène aisément au cas de figure discuté ici.

2.1.4. Lien entre formes classiques et ad´eliques, torsion. 2.1.4.1. Passage classique-ad´elique.

Proposition2.1. Il existe une application naturelle : Mk(N, ψ) → Mk(N, ψ, 1)

Démonstration. On va définir explicitement cette application ; cela se fait en trois étapes. Pour cela, on se fixe une forme modulaire classique f ∈ Mk(N, ψ).

On commence par prolonger f en F1de la fa¸con suivante : F1: GL+₂(R) → C

g 7→ f |kg(i) = j1/2(g, i)kf (gi)

Cette nouvelle fonction a d’ores et déjà un certain nombre de propriétés :

– si g ∈ GL+2(R) et z ∈ R+, alors F1(gz) = F1(g) ; en effet, le centre n’agit pas sur i, et j1/2(z, i) = 1 ;

– si g ∈ GL+2(R) et r(θ) ∈ SO2(R), alors F1(gr(θ)) = exp(−ikθ)F1(g) ; `a nouveau on utilise le fait que les rotations n’agissent pas sur i, et on calcule j1/2(r(θ), i) = exp(−iθ) ;

– si g ∈ GL+2(R) et γ ∈ Γ0(N ), alors F1(γg) = ψ(dγ)F1(g) ; ici, il suffit d’uti-liser la propriété d’action à droite pour séparer les actions de γ et g sur f , puis utiliser la modularité de f .

On prolonge alors `a GL+2(R) × B(N ) via ψ : F2: GL+2(R) × B(N ) → C

(g, u) 7→ ψ(au)F1(g)

Par construction, les matrices de B(N ) agissent via (ψ, 1). Le sous-groupe de congruence B(N ) agit donc sur F2 comme on le voudrait.

Pour obtenir F3 définie sur GL2(A) = GL2(Q).(GL+2(R) × B(N )), on veut prolonger par GL2(Q)-invariance. On sait cependant que les translatés de GL+₂(R)× B(N ) se chevauchent, via les matrices de Γ0(N ) (voir la discussion sur le théorème d’approximation forte en 1.3). On doit donc vérifier des conditions de recollement : si h ∈ Γ0(N ), on a : F3(hgR+× hgN) = F1(hg + R)ψ(ahgN) = ψ(dh)F1(gR+)ψ(ah)ψ(agN) = ψ(ahdh)F1(g+_R)ψ(gN) = F3(g+ R× gN) car ahdh≡ 1 mod N .

On a donc obtenu une application F : GL2(A) → C à partir de f . Il s’agit bien d’une forme modulaire adélique car les trois étapes fournissent les trois pro-priétés principales : la première étape donne le comportement via les rotations et homothéties archimédiennes, la seconde étape le comportement via B(N ), et la

(33)

32 II. FORMES MODULAIRES AD ´ELIQUES

troisième donne la GL2(Q)-invariance. Finalement, la régularité de la forme modu-laire classique f de départ fournit la régularité attendue.

2.1.4.2. Passage ad´elique-classique.

Proposition2.2. Il existe une application naturelle : Mk(N, ψ, 1) → Mk(N, ψ)

D´emonstration. Le passage est nettement plus facile dans cette direction, puisqu’il s’agit cette fois de restreindre une fonction ! On se donne donc F ∈ Mk(N, ψ, 1), et on souhaite lui associer de fa¸con naturelle une forme modulaire classique f , d´efinie sur H.

On d´efinit f par : H ⋍ H∞ → C τ ⋍ y x 0 1 7→ y−2k_F y x 0 1 × 1f

Montrons que f ∈ Mk(N, ψ), comme annonc´e : on se donne un point τ ∈ H et une matrice γ ∈ Γ0(N ) : f |kγ(τ ) = j1/2(γ, τ )kf (γτ ) = j1/2(γ, τ )ky(γτ )−2kF y(γτ ) x(γτ ) 0 1 × 1f = j1/2(γ, τ )k_{|j1/2(γ, τ )|}−k_y−k 2 F γ y(γτ ) x(γτ ) 0 1 r(−α) × 1f = j1/2(γ, τ )k_{|j1/2(γ, τ )|}−k_y−k2 exp(ikα)F γ y(γτ ) x(γτ ) 0 1 × 1f = y−2kF γ y(γτ ) x(γτ ) 0 1 × 1f = y−2kF y(γτ ) x(γτ ) 0 1 × γ−1 = y−2kψ(aγ−1)F y(γτ ) x(γτ ) 0 1 × 1f = y−2kψ(dγ)F y(γτ ) x(γτ ) 0 1 × 1f = ψ(dγ)f (τ )

