Approximation diophantienne (théorie de Markoff)

HAL Id: tel-01775765

https://hal.univ-lorraine.fr/tel-01775765

Submitted on 24 Apr 2018

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Approximation diophantienne (théorie de Markoff)

Serge Perrine

To cite this version:

Serge Perrine. Approximation diophantienne (théorie de Markoff). Mathématiques générales

AVERTISSEMENT

Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de

soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la

communauté universitaire élargie.

Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci

implique une obligation de citation et de référencement lors de

l’utilisation de ce document.

D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction illicite

encourt une poursuite pénale.

Contact : [email protected]

LIENS

Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4

Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10

http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php

Slrz-tel

T2

2rx

THESE

presentée

à

L'UNIVERSITE

DE METZ

pour obtenir

le

TITRE

DE DOCTEUR

DE

L'UNIVERSITE

DE M

par

Serge

Perrine

Sujet : Approximation

diophantienne

(Théorie

de Markotf) -Tome

2

Soutenue

le 16 décembre

1988

_{, devant}

la commission

d'Examen:

Pr MENDES-FRANCE

Michel : Université

de Bordeaux (Rapporteur)

Pr MIGNOTTE

Maurice

: Université

de Strasbourg (Rapporteur)

Pr RHIN Georges

: Université

de Metz (Directeur

de thèse)

P r ô ' ' \ ' T ' ' ^ L ' - ' - ! - - ' -

' ' _ _ _ "id'Edimbourg (Rapporteur)

BIBLIOTHEOUE UNIVERSITAIRE DE METZ

I

lillll

lllll

lllll

_{022 420306 3}

llil

llllllllll

lllll

lllll

lllll

lllll

lllllll

T R O I S I E M E

P A R T I E

GENERALISATION

DE LA THEORIE

DE MARKOFF

CLASSIOUE

I I T . l

r . CLASS IF ICAÎION DES NOMBRES REETS ILt_Gj_BÀI_O-U_E_S_!_E_ DE_GitE 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = D E F I N I T I O N S D E B A S E E T P R E M I E R S R E S U L J T } T S A / D E F I N I Î I O N S C O N C E R N A N T L E S S U I T E S D E N O M B R E S E N T T . E R S P O S I l I F S

t V i = 0 , . . . , n

a , e d * )

e , o n a s s o c i e d a n s l e g r o u p e m u l t i p l i c a -x 2 à c o e f f i c i e n t s d a n s Z e t d e d é t e r -Z ) ) , I a m a t r i c e :

a ô 1 l

_{f m}

; v r - m

_l

l = l l

I

0 l

L u r -

m ; m - V a - V s + l, l j

l a s u i t e , o n c o n s i d è r e c t e m e n t p o s i t i f s : g = ( a o , à 4 , , â n ) u t e s u i t e S a i n s i d o n n é t l t t l r t T - ) * d e s m a t r i c e s 2 n t ! I ( n o t é a u s s i G L z (

fr. llf.,

rl

l-l l-l l-l l-l . . . l-l

L r

o J l l

o J

L

d e s s u i t e s f i n i e s d e n o m b r e s e n t i e r s D a n s s t r i A t o r i f m i n a M =

5

o ù O n n o t e v,t vt + m ( V . m ( V , m i V q

( -r )n'{

( 2 m -( 2m ( S ) = V . t ; V r ( S ) = V r e t W ( S ) = l ' | . a + 4

I

'o*=

{ 0 <

I o-.

m ( S ) = 0 ( K , r _ ( f r 0 - ( K r , ( m O n p o s e : L a c o n d i t i o n m l l

. l

a a l o r s :

M s =

C ' e s t c e t t e s u i t e , a v e c m ( 0 ) = = K . t = V { ( S ) m ( S )

- K l = 2 m ( s ) v ! ( s )

= I = 2m + 2K^- K.- W

= v. v, + ( -I)ntr

s e t r a n s f o r m e

K { K L + ( - I ) ' = K 4 K z - A

Ê ( s t

K 4 ( S ) K r ( S )

I t s l

e n : u s u e l l e m e n t d a n s s u i t e v i d e : = I n - - 1 2 O n

fm

K.f

-l

t l

l m - K z

K , , - U

r e s s i o n q u e 1 ' o n u t i l i s e r a P I u s c o n v e n t i o n s u i v a n t e P o u r S = Q K a ( Q l = o K t ( O ) = I I ( 0 ) V ^ ( Q I = I v L ( @ ) = I [ { ( 0 ) = e x p 1 a I l a

T T I . 2 I 1 e n d é c o u l e l e s d é v e l o p p e m e n t s e n f r a c t i o n s c o n t i n u e s s u i v a n t s m m - K r KA

K r - I

m K,I m K t ( s o i t - l - ( 1 K n )

t s l

I s * ]

K ^ - I

o ù l ' o n p o s e : D E F I N I T I O N s * = ( a 1 , , à , 1 , " o ) e s t U n e s u i t e S t e l l e q u e $ = S * l a s u i t e m i r o i r d e S = ( a o , à 4 , a r , ) . e s t u n e s u i t e p a l i n d r o m e . U n e s u i t e p a l i n d r o m e e s t c a r a c t é r i s é e p a r I a c o n d i t i o n : K a * K a = m D a n s l e c a s l e p l u s g é n é r a l , p o u r t o u t e s u i t e S , o n p o s e D E F I N I T I O N O n n o t e

_{| ( M r )}

= 6\tsl = è=.

K , r

-d e I a m a t r i c e O n d i t _{q u e è e s t l a c o t r a c e} P I u s g é n é r a l e m e n t , p o u r t o u t e o n a p p e l l e c o t r a c e d e M I e

Itr.rt = T-P

P a r c o n s t r u c t i o n , l e n o m b r e è = I a c o n d i t i o n :

è t s l v é r i f i e p o u r t o u t e s u i t e s

- m < |< m

S i è = O , o R a l a c o n d i t i o n K a

+ K a = r 0 ê t I a s u i t e S c o n s i d é r é e

e s t p a l i n d r o m e .

m a t r i c e n o m b r e :

L

F I

' _ |_{< l}

d J

K r €

M s

'=li

I

L

t-D e f a ç o n p l u s g é n é r a l e , I e u n e d i f f é r e n c e p a r r a p p o r t O n p o s e a i n s i : D E F I N I T T O N O n n o t e P ( M S ) = P ( s ) = P = E n f a i t , I e c a s K , t = m K ! = E t l a c o n d i t i o n I I r e s t e a l o r s : I I I . 3

n o m b r e I tst mesure pour Ia suite

à t a p r o p r i é t é d ' ê t r e p a l i n d r o m e .

O n d i t q u e P ( S ) e s t l ' é c a r t d e p a l i n d r o m i e O n i n t r o d u i t d ' a u t r e p a r t : D E F I N I T I O N

o n n o t e

f

( u r ) =

I ( s )

= l = K , l

o n d i t q u e l, est I'antitrace de Ia_{' l} P I u s g é n é r a l e m e n t , p o u r t o u t e m a t r i c e on appelfe gglilgde M Ie nombre :

m d e l a s u i t e S .

il

t o u t e s u i t e S p a r t i c u l i e r . I l i m p o s e e n e f f e t = V l = 1 f l d o n n e a l o r s m = l .

è ( s ) _

m ( s )

m K r - K r , c o n t i e n t a u c u n e e t s e l i m i t e r

Éo

é l é m e n t . O n p e u t a l o r s à I ' i n é g a l i t é m a

K 2 e l

-t r i c e M

f r

t ' r = l

LT

/

,t ) = P * y - o(

P a r c o n s t r u c t i o n , _{l e n o m b r e P = P ( S ) v é r i f i e p o u r} I a c o n d i t i o n ' ' - m

P=

0 mhl = M

.Jr...

m e s t a s s e z s o i t V ^ v 4 v g + ( - 1 ) n t ' l

= f ' ol

t

_{| . o r J}

I a s u i t e S n e d a n s l a s u i t

r.l.*

C e n e c a s p a s D E F I N I T I O N O n n o t e O n d i t q u e O n a p p e l l e e s t c e l u i o ù l e c o n s i d é r e r r ( M u ) c e n o m b r e a n t i d r o m e

= r ( s ) = r = / t t '

=

[ -

* t

_{e û}

m ( S ) m e s t I ' é c a r t d ' a n t i d r o m i e d e I a s u i t e S . u n e s u i t e S t e l l e q u e r ( S ) = 0 .

