Modélisation de la propagation d'une fissure de fatigue après application des chargements à amplitudes variables

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Modélisation de la propagation d’une fissure de fatigue

après application des chargements à amplitudes variables

Ahmed Bia

To cite this version:

Ahmed Bia. Modélisation de la propagation d’une fissure de fatigue après application des charge-ments à amplitudes variables. Autre. Université Paul Verlaine - Metz, 1986. Français. �NNT : 1986METZ012S�. �tel-01775703�

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THESE

p r é s e n _{t é e} à I ' U E R S C i E N C E S E X A C T E S _{E T N A T U R E L L T S} D E L ' U N I V E R S I T E _{D E M E T Z} p o u r obtenir 1 e g r a d e de DOCTEUR de l_,Université _{d e M e t z} e n G E N I E PHYSIQUE et MECANIOUE

Ahmed BfA

uùorrrliliÈun eË"

N'inv

4386

olq S

Gota

tlt Stz

LoG

ftqzn

.t^-MODELISATION _{DE LA PROPAGATION D'UNE FISSURE}

DE FATIGUE APRES APPLICATION DES CHARGEMENIS A AMPLITUDES VARIABLES Soutenue le 17 octobre 1986 à 14 H. Amphi poncelet. devant ra commission

p a r

Directeur

de Thèse

M. le Professeur

G. PLUVINAGE

- Université

_{de Metz}

Rapporteurs

MM. Professeur

C. GASC

_ENSMA

poitiers

Docreur M. GUEURY

IN|L-ENSEM

de Nancv

Professeur

J.D. wEBER

ù"i".;ii.ËîË

*nr.i;"-,

Exarninateurs

MM. Docteur

M. AFZALI

_CETIM-Senlis

Prof

esseur

J.J. HEIZMANN

_{université-à-è}

_ru.t,

S O M M A I R E

A V A N T - P R O P O S R E S U M E

LISTE DES SYMBOLES I - INTRODUCTION 2 - PHENOMENOLOGIE

z-r) Description du phénomène _{de surcharge} 2-2) Déf.ini _{tion des caractéristiques}

z-3) Causes du phénomène _{de ralentissement}

2.3.t) Phénomène _{primaire : les contraintes résidueiles} 2 . 3 . r . r ) O r i g i n e de contraintes r é s i d u e l l e s

z.3.r.z) Calcul de contraintes résiduelles

2.3.ù phénomène _{secondgiÉe : le concept de fermeture} /

2.3.2.ù Origine dt phénomène _{de fermeture}

!

- MODELE EXPLIQUANT L'INFLUENCE DES SURCHARGES SUR RETARD DE LA PROPAGATION DES FISSURES

3.r) lntroduction

3.2) Etude bibliographique

3.2.r) Modèles _{basés sur le concept de fermeture de f issure} 3 . z . r . r ) R a p p e l d u m o d è l e d r E l b e r

3.z.r.z) Modèle de Trebules 3.2.r.ù Modèle de Schijve

3.2.2) Modèles _{basés sur lrinteraction des zones plastifiées}

LE

Pages I 3 3 3 5 5 5 5 7 7 I 8 9 9 9 I O I I t 2

sur re concept de fermeture de fissure et lrinteraction des zones plastif iées

3 . 2 . 3 . t ) M o d è l e _{d e C l e r i v e r} 3.2.3.2) Modèle de Matsuoka 3.2.3.ù Modèle de Taira j.2.3.ù Modèle de Sunder

3'2'4) Modères basés sur re concept de ra mini-éprouvette

3'2'4'r) Modère basé sur re concept de ra mini-éprouvette sans accumulation _{du dommage}

3 . 2 . 4 . r . r ) M o d è l e _{d e G l i n k a}

3.2.4.2) Modèles _{basés sur le concept de la} evec accumulation du dommage 3.2.4.2.r) Modèle de Glinka 3.2.4.2.2) _{Modète de Stouffer}

r 6

r 6

r 8

2 2 24 2 7 mini-éprouvette 27

3 5

3 5 3 7

3.3) Discussion

3.d Modétisation

Modère

_{de vitesse de fissuration basé sur rranatyse}

des contraintes

et des déformations

à ra pointe de fissure .n défo.ration

_prane

3.4.r) Introduction

3'4'2) Expression

_{du champ des contraintes et des déformations}

sous

chargements

_cycriques

en état de déformation

_prane

- :

3'4 ' carcur du coefficient drentrave

_{à ra prasticité B}

3.4.3.r) Calcul de Bdans le cas de chargemenr _monotone 3.4.3-2) _{calcul de B dans le cas de chargement cycrique} 3-4.4) _{Prise en compte des effets de fermeture de f issure} 3.4.5) Vérif ications expérimentales

4 r

44 44

45

+6

+6

49

5 r

5 5

3 . 4 . 5 . r ) C o n d i t i o n s e x p é r i m e n t a l e s 3 . 5 . 5 . 2 ) E p r o u v e t t e u t i l i s é e

3.4.5.3) comparaison _{avec les résultats expérimentaux} 3.4.5.4) Résultats et discussion

3.5) Conclusion

+ - SIMULATION

NUMERIQUE

BASEE

SUR LA

FINIS

METHODE

DES ELEMENTS

+.r) Introduction

+'z) Rappel de technique de la progression _{de la fissure} +.t) Etude bibliographique

4 . 3 . r ) S i m u l a t i o n d e N e w m a n

4.3.r.r) Cas de chargements _{à anplitude constante} 4 . 3 . r . 2 ) C a s d e c h a r g e m e n t s à a m p l i t u d e v a r i a b l e 4 . 3 . 2 ) S i m u l a t i o n d r O g u r a

4.3.3) Simulation de Wâsrberg 4.4) Discussion

+ . 5 ) S i m u l a t i o n

Simulation par méthode aux éléments finis de la propagation drune fissure après surcharge

4.5.r) Principe du programme dréléments finis proposé 4.5.2) Ltapproche numérique _{en élastoplasticité}

4.5.2.r) Méthode de la raideur variable 4.5.2.2) Méthode de la contrainte initiale 4.5.2.ù Comparaison de deux méthodes 4.5.3) Structure de programme 5 5 5 6 5 7 5 8 6 r

6z

6z

64

66

6 8

69

7 r

72 7 3

7 5

7 5

7 5

78

8z

86

87.

4.5.4) Processus de résolution

4.5.5) Critère de propagation de la fissure 4.5.6) Applicatior,s

4 . 5 . 6 . r ) N a t u r e d e s e s s a i s s i m u l é s 4.5.G.2) Conf iguration du chargement + . 5 . G . ù M a i l l a g e

+-s.6.+) _{conditions aux limites sur les dépracements} +.S.6.S) Résultats et discussion

4.6) Conclusion

S - MODELES BASES _{SUR LA THEORIE DES DTSLOCATIONS} 5.r) lntroduction 5.2) Etuoe oioiiographique 5.2.r) Modèle de McCartney 5.2.2') Modèle de Kanninen 5.24) Modèle de Ma Delin 5.3) Discussion 5.+) Modélisation

Modèle de vitesse de fissuration basé sur la théorie des dislocations 5.4.r) Principe du modèle

5.4.2) Calcul de la longueur de plans de glissements 5.4.3) Calcul de lfécartement à la pointe de fissure

8 9 9 2 9 5 96 97 97 q 8 99 roo r 0 3 r 0 3 I I I T T 7

r r 8

r20 T 2 I r23

5 . 4 4 . r ) C o n d i t i o n s _{a u x l i m i t e s}

5.4.ù Calcul de la vitesse de fissuration _en

à amplitude variable fatigue sous

r 2 4 chargement t29 I 3 I I 3 : t t r I 4 I r45 r47 r 4 8 r 5 2 r 5 3 t 6 z 5.4.9 Comparaison _{evec les résultats expérimentaux}

S . 4 . S . r ) V é r i f _{i c a t i o n expérimentale} 5.4.5.2) Résultats et discussion 5.5) Conclusion

