• Aucun résultat trouvé

ASPECTS CLASSIQUES ET ASPECTS RÉCENTS DE LA THÉORIE DES DÉFAUTS

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "ASPECTS CLASSIQUES ET ASPECTS RÉCENTS DE LA THÉORIE DES DÉFAUTS"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

HAL Id: jpa-00217479

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00217479

Submitted on 1 Jan 1978

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

ASPECTS CLASSIQUES ET ASPECTS RÉCENTS DE

LA THÉORIE DES DÉFAUTS

M. Kléman

To cite this version:

(2)

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C5, supplément au n" 8, tome 39, août 1978, page C5-23

ASPECTS CLASSIQUES ET ASPECTS RÉCENTS DE LA THÉORIE

DES DÉFAUTS

M . K L É M A N

Université Paris-Sud, Physique des Solides Bât. 510, 91405 Orsay, F r a n c e

Résumé. — Dans cet exposé, nous donnons un aperçu de la théorie des défauts ; ses aspects clas-siques (théorie classique des dislocations, processus de Volterra, etc.) ; ses aspects récents (théorie de l'homotopie, variété des états internes, etc.). Ces différents concepts sont comparés.

Abstract. — In this talk" we give a sketch of the theory of defects : its classical aspects (classical

theory of dislocations. Volterra processus, etc.), its recent aspects (homotopy theory, manifold of internal states). These different concepts are compared.

La théorie des dislocations est sans doute un des • domaines de la physique où les aspects géométriques jouent un rôle déterminant. L'objet de la

cristallo-graphie est le cristal parfait, formé d'un motif atomique répété dans les 3 dimensions, défini par son groupe de symétrie H. Fille de cette science, la théorie des dislocations étudie le cristal imparfait, c'est-à-dire le cristal réel, où l'on a su reconnaître que les défauts plans, linéaires, ou ponctuels, sont liés à des cassures spécifiques de la symétrie. On doit attacher à cette démarche décisive les noms de G. Friedel [1] (pour les défauts plans dans les cristaux solides), Orowan [2], Polanyi [3] et Taylor [4] (pour les lignes dans les cristaux solides) etc.. Les défauts ponctuels liés à la

symétrie (nous ne parlons pas ici des lacunes et des intersticiels bien connus des physiciens du solide) ne sont compris que depuis plus récemment. Ces auteurs sont d'abord motivés par l'exigence de l'expli-cation des propriétés plastiques des métaux. Leur analyse s'appuie cependant à la fois sur ces considé-rations de symétrie, étendues, avec Burgers [5], à de véritables considérations de topologie. Les cristaux -solides mettent en jeu essentiellement des cassures des symétries de translation ; avec les cassures des symétries de rotation, que l'on rencontre dans l'étude des défauts des cristaux liquides (nématiques, smectiques, cho-lestériques), des systèmes de spin (ferromagnétiques, hélimagnétiques, ...), des milieux de Cosserat (3He,

milieux où le paramètre d'ordre est un ou plusieurs trièdres), l'analyse géométrique et topologique devient une nécessité vitale : G. Friedel [6] est le premier à lier k

clairement symétries et défauts dans les cristaux ' liquides; dans son analyse classique, il remonte des défauts observés (par microscopie optique !) aux symétries cristallines. Plus récemment, il faut citer dans la même veine les noms de Frank [7], Nabarro [8], et J. Friedel [9].

La description classique des dislocations (défauts linéaires) s'appuie sur un modèle de fabrication de ces défauts à partir du cristal parfait, le processus de

Volterra (P. V.), qui permet de classer les dislocations

selon les divers éléments de symétrie du groupe cristallographique H. Un avantage, peut-être insuf-fisamment reconnu, de P. V., est qu'il définit les condi-tions aux limites du calcul des déformacondi-tions (distor-sions et gradients de rotation) qui accompagnent l'introduction d'une dislocation dans un milieu parfait. Cela est bien connu pour les dislocations de trans-lation : la méthode a d'ailleurs été créée par Volterra lui-même pour décrire Yétat naturel d'un solide élastique amorphe obéissant à la loi de Hooke, c'est-à-dire un solide élastique libre de toutes forces appliquées, mais à l'intérieur duquel les déplacements élastiques peuvent présenter certaines singularités. Mais, sous cette forme, l'application de P. V. à la description des solutions singulières de l'élasticité reste limitée aux dislocations de translation et de rotation mettant en jeu des déplacements infinité-simaux. On reste alors dans le domaine de l'élasticité linéaire, pour laquelle certains théorèmes (Wein-garten [11]) justifient la méthode de Volterra. Il est cependant possible d'élargir le processus de Volterra à des déplacements finis [12]). Une autre raison qui conduit à donner à P. V. une place importante est qu'il peut aisément s'étendre à la description du

mouvement des défauts.