I I I . 4 L e s s u i t e s a n t i d r o m e s p e u v e n t ê t r e c a r a c t é r i s é e s g r â c e a u x d é v e l o p -p e m e n t s e n f r a c t i o n c o n t i n u e d o n n é s c i - d e s s u s . O n i n t r o d u i t e n c o r e z D E F I N I T T O N o n n o t e C f t u r ) = 6 t s t = ( â = p g c d ( m , K . + K r ) = p g c d ( m , v r - v , r ) o n d i t q u e 0 , t S ) e s t I ' a m p l i t u d e d e I a s u i t e S . B / N O M B R E S À L G E B R I Q U E S D E D E G R E 2 D a n s l a s u i t e , o o c o n s i d è r e I ' a c t i o n d u g r o u p e m u l t i p l i c a t i f l h l r t Z l * d a n s I ' e n s e m b l e d e s n o m b r e s r é e l s i r r a t i o n n e l s x d é f i n i e p a r :

v,,=f* "1 ee,(v.)*

I ur.r urrj

u x = u a x * u l r utr x + ur! L e T h é o r è m e d e S E R R E T ( v o i r t f l ) i n d i q u e e n e f f e t g u e l ' o n a é g u i v a l e n c e , p o u r T , " a T a i r r a t i o n n e l s r é e l s d e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s : ( I ) L e s d é v e l o p p e m e n t s e n f r a c t i o n c o n t i n u e d e T . e t ] t c o T n c i d e n t à p a r t i r d ' u n c e r t a i n r a n g . ( 2 ' , l . " a l t s o n t d a n s l a m ê m e o r b i t e p o u r I ' a c t i o n d u g r o u p e \ r t L l " . L e s n o m b r e s r é e l s a l g é b r i g u e s d e d e g r é 2 c o r r e s p o n d e n t p o u r c e t t e a c t i o n a u x n o m b r e s i r r a t i o n n e l s d o n t I e s t a b i l i s a t e u r n ' e s t p a s

r é d u i t à l * r I

_{1 -}

_t

L e u r d é v e t o p p e m e n t e n f r a c t i - o n c o n t i n u e e s t p é r i o d i g u e à p a r t i r d ' u n c e r t a i n r a n g : T = [ a o , à 4 , . . . â t , , a q . , , , . o . " C . ] D e u x a l g é b r i q u e s d e d e g r é 2 r é e l s _{Ï .} . a [ r . s o n t d a n s I a m ê m e o r b i t e s i e t s e u l e m e n t s i l e u r s p é r i o d e s s e d é d u i s e n t p a r p e r m u -t a -t i o n c i r c u l a i r e . o n é t u d i e p l u s d i r e c t e m e n t d a n s l a s u i t e c e s o r b i t e s . P o u r c e f a i r e , o [ i n t r o d u i t d i f f é r e n t s n o m b r e s p a r t i c u l i e r s : B . I L e s n o m b r e s a s s o c i é s U n e s u i t e S é t a n t d o n n é e , o n p o s e p o u r t o u t a € i f * :

4 n t s l = [ a - r , E _ 4 . ]

r

I

I

L

I I I " 5 e s t l e n o m b r e a s s o c i é à s e t a ( o u à I a s u i t e D E F I N I T I O N o n d i t q u e _{[ e ( s )} ( s , a ) ) . E n p o s a n t : On

A o { s ) = l ( a - Z ) m + v , ,

+ v r l t + e ( - 1 ) n "

= [ ( a + l ) m + t ! - r . 1 1 + 4 ( - l ) n " l

= ( a+r+I )t mt + 4 ('1 )"''l u n c a l c u l é v i d e n t f a i t à p a r t i r d e M , :

m ( a - 2 ) + v r - V . r + V - [ C l

a p a r

f . t s l

2 m

m ( a - I ) - K r - {.*

2 n C e n o m b r e e s t r a c i n e d u p o l y n ô m e : P r ( x ) = m x À - [ ( a - 2 ) m + v r - v . t, = m x t [ ( a - l ) m - K r - K . r

f 4 ( x ' r )

o ù f , e s t I a f o r m e q u a d r a t i q u e i n d é f i n i e f z ( x , Y ) = m x l [ m ( a - 2 ) + v . - v { = m X L - [ m ( a - r ) - K , r - K r

[ ( a - 2 ) V . + W 3

[ a ( m + K , ) - K r - I ] e , Z - L x )

d " Z I x , Y ] s ' é c r i v a n t :

l x Y - [ ( a - 2 ) v , + w J Y t

l x Y - [ a ( m + K r )

K r , - ] l Y r

l x

l x

L e d i s c r i m i n a n t _{À t f , ) d e c e t t e f o r m e v a u t A " t s t .} L e n o m b r e Z . ( s ) p o s s è d e u n e c o n s t a n t e d e M A R K O F F ( v o i r t f l o u t 2 l ) g u e l ' o n é c r i t s o u s l a f o r m e :

c ( Lr(s) ) =

L e l e m m e d e D I C K S O N t 3 l p r é c i s e c o m m e n t c a l c u l e r m . ( S ) à p a r t i r d u p o l y n ô m e P a ( x ) e t d ' u n e r é d u i t e a d é q u a t e d e ( . t s t . L ' e x p r e s s i o n d e , L d o n n e : m 1 ( S ) ( m . C e t t e c o n s t a n t e e s t r e l i é e à l a f o r m e f L L e m i n i m u m a r i t h m é t i q u e d e c e t t e f o r m e e s t :

t 4 ( r . ) = r n r

{ t t .

( p , q ) l ; (p,q)eZ2-

{ t o , o r } }

= m o ( s )

m a ( S )

A . t s )

I I L a I I I . 6

e s t m a j o r é p a r : m ( s ) = l r t t r , O ) |

c o n s t a n t e d e M A R K O F F d e f 4 v a u t : C ( f a ) =

= c(à.(s)

)

L e s c o n s t a n t e s s o n t c a l c u l a o l e s p a r I e p r o g r a m m e " F R A C T I O N " d o n n é e n a n n e x e . 8 . 2 - N o m b r e s q u a s i - r é d u i t s e t s u p e r r é d u i t s D a n s l e s c o n d i t i o n s p r é c é d e n t e s , o n i n t r o d u i t h + l e n o m b r e

u-F

_d

s u i . v a n t :

2 m

f t

( s l = [ a - d , , s , a . J = ( n t s ) + I - d =

_2m

o ù d , e L d é t e r m i n é a e f a ç o n u n i q u e p a r I a c o n d i t i o n : 0 < h = m ( a + I 2 d ) - K r - K , l

et d g -ù{ * nombre sans f acteur carré , x €, ll( * D E F I N I T T O N O n d i t q u e - _{A ( S l e s t t e n o} t q -( o u l a s u i t e -( S , a ) ) . P l u s g é n é r a l e m e n t , o n d i t g u r u n n o m b r e ( r é e l a l g é b r i q u e d e d e g r é 2 e s t g ' @ s i e t s e u I e m e n t s ' i I e x i s t e u n e s u i t e ( S , a ) t e l l e q u e I ' o n p u i s s e é c r i r e : -l h + x l d 2 m P o u r u n t e l n o m b r e , o o a : h r = [ m ( a + I ) - K { - t < , J l = h g -L a v a l e u r . ] = p g c d ( m , h , p o l y n ô m e m i n i m a l d e f r ( s ) ( m o d 4 m ) p e r m e t d e c a l c u l e r l e

A e ( s )

-T

Z t x l

( = ( ' ( s l

=

h + 2 m

A . ( s )

 e ( s )

4 m q u i s ' é c r i t , h , : I t

( x )

( h t , m t P

c

) x r

)x + t

_{4 ( [ 1}

] .

t

p o s e r u s u e l l e m e n t

A(fÀ(s)) -À =

dans 7.

A . ( s )

, r

C e c i c o n d u i t à

I I I . 7

x ( A ( s ) ) = x = I

\'

't

M ( p , ( s ) ) = M = 9

( À = x l a )

\ * y

H ( eù(s) = H = !

C e s n o t a t i o n s p e r m e t t e n t d ' é n o n c e r : T H E O R E M E I . I ( t f r é o r è m e d e q u a s i r é d u c t i o n ) ( 1 ) P o u r t o u t e s u i t e ( S , a ) a e n o m b r e s d e $ * , i I e x i s t e u n e u n i q u e v a l e u r _{À e V - t e l l e q u e C = [ a} - d , .S , a.] soit quasi

réduit-( 2 ) T o u t n o m b r e r é e l a l g é b r i q u e d e d e g r é 2 e s t d a n s I ' o r b i t e p o u r l ' a c t i o n d e t Ï l r t V - ) * d ' a u m o i n s u n n o m b r e q u a s i - r é d u i t . ( 3 ) p o u r t o u t n o m b r e r é e 1 f a l e é b r i q u e d e d e g r é 2 s ' é c r i v a n t s o u s I a f o r m e : _{H + r { I}

-p = 3

( ( A , t 4 , H , ) e Z - l )

\ 2 M o n a é q u i v a l e n c e d e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s : ( a ) e e s t u n n o m b r e q u a s i - r é d u i t ( b ) 1 e t r i p l e t ( À , M , H ) v é r i f i e l e s c o n d i t i o n s d e q u a s i - r é d u c t i o n s u i v a n t e s : ( Q . r ) : 0 < H < 2 M t, ( Q r ) : H - = A ( m o d 4 M ) H I - A ( a f ) : P g c d ( M , H t - ) = I 4 M I p a r t i e e n t i è r e d e

It - H +{a'

( Aq ) : Le nombre o( =

ll, ^

I ' o p p o s é d u c o n j u g u é d e p v é r i f i e / * ( D e p l u s , d a n s I e c a s " ù f e s t q u a ( 4 ) l e p o l y n ô m e m i n i m a l d e f e s t i H t - A

P ( ( x ) = M X r - H x +

*

, n

s i

-t x l

= [-P

r é d u i t :

2t4 - n +{T

( s ) L e n o m b r e

f * = ;;J

= [ x + l , F * , a . J = ea(s*)

e s t g u a s i - r é a u i t e t d é f i n i t _{m ê m e o r b i t e q u e I e c o n j u g u é V d " P a v e c} d t = a - c - I \ L

I I I . 8 D é m o n s t r a t i o n ( f ) e s t é v i d e n t p a r d é f i n i t i o n d e s n o m b r e s q u a s i - r é d u i t s . ( 2 1 a + b e s t é v i d e n t p a r c o n s t r u c t i o n , h o r s l a c o n d i t i o n ( 4 4 ) q u i s ' é t a b l i t c o m m e s u i t :

t

= [ a - o ( , . S , a . J

: )

( of +

_{6 r )}

= [ . a , S . ]

E n a p p l i q u a n t l e T h é o r è m e d e G A L O I S [ 8 ] , o n o b t i e n t I - - _{= [ S * , a ]} 4 + P \

î = l l , s * , a l

L ' e s t d o n c b i e n l a + P = [ . a , S . ] ) a ) .