6 - RESULTATS

_{ET DISCUSSION}

6.r) performances

_{des modèles}

6.2) Facilité drutilisation

_{et coût de calcul}

6.1) Hypothèses,

_données

_{expérimentales}

et

u t i l i s é e

6.+) Commentaires

7 - CONCLUSION

8 - BIBLIOGRAPHIE

9 - ANNEXES

9 - r ) A n n e x e

A

critères de propagation g'r'r) Rerations _{de comportement} du matériau érastoprastique g'r.2) Anaryse des contraintes _{et des déformations au voisinage}

de lextrémité d,une fissure 9 . r . 3 ) O r g a n i g r a m n r e :

Modèle basé sur le concept de rnini-éprouvette sans accumulation _{du donlmage}

9.r.ù Calcul de l'écartement de f issure (CTOD) 9.2) Annexe B

9.2.r) Exploitation des programmes g.2J.r) La mise en données

r 3 5

r 3 8

r4U^

r 5 9

t64

9 . 3 ) A n n e x e C

9.3.r) Distribution des dislocations 9 . 3 . 2 ) E q u i l i b r e _{d r u n e f i s s u r e}

g 4 . 3 ) D é f i n i t i o n des fonctions M. et H,

g4'4) organigramme : carcur de ra vitesse de f issuration

r 7 7

r 8 o

1 8 7 r 8 8

AVAMr-PR'P2S

Cz tnavaLL a. ete nza.(-i,sô au Labonatoine _d.e Mecaniclue

de L'llnLventlte d.e Metz, ^0u [-a d.inectLon d"z Pttode,s,settn

Guq .LUVINAGE. eu, i,(- tnouve ici L, expne,s,sion tude poun t-e douLlen qu,i,L m,a (ounnL.

Fiab,LLite

Monaieun

_l-e

de ma"

gnatL-Je nemeneie touL panLLcu.Liènzment _{Me,sdieunt Le,s ptto.[ea_} ^euh C. GASC _{e-t J.D. ltllEBER et Le Ot M.GUEL)Ry,}

clui ont bien vouLu ètne x-et napportteuna de ma thè,s2, ainti que- p,u,L _{r-zund l-ectune,s mi_} nulieu'se's et poun rle's eommentainza _{pneci,t d,ont.tus m,ont}

dait pto[itett.

Ma Leconnai,sAanee

,seun

_{J.J. HEIZMANN}

_{et Me,saieua.a}

poun L'intenèt qu,iL,s ont pontz

tie de mon Jwtu.

,s'o.dne,s,sz _{a.u.a,si à M.oyuaiean}

Le pnodot_ Le,s 2ns M. AFZALI _{et H.p. LIEUR OE,} à ce ttnvaj-[- en acceptant d.e _{dai,ne pa_n_}

J', a'(nettaL,s

_{ega^enent tenenciett Mad,emoi,se,LLe}

c. R,.IN,

Me'stieun's

_{M. L11AH}

_{et Madanz}

_{MM. HOruNERr}

poun {-,a-id"e c1u,i!,s

m,ont

doun-nie.

Je nemencie chal-euteuaenent me camuladp,s d.e Labonato,Ltte,s. Ainti, _{à tou,s Le,s coLLabonateuns}

SeientidiQu%, Teelmique,s et Adnin,Ls_ LtaLLda du "9epantement ca,(-euL d.ers stnuctutteÂ,,

, et pt:u^ {-angenent d"u cElrM-senl'Ls clui m'ont _{dait d.eeouvnin}

L, appont em,khi,s,sant d,e Leuna eonnai's'sanc8Â, _{et Le canaetène ind,LopenaabLe}

d.e Leun doneLLon, je ,soulnitz nendnz un hom,n,zge pantieu,Lien.

"Cz tnavail L'Indu,stniz

a ete- neali,se avee [-, a.ppui

_{dirwneien du Mini,stène d,e}

eL de La Rzehotche - OGRST

_ ,,

1 ) Méthode analytîque,

2) Méthode numérique basée sur Ia méthode des éléments f i n i s ( E F ) ,

3) Méthode basée sur /a théorie des dis/ocations. 1 - Méthode analytique

La vitesse de fissuration est ca/culée en utilisan t Ia procédure s u i v a n t e ..

. Ia distribution des contrainte.s et des déformations à ra pointe de fissure est déterminée par la valeur de A K donnée,

. l'amplÎtude de déformation A e* correspondant à la distance X x en est alors déduite,

' Ie nombre de cycles N*, correspondant à Ia rupture du maté-riau sous ltamplitude de déformation Âe *, est obtenu _{à partir de ra reration} d e Manson-Coffin,

. Ia vitesse de fjssuration supposée unjforme dans l,intervaile X x est définîe par le rapport :

d a - À I

d N - N * G . 1 . )

2 - Méthode numérique EF. :

La simulation de /a progression des fissures de fatigue est obte_ nue en ufiJisant Je critère suivant ..

L o r s g u e ra charge atteint sa valeur maximare et gue l,écar_ t e m e n t à fond de fissure (croDef) dépasse une va/eur seui/, ir y a une / i b é _ ration du noeud situé à Ia pointe de fissure. La fissure avance a/ors par bonds successifs, chacun des bonds étant égal à Ia longueur d,un érément de m a i l l a g e .

La vitesse de fissuration est calcu/ée en faisant apper au con_ c e p t d'écartement de fissure (CTODef) :

6.2.)

J - Méthode basée sur 1a théorie des dislocations..

La vitesse de fissuration est basée sur /a détermination de I,é-c a r t e m e n t à fond de la fissure CTODd (où le CTODd est I,é-ca/I,é-culé par I a m é _ thode de dislocation).

Le modè/e est basé sur une méthode de superposition en vue de r e p r é s e n t e r I'effet de contraintes résiduelles dans /es zones plastiques. _{L , e x} -p r e s s i o n du CToDd dérivée est valabJe au cours de la -pro-pagation _{d e l , e x t r é} -mité de 1a fissure au travers de ra zone de déformation p/astigue _{correspon_} dant à /a surcharge.

La vitesse de fissuration est déf inie par ra relation suivante ..

f rcroDl

(6.3.)

A rtaide des trois méthodes utilisées nous avons obtenu des courbes très voisines des résujtats expérimentaux.

ffi = r rcroDe;

da

a r u =

Nous pouvons conclure gue Je modèIe basé sur dislocations est 1a p/us aisée dtutifisation, et est pius adéguat simulation numérique ou du modèle analytique.

Ia théorie des gue celui de la

LISTE

DES SYMBOLES

A longueur _{de fissure}

longueur initiale de fissure

longueur de fissure perturbée par les surcharges longueur _{de fissure affectée par re rarentissement,}

lrorigine étant prise au point de fin drapplication des surcharges.

longueur de fissure correspondent au nombre des cycres No après surcharges.

longueur _{de fissure pour laquelle la fissure a atteint la vitesse} minipale après surcharges, _{lrorigine étant prise au point de fin} d'application des surcharges.

incrément dravancement _{de la fissure.}

paramètres du modère basé sur ra théorie des disrocations. constante qui dépend du matériau.

",X3)

: _{fonction logarithmique dans le modèle basé sur Ia théorie des}

dislocations.

A '

_'CP

_{, A ^ , A ^ , A}

"CP 3Cp' 4Cp t constantes

dans le modèle

_{basé sur le concept de la mini_}

éprouvette

_{en état de contrainte plape.}

^ron'^rop'AroplA*Dp t constantes

_{dans le modèle}

_{basé sur re concept de la}

mini-éprouvette

_{en état de déformation}

_plane.

A \ , 4 \ ( r , o ) :

_{fonction drAiry} "o "d

afr

" N d avmin A a

^br,^bz

A

A ( X I , X

bf

b

B

:

(xr,xr,xr)

_,

B

exposant

de résistance

_{à la fatigue.}

vecteur de Burgers

fonction logarithmique

_{dans re modère}

basé sur ra théorie des

dislocations.

B

_{t c P}

B

_{t D p}

B

B

_e

IB

b

I

IB

_o

IB

I

I I

-paramètre du modèle drrrwin en état de contrainte plane. paramètre du modèle drrrwin en état de déformation prane. constante _{qui dépend du matériau.}

épaisseur _{de ltéprouvette.}

matrice de passage _{de d lUr à de r.}

résistance associée à ra superdisrocation _{avant ra propagation.} résistance associée à ra superdisrocation _{correspondant au} char-gement d'amplitude constante.

résistance associée à ra superdisrocation _{après un incrément de} propagation correspondant au chargement dfamplitude variable.