où on a utilisé toutes les propriétés de F : la GL2(Q)-invariance pour faire passer γ de la partie archimédienne à la partie non-archimédienne [avec inversion], où l’on a appliqué la (ψ, 1)-variance. On a de plus utilisé la discussion sur le lien entre l’action des homographies sur le demi-plan de Poincaré et la multiplication par une matrice dans GL+2(R) (proposition 1.2, où α est défini dans la preuve).

On vérifie aisément que cette construction est bien l’inverse de la précédente.

(34)

2.2. PRESQUE-HOLOMORPHIE ET D ÉVELOPPEMENT DE FOURIER 33 2.1.4.3. Torsion par un caractère. On se donne une forme modulaire adélique F de poids k, de niveau N et de caractères (ψ1, ψ2), ainsi qu’un caractère de Dirichlet ψ, de conducteur divisant N .

On définit la forme tordue F ⊗ ψ, elle aussi de poids k et de niveau N , mais de caractères (ψψ1, ψψ2), de la fa¸con suivante : si g ∈ GL2(A) s’écrit sous la forme g = gQ.(gR× gN)(en niveau N , via le théorème d’approximation forte), alors on définit F ⊗ψ(g) par la formule : ψ(det gN)F (g). Cela a un sens, car l’indétermination sur gN est donnée par une matrice de SL2(Z), qui est de déterminant 1.

Elle est bien du poids attendu, car elle hérite de F ses propriétés vis-à-vis de Z+_{(R) et SO2(R). Son niveau et ses caractères se lisent eux aussi bien sur} l’expression qui la définit.

Comme l’application F 7→ F ⊗ ψ est linéaire, d’inverse F 7→ F ⊗ ψ, il s’agit d’un isomorphisme. En particulier, la torsion par ψ2permet d’associer à une forme de caractères (ψ1, ψ2) une forme de caractères (ψ1ψ2, 1), à laquelle vu comment associer de fa¸con naturelle une forme modulaire classique.

La torsion nous donne donc le dernier pont entre formes classiques et formes ad´eliques. On verra plus tard qu’elle respecte beaucoup plus que la structure vec-torielle des espaces de formes modulaires.

2.2. Presque-holomorphie et d´eveloppement de Fourier

On souhaite se donner une condition de régularité plus faible que l’holomor-phie, mais qui conserverait néanmoins de bonnes propriétés ; telles par exemple que l’existence d’un développement de Fourier, ainsi que la stabilité par les opérateurs usuels sur les formes modulaires.

2.2.1. Objectifs : structure entière/rationnelle. On va voir que l’on peut définir un “développement de Fourier” des formes modulaires, assez similaire au développement classique ; mais ici sous la forme :

(2.2.1.a) F y x 0 1 × 1f = yk2 X n,r≥0 an,rqnRr

avec n ∈ N, et une somme finie (et ind´ependante de n) sur r, o`u y ∈ R∗

+, x ∈ R ; expression qui provient de l’anneau formel A[[q]][R] via les identifications R = 1

4πy et q = exp(2iπ(x + iy)), avec A = O, Q ou C.

L’existence d’un tel développement permet de doter les espaces de formes mo-dulaires d’une structure entière (choix A = O) ou rationnelle (choix A = Q). Cela permet de discuter des problèmes de congruences entre formes modulaires, par exemple. On définit alors Mk(N, ψ1, ψ2, A) comme étant le sous-espace (sous-module si A n’est qu’un anneau) des formes de Mk(N, ψ1, ψ2) à coefficients dans A (ie : ∀n, r, an,r∈ A).

On dit qu’une forme est “parabolique” si n = 0 =⇒ ∀r, an,r= 0. Ces formes paraboliques forment un sous-espace vectoriel (un sous-module, sur un anneau) de Mk(N, ψ1, ψ2, A), que l’on note Sk(N, ψ1, ψ2, A).