; : ] r = r l

c o n a i t i o n ( 0 4 ) , o n a : d ( - P =

- t *'{f

< I + I

2t4 S o i t :

I < C + P < 0

\ E t : l < o ( + p \ E n a p p l i q u a n t l e T h é o r è m e d e G A L O I S [ 8 ] , o n p e u t é c r i r e : " L + P

_{L -}

= [ a , S ]

n * { A

-S o i t L e n o m b r e d D e p l u s ,

p a r t i e e n t i è r e d e -

f l

I

2m 2t4 d e P , o n o b t i e n t : I e s y s t è m e :

Ê L

J

S o i t : _{P = [ a - 4 , S , a J =} \ l e s d e u x e x p r e s s i o n s M h = m H m g A = M t  n t s l I a c o n d i t i o n ( Q r ) a n t

t

a v e c En On i d e n t i f i e n t i r e = M h

A - n t

; = M ( 4 M

( a l ) i r e n

A n t s ) - h t

4 m r é s u l t e q u e ) M d i v i s e m .

f"

I

m(

c o n d i t i o n A v e c l a

I I T . 9 S i o n p o s e a l o r s : m = o n t r o u v e [ = A v e c ( Q , r ) , o n e n d é d u i t : C e c i p e r m e t d e c o n c l u r e g u e f l e s t a l o r s é v i d e n t q u e 1 e

P C

( x ) = M X s - H x +

P o u r t e c o n j u g u é

f .

=

H -[A

v M

a v e c

t e ' d

v H

e r

_{A " ( s ) = v z A}

0 < h < 2 m

f l e s t g u a s i - r é d u i t : f = e è ( S ) .

p o l y n ô m e m i n i m a l d e

6

e s t :

H t - ^ 4 M , 2t4

l-r

o n a :

_I

L 0

i]. =

2 M - H * ï T

d e r n i e r n o m b r e v r ) e t ( O 3 ) . P o u

( 2 u n)

*\la-C *\la-C

( o

d e M t , grâce aux e x p r e s s i o n s :

f

n = m ( a + t - z d l - K , r - K r

{

\ 4 . t s t

= [ ( a + l ) m + K . - K . ] " + A ( - t ) n " l

é r i f i e d e f a ç o n é v i d e n t e l e s c o n d i t i o n s ( Q r t ) , r c e q u i e s t ' d e ( O I ) :

T|=

[-r*1*El|

Jt tt

^

ll=a-d-r

2t4 - r

*{A-= a -x*

_ H *\a

= a +/

- r *E

\ _ [ ! n

"

2t4

, ,, )-[-;iltt

2t4 2M l e s c o m p l é m e n t s à p a r t i r d e s 2t4 a - e ( - I + L e T h é o r è m e n é c e s s a i r e s L a v a l e u r Y c o e f f i c i e n t s 0 n a d e f a ç o n é v i d e n t e : P R O P R I E Î E I . 1 O n a C e n o m b r e e s t

ô rsr

I . 1 e s t d o n c c o m p l è t e m e n t é t a U l i , t o u s é t a n t é v i d e n t s .

h t - a t t s )

= p g c d ( m , h , ) e s t c a l c u l a b l e m T = p g c d ( m , K , 4 + K 1 , I - ( a + I ) Ç ) = p g c d ( m , V ! - V 4 , ( a - 2 ) V . + û { ) u n d i v i s e u r d e l ' a m p l i t u d e d e S : = P g c d ( m , K , , + K r ) = p g c d ( m , V t - V r )

I I I . l O P o u r c e q u i e s t d e s c o n s t a n t e s d e M A R K O F F , o n p e u t é c r i r e a v e c I e p o l y n ô m e m i n i m a l d e & ( s ) e t I e T h é o r è m e d e S E R R E T : M ù ( S ) m 1 ( S )

c ( 4 r ( s ) ) = c (

_{f l i ( s ) )}

=

{l[-

V-À;lsi

E n c o m p a r a n t à l ' e x p r e s s i o n d e  r ( s ) e n f o n c t i o n d e A , o n e n d é d u i t q u e \ f d i v i s e m 1 ( S ) a v e c 1 , é g a l i t é : m . ( S ) = V M r . ( s ) . L a c o n s i d é r a t i o n d e s n o m b r e s q u a s i - r é d u i t s p e r m e t d o n c d e s i m p l i -f i e r 1 ' e x p r e s s i o n d e s c o n s t a n t e s d e M A R K O F F p a r r e c o u r s a u f a c t e u r 9 I l s e p e u t d ' a i l l e u r s g u e c e n o m b r e n e s o i t p a s l e p l u s g r a n d p a r I e q u e l s i m p t i f i e r l ' e x p r e s s i o n d e I a c o n s t a n t e d e M A R K O F F . E x e m p l e P o u r

= 1 2 ,! , L , 4 . )

r{ *i

4

f

t : o b t i e n O n L e p o l y n ô m e

s = ( I , I ) s o i t

m = 2

K ,

C t t S l = 2

d ' o r )

J = I

A = 4 . ( s ) = I O 4

s o i t x = x

M = f l = 2 e E H = 0 m i n i m a l d u n o m b r e q u a s i - r é d u i t P - ( x ) = z x t - 1 3

r

K t = r

l = 0

= 2 _{e t d - 2 6}

f

e s t :

S a c o n s t a n t e v a u t : C (

E ,

=

6

E I l e e s t s i m p l i f i a b l e s o u s l a f o r m e : C t 6 , = _{1 ;} C e p e n d a n t , e n c o n s i d é r a n t I ' a c t i o n _{d u g r o u p e h r t T - ) * s u r I ' e n s e m b l e} d e s n o m b r e s r é e l s i r r a t i o n n e l s d é f i n i e a v a n t , l e T h é o r è m e d e S E R R E T m o n t r e q u e d e u x n o m b r e s q u a s i - r é d u i t s d i s t i n c t s f . t S ) e t f a ( s ' ) p e u v e n t d é f i n i r l a m ê m e o r b i t e . I l s u f f i t q u e l e s s u i t e s ( S , a ) e t ( S ' , a ' ) s e d é d u i s e n t p a r p e r m u t a t i o n c i r c u l a i r e . P o u r d i m i n u e r l e n o m b r e d e q u a s i - r é d u i t s c o n s i d é r é s d a n s c e s o r b i t e s , o 0 p o s e :

I I I . I 1 D E F I N I T I O N P o u r t o u t e s u i t e d e n o m b r e s e n t i e r s s t r i c t e m e n t p o s i t i f s s = ( a o , à 1 , . . . , a . ) o n n o t e t ( S ) l e p l u s g r a n d é t é m e n t a p p a r a i s s a n t d a n s S : t ( s ) = M a x a i _{e N *} i = 0 . . . f I U n e s u i t e S t e l l e q u e t ( S ) = â ê s t u n e s u i t e f r o n t i è r e p o u r a , o u e n c o r e u n e a - s u i t e . G r â c e a u T h é o r è m e d e S E R R E T , t o u t n o m b r e g u a s i - r é d u i t d ' u n e o r b i t e e s t é q u i v a l e n t p o u r l ' a c t i o n d e / I f l r l Z - 1 " à u n n o m b r e f " ( S l a e m ê m e o r b i t e t e l l e _{q u e a > t ( S ) - 4} D e p l u s , g r â c e a u l e m m e d e D I C K S O N , o n p e u t c h o i s i r ( S , a ) d e f a ç o n q u e l a c o n s t a n t e d e M À R K O F F a s s o c i é e s o i t o b t e n u e s u r l a r é d u i t e m - K s [ a - d , , S ] = a 4 + -m E n c a l c u l a n t a l o r s e x p l i c i t e m e n t c e t t e c o n s t a n t e g r â c e a u p o l y n ô m e m i n i m a l , o n o b t i e n t : D

.C

m I I On mt

c(

_flè(s)

) =

r e s t e : m 1 ( S ) = p e u t d o n c é n o n c e r T H E O R E M E T . 2 m - K r ( a - x + - - ) m

\ A n t s l '

P o u r l ' a c t i o n d u g r o u p e f ' n 1 V - ) * s u r l , e n s e m b l e d e s n o m b r e s i r r a t i o n n e l s , t o u t n o m b r e a l g é b r i q u e r é e l d e d e g r é 2 e s t d a n s I ' o r b i t e d ' u n n o m b r e q u a s i - r é d u i t P a ( s ) v é r i f i a n t l e s c o n d i t i o n s ( s . r ) : a ) z t ( s ) - , t ( S e ) : m 1 ( S 1 = m ( S ) C e r é s u l t a t d i m i n u e I e n o m b r e d e r e p r é s e n t a n t s à c o n s i d é r e r d a n s c h a q u e o r b i t e . I l c o n d u i t à p o s e r :

A . ( s )

r r r . 1 2

D E F I N I T I O N O n a p p e l l e n o m b r e s u p e r - r é d u i t t o u t n o m b r e q u a s i - r é d u i t & ( S )

( c ) :

v é r i f i a n t l e s d e u x c o n d i t i o n s d e s u p e r - r é d u c t i o n :

( s , ) : a ) . r ( s ) - 4

( s r ) : m . ( s ) = m ( s )

T o u t e f o i s , e t c e c i l i m i t e u n p e u l e u r i n t é r ê t , i l e x i s t e d e s n o m b r e s s u p e r r é d u i t s d i f f é r e n t s s i t u é s d a n s u n e m ê m e o r b i t e . E n f a i t , l a d é m o n s t r a t i o n d u l e m m e d e D I C K S O N q u e j ' a i d o n n é e p a r a i l l e u r s I a ] é t a U t i t g u e I a c o n d i t i o n ( s r ) i m p l i g u e l a c o n d i t i o n ( S 1 ). L e s e u l c r i t è r e d e s u p e r r é d u c t i o n e s t d o n c e n f a i t I a c o n d i t i o n ( s r ) . ( o n s e r e p o r t e r a a u T h é o r è m e I I . 3 p o u r c o n f i r m e r c e t t e r e m a r g u e ) . E x e m p l e C o n s i d é r o n s l e s d e u x n o m b r e s s u p e r r é d u i t s

P = [ M , . 1 , 2 M , 2 M - r , 2 M . ]

I -e ' = [ t " t , 2 t " t - 1 , 2 l 4 , L , Z l l l . ) I t e s t é v i d e n t g u ' i l s s o n t d a n s l a m ê m e o r b i t e . L e s n o m b r e s s u p e r r é d u i t s p r é s e n t e n t c e p e n d a n t u n i n t é r ê t p a r r a p p o r t a u x n o m b r e s q u a s i - r é d u i t s p u i s q u ' i I s s o n t m o i n s n o m b r e u x d a n s c h a q u e o r b i t e e t q u e I ' o n a : P R O P R I E T E 1 . 2

' *ftr

T o u t n o m b r e s u p e r r é d u i t _{P =} - a p o u r c o n s t a n t e d e M À R K O F F \ 2 M M

c(()

F

E n p a r t i c u l i e r , o t r a I a c o n d i t i o n _{d e H U R I { I T Z ( H ) : S u t g A} C e c i r é s u l t e d e c e q u i p r é c è d e e t d u c l a s s i q u e T h é o r è m e d e H U R I { I T Z ( v o i r t l l o u I a ] ) .