C

exposant de la loi de MANSON_COFFIN. constante _{de lréquation de PARIS.}

constante _{de ltéquation d'ELBER} constante _{de Itéquation de CLERIVET} c

c

c l

CE

Cp _{: coefficient de retard du modèle de WHEELER}

l^ r.

-rcp'trcp't3cp

_{: paramètres}

_{du modèle}

_d'HUTCHINSON

en état de contrainte

plane.

1 r ' /

--tDp'ttDp't3Dp : paramètres

_{du modèle}

_dtHUTcHINSoN

en état de déformation

- -

plane.

CTOD : _{écartement de fissure} cToDoDP t

é"]tement de fissure avant I'application de surcharge en état de déformation plane.

croD;p '

:ï::ffi::î:j::"..

après

I'apprication

_{de surcharge}

_{en érat de}

croDs :

_déplacement

_{vertical seuil de non propagation}

du premier noeud

situé en avant de la pointe de la fissure.

CToDef : déplacement _{vertical donné par le calcul aux éléments finis.} croDd :

écartement à fond de fissure calculée par la méthode basée sur . la théorie des dislocations. (le saut du déplacement norm al au

poinr X).

d

o

D

o

D . D .

' l

D ,

e l

o o :

o.o

:

daldN :

(daldN)o

(daldN),

daldN/min

D

distance où il y a rraction de forces drattraction morécuraire. constante de lrordre de grandeur des modures érastiques _{du cristar.} dommage.

matrice dtélasticité.

matrice des modules drécrouissage. matrice élasto_plastique

vitesse de fissuration.

vitesse de fissuration correspondant au chargement monotone. vitesse de fissuration affectée par re rarentissement.

: _{vitesse de fissuration minimare obtenue après Irapprication} des surcharges.

f,

E I _{plodule drélasticité.}

Er = E _{i dans lrétat de contrainte plane.} = E/G-vz) ; _{dans lrétat de déformation plane.}

F

F

_{: le crirère de plasticité (le potentiel plastique).}

A F

Eo

3

patrice colonne

â F T

JË

:

matrice ligne, trar

rsPosee

de

â tr

t I V t

-F ( X )

d f r

f ( t ) , f ( L )

F

A t F

_p

G

8cp

8op

9DPma*

g (l), g(L,

fonction dans le modèle de Ma DELIN

vecteur représentant _{les forces nodales équilibrant les contraintes} et les distributions de charges.

fonction dans le modèle de KANNINEN force appliquée

incrément des forces "plastiques" sur resqueiles on itère jusqu'à stabilisation.

G

force de cohésion moléculaire.

paramètre décrivant la fermeture de fissure dans lrétat de contrainte plane.

paramètre décrivant la fermeture de fissure dans lrétat de défor_ mation plane.

valeur maximum de paramètre décrivant la fermeture de fissure dans l'état de déformation plane.

l) : _{fonctions dans le modèle de KANNINEN.}

H

h

:

paramètre

_{drécrouissage.}

h(X), h(Xr,X",Xr): composante

_normale

_{du déplacement.}

h (l)

:

_{foncrion dans le modèle de KANNINEN.}

Ht

:

_module

_tangente

_{de la courbe d'écrouissage.}

Hi

:

_{fonction dans le modèle basé sur la théorie des dislocations.}

H (X , Xr) :

fonction logarithmique

_{dans le modèle}

_{de Ma DELIN.}

H (u , v) :

fonction cosinus

hyperbolique

_{dans le modèle de M c. CARTNEy.}

Kr : _{coefficient de la loi drécrouissage cyclique.} K : _{facteur drintensité de contrainte.}

K, , K, : constantes _{de la relation dTELBER (U = K, * K2 R).} I llN

+

KI

K

m t n

K .

P l c

K

_ap

K I reo ième itération.

paramètre sans dimension du modèle dTHUTCHINSON.

facteur qui introduit d'émoussement _{dans le modèle de MATSUOKA}

f t = r ) .

facteur d'intensité de contrainte en mode I facteur drintensité de contrainte minimum

facteur dtintensité de contrainte correspondant aux pics de sur-charge.

facteur d'intensité de contrainte appliqué. facteur de réduction.

Kouu : _{facteur drintensité de contrainte à |ouverture de fissure.} Kr"* : _{facteur drintensité de contrainte maximale.}

Kf., : _{facteur d'intensité de contrainte correspondant à la fermeture.} (Krin).ç, _{: facteur drintensité}

,de contrainte minimum efficace du modèle de WILLENBORG.

(K _{) t}

facteur drintensité de contrainte maximum efficace du modèle max'eff

de WTLLENBORG.

A K 2 emplitude _{du facteur drintensité de contrainte} ( a K = K r " * _ K r i n ) .

^ Keff : _{amplitude du facteur dtintensité de contrainte efficace} ( oK.ff = Kr"* - Koru).

o Kpi. t _{emplitude du facteur drintensité de contrainte correspondant aux} pics de surcharge _{( ÂKpic _ Kpi. _ Krin).}

V I

-A K . f f ,

o K, i emplitude _{du facteur drintensité de contrainte au seuil de non} f issuration.

amplitude du facteur d'intensité de contrainte efficace du modèle de WILLENBORG.

_{( oK.ff* = ( Kr"* ).tt -(Krin).r, )}

A K.ff, 2 emplitude _{du facteur drintensité de contrainte efficace du modèle} de TAIRA ( oK"ff, = K"p - Kouu).

A Kt.S. : emplitude _{du facteur drintensité de contrainte pour un chargement} aléatoire du modèle deFUHRING.

a Keff

- . t amplitude du facteur drintensité de contrainte eff icace minimum. m l n

A K.ff*

, t amplitude du facteur dtintentisté de contrainte efficace correspon-'td'

dant à NO .

o Koru ? emplitude _{du facteur dtintensité de contrainte correspondant à} lrouverture de fissure.

k : constante _{caractérisant le domaine d'application du modèle} d I H R R .

ko

r , k or.t coefficients inversements proportionnels à Krr"* et aK2 k" : _{variable drécrouissage.}

K : constante qui dépend _{du matériau et de I'environnement.} L

position de superdislocation suivant le plan de glissement avant la propagation.

position de superdislocation suivant re plan de glissement après un incrément de propagation correspondant au chargement dram-plitude constante.

position du superdislocation _{suivant le plan de glissement après} un incrément de propagation correspondant au chargement drampli-tude variable.

M

exposant

_{de la loi de PARIS}

L

_o

M .

I

mr : exposant _{de la loi dTELBER} M : _{module d'écrouissage.} M- , ML: paramètres _{sans dimensions}

1 2 l

M, : _{nombre total des éléments finis.}

fonction dans le modèle basé sur la théorie des dislocations. N

nombre dtitération pour avoir la convergence. exposant de la loi drécrouissage cyclique. nombre des cycles.

Itinverse de I'exposant de la loi drécrouissage cyclique. nombre de cycles à rupture

nombre de cycles affecté par le ralentissement. nombre de pics de surcharge.

nombre de cycles nécessaires _{pour obtenir Ia rupture d'une} mini-éprouvette.

matrice d'interpolation. P

coefficient dans le modèle de Mc CARTNEY. charge. face extérieure.

a

facteur draccélération facteur du retard. n n l N N r Nf

Na

N

_p

N x

IN

Qa Q R

P

P

P ( X )

coordonnée polaire

VIII

-ro: : _{distance où il y a ltattraction moléculaire dans le modèle basé sur} le théorie des dislocations.

R : _{rapport de charge (R = Kn,'in / K^r*).} Rpi. : rapport de surcharge _{(R = Kpi. / K,n"*).} OO : taille de la zone plastique.

RË : _{taille de la zone plastique effective dans le modèle de STOUFFER.}

R

_ouv

R .

t e r

rapport de charge pour lequel il y a ouverture de la fissure. rapport de charge pour lequel il y a fermeture de la fissure.