E n f a i t , c ê r é s u l t a t p e u t r é c i u c t i o n q u e l ' o n d o n n e ê t r e c o m p l é t é p a r u I t é r i e u r e m e n t . O n u n T h é o r è m e a a u s s i : I I I . I 3 d e s u p e r P R O P R I E l E I . 3

s o i t

_{( e t s t}

A l o r s o n a : D e p l u s :

r *[r

2t4 d ), 0 avec

-8.tt'=

I a - o ( , . S , a . J u n a = 2 { , a n o m b r e s u p e r r é d u i t - - 2 1 , + I o u a = 2 o l + 2

[ , t , . S * , a . J

M E n p o s a n t : O n a I a r e l a t i o n ( F ) : _{À t r} D é m o n s t r a t i o n

c(eà(s))

=15==

T H = m ( a - 2 d L = m ( a 2 ) d e P E L L F E R M A Î = 7 2 + q ( - r ) n ' l

& ( s )

t . a , s . l

+ [ 0 , . s * , a . J

t - V 4 = m ( a 2 * + t ) K , t -V f = m ( a + I ) r K r - K s K 1

P . ( s )

L

) + v

+ V ^ +

Y n + z

_{_}

a v e c l e s c o n d i t i o n s 2

- ( / L

2

Y H + z

z - Y H

e L

2

z - y H

p g c d ( - , m ) = p g c d ( - , m ) = I

2

I a - r ( , s ]

) H + e

T

= -m

z - y H

2

I o < . , S * ] =

-m

( r é d u i t e d e

f a - ( s )

)

(réduite de âÏ31 I l e T h é o r è m e d e G A L O I S t 8 l

a v e c ( e . ) :

H ù < A

& >0

+ p . G i < z

S o i t _{( r ( s l = [ a - l , . S , a . J u n n o m b r e s u p e r r é d u i t .} L ' e x p r e s s i o n I ' é g a l i t é : L a c o n d i t i o n o n e n d é d u i t L a c o n d i . t i o n d e f . ( t ) d o n n e , a v e c

( r ( s l = t d , . s * , 3 1

d e H U R W I T Z ( H ) i m p o s e

gTiFt < o

et

H

( Q , r ) : 0 . ( - =

G ( s )

M

I I I . I 4 i m p o s e u n e c o n t r a i n t e e n t r e l e s p a r t i e s e n t i è r e s o ( d e - f a ( S ) e t a - / . d e _{f a ( s ) .} L e s s e u l s c a s p o s s i b l e s s o n t 3 â = z o L , â = 2 o l + I , L a c o n d i t i o n a = 2 d + 2 n ' e s t p o s s i b l e q u ' a v e c 2 M > H Z o t + 2 E n e f f e t , a v e c A <

- t *fI-

< { + 1

ol. + 2 M H H M - M 2 e s t l a p a r t i e e n t i è r e d e f a ( S l , o n t r o u v e t{

2 < & + f * f r

M < H D e m ê m e , I a c o n d i t i o n a = 2 * _{n ' e s t p o s s i b l e q u ' a v e c 0 - ( H ( M .} L e s t r o i s c a s c o n s i d é r é s s e p r o d u i s e n t d ' a i l l e u r s e f f e c t i v e m e n t : a =

> M

O n t r o u v e E t p u i s q u e a - l = S o i t E x e m p l e P o u r ₍ = e < + o ( +

r+\JE

6 s u p e r r é i u i t a = 4 e t _{o L = 2} s o i t a = 2 0 < P o u r a = 4 e t _{d = I} s o i t a = 2 d + 2 L e c a s a = 2 * + I s e t r o u v e p a r e x e m p l e a v e c I e n o m b r e d ' o r . L e r e s t e d e l a p r o p r i é t é l 3 e s t é v i d e n t , I ' é q u a t i o n d e P E L L F E R M A T ( F ) r é s u l t a n t d e I ' e x p r e s s i o n d e A . t s ) = . 9 l A 8 . 3 - N o m b r e s e t f o r m e s d e I 4 A R K O F F - L a n g a g e a s s o c i é : O n p o s e , a v e c S * s u i t e m i r o i r d e S : I o

t

f i t r l

= [.a,s.J

= t.(s) + r =

$ . t s t

f r

t s l

à . t r l

0 ^ t s t = [ 0 , . s * , a . ]

=

D E F I N I T I O N

= - c n t s l

_{r = - f r t s l - 1}

n O n d i t q u e U r ( S ) e s t l e n o m b r e d e M A R K O F F d é f i n i p a r S e t a ( o u I a s u i t e ( s , a ) ) .

= - à'.trr

I

s + @

super réluit

L ' e x p r e s s i o n a t g é b r i q u e d e s d e r n i e r s n o m b r e s d o n n é e : I I I . I 5 i n t r o d u i t s p e u t ê t r e m ( a 2 4 + L l - K r + K { + m ( a 2 o l ) + V t - V r +

f.(s) =

_{2 m}

t l

-m a # v r - v . + \ Â " ( s l

- =

2m

) i t s r

B . t s l

2 m

V 4 - V t - m a +

2 m

E I l e e s t s i m p l i f i a b l e L e n o m b r e d e M A R K O F F

f 0 ( x , 1 ) e z t x l o ù r ,

s u i v a n t e 3

=xt+ t

m ( a + l ) - K ! - K , r +

2 m

K , t

+ K t - m ( a + I ) +

2 n

p a r Y

g r ( s ) e s t l a r a c i n e p o s i t i v e d u p o l y n ô m e

e s t l a f o r m e q u a d r a t i q u e i n d é f i n i e d e Z . L x , y )

m ( a + I ) - K 4 - K r

_{I - ( a + r ) K ^}

d . t s l e s t a u s s j . r a c i n e p o s i t i v e d u p o l y n ô m e F , ( x , l ) o ù

t

F 0 ( x , Y ) =

;

f g ( x , Y ) É Q t x , Y l

] * t

-L

_{] " '}

v , ' - w

m + V " - V , t m ( a-IXm v " ) + L r m a = X + L a f o r m e q u a d r a t i g u e F g q u e l ' o n r e n c o n t r e d a n s d e M A R K O F F . D E F I N I T I O N o n d i t d a n s I a s u i t e q u e F g ( X , Y ) p a r S e t a ( o u I a s u i t e ( S , a ) ) . e s t I a b o n n e g é n é r a l i s a t i o n d e s f o r m e s F n I ' e x p o s é f a i t p a r C A S S E L S t 5 l d e I a T h é o r i e

]xv * t

]

r '

t-Â r t s )

A " ( s l

[ " t s l

[ " t s l

A . ( s )

e s t 1 a f o r m e d e M A R K O F F d é f i n i e

V A = m + k

v z = 2 m '

k

a = 2

A " ( s ) = 9 m t - 4

r I r e s t e ,

_{0 . t s ) =}

M À R K O F F [ 5 ] , K 4 = k K t = k E x e m p l e D a n s I e c a s d e l a T h é o r i e d e I I I . I 6 i 1 c o n v i e n t d e p r e n d r e : = F û r ( x , I ) p a r C A S S E L S t 5 l . s o i t s o i t 2 k 3 m +

2m

r a c i n e p o s i t i v e d u p o l y n ô m e . 3 h - 2 k _ F ' ( X , l ) = X + L , n J

I - 3 k

+ [ '

_]

m O n r e t r o u v e a i n s i l e s f o r m e s F , n u t i l i s é e s P a r c o n s t r u c t i o n , o n a p o u r l e s c o n s t a n t e s d e

c ( 4 , r ( s ) )

=

O n i n t r o d u i t

c( er(s)

a l o r s : M A R K O F F : m a ( S )

-\ A n t s t

) = c ( 0 " t s D = c ( ! . ( s ) ) =

= c (E{s))=c(à',(s))

D E F I N I T I O N S o i t 0 e ( S ) u n n o m b r e d e M À R K O F F d é f i n i p a r S e t a , o n d i t q u e 0 a ( S ) e s t u n n o m b r e d e M A R K O F F s u p e r r é d u i t s i e t s e u l e m e n t s i o n a I a c o n d i t i o n : ( s t ) : r n . ( S ) = m ( S ) ( e t l a c o n d i t i , o n s r e n d é d u i s a n t ( S " ) : a > t(S) -.1 ) D a n s c e c a s , o n d i t q u e l a f o r m e F 0 ( x , y ) a s s o c i é e à D r t s ) e s t u n e f o r m e d e M A R K O F F s u p e r r é d u i t e . U n e c o n s é q u e n c e d u t h é o r è m e ! . 2 e s t a l o r s I a p r e m i è r e p a r t i e d u r é s u l t a t s u i v a n t :

r r r . I 7

T H E O R E M E I . 3

T o u t n o m b r e r é e l a l g é b r i q u e d e d e g r é 2 e s t é g u i v a l e n t p o u r I ' a c t i - o n

d u g r o u p e l T 4 r ( 7 L 1 "

à u n n o m b r e d e M A R K o F F

0 . t s ) s u p e r r é d u i t .