S contrainte

déviateur.

matrice de rigidité élastique.

matrice de rigidité globale initiale (en domaine élastique).

matrice de rigidité élastoplastique _{globale, définie au début de lrincrément} de charge.

matrice de rigidité imposée par le ressort. matrice de rigidité drun élément.

R. : _{limite d'élasticité monotone.} R ' . : _{l i m i t e d ' é l a s t i c i t é c y c l i q u e .} R o , Ro : _{- o} l i m i t e d ' é l a s t i c i t é .

" r

In _{: réaction en pointe de la fissure avant libération de noeud.}

d lRo : _{incrément de toutes les forces qui stexercent en chaque noeud du} modèle.

d lR (d lU) : _{incrément de toutes les forces nodales.}

d lRreéq : _{forces quril faut appliquer aux noeuds de chaque élément en} dé-formation élastoplastique pour équilibrer la contrainte initiale ( d o . , ) . reeq'

S

s..

U

STIF

STIF.1

:

STIF , :

pl

STIF

_res

STIFC

u

U

U

_s

U

I

IU

Aru

d t u

d l U '

^ STIF

_{une forte matrice de rigidité.}

exposant.

U

variable de la fonction H (u,v). le taux drouverture de la fissure.

le taux dtouverture de la f issure'au seuil.

rapport des limites drélasticité monotone et cyclique. vecteur déplacement total.

vecteur des incréments des déplacements nodaux. incréments des déplacements de noeuds.

le déplacement des noeuds sous lreffet des incréments de forces qui srexercent en ces noeuds.

] U ( X r , X " ) , l U ( r , 0 ) : _{d é p l a c e m e n t h o r i z o n t a l e ( s u i v a n t}

I r a x e _{d e s X ) .}

V

Vo : _{vitesse de fissuration correspondant au chargement de référence.} Vrin : _{vitesse de fissuration minimale obtenue après I'application des}

surcharges (daldN/min).

v (x)' vr (x), v2 (x), v3 (x) : les composantes normales du déplacement le long du ,. plan de fissure

vurR '

ï"i::'ïJï;:j"',T"ïï:::,'J;:

_{ï ïï,::.p,an}

de fissura,ion

vo,u '

::j:,i:i:ïl

jï,ïïïï::

_ïî:i:

,ong

du

p,an

de fissura,ion

Veff (X) : la composante _{normale du déplacement efficace le long du plan} de glissement.

-x-V , -x-V (Xr , X2) ,-x-V (r ,O) : déplacement v e r t i c a l ( s u i v a n t _{l , a x e d e s y ) .}

d w

w m

o * c o

w m

_s

wc

_s

wf cp

wl op

wf cp

wf op

w

le travail par unité de volume par les contraintes lors drun accroissement _{infiniment petit de la déformation.}

taille de la zone plastique monotone courante taille de la zone plastique cyclique courante. taille de la zone plastique monotone de surcharge. taille de la zone plastique cyclique de surcharge.

taille de la zone plastique monotone courante en état de con-trainte plane.

taille de Ia zone plastique monotone courante en état de défor-mation plane.

taille de la zone plastique cyclique courante en état de contrainte plane.

taille de la zone plastique cyclique courante en état de déformation plane.

taille de la zone plastique monotone de surcharge en état de con-trainte plane.

taille de la zone plastique monotone de surcharge en état de déformation plane.

taille de la zone plastique cyclique de surcharge en état de con-trainte plane.

taille de la zone plastique correspondant au facteur drintensité de contrainte appliqué du modèle de WILLENBORG.

taiilê' de'la zone,plastique correspondant à un chargement aléatoire. X

distance à la pointe de fissure. largeur de la mini-éprouvette.

wÏcp :

wÏnp

wl cp

w

_ep

wl.s.

X

x x

c

Àx.

J X i ' X k

X n ' X n *

distance représentant _{lrémoussement de la pointe de fissure.} incrément de longueur de fissure dans le modèle de STOuFFER. paramètre du modèle de GLINKA (avec accumulation de dommage). valeur d'essai pour résoudre une équation non-rinéaire v(X) = o. la taille de zone plastique du modèle basé sur la théorie des dislocations.

taille de zone plastique correspondant _{à la surcharg" (oO;.).} taille de zone plastique correspondant _{à ra charge minimum ( o}

,in). taille de zone plastique correspondant _{à ra charge maximum ( o,"*).}

Z

variable

complexe

_{(Z = y + i y)}

contrainte locale. contrainte résiduelle.

intensité maximum de la contrainte résiduelle. contrainte moyenne.

contrainte correspondent aux pics de surcharge. contrainte minimum.

contrainte maximum facteur de réduction

contrainte correspondant à lrouverture de fissure

contrainte appliquée correspondant au point où il y a contact. contrainte de fermeture de fissure.

x g r ' x g A

xgz 'xgB

X g l ' X g c

z

o , o

r

fr

U

o ' 9

r

o m o _{plc '}. o m l n , o max , reo : I v " 2 '

r

U

' 3 v

o o ouv, c c l

X I I

-o

| ' o2 ' o^: _{contraintes principales à la pointe de la f issure.} 3

o _yy : _{contrainte normale'}

o,.t*' _{(X , o) : contraintes provenant des charges extérieures.}

v v

n f i s -

yy (X) : _{contraintes créées par la déformation provenant de la fissure.} o. _{: contrainte équivalente.}

o

r , oO , o r," _v : composentes des contraintes au voisinage de lrextrémité dtune fissure en coordonnée plane.

o

ô, , oô , oo : contrainte de friction. r 2 3

o T : matrice ligne transposée de la matrice colonne d o : _{incrément de contrainte.} d o reeq A o A o ct A o y ' Â o . prc

contraintes initiales dites de rééquilibrage. amplitude de contrainte.

amplitude de contrainte ultime. amplitude de la limite de contrainte.

amplitude de contrainte correspondant aux pics de surcharge. o%tt i _{emplitude de contrainte efficace}

o

f ' : coeff icient de résistance cyclique. o

r , oO, o. r paramètres sens dimension du modèle dTHUTCHINSON. e

e , e..3 déformation locale. U

e _ _r : d é f o r m a t i o n r é s i d u e l l e . e _m 3 déformation moyenne.

c e ô L A e A e A e

ô (x)

sDP

s

tcP

déformation équivalente. amplitude de déformation

amplitude de déformation dans la région Xx.

amplitude de déformation au seuil de non fissuration.

amplitude de déformation au seuil de non fissuration en état de contrainte plane,

amplitude de déformation au seuil de non fissuration en état de déformation plane.

amplitude de la limite élastique de déformation. amplitude de déformation élastique.

amplitude de déformation plastique.

constante numérique dans le modèle de KANNINEN. valeur de ductilité à la fatigue.

6

ouverture de Ia fissure mesurée à lraide drun capteur de déplacement au niveau de lentaille mécanique.

ltécartement de fissure calcurée par le modèle basé sur la théorie des dislocations.

lrécartement de fissure correspondant au rapport de charge dfouver-ture à la fissure (Roru).

lrécartement de fissure correspondant au rapport,de charge pour lequel il y a fermeture Rf...

amplitude de lrouverture à la pointe de fissure dans lfétat de con_ trainte plane.

amplitude de lrouverture à la pointe de fissure dans lrétat de dé_ formation plane. Â e n ^ e l A è A e P À e o I t f

ô

ouv

(x)

6

,., {x)

X I V

-O

,j

:

symbole

de KRONECKER

0,

cr : _{un paramètre qui dépend du matériau.}

o I : _{un paramètre qui dépend de lrécrouissage du matériau et la limite} d'élasticité monotone.

o " : un paramètre qui dépend de l'écrouissage _{du matériau et la limite} drélasticité cyclique.

d

r r d 2 : p a r a m è t r e d t a j u s t e m e n t .

o : est un coefficient déterminé expérimentalement. B

B : coefficient drentrave à la plasticité.

B ,, : _{paramètre lié à la déformation plastique avec la vitesse de}

char-U I

gement ( { ). o

p x : le rayon du fond drentaille. dX) , p ( E) : la densité des dislocations.

g

, (X): la densité des dislocations correspondant aux pics de surcharge. v

' "

(X) : la densité des dislocations correspondent à la contrainte minimum. v

P a (X) : la densité des dislocations correspondent à la contrainte maximum.