S o n c o n j u g u é e s t a l o r s d a n s l ' o r b i t e d u n o m b r e d e M A R K O F F s u p e r

r é d u i t

0 q (s * ) .

C e p e n d a n t , 1 à a u s s i , i l a r r i v e q u e d e u x n o m b r e s d e M A R K O F F s u p e r r é d u i t s d i s t i n c t s s o i e n t é q u i v a l e n t s p o u r 1 ' a c t i o n d u g r o u p e / I 7 r t Z - l * . C e s n o m b r e s d e M A R K O F F p r é s e n t e n t d o n c a u s s i u n e i n s u f f i s a n c e p o u r b i e n d é s i g n e r l e s o r b i t e s p o u r l ' a c t i o n d u g r o u p e 1 t 4 s ( Z - 1 " . L a s e c o n d e p a r t i e d u T h é o r è m e I . 3 s ' é t a b l i t e n c o n s i d é r a n t : À

0 1 ( s * ) = [ o , S , a ] = fatsl

- a + o(

o n t r o u v e :

_{f l " t s * ) + 0 a ( s ) =}

- a

r I e n r é s u l t e q u e l e n o m b r e $ a t t l e s t d a n s I ' o r b i t e d e 0 a ( s * 1 . E t c o m m e it e s t f a c i l e d e v é r i f i e r g u e c e n o m b r e e s t l u i - m ê m e s u p e r r é d u i t , l e T h é o r è m e e n r é s u l t e . L e s n o m b r e s s u p e r r é d u i t s 0 1 ( S ) o u _{f .} ( s ) p e r m e t t e n t d ' i n t r o d u i r e u n I a n g a g e e n p r o c é d a n t c o m m e s u i t . S o i t a Ê l l , { * u n n o m b r e d o n n é .

s o i t x g l t , z , . . . 1 ' a |

=

{ i l i e J r r

* e t r < i < * t }

O n d i t q u e X e s t I ' a l p h a b e t e t a l e n o m b r e e n t i e r d e r é f é r e n c e . o n n o t e x * I e m o n o i d e l i b r e e n g e n d r é p a r x . 1 1 e s t c o m p o s é d e m o t s é c r i t s a v e c d e s l e t t r e s d e X , s o u s f o r m e d e s u i t e s f i n i e s . O n a p p e l f . Eggæ. s u r X t o u t e p a r t i e L d e X * . L e l i e n a v e c l e s c o n s t a n t e s d e M A R K O F F s ' e f f e c t u e d e I a f a ç o n s u i v a n t e : u n m o t S = ( a o , à 4 , . . . a r ) € x * é t a n t d o n n é , o n l u i a s s o c i e l e n o m b r e a l g é b r i q u e d e d e g r é 2 : ( o r ( s ) = [ a - * , ^ S , a . l

I I I . I 8 o n d é f i n i t a u s s i , c o m m e c e l a a é t é f a i t c i - d e s s u s , I e s d i v e r s n o m b r e s m ( s ) , m . ( s ) , K , t ( s ) , K t ( s ) e t c . . . O n i n t r o d u i t a l o r s l ' a p p l i c a t i o n :

Ù : x *

_{r i Ù}

I o , r l

1 I d é f i n i e c o m m e s u i t :

V . t t ) = I

s i e t s e u l e m e n t s i m . ( s ) = m ( s )

* f . ( s ) = 0

s i e t s e u l e m e n t s i m e . ( S )

* m ( s )

D a n s l e s e c o n d c a s , o n a n é c e s s a i r e m e n t m . ( S ) < m ( S ) .

L ' a p p l i c a t i o n _{{ n e " r * . t} a l o r s d e d é f i n i r I e l a n g a g e 3

L r ( x ) = V ; ' , { t } t ç x *

O n d i t q u e L è ( X ) e s t I e l a n g a g e d e M A R K O F F d é f i n i p a r l ' e n s e m b l e X e t l ' e n t i e r a . C o m p t e - t e n u d u T h é o r è m e I . 3 , l e l a n g a g e L ù ( X ) p e u t ê t r e d é f i n i à p a r t i r _{d e s n o m b r e s 4. (s) au lieu des nombres P"} ( s l . c e c i n e c h a n g e r i e n c a r o n a d e f a ç o n é v i d e n t e : S é L a ( X ) : ) S * e L l ( X ) . A u l i e u d e c o n s j . d é r e r l e l a n g a g e L è ( X ) , o n p e u t s ' i n t é r e s s e r a u s s i a u @ : P . ( x ) - L ù ( x ) a ' P a r c o n s t r u c t i o n , p o u r t o u t e s u i t e S d e L a ( X ) , o n a t ( S ) \ < a + l O n p e u t d o n c t r o u v e r d a n s L è ( x ) d e s a - s u i t e s t e l l e s q u e t ( S ) > a o u d e s s u i t e s v é r i f i a n t t ( S ) ( a . E n c o m p l é t a n t a v e c l e l e m m e d e D I C K S O N , o D p e u t é n o n c e r : T H E O R E M E T . 4 ( f ) P o u r t o u t S e L a ( x ) , o n a a u s s i s * € L r ( x ) . ( 2 ) P o u r a € . û r l * d o n n é e t i € l N * v é r i f i a n t i < a , t o u t e i - s u i t e S ( X * f a i t p a r t i e d u l a n g a g e d e M A R K O F F L ] ( X ) . L a d i f f i c u l t é p o u r é t u d i e r l e l a n g a g e L è ( X ) c o n c e r n e d o n c l e s c a s f r o n t i è r e s p o u r a e J ù t l P o u r c e u x - c i , I a t h é o r i e d e M A R K O F F 1 4 ) m o n t r e q u e p o u r l e s a - s u i t e s s € x * , I e s d e u x c a s S ê L r ( x ) e t S ( L è ( x ) s o n t e n g é n é r a l p o s s i b l e s . L e l a n g a g e d e M A R K O F F L r ( X ) e s t d o n c n o n v i d e , e t d i s t i n c t d e X * .

r r r . 1 9

P a r a i l l e u r s , e n n o t a n t ( a ) = { t U X f * I t - < i - < r . a } I a c o n s t r u c t i o n p r é c é d e n t e d o n n e : X * Ç , ( a ) * e t L è ( x ) g r , . ( < a > ) C e c i c o n d u i t à c o m p a r e r l e s d e u x e n s e m b l e s f , r ( X ) e t X * n L r ( ( a ) ) . O n a d e f a ç o n é v i d e n t e , a v e c L r ( X ) C X * , l a c o n d i t i o n : L a ( X ) Ê X * n L . ( ( a ) ) I n v e r s e m e n t , p o u r S e x * n L . ( ( a ) ) d é f i n i s s a n t 4 g t t o n a , p a r I a c o n d i t i o n _{S 6 L . ( ( a ) )} t , é g a l i t é m r ( s ) = m ( s ) . f l e n r é s u l t e : S é L ê ( X ) . L ' i n é g a l i t é q u e l ' o n v i e n t d e v o i r e s t d o n c u n e é g a 1 i t é . D E F I N I T I O N D a n s l a s u i t e , o n n o t e L " l e l a n g a g e L . ( ( a ) ) . O n d i t g u e c ' e s t l e a - l a n g a g e d e M A R K O F F . C e q u i p r é c è d e p e r m e t d ' é n o n c e r : T H E O R E M E I . 5 P o u r a € l f * d o n n é , e t t o u t e n s e m b l e X c < a > , L r ( X 1 = L a f l X * o n a :

D e p l u s , o n a _{L a ç <a>* + Le*t g (a+l)*}

E n f i n , p o u r t o u t m o t S € X * , o n a é q u i v a l e n c e d e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :

( r ) s e r{ (x)

( 2 1 _{0 r ( s ) n o m b r e d e M A R K o F F s u p e r r é d u i t} ( 3 ) C . ( t ) n 8 m u r e s u p e r r é d u i t . C e r é s u l t a t p e r m e t d e l i m i t e r d a n s l a s u i t e l ' é t u d e a u x l a n g a g e s L r . U n e p r o d u c t i o n a u t o m a t i g u e d u l a n g a g e L 1 e s t p o s s i b l e p a r l e s p r i n c i p e s s u i v a n t s : P o u r t o u t e s u i t e S é ( a ) * s ' é c r i v a n t S = ( a o , . . . a n ) : I a v a l e u r m ( S ) e s t c a l c u l a b l e e n d é t e r m i n a n t l a r é d u i t e m [ a o , à t , a " ]

v r , - m

I I I . 2 O L e p r o g r a m m e i n f o r m a t i q u e " R A T I O " d o n n é e n a n n e x e e f f e c t u e c e t t e o p é r a t i o n : I a v a l e u r m " ( S ) e s t c a l c u l a b l e , é v e n t u e l l e m e n t p a r r e c o u r s a u l e m m e d e D I C K S O N . L e p r o g r a m m e i n f o r m a t i q u e " S E Q U E N C E " d o n n é e n a n n e x e e f f e c t u e c e t t e o p é r a t i o n : - e n c o m p a r a n t a l o r s p o u r S d o n n é l e s v a l e u r s m ( S ) e t m r ( s ) , o n d é t e r m i n e s i l ' o n a S € L r . E n s e f i x a n t d o n c a , e t e n é n u m é r a n t s y s t é m a t i g u e m e n t t o u t e s l e s p o s s i b i l i t é s p o u r S , o n e n g e n d r e L r . L e p r o g r a m m e i n f o r m a t i q u e " M O T S " d o n n é e n a n n e x e e s t c o n s t r u i t s u r c e p r i n c i p e . I I f o u r -n i t l e s m o t s d e L a , P â F l o -n g u e u r s c r o i s s a -n t e s . C / T A B L E D E S O R B I T E S D E N O M B R E S A L G E B R I Q U E S R E E L S D E D E G R E 2 C . l - C o n s t r u c t i o n d e l a t a b l e O n c h e r c h e à é n u m é r e r l e s o r b i t e s d e s n o m b r e s a l g é b r i g u e s r é e l s d e d e g r é 2 p o u r l , a c t i o n d u g r o u p e M 2 t Z l * . P a r I e T h é o r è m e T . 2 , i I s u f f i t p o u r c e l a d ' é n u m é r e r d e s n o m b r e s s u p e r r é d u i t s a d é q u a t s

n

*VÂ-s )