J v

E

:

vitesse

de charge.

X X : peramètre drécrouissage.

d X : _{incrément de paramètre drécrouissage.}

^ u

À\ _{: la déformation plastique cumulée} u , À : c o e f f i c i e n t d e L A M E .

0 : coordonnée polaire. 0

b : inclinaison de plan de glissement dans le modèle de KANNINEN.

v : coefficient de pOISSON.

Y , Q , Q z f o n c t i o n c o m p l e x e .

D

g ( e ' ) : f o n c t i o n .

I - INTRODUCTION

Tout constructeur doit constater, un jour ou lrautre lrapparition de défauts considérés _{comme des fissures dans un produit de sa responsabilité}

; leur découverte étant faite soit pendant la fabrication, soit lors drune inspection en ser-v i c e .

Après lrexpertise métallurgique _{et les contrôles destructifs ou non} des-tructifs, venant d'analyse mécanique, _{la synthèse de tous les renseignements} permet-tra de se prononcer sur les mesures à prendre :

Peut-on laisser en l'état ? Pour combien de temps ?

Périodicité des contrôles de suivi en exploitation de cette fissure ? Ou leur réparation immédiate ?

Donc, pour assurer la fiabilité drune structure, il est nécessaire de pré-dire sa durée de vie, en tenant compte du fait qurelle peut contenir des défauts, par exemple des fissures de fatigue.

Le calcul de la durée de vie en fatigue de structures, soumise à des chargements _{aléatoires nrest pas chose aisée. En effet, en raison de lrexistence} inin-terrompue de phénomènes _{transitoires, la connaissance des résultats d'amorçage et} de propagation de fissure de fatigue, sous chargement continu, nrest guère transpo-sable directement au cas des chargements réels. Le problème des chargements com-plexes est généralement _{étudié, en simulant sur des éprouvettes soit le chargement} réel préalablement _{enregistré sur des éléments de structures aux contraintes} signifi-catives, soit un chargement considéré comme équivalent (par exemple dans la métho_ de des blocs programmés). Toutefois, |étude de la fatigue aléatoire se heurte actuel-lement aux problèmes de la représentativité de ces chargements équivalents, à la complexité et au coût de la mise en oeuvre des essais.

Le présent travail est une contribution à la résolution de ce problème. Il est axé sur la nécessité de la connaissance _{précise des phénomènes transitoires} élémentaires _{et de leurs interactions.}

cette étude sera composée _{de trois parties, dans chaque partie :} - nous commençons _{par une étude bibliographique,}

- puis, nous proposons _{un modèle analytique dans la première partie,} une simulatlon basée sur la méthode aux éléments finis dans la deuxième _{partie, et un modèle basé sur la théorie des dislocations} dans la troisième partie,

- à la fin nous faisons la comparaison entre les résultats obtenus par Itintermédiaire _{de modélisation et de résultats expérimentaux}

obte-nus dans le cas stabilisé (un grand nombre de pics de surcharge, dans notre cas Np = 5o) pour justifier sa validité, dans le cas drun a c i e r E 36 Z.

2

-2 - PHENOMENOLOGIE

2.I - pqsg:æt_fon _{_dq_pjûg1Lène_de} rulchqrgs ;

Au cours drun essai de fissuration par fatigue, ltapplication drune ou plusieurs surcharges _{se caractérise, après avoir retrouvé les conditions de} charge-ment initial, par un ralentissecharge-ment ou un blocage (arrêt total) de la progression de l a f i s s u r e .

2.2. - D{lini!îon des caractérisligues :

Les paramètres essentiels qui jouent un rôle sur le retard ou blocage de la progression drune f issure sont généralement (Figur _{e z.ral z}

Rpic = rapport de surcharge,

Kmax = facteur drintensité de contrainte maximum, et Np = nombre de pics de surcharge.

Le phénomène de ralentissement est décrit à I'aide de cinq paramètres physiques _{(Figure z.rb et c) :}

Vmin = vitesse de fissuration minimale obtenue après ltapplication des surcharges (daldN/min),

"Vrin = longueur de fissure pour laquelle la fissure a atteint la vites-se minimale après surcharges, lrorigine étant prise au point de fin d'application des surcharges,

ai = longueur de fissure affectée par le ralôntissement, lrorigine étant prise au point de fin drapplication des surcharges, ed _{= longueur de fissure perturbée par les surcharges,}

Nd = nombre de cycles affectés par le ralentissement.

La figure z.r représente les conséquences de ltapplication de plusieurs surcharges sur la progression _{dtune fissure soumise à un chargement dont} ltamplitu-de ltamplitu-de la variation du facteur drintensité ltamplitu-de contrainte est constante :

- event I'application de la surcharge, le progression se fait à vitesse constante - après I'application de cette surcharge, le phénomène se traduit par :

x une accélération

* un ralentissement de la vitesse de progression de f issure jusqu'à une vitesse minimale atteinte pour la longueur avrin,

x un retour progressif à la vitesse initiale pour une longueur af; , x une phase de stabilisation.

ô K p i c

_ \ I _

aa/uru

N ( c y c t e s l V6

af

a v m i n N ( c y c t e s ₎ r a l e n t i s s e n e n t ô ( m m l F i g u r e 2 . 1 - : S c h é m a d e p r i n c t p e d u p h é n o n è n e d e

- 5

2.3. Çaureg_ dglLénofnène de ralentissernent

Les causes du phénomène _{de ralentissement} (blocage) _{drune fissure après} application de surcharge sont groupées en deux classes :

2 . 3 . 1 . P h é n o m è n e p r i m a i r e _{: l e s c o n t r a i n t e s r é s i d u e l l e s}

Les contraintes résiduelles _{sont la cause du ralentissement} (blocage) _de la f issure (expérience _{de Schijve IS])}

2 . 3 . I . I . _{O r i q i n e d e c o n t r a i n t e s r é s i d u e l l e s} Les contraintes résiduelles présentes _{dans le sillage de la fissure et la} zone plastique proviennent _{de la plastification qui se produit en fond de fissure au} chargement et au déchargement. _{Drune façon générale, ces contraintes résiduelles} sont des contraintes de compression près de la pointe de la fissure et de traction à une certaine distance en avant de celle-ci, et ceci pour une raison dréquilibre in-t e r n e .

2 . 3 . 7 . 2 . C a I c u I d e c o n t r a i n t e s r é s i d u e l l e s Deux cas de distribution sont

. Le cas dfune fissure idéale :

habituellement considérés :

Les calculs sont effectués en supposant _{que la fissure nravence pas et} qurelle nrest pas eccomPegnée _{de sillage plastique. Dans ce cas, toutes les} contrain-tes résiduelles sont localisées à lâ pointe de ra fissure.

Rice I r ] a montré ltexistence de deux zones plastiques à la pointe de la fissure de fatigue soumise à un chargement cyclique à amplitude constante dans

0 une zone plastique monotone dont la le suivante :

taille est donnée par la

formu-K

WT = -! ( -{ax-

_{O i T K}

1z

e

( z . r )

(z.zl

(r.r)

(2.+.)

où R. est la limite élastique pour un chargement à amplitude constante. 0 une zone plastique cyclique dont la taille est quatre fois plus petite

et donnée par la relatioh :

W c =

o

nt

(

+RL )z

e

h,+,

vient du fait que le chargement à

A K est lramplitude du facteur dtintensité de contrainte. Ceci pro-Iramplitude _{de variation de la contrainte passe 6s (+R.) pendant} (-R-) après le déchargement, _{e ' e} soit une anrplitude de z R^.

Dugda'le l, I

" considéré que le matériaux est rigide parfaitement plastique et que la zone plastique est confiné dans une bande étroite parallèle à la f issure. Il a proposé une formulation différente des relations donnée par Rice I r J (2.t.) et (2.2.) et qui srénonce (Etat de contrainte plane) :

m T

w

o 2

K

I m a x ) 2 ' R l e e t

W c =

o

. Le cas drune fissure réelle

La tendance actuelle est de faire intervenir dans les calculs I'histoire de la fissure par le biais du sillage enserrant le trajet de fissuration et de tenir compte du fait que la fissure avance.

7

-Plusieurs _{auteurs ont étudié la distribution des contraintes et des} dé-formations résiduelles _{dans le cas dtun chargement aléatoire par exemple Matsuoka}

I r r ] e t F i i h r i n g f g ] . C e s a u t e u r s o n t p r i s c o m m e b a s e le m o d è l e d e D u g d a l e l z] .

2 . 3 . 2 . P h é n o m è n e s e c o n d a i r e _{: l _ e c o n c e p t d e f e r m e t u r e}

Le concept de fermeture appliqué aux problèmes des surcharges peur expliquer aussi le phénomène de retard (blocage).

2 , 3 . 2 . t . O r i q i n u d u p h é n o m è

Crest à lfexistence des contraintes résiduelles de compression à la poin-te de la fissure de fatigue que I'on attribue le phénomène dit de fermeture. Ce der-nier a été mis en évidence per Elber If ]sur un alliage draluminium en montrant que la pointe drune fissure de fatigue peut se fermer avant que lteffort de traction ap-pliqué à lréprouvette ne sfannule. Ctest uniquement la partie du cycle où la pointe de la fissure est totalement ouverte qui participe à lrendommagement _{I crest} pour-quoi ce phénomène _{est souvent invoqué pour essayer d'expliquer I'influence de} cer-tains paramètres importants dans le domaine de fissuration par fatigue tels que la valeur maximale du facteur drintensité de contrainte (Kn,,.*), le rapport de charge (R), ltépaisseur de l'éprouvette, lfenvironnement _{et bien sûr les surcharges.}

MODELE E)(PLIQUANT

DE LA PROPAGATION

LIINFLI.JENCE DES SURCHARGES

STJR

LE RETARD

DES FISSURES

3

-3 . 1 . I n t r o d u c t i o n

La propagation drune fissure est influencée par de nombreux paramè-tres que lron peut classer en deux catégories I

les paramètres intrinsèques qui dépendent _{de la nature du matériau, tels le} modu-le d'Young , la limite dtélasticité, modu-les propriétés mécaniques cycliques et lfétat m icrostructural.

- les paramètres extrinsèques qui dépendent des conditions dressai, tels le nombre de pics de surcharges (Np), le taux de surcharges (Rpic), le rapport de charge (R), Ienvironnement, les dimensions de lréprouvette, etc.

Compte tenu de la multiplicité de ces paramètres, il n'est pas possible de les considérer en totalité au cours dtune modélisation. Certains paramètres intrin-sèques sont plus difficiles à introduire (propriétés mécaniques cycliques, état micro-structural) etc.

Dans le cas de la représentation de la progression dtune fissure en fonc-tion drun chargementdramplitudevariable, on fait généralement appel au concept de fermeture introduit par Elber I I ] , qui constitue directement les fondements de nombreux modèles. Au concept de fermeture de fissure associé aux contraintes rési-duelles, le phénomène dfémoussement _{de la fissure est souvent invoqué pour le} blo-cage mais aussi parfois pour les problèmes de propagation.

Dans une première partie, nous examinerons différents modèles choisis parmi les plus significatifs. Dans une deuxième partie, nous proposerons une modéli-sation qui permet de représenter analytiquement la fissuration sous chargement à amplitude constante après application de plusieurs surcharges.

9

-3.2. etyQg tiPtlgarqphique

3 . 2 . 1 . _{M o d à / e s . b a s é s s u r l e c o n c e p t d e f e r n e t u r e d e} f i s s u r e

3 . 2 . I . 1 . Eqpps,Ljg_ m o d è t e d ' E t b e r

C-omme _{nous lravons indiqué précédemment, la plus grande partie des} modèles _{est basée sur le concept de fermeture de fissure qui fut introduit par Elber} I I ] et que nous rappelons brièvement. Cet auteur a postulé qurune fissure ne pou-vait se propager que lorsqutelle était ouverte, il a mis en évidence, que les contrain-tes résiduelles voisines _{de la fissure, et notamment celles dans la zone plastifiée,} ont pour effet de maintenir la fissure fermée durant une fraction du chargement. La fraction du chargement _{durant laquelle la fissure est ouverte, est considérée comme} la partie durant laquelle se produit la progression _{de la fissure et il lui correspond} une amplitude ef f icace du f acteur dtintensité de contrainte À Keff .

Elber a proposé une loi de propagation des fissures dérivée de la loi de Paris :

:ft : c, o

Kllr

(r.r)

où cret m'sont des constantes qui dépendent du matériau. a v e c _{a K . f f = K r " * - Koru}

où Koru est le facteur drintensité de contrainte correspondant à lrouverture de la fissure.

Il est coutumier de caractériser Irévolution du facteur d'intensité de contrainte efficace ( a X.tt) à I'aide dtune normalisation par rapport au facteur drintensité de contrainte appliqué en introduisant le rapport U (où U est le taux

drouverture

de la fissure)

:

^ K .

r r -

- ' ^ e t f

A K

Draprès _{ses résultats expérimentaux sur}

h . 2 )

l e s a l l i a g e s

d r a l u m i n i u m ,

E l b e r

montre que :

U = o . 5 + o . 4 R _{( l . l )}

Cependant, _{cette relation nrest pas généralisable à dtautres matériaux} et drautres conditions dtessais. _{De nombreux auteurs ont montré en particulier que U} d é p e n d _{f o r t e m e n r d e l a v a l e u r d e K r " * lz I et [ 6r]}

3 . 2 . I . 2 . M o d è ] e d e T r e b u l e s

du facteur ge (Figure

Trebules

_{l+l ^ proposé}

le premier

un schéma

qualitatif de lrévolution

d'intensité

de contrainte

efficace après

application

d'un bloc de

surchar-3 . r ) .

--.---u m b e r o

y c l

e s ,

F i g u r e 3 . 1 : s c h é m a d e ' r r u b u r e s ln I montrant J,évolution du point d , o u v e r t u r e de fissure après surcharges.

c (ù J J (J o

a

I I

-La figure 3.r représente |évolution du point drouverture et la longueur de f issure en fonction du nombre de cycles. Lrévaluation _{du point dtouverture se} produit déjà durant I'application du bloc de surcharge (partie cD). Après retour au niveau initial du facteur drintensité de contrainte (point D), le point drouverture nrévolue _{plus pendant un certain nombre de cycles. Lramplitude du facteur} drintensi-té de contrainte efficace est plus faible, la fissure est donc ralentie (DE). Ensuite, le point drouverture _{et la vitesse de fissuration retrouvent lentement leur niveau} i n i t i a l .

Le modèle de Trubules ne permet pas de rendre compte des accéléra-tions après surcharge.

3 . 2 . I . l . M o d è I e d e S c h i . i v e

Schijve I S ] prédit |évolution du point d'ouverture après application drune ou plusieurs surcharges. _{Ce modèle est bas,: aussi sur la validité du modèle} d'Elber, accélération et décélération _{de la vitesse de fissuration sont liées dfune} fa-çon biunivoque à |évolution du point drouverture. Dtaprès Schijve, le blocage corres-pondant à 4K.11= O (Figure 3.2).

a - a

a c c e l e r a l l o n _{r e t a r d a t i o n}

it

nn/i

tr;/fi-i

r.li r,l"tI/

ii ii /\ n /i rrlr-/11

_r,,

_{ij i/ ir}

/ui/uuvrI\i\/vwv\n^À

6cL)r Ginr,, *ô K"f f = o F i g u r e 3 . 2 : I " I o d è l e d e S c h i j v " _{I S ]}

3 . 2 . 2 . U o ! è l e B b a e é g s u t I ' i n l e 1 a s t 7 o 4 d e e z o n e E p l a s t i f i é e s

3 . 2 . 2 . I . M o d è l e d e t a l h e e l e r

\lheeler I O ]

" proposé un modèle empirique qui consiste à introduire dans Ia loi de flssuration le rapport de deux zones plastiques _{(Figure l.l.)}

- la zone plastique monotone de surcharg" WÏ qui existe en fond de fissure. - la zone plastique monotone créée par le chargement initial pour une longueur de

fissure

"o, WT (qui aurait été créée si le chargement avait été d'amplitude cons-tante).