2t4 e l s i I s s ' é c r i v e n t . c e f a i r e , o n d é c r i t p a r o r d r e c r o i s s a n t t o u t e s l e s v a l e u r s j [ * p o s s i b l e s . ( " ' d e s q u P o u r

Ae

, c ' e s t - à - d i r e d e s t r i p l e t s ( A , M , H ) à p a r t i r , o n c o n s i d è r e l e s v a l e u r s M e t f * v é r i f i a n t I a A ( H ) P o u r c h a q u e I c o n d i t i o n d e H U R W I T Z : 5 l , l t < E l l e s s o n t e n n o m b r e f i n i e t p e u v e n t ê t r e d é c r i t e s p a r o r d r e c r o i s s a n t . p o u r c h a q u e v a l e u r M € N * v é r i f i a n t c e t t e c o n d i t i o n , o n c o n s i d è r e I e s v a l e u r s H € J f v é r i f i a n t t r o i s d e s c o @ r é d u c t i o n :

0 < H <

H L = A

p g c d ( M , 2 t 4 ( Q n ) ( m o d 4 M ) ( O Z )

H . - A

H , -

) = I

( 0 3 )

4 M

T T T . 2 L C e s v a l e u r s d e H s o n t e n c o r e e n n o m b r e f i n i , e t p e u v e n t ê t r e e n v i -s a g é e -s p a r o r d r e c r o i -s -s a n t . L e p r o c é d é f o u r n i p e r m e t d ' é n u m é r e r d e s t r i p l e t s ( A , u , n ) t e l s q u e

t

*fÂ-l e s n o m b r e s c o r r e s p o n d a n t s f o u r n i s s e n t t o u t e s l e s o r b i t e s 2 M d e n o m b r e s r é e l s a l g é O r i q u e s d e d e g r é 2 , m a i s i l s e p e u t e n c o r e q u e d e u x t r i p l e t s d i f f é r e n t s c o r r e s p o n d e n t à u n e m ê m e o r b i t e . P o u r é v i t e r c e l a , o n p r o c è d e à u n t r i g r â c e a u T h é o r è m e d e S E R R E T . A c h a q u e t r i p l e t _{( A , M , H ) o n a s s o c i e l e d é v e l o p p e m e n t e n f r a c t i o n} H * { Â c o n t i n u e d u n o m b r . O n n e c o n s e r v e I e t r i p l e t q u e s i p o u r 2 M l e s t r i p l e t s r e n c o n t r é s a n t é r i e u r e m e n t d a n s I ' é n u m é r a t i o n , o n n r a p a s o b t e n u u n e p é r i o d e s e d é d u i s a n t p a r p e r m u t a t i o n c i r c u l a i r e d e

n *VI_

c e l l e d e - . 2t4 C e t r i c o n s t r u i t a u t o u r d e 1 ' o r d r e l e x i c o g r a p h i q u e d e s t r i p l e t s ( À , M , H ) p e r m e t d e n ' é n u m é r e r g u ' u n e s e u l e f o i s t o u t e o r b i t e , p â r u n u n i q u e r e p r é s e n t a n t . D E F I N I T I O N

t.

I

I

L

O n a p p e l l e n o m b r e r e p r é s e n t a t i f d e d e g r é 2 r e t e n u p a r I e p r o c é d é

L e s

un

I e s

n o m b r e s r e p r é s e n t a t i f s c o n s t i t u e n t d o n c p a r l e u r d é f i n i t i o n s y s t è m e d e r e p r é s e n t a n t s d e s c l a s s e s d ' é q u i v a l e n c e g u e s o n t o r b i t e s d e s n o m b r e s a l g é b r i g u e s r é e l s d e d e g r é 2 p o u r I ' a c t i o n

n o m b r e - g =

t r o u v e :

^

du groupe ftiflrtZl*.

P a r c o n s t r u c t i o n , t o u t n o m b r e l a c o n d i t i o n ( a q ) e t e s t d o n c s o u s u n e f o r m e p = p - ( s ) = [ a \ l ' E n e f f e t , s i 1 ' o n c o n s i d è r e l e E n c o m b i n a n t ( Q r ) e t ( H ) , o n H 1

n *tl6'

r e p r é s e n t a t i f ( = _^ v é r i f i e q u a s i r é a u i t . t l p e u t ê t r e é c r i t - r ( , . S r q ] .

- H + Y E

H

+VI-t o u +VI-t n o m b r e a t g é b r i q u e r é e l 2t4 d ' é n u m é r a t i o n d é c r i t c i - d e s s u s .

T T T . 2 2 D ' o ù _{0 < H <} E t e n c o r e a v e c ( Q a ) q u i L a p a r t i e e n t i è r e d = I I a f o r m e : 0 - ( H < 2 M H g = Â p g c d ( M , H ,

M > 0 :

- f

a p p a r t i e n t d à n c à . 0 f

n +fa Va

) . P =

) . - ) z

\

_2vl

_2t4

\lT'

d o n n e

-r r

d * f

t l t

2

S o i t , a v e c ( Q , r ) e t ( H ) : E n f a i t , o n a a u s s i : T H E q B E ! 4 E ! r 6 ( T h é o r è m e d e s u p e r r é d u c t i o n ) ( f ) P o u r 1 ' a c t i o n d u g r o u p " t Ï I l r ( Z l * s u r 1 ' e n s e m b l e r é e l s i r r a t i o n n e l s , t o u t n o m b r e a l g é b r i q u e r é e l d e d a n s l ' o r b i t e d ' u n e t u n s e u l n o m b r e r e p r é s e n t a t i f

H

*[a-( 2 ) ' I o u t n o n b r e r e p r é s e n t a t i f p = -t 2 M p o u r c o n s t a n t e d e M A R K O F F _{C ( P ) = g} .

\ l J À

( r ) Pour tout nombre réel _{( a l g é b r i q u e} d e

e s t s u p e r d e s n o m b r e s d e g r é 2 e s t

f i t s t

'

r é d u i t e t a d e g r é 2 s ' é c r i v a n t s o u s

, M , H l e z - 3 I

o n a é g u i v a l e n c e d e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s : ( a ) P est un nombre super réduit

t ( b ) l - e t r i p l e t ( A , M , H ) v é r i f i e l e s c o n d i t i o n s d e s u p e r r é d u s u i v a n t e s : ( Q r ) :

( a r ) :

( 4 3 ) :

( c )

_{: c ( - ) =}

n *!T

2 M P o u r m é m o i r e , o D a a u s s i l o r s q u e ( C ) d e H U R Û { I T Z : e s t a s s u r é e , l a ç q n d i t i o n ( H ) : _{M <}

H * V l -

_{H + x @ '}

P

( ( A

\

zu

zr4

M

ïa

( m o d 4 M ) ) = I

.a

5

( s o i t ( e { H ) : o - ( H < z t 4 <

l o r s q u e I ' o n e a u s s i ( O 4 ) )

T T T . 2 3 D é m o n s t r a t i o n ( 1 ) R é s u l t e d e t a d é f i n i t i o n d e s n o m b r e s r e p r é s e n t a t i f s . ( 2 ) S o i t P p ( x ) I e p o l y n ô m e m i n i m a l d . p : t I

,

A - H z

P r ( X ) = M X - - H X ( - ) l 4 M S a c o n s t a n t e d e M A R K O F F s ' é c r i t d o n c s o u s l a f o r m e : M r ( S )

c ( ? r = . . . 3 ' (

_*

t[ a

M

l a

S i l ' o n a v a i t M a ( S ) < l , t , I e n o m b r e p s e r a i t d a n s I a c l a s s e

H,.

+l/I-d ' u n n o m b r e p o u r I ' a c t i o n d e t t l r t Z l * t e l q u e I e t r i p t e t 2l,ta ( s ) ( Â , M . ( s ) , H _{) a i t é t é c o n s i d é r é a v a n t ( A , M , H ) d a n s l e p r o c é d é} d ' é n u m é r a t i o n d é c r i t c i - d e s s u s . _{L e n o m b r e p n e p o u r r a i t} p a s ê t r e r e p r é s e n t a t i f . \ O n a d o n c : M . ( S ) = [ v t P a r l a d é m o n s t r a t i o n q u e j ' a i d o n n é e p a r a i l l e u r s d u l e m m e d e D I C K S O N [. ] , o n a a u s s i n é c e s s a i r e m e n t :

( s r ) : a > t(s)-I

E t p a r u n r a i s o n n e m e n t c o m p a r a b l e à c e l u i f a i t p o u r m o n t r e r 1 ' é g a l i t é M 1 ( S ) = M , o n o b t i e n t a u s s i : ( s l ) : m . ( s ) = m ( s ) ( 3 ) ( b ) _{( a ) s ' é t a b l i t p a r l e s m ê m e s a r g u m e n t s q u e c e u x q u e} 1 ' o n v i e n t d ' u t i l i s e r . o n é t a b l i t d ' a b o r d q u e l e s c o n d i t i o n s ( e , t H )

( Q g ) ( Q t ) i m p o s e n t q u e g soit guasi réduit.

E t c o n r m e e n ( 2 1 , o n e n d é d u i t a v e c l a c o n d i t i o n ( c ) q u e _{( e s t} s u p e r r é d u i t .