I

t l Wi - zor{E PLAsrtouE trۃLLc Wi - zo'. pr ^srrouE rrcr rv. m

ws

F i g u r e 3 . 3 . : M o d . è l e _{a e 4 i t e e l e r I A )}

La loi de fissuration srexprime par la relation suivante : d a _{î r d a r}

- l 2 -. J

où Cp est un coefficient de retard.

a v e c

c - = (

t Ë - , "

_{; q u a n d x . t v l . t v : t}

P wi-x

e t

C = r

_p

_{; q u a n d X . W T}

' W l

où d est un coeff icient déterminé expérimentalement, (da/dN)o , valeur de la vitesse initiale avant la surcharge, et (da/dN) , valeur de la vitesse après la surcharge.

Notons que I'effet d'histoire srévanouit _{pour C- = rr lorsque les deux} zones plastiques deviennent _{tangentes (Figure 3.3).} P

Les résultats de ce modèle ont été comparés avec des expériences _{I Z ] .} On peut tirer les remarques suivantes :

- le rapport des vitesses de fissuration avant et après la surcharge ne dépend pas uniquement du rapport Co des zones plastiques. ll dépend également des condi-tions dtessai. Le loi propôsée nrest donc pas intrinsèque.

- le paramètre C- ne tient compte que de lthistoire du chargement après la surchar-' p ge.

- le modèle nrexplique pas le retard différé.

- enfin, un tel modèle ne traduit pas lrexistence du phénomène de blocage des fissu-r e s .

3 . 2 . 2 . 2 . M o d è l e d e W i l l e n b o

Willenborg

I e ] t modif

ié le modèle

de Wheeler.

Il considère

une loi

de fissuration

_{du type (Figure 3.4a) z}

où Kr.d est un facteur de réduction qui lorsque la fissure progresse dans la zone plastique de surcharge pour un chargement _{donné est égal à (Figure f.+b) :}

avec

ou

da /-t n ,rlTll

ilru

= *- ^^effw

a Keffw = (Kr"*).ff - (Kmin)

eff

( K

_{) . . = K}

- K

_,

m a x 'e t r

m e x

r e o

( K * i n )eff = Krin - Kr.d

W = W m - a

_{a p s r}

(r.s)

( 1 . 6 )

b.za)

(l.zb)

.t K"p est le

zone plastique

K , = K - K reo ep mex

facteur d'intensité de contrainte quril faudrait appliquer pour que la W^- correspondante vienne tangenter celle due à la surcharge Wl :

a p e s

K

W - - = r 1 - - æ P

_{a P r * .}

Quand la zone monotone courente vient tangenter la zone plastique de surcharge, il n'y a plus de retard. La vitesse est alors déterminée en utilisant une courbe de fissuration établie pour un chargement à amplitude constante. Remarquons aussi que le modèle de Willenborg n'explique pes le retard différé.

r 5

K

K

_ap

K r " *

l W y l

. w . p l l- --r,- i

/94 .,i

F i g u r e 3 . 4 : _{t f i o d è l e d e T t i l T e n b o r g I a ]} t . 2 . . 2 . l . M o d è I e d e F û h r i n q

Fiihring [ 9 ] étudie la distribution des contraintes et des déformations résiduelles _{dans le cas drun chargement aléatoire. Il part du modèle de Dugdal.[ , ] i} ce qui conduit à considérer que le matériau est rigide et parfaitement plastique et que la zone plastique est confiné dans une bande étroite parallèle à la fissure. Le calcul e été effectué sur une plaque de longueur inf inie soumise à un état de contrain-te plane qui est bien représentatif de l'état plastique limicontrain-te confiné .

Fiihring a remarqué une série de discontinuités dans l'état de contrain-tes résiduelles qui correspond aux frontières des différencontrain-tes zones plastifiées. Ces discontinuités constituent draprès lui I'effet de mémoire dû aux différents charge-ments. A partir de ces observations, il propose une nouvelle formulation de la loi

de progression _{de la fissure pour un chargement aléatoire :}

:fr = Ç oKil.s

lrindice L.S. indique quril sragit drun chargement à amplitude aléatoire.

o*r.r. =

_{QR' Q"' AK}

( 1 . 8 )

(l.s)

o,, QR est le facteur du retard,

et Qa, le facteur draccélération (que I'on néglige dans le cas d'application drun seul pic de surcharge).

Fiihring pose que le facteur du retard est proportionnel à la racine carrée du rapport des zones plastiques monotones correspondant respectivement à un chargement _{aléatoire Wr.5. et à un chargement sous amplitude constante Wf,et} fonction du rapport de chargement :

et

rF...-, \ \ / w t . s . / rF...-,

q n = V Ë /

_{( r - R); si R ào}

o l ; s i R S o

3.2.3. llogfèf eg ô.qég sur te_concept_dg legn9tyr9 le {i gsgrg e t_I, in t9r a c t i o n_de s _z o ne s j I as t i_ t !é 9s 3 . 2 . 3 . I . M o d è I e d e C l e r i v e t

Clerivet I ro ] a proposé

un modèle

pour calculer les nombres

des

cy-cles NO après surcharges.

Ce modèle

_{est basé sur des résultats expérimentaux.}

_{Il a}

t 7

-supposé que la vitesse de fissuration est de type Elber :

-@-

= c- . ^Kï,

(3.ro)

d N - " E - - - e t t

a v e c C E = C . U t

oir U est la constante dtElber (l'évolution de lrouverture de la fissure), et C, m sont les constantes de la loi de Paris. U, C et m sont déterminés à partir drun essai de fissuration à rapport R nul.

Après application d'une surcharge, Clerivet a supposé que la relation (3.ro) reste vraie, mais le rapport U devient une fonction de la longueur de fissurt- ' jusqu'à atteindre sa valeur avant surcharge (valeur constante), au moment oir la fis-sure sort de la zone perturbée.

Pour calculer le nombre de cycles NO après surcharges il intègre numériquement la relation (3.ro) par la méthode de Simpson :

d N = d a

( 3 . r r )

cE . ^ Knlf

où les bornes initiales d'intégration étant supposées connues, et les bornes finales d'intégration sont déterminées per la connaissence de a*O (la longueur de fissure correspondant à Nd).

Clerivet se base sur le modèle de Wheeler | 6 ] pour calculer la taille de la zone plastique cyclique de surcharge (en état de contrainte plane) :

( 3 . r 2 )

e

Il trouve :

" N d = a o * W !

Clerivet a calculé les bornes d'intégration dans deux zones suivant le plan de propagation _{de la fissure :}

- dans le cas ou X = Wc

L a b o r n e in i t i a l e e s t  K e f f m i n

et la borne finale est a KeffNd , ce qui correspond à la valeur de ÂK.ff à

" N d = â o * W c - dans les cas oir X < Wc

La borne initiale est touiours AK ".- _{e t l m r n}

et la borne finale demande la connaissance de la variation : 0 soit de U

0 soit de  K.11 entre ao et a*6 où :

 Keff =

z

-t l,

^KeffNd - aKeffmin

v'F

_s

) . X + a K e f f m i n

2

( r . r r )

On remarque que lthypothèse _{de Clerivet pour déterminer les nombres} des cycles Ndpar la relation (3.rr), reste à vérifier à cause de lfexistence de z re-l a t i o n s p o u r c a re-l c u re-l e r U ( C r = ç U m et AK.11 = U.AK ?).La rere-lation (f.rf) égare-lement nécessite _{que lron identifie par I'expérience les quantitér A K.ffrin .t ÂKeffNd.}

3 . 2 . 1 . 2 . M o d è l e d e M a t s u o k a

Matsuoka I t t ] étudie la distribution des contraintes et des déforma-tions résiduelles dans le cas drun chargement aléatoire. Il part du modèle de Dugdale

rJ;"":"[::iJ:,ï:ï:îî"'ïïff":i":ff

_{:'Jl]ï1ilsd'".ï"0i"",}

pendant et après surcharges est donnée par la Figure3.5. Les relations entre les dif-férentes zones plastiques _{sont alors les'suivantes :}

wm

o

wm

_s

w:

- 4 - 4 I 9 -W: avent la surcharge_o

\vm

_o pendant la surcharge W m = W m s o

( t . r + )

( t . r

_{s )}

I 4

Lorsque lron retrouve le chargement initial, la zone plastique monotone devient 4 fois plus petite que précédemment. Ce résultat est lrinverse du résultat obtenu avant I'application de la surcharge.