( a ) - > _{( b ) r é s u l t e d i r e c t e m e n t d e l a p r o p r i é t é T . 2 .} L e T h é o r è m e I . 6 e s t d o n c é t a b l i .

O n a p p e l l e n o m b r e d e M A R K O F F r e p r é s e n t a t i f t o u t n o m b r e d e M A R K O F F 0 . t s ) t e l q u e I e n o m b r e q u a s i r é d u i t a s s o c i é ê ( s ) s o i t r e p r é s e n -t a -t i f . T . T T . 2 4 D E F I N I T I O N O n d i t a l o r s q u e I a f o r m e F O ( X , Y ) a s s o c i é e à d e M A R K O F F r e p r é s e n t a t i v e . O n a p p e l l e a - l a n g a g e r e p r é s e n t a t i f e t o n n o t e L R r I ' e n s e m b l e d e s s u i t e s S t e l l e s _{g u e I e n o m b r e $ r ( s ) s o i t u n n o m b r e d e M A R K O F F} r e p r é s e n t a t i f . O n o b t i e n t a i n s i : T H E O R E M E T . 7 P o u r 1 ' a c t i . o n d u g r o u p e M t t V - l * s u r I ' e n s e m b l e d e s n o m b r e s r é e l s i r r a t i o n n e l s , t o u t n o m b r e a l g é b r i q u e r é e l d e d e g r é 2 e s t d a n s I ' o r b i t e d ' u n e t u n s e u l n o m b r e d e M A R K O F F r e p r é s e n t a t i f 0 " t S ) 1 . U n e p r o d u c t i o n a u t o m a t i q u e d e s t r i p l e t s ( A , M , H ) c o r r e s p o n d a n t a u x n o m b r e s r e p r é s e n t a t i f s e s t p o s s i b l e . L e p r o g r a m m e i n f o r m a t i q u e " C L A S S E S " d o n n é e n a n n e x e e f f e c t u e c e t t e o p é r a t i o n . I l p r o d u i t I a t a b l e d e s o r b i t e s . E n r é a l i t é , i I n ' e f f e c t u e p a s I e t r i i n t r o d u i t g r â c e a u T h é o r è m e d e S E R R E T . P a r c o n t r e , l e p r o g r a m m e " C L A S S E S " u t i l i s e l ' e x p r e s s i o n d e I a M c o n s t a n t e d e M A R K O F F _{C ( ( , ) = :} d o n n é e p a r l e T h é o r è m e I . 6

Ï A

p o u r l i m i t e r l e s t r i s à f a i r e . I l e n r e s t e c e p e n d a n t à e f f e c t u e r . C e s t r i s s o n t f a c i l i t é s p a r l e r é s u l t a t s u i v a n t : P R O P R I E T E I. 4 ( I ) S o i t l ' o r b i t e d e t M 4 ) z M (, H,l +Iôr

=

,o\

u n n o m b r e q u a s i r é d u i t

_H

+6-P = - '

\ 2 M s i M , t = M ) .

0 . t s t

e s t u n e f o r m e a p p a r t e n a n t a l o r s A = ' u n n o m b r e r e p r é s e n t a t i f ( avec de plus H{ ). H ( 2 ) D a n s l e s c o n d i t i o n s p r é c é d e n t e s , ( a ) . ( ^ n o m b r e s u p e r r é d u i t ( b ) : _{M = M , l}

A,I

o n a é q u i v a l e n c e d e s p r o p r i é t é s :

D é m o n s t r a t i o n I I I . 2 5

a ( n + { A ) + z l t t l

c(n +ff ) + 2Dt4

o n a d ' a b o r d L , ) , A E t p a r h y p o t h è s e :

I tl :l e no,rv-t*

c = f^ 1

[c

pJ

e /"1!(

[-t*

Q

=

L" oJ (

=

N ( T , )

D , o ù , J I = #n

A

A n

= } - ' A a v e c D(J )e-û'f* N(J )é-ùf

e t

_{p s c d ( N ( I ),D( I, ) = I}

S o i t : f o o - s c = t = ! I

{

_{" t}

} , 4 + H , H l + D ( 2 t 4 t ^ l

= 2 A t 4 4 H

+ 4 M r B M

l

I c ( ] - H + H r ) + o ( 2 ] M )

= 2 ^ M à

D e I à , o n e n d é d u i t t q e t H , :

( u. = 'ry [(cn + 2DM)t- A cr]

l '

4 M

{

I r . = ! - f t e c ( n z - À ) + 2 r q n ( a o

+ c ) + 4 e o p t t l

[ ' 2 M L a c o n d i t i o n n ! : A ( m o d 4 M ) g a r a n t i t q u e 1 e s n o m b r e s M < H . D F s o n t m u l t i p l e s d e N ( j( - ) d a n s Z . P a r a i l l e u r s , o n a :

U

_{= e ) . t u e r + H A B}

_*

t t l . a

_{o ' ,}

4 M . t - 4 M C e c i i m p o s e g u e c e d e r n i e r n o m b r e s o i t m u l t i p l e d e u ( | ) . D , o ù p a r l a c o n d i t i o n d e q u a s i r é d u c t i o n ( 4 3 ) p o u r C ^ : N ( J l l o t ) " 1 e t a v e c p g c d ( N ( } , ) , D ( - f ) ) = I l a c o n d i t i o n N ( I ) = 1 : o n o b t i e n t a i n s i : o ( | ) z L ^ = A L e r e s t e d e I a p r o p r i é t é d é c o u l e d u T h é o r è m e d e s u p e r r é d u c t i o n . L e p r o g r a m m e " C L A S S E S " f o u r n i t d o n c l a t a b l e d e s n o m b r e s s u p e r r é d u i t s . C . 2 - Q u e l q u e s p r o p r i é t é s d e l a t a b l e d e s o r b i t e s O n e x a m i n e l a t a b l e d e s o r b i t e s d u p o i n t d e v u e d e c e g u ' e l l e d o n n e p o u r l e s c o n s t a n t e s d e M À R K O F F :

T . T T . 2 6 C . 2 . I - A n a l y s e s e l o n l e d é n o m i n a t e u r d e s c o n s t a n t e s d e M A R K O F F ( f ) c o n s i d é r a t i o n d e A r ( s ) L e n o m b r e À . ( S ) e s t c o n g r u à 0 o u I m o d u l o 4 . r n v e r s e m e n t , s i l ' o n s e d o n n e u n n o m b r e A g d * c o n g r u à 0 o u I m o d u l o 4 , e t s i l ' o n s ' i n t é r e s s e à l a r e l a t i o n : À = À n { s ) = l ( a - 2 ) m + v . + v . J t + 4 ( - r ) n " o n n e t r o u v e q u ' u n n o m b r e f i n i d e p o s s i b i l i t é s p o u r a , m , V ' V g e t d o n c S . c e c i é t a n t i t : P R O P R I E T E I. 5

p o u r tout nombre donné À € ltf *, congru à O ou I modulo 4, iI

n ' e x i s t e q u , u n n o m b r e f i n i d e n o m b r e s g u a s i r é d u i t s ( r e s p e c t i v e m e n t d e n o m b r e s s u p e r r é d u i t s ) ( r e s p e c t i v e m e n t d e n o m b r e s r e p r é s e n t a t i f s ) s ' é c r i v a n t : _{( = [ a - o l , S , q ]} e t v é r i f i a n t  . i s l = A ( 2 1 C o n s i d é r a t i o n d e À ( P ) L a c o n d i t i o n ( Q f ) v u e c i - d e s s u s : L

H - : a t g l

( m o d 4 M ( e ) )

m o n t r e g u e A ( P ) e s t c o n g r u à 0 o u I m o d u l o 4 . L r n v e r s e m e n t , s i I ' o n s e d o n n e u n n o m b r e A g J r f " , c o n g r u à 0 o u I m o d u l o 4 , c o n s i d é r o n s I a c o n d i t i o n  t ( ) = 4 , _{a v e c ( s u p e r} r é d u i t s ' é c r i v a n t s o u s I a f o r m e :

H +\|f

P =

-\ 2 M o n a p a r l a p r o p r i é t é T . 2 : _{5 M t - ( A} ( H ) E t p a r l a p r o p r i é t é ( Q 4 ) , o n a : _{0 < H < z t l i} O n n e t r o u v e d o n c q u ' u n n o m b r e f i n i d e p o s s i b i l i t é s p o u r f . E t p u i s q u e d a n s l , o r b i t e d e t o u t n o m b r e s u p e r r é d u i t o n n e t r o u v e q u t u n n o m b r e f i n i d e n o m b r e s q u a s i r é d u i t s , o n p e u t é n o n c e r 3

T T T . 2 7 P R O P R I E T E I. 5 P o u r t o u t n ' e x i s t e t i v e m e n t n o m b r e d o n n é Â € N*, c o n g r u à 0 o u I m o d u l o 4 , i I g u ' u n n o m b r e f i n i d e n o m b r e s q u a s i r é d u i t s p ( r e s p e c -s u p e r r é d u i t -s ) ( r e s p e c t i v e m e n t r e p r é s e n t a t i f s ) t e l s q u e

 ( ( ) = A

c o n s i d è r e l e s n o m b r e s = lTl . r e l a t i o n s ' e n d é d u i s a n t d e l a p r o p r i é t é I . 7 r é s u l t e d i r e c t e m e n t

v s :

-( 2m

\< 2m

V t + I

c . 2 . 2 - A n a l y s e s e l o n I e n u m é r a t e u r d e s c o n s t a n t e s d e M A R K O F F ( f ) _{C o n s i d é r a t i o n d e m ( S )}

- f i * e t l ' o n

t e l s q u e m ( S ) l = u V e t l a n o m b r e s r e p r é s e n t a t i f s P = [ a - / , . V , r + a . l

t

n é u n n o ( = [ a -e u r é g a l

fv rl

t l

Lr oJ

O n s u p p o s e d o n g u a s i r é d u i t s E n u t i l i s a n t I c o m p l è t e s u r V a e t

l"u,

{ r . u .

I m w = v ,

mbre m é

o( ,E -gl

i t é m -= [ ; ; ]

t;;l

o n t r o u v e p o u r a ) m I u n e i n f i n i t é c o m m e p a r e x e m p l e ( = [a - J,j-,V , - . " ] t e l s q u e :

-c ( P ) =

C e c i p e r m e t d ' é n o n c e r : P R O P R I E T E 1 . 7 P o u r t o u t n o m b r e m e J l f * , i l e x i s t e d e s s u i t e s S e n n o m b r e f i n i n o n n u l p e r m e t t a n t d e c o n s t r u i r e d e s n o m b r e s q u a s i r é d u i t s ( r e s p e c t i v e m e n t s u p e r r é d u i t s ) ( r e s p e c t i v e m e n t r e p r é s e n t a t i f s ) e = [ a - . ( , . S , i ] e t t e l l e s q u e I ' o n a i t : \ r

-m ( s ) = -m

d e o u L a v é r i f i c a t i o n d e s c o n t r a i n t e s

r r r . 2 8

( 2 , C o n s i d é r a t i o n d e M ( P ) O n s u p p o s e d o n n é u n n o m b r e I . l 6 $ * e t I ' o n c o n s i d è r e d a n s l a t a b l e d e s n o m b r e s r e p r é s e n t a t i f s c e u x q u i s o n t t e l s q u e :

M ( ( ) = M

( a v e c

f = f 4 ( s t t

E n i n t r o d u i s a n t u n n o m b r e Y e j f * , o n p e u t s u p p o s e r q u e l , o n a m ( S ) = J r ' l P a r l a p r o p r i é t é I . 7 , o n p e u t e f f e c t i v e m e n t d é t e r m i n e r S . P a r e x e m p l e : S = ( I , Y M - 1 ) o u S = ( ? U 1 , 1 ) O n p e u t d o n c é n o n c e r : P R O P R I E T E I. 8 P o u r t o u t n o m b r e u g N * , i I e x i s t e u n e i n f i n i t é d e s u i t e s S p e r m e t t a n t c h a c u n e d e d é f i n i r u n e i n f i n i t é d e n o m b r e s r e p r é s e n t a t i f s ( r e s p e c t i v e m e n t q u a s i r é d u i t s ) ( r e s p e c t i v e m e n t s u p e r r é d u i t s ) ? = [ a - d , s , a ] t e l s q u e l t o n a i . t z M ( p ) = M . \ r - , \ r r v a u r : q : p ( P n _{, = p n} 9 ; E n c o n s i d é r a n t a l o r s l ' a m p l i t u d e d e S : Q = p g c d ( m , [ + K r ) = p g c d ( p a 1 p a - r - g n ) L a s u i t e S é t a n t f i x é e , o n p e u t p r é c i s e r c e g u i s e p a s s e p o u r l e s v a l e u r s a ) , t ( S ) - l D a n s l e c a s d ' u n n o m b r e r e p r é s e n t a t i f g u e l c o n g u e :

e

- - [a -,, ,S-€]

( o ù a ) t(s) -l)

o n p o s e :

= [.s,a.]

e r

M , = f o "

_o

o " ' ] =

_{[ , n}

K ' t

_{. I}

| . o "

q n . , J

l m

- K r

K r - 1 J

L e n o m b r e _{Y e s t} r a c i n e d u p o l y n ô m e : p ( x ) = ( a g , , + g n - , ) x r - ( a p n + p n - , - g n ) x - p , . P a r l e l e m m e d e D I C K S O N , I e m i n i m u m a r i t h m é t i q u e a s s o c i é p o u r I a - - - t - x - P . f o r m e Y P ( - ) e s t o b t e n u p o u r I a v a l e u r - _o y g ,

r r r . 2 9

o n a p g c d ( 6 , , e " ) = p Ç c d ( p n , g n ) = I I I e n r é s u l t e p o u r t o u t d i v i s e u r 6 j a . 6 l a p o s s i b i l i t é d e d é t e r -m i n e r d e s v a l e u r s a , e n p r o g r e s s i o n a r i t h -m é t i q u e d e r a i s o n d t e l l e s g u e I ' o n a i t : ( D ) , _{d I . q n r 9 n - r} r L o r s q u e c e t t e c o n d i t i o n e s t v é r i f i é e , o n a - , P ( X ) € 7 - f x l

(o

E t s i @ l e s t l e d i v i s e u r m a x i m u m d e 6 v é r i f i a n t ( D ) , l e p o l y n ô m e I 7 t P ( x ) e 7 l x l e s t r e p o l y n ô m e m i n i m a r d e ] .

ta

O n e n d é d u i t s a n s p e i n e 1 ' e x p r e s s i o n d u p o l y n ô m e m i n i m a l d e f . m O n t r o u v e a i n s i : U ( f ) = - d E n c o m p a r a n t a v e c l a c o n d i t i o n m = y M ( f ) v u e a n t é r i e u r e m e n t , o n o b t i e n t 6 l = Y I I e s t f a c i l e d e v o i r q u e I a c o n d i t i o n ( D ) e s t é q u i v a l e n t e à : a = ( - l ) n " p i 9 n . , ( m o d J ) c ' e s t - à - d i r e à a : ( - r ) n ' ' K l l I ( m o d j ) O n p e u t d o n c p l u s p r é c i s é m e n t é n o n c e r : P R O P R I E T E I. 9 S o i t S u n e s u i t e d e n o m b r e s e n t i e r s p o s i t i f s d o n n é e . S o i t a € J f * s u f f i s a m m e n t g r a n d ( a r l ) t ( S ) ) d é f i n i s s a n t I e n o m b r e r e p r é s e n t a t i f ₍ = [ a - 4 , . S , 1 ] . o n a a l o r s l a c o n d i t i o n _{I u ( P ) = - ^ I m}

t À t s t

(

I

o ù r f e s t u n d i v i s e u r d e l ' a m p l i t u d e _{@ ( S ) , m a x i m u m t e l q u e l ' o n} a i t l a c o n d i t i o n : ( 8 ) _{a =} ( - l ) " " K r l - I ( m o d V ) r n v e r s e m e n t , t o u t d i v i s e u r d d e ô t S l d é f i n i t a v e c c e t t e c o n d i t i o n ( g ) u n e p r o g r e s s i o n a r i t h m é t i q u e d e v a l e u r s a , d e r a i s o n d , d é f i n i s s a n t d e s n o m b r e s r e p r é s e n t a t i f s : p - _{[ a - d , S , a J ( a " . ) t ( s ) )} \ m m P o u r c e s n o m b r e s , o n a M ( _{f ) = : I - ,} o ù y e s t u n m u l t i p l e d e d e t , ' d

u n d i v i s e u r d e ô ( s t

v é r i f i . é e . L e n o m b r e

f o r m e f g ( x , Y ) = ' t t

o ù 0 . { s ) = [ 0 , . s * , a . ]

= - H - - - J .2 o ( M { 2 M r i r . 3 0 m a x i m u m te l q u e l a c o n d i t i o n ( 3 ) s o i t J e s t a u s s i l e p g c d d e s c o e f f i c i e n t s d e I a

l , r x t + ( 2 M q ( +

H ) x y + ( r " r o r r + a n - A -

t T r t ,

4 M E n d ' a u t r e s t e r m e s , a û ) t ( S ) , o n t r o u v e

m ( s )

d i v i s a n t m ( S ) .

ô t s l

I n v e r s e m e n t , t o u t e v a l e u r M m u l t i p l e p e u t s ' é c r i r e s o u s l a f o r m e M = M ( t S é t a n t f i x é e , p o u r p o u r l e s v a l e u r s d e d i v e r s e s v a l e u r s d e ) t o u s l e s m u l t i p l e s d e m ( S ) d e - e t d i v i s a n t m ( s )

6 t s l

) p o u r u n e i n f i n i t é d e v a l e u r s d e s e x p r e s s i o n s p r é c é d e n t e s ,

= r er orr ) =a

I a + I , . s , 2 r t + l ]

l e s

r( r

a r D t ( S ) b i e n c h o i s i e s . L a c o n s i d é r a t i o n _{d e s v a l e u r s M ( g ) d o n n e q u e l q u e s r é s u l t a t s} c o m p l é -m e n t a i r e s d o n t l a d é -m o n s t r a t i o n e s t é v i d e n t e : P R O P R I E T E I . I O

( 1 ) s i

f

'ret

. o n a

( 2 ) s i Â

a l o r s l e

er a(r)

( 3 ) si a

a l o r s I e

e t atg I

( = = 2 5 ( m o d nombre ( = = À . = 8 5 ( m o d n o m b r e ( =

= a.

4 0 ) e s t u n

r +la

- _{e s t} 4 e s t u n n o m b r e r e p r é s e n t a t i f t e l q u e U ( _{6 )} = I , a l o r s : T s o n t d a n s l a m ê m e c l a s s e p o u r L ' a c t i o n d e l l r t L l *

r *l/Â

o u P = - s e l o n g u e ô e = t p a i r o u i m p a i r . t 2

Y A

;

I n v e r s e m e n t ,

" i 1 l

s ' é c r i t

s e l o n I ' u n e

o n a t

1 l

r e p r é s e n t a t i f t e l g u e t j 1 1 ,

, .

l * l À

=

2 - 2

o ù S = S * e s t u n e s u i t e p a l i n d r o m e . ,

2

n o m b r e e n t i e r p o s i t i f n o n c a r r é r e p r é s e n t a t i f e t t e l g u e M ( e ) = L 2 0 l e s t u n n o m b r e e n t i e r

r +fô

J _{e s t r e p r é s e n t a t i f e t} 6 p o s i t i f n o n c a r r é , t e l q u e M ( P ) = 3 1 .