Dans le cas oir la fissure progresse, le rapport des zones plastiques cy-cliques et monotone tend progressivement à passer du rapport t/4 au rapport 4/r.

F i g u r e 3 . 5 : S c h é n a i l l u s t r a n t - Z e s t a i l l e s d e s z o n e s p l a s t i q u e s e t l a d j s -t r i b u -t i o n d e s c o n t r a i n t e s r é s i d u e T f e s a v a n t ( a ) , p e n d a n t ( b ) - -e t a p r è s s u r c h a r g -e ( c , d , -e ) , d ' a p r è s I e n o d è | e d e M a t s u o t a [ Z f ]

urt.3tr -(r - ro)

Matsuoka _{a imaginé de remplacer I'influence des contraintes résiduelles} par une séquence _{de chargement équivalente (Figure 3.6)}

F i g u r e _{3 ' 6 : s c h é m a d u chargenent équtvalent}

d a n s l e m o d è l e de MatsuoraI r-r]

On retrouve la distribution du chargement initial à une distance équi-valente de 1.5 fois la zone plastique monotone courante wf, . Cette longueur corres-pond à la longueur affectée, si ce modèle était vérifié.

Matsuoka a suggéré que lraugmentation momentanée _{de lramplitude de} charge au cours de la fissuration par fatigue entraîne un émoussement de la pointe de la fissure. Le nombre de cycles Nd correspondrait alors au nombre de cycles né-cessaires pour que la fissure émoussée retrouve sa forme géométrique initiale. Ce phénomène _{drémoussement}

existe, mais sur une longueur de fissure très faible en comparaison _{de la longueur de fissure aO.}

2 I

-Cette méthode a été utilisée par Matsuoka pour en déduire un charge-ment équivalent sans contraintes résiduelles.

Ce chargement _{varie de façon linéaire avec lraccroissement de la} fissu-re et conduit à une évolution de U de la forme :

U = r - 11.

(fu"

+

). X ; pour

osx s evmin

( 3 . r 6 )

u = 11. -x-^

_od

_*

_{; pour avmin}

_{S X :< aox}

_h-ry)

lrexistence drun émoussement immédiatement _{présente après surcharge qui srintroduit} p a r l e f a c t e u r 1 l d " n t l e s f o r m u l e s (3 . 1 6 ) et 3.ry) ( t = r).

Dans lrexpression (1.r6), avnrinreprésente la longueur pour laquelle le minimum de U est atteint et afi la longueur pour laquelle ce rapport a retrouvé sa valeur normale.

Dans le cas drun taux de surcharge (*o,.) égal à 2, ces considéré par Matsuoka, le concept de chargement équivalent conïuit à :

"vrin=

o'53 w:

af, = t'5 w:

( 3 . r 8 )

( l . r s )

Lrintérêt supplémentaire du modèle de Matsuoka est qutil présente la possibilité de décrire le cas des surcharges'multiples. Lrauteur e postulé que Iteffet de surcharges _{multiples pouvait être décrit à partir de lrévolution de la limite} drélasticité du matériau au cours du cyclage mécanique.

Les relations (1.16) et (l.rz) sont alors modifiées en introduisant le rapport (Re/Ret), des limites drélasticité monotone et cyclique et le taux de

sur-R sur-R .

U = r -

- - l . P r c -

1 |

' * . '

" v r i n

*.o r' X ; pour oS X s aumin

(3'zo)

charse R . ._plc

1 . 2 . 3 . 1 . M o d è I e d e T a i r a

Ta'ira i r3 ] a déterminé expérimentalement la distribution des contrain-tes résiduelles _{o. (X) à la pointe de fissure à lraide d'une méthode de rayonsX, et a} calculé le facteur drintensité de contrainte qui lui correspond selon une formulation du type Green :

g.zz)

Ce qui lui a permis de déterminer ltamplitude efficace du facteur dtin-tensité de contrainte :

I

A Keff, = K"p - Koru

oo *"0 représente _{le facteur drintensité de contrainte appriqué.} et

R . R .

U = r -

€ - , P l c

2 t ( ' e

( r - Ë )

_{; pour}

"Vrin

< X s

a *_d ( 3 . 2 r ) K = 2 ouv 1T o r ( X ) d X - X

Les résultats expérimentaux représentés _{sur la Figure 3.7 montrent} que cette distribution de contraintes résiduelles est une distribution de contraintes de compression. _{Son intensité est inférieure à celle prévue par la solution de Rice}

I r ] , et qu'approximativement _{cette distribution est linéaire en fonction de la} dis-tance à la pointe de fissure. Cette distribution peut se mettre sous la forme :

h.zt)

b-z+)

( X ) = o o

r r

o o

_t_

..,c " s . Â a - o or

. X

\vc

s

où

": est lrintensité maximale, A a est lrincrément dfavancement de la f issure et X est la distance au-delà de la pointe de fissure. Les contraintes résiduelles s'an-nulent pour la distance W! eui correspond à la taille de la zone plastique de sur-charge ,

E F or ! o - 2 3

o5

d e

t.o

f i s s u r e _{X , m m} o ^l .-1 o n . F i (n o t{ o P -c o É{ +J c o

0

p r o l o n g e m e n t F i g u r e 3 . 7 : D i s t r t b u t i o n _{d e s} r a g o n X parIaira r é s i d u e l l e s d é t e r n i n é e p a r valeur d. Kouu ,

).G

' î ' : : î ' " : " ' Lrintégration _{de (l.z+) conduit à la} K o r u = 2 " Æ ' ?T

o . o ( r

_ e2 A

l \ v c

- S

G.zs)

h.za)

Dans ce modère, rrévorution du rapport _{u est représenté sur ra Figure} 3'8' il décroit après lrapplication de la surcharge _{comme rrindique}

lrexpérience _pour remonter ensuite' Le minimum est atteint pour _{une progression}

de fissure égare à la moitié ae W! er correspond à la valeur :

4 o . o

l Æ -

_s

i P o u r  a = 1 Y c 7 "

s o l u t i o n \ d e R i c e ()-- '\ i " A p r è s , / 6 a / 1 o 1 p i c

I

_{*[t1Â "}

5

*r,t. i o r70o

o. .tt(tgznn2,) q, '?8

I

U = f ( a )

e : S ! ! g J . _ :

E v o l u t i o n du rapport U selon le nodèLe _{d . e Taira Il:]}

3 . 2 . 3 . 4 .

l 4 o d è l e d e S u n d e r

Sunder it+ ]

"

postulé une évolution du point drouverture

_{dans le cas}

particurier des chargements

_"haut-bas,,

_{et ,,bas-haut,'.}

cette évolution représentée

s u r l a F i g u r e 3.9 est formulée de la façon suivante, - - - v v v r u u r v r r r t - cas de chargements ',haut_bas,, _{( a àar; .}

K o r u = K o u u r * Â K o u " exPt-q2 (a-ar)) - cas des chargements ,,bes_haut', _{(a 2 ar) :}

K

--ouv = Kouu, * ÂKoru exp ( -a "

(a - a") )

g.z6)

2 5

-!J i at<"rr

F i g u r e 3 . 9 : E v o L u t i o n J e c a s des d e f r s s u r e _{s e ] o n l e n o d è l e} c h a r g e m e n t s , ' h a u t bas,, ( a )d e S u n d e r I t n l e t " b a s h a u t , , ( b )d a n s Sunder a considéré _{que lrévolution des forces de fermeture se faisait} exponentiellement _{jusqurà la valeur}

coefficients o, et o, sont définis _,T::", relative au deuxième chargemenr. Les 0 = K o , _- K o "

r -

- r i l

i o ' = - n 7 z -

( 3 ' 2 8 )

où K or et K o, sont les coefficients de proportionnalité.

sunder a précisé que ce modèle peut être étendu au cas des

surchar-ges multiples. pour tenir compte du rapport de charge

_{R, ir propose}

_drutiriser

_ra

r e l a t i o n d r E l b e r

_{I l ] ,}

u = K r + K ,

_R

où K, et K, sont des constantes.