En résumé, le processus de Volterra se distingue par le contenu physique qu'il apporte à la théorie des défauts. Il est cependant limité aux dislocations, et encore certains types en sont-ils exclus. Les modifi-cations apportées à P. V. pour inclure ces cas, ainsi que des défauts de dimensionalités différentes, deman-dent l'introduction d'un concept très fructueux, celui de densité de dislocation [13, 14]. Mais alors les

(3)

priétés géométriques qui font des défauts des objets topologiques sont entièrement dissimulées. Le mérite des méthodes de topologie algébrique est justement de fournir un cadre conceptuel permettant une classi- fication des défauts à toutes les dimensionalités, et recouvrant les cas de dislocations mal décrits par P. V. Dans ses aspects récents, la théorie des défauts utilise plus spécialement les méthodes de la théorie de l'homotopie [15]. Cette théorie a déjà été utilisée en physique, mais dans des domaines fort différents :

classification des monopoles magnétiques de t'Hooft

topie des groupes d'homotopie n,(V) (points singu- liers, r = 2 ; lignes singulières, r = 1 ; surfaces singu- lières, r = O ; les « kinks » ou solitons topologiques correspondent à r = 3).

Une propriété propre au groupe

IZ,(V)

est qu'il peut être non abélien

(n,(V)

et n,(V) sont nécessairement abéliens). Y correspondent les faits que :

a) Certaines lignes de dislocations ne peuvent se croiser sans créer un segment qui les joint (ce segment appartient à une classe de commutateurs de Il, (V) [25, 261) :

-. J I 7

[16] et Polyakov [ I l , ciassificati~n dei instantons du b) Le déplacement d.une ligne autour autre groupe de jauge LI8]. les travaux plus peut changer sa d'homotopie Ces propriétés anciens, véritablement d'avant-garde, de Finkelstein étaient connues auparavant [27, 281, mais sans être sur les " kinks )) [l9i, a donné un prolon-

rattachées à la par classes d7homotopie. gement d?cent [201 (étude des a kinks )) du

Enfin la classification par P. V. peut être rapprochée

magnétique d'un plasma non résistif). Tous ces aspects

de =lie par n,(V) en remarquant à chaque sont développés par [211 dans sa con élément du groupe

n

,

(V)/D correspond une opération rence. bien déterminée de P. V., où D est le sous-groupe de

Le concept fondamental en théorie des défauts par n,(V) contenant les classes de commutateurs. les groupes d'homotopie est celui de variété des états

internes-v [19-231. V est l'orbite G/H, où G est le groupe de symétrie des lois physiques (pour les cris- taux, G est le groupe euclidien E (3)), H le groupe

cristallographique [24]. A tout point de V correspond

une orientation et position particulière du milieu parfait dans l'espace : l'action de G consiste en une rotation et une translation qui amène le milieu parfait en un état physiquement équivalent. Si le milieu est imparfait, il correspond aux divers points réguliers du cristal, différents points sur V ; on ne peut établir une telle correspondance pour les points singuliers du cristal situés à l'emplacement des défauts. On montre que ceux-ci se classent selon les classes d'homo-

Dans cette conférence, on présentera successivement un certain nombre de définitions et de propriétés relatives aux deux descriptions (ancienne et récente) des défauts dans les milieux ordonnés. Les principaux concepts de la première partie peuvent être trouvés en [8] et [12] ; les références [22-251 se rapportent aux concepts de la deuxième partie. [29] donne un exposé détaillé de l'application des méthodes d'homotopie aux nématiques, cholestériques et phases de 3He. On trouvera en [30] un tableau donnant la classifi- cation des défauts (dimensions O, 1 et 2 pour les princi- paux milieux ordonnés tridimensionnels). [3 11 est une référence générale couvrant la totalité du sujet.

Bibliographie

[I ] FKIEVI L, G., Leçons de C r ~ ~ t ~ l / / ~ ~ ~ ~ l ~ > h l ( ' r u ~ h i (Hermann, I'aris) 1911.

[2] OROWAN, E., Z. Phys. 89 (1934) 634.

[3] POLANYI, M., Z. Phys. 89 (1934) 660.

[4] TAYLOR, G . I., Proc. R . Soc. A 145 (1934) 362.

[5] BURCERS, J. M., Proc. K. Ned. Akad. Wet. 42 (1939) 293.

[6] FRIEI>EL, G., Ann. Phys. 18 (1922) 273. [7] FRANK, F. C., D ~ C U S S . Faraday. Soc. 25 (1958) 1.

[8] NABARRO, F. R. N., Theory of Crystal di.~locutions (Oxford

Univ. Press) 1967.

[9] F R I E V ~ L , J., dislocation.^ (Pergamon Press, Oxford) 1964.

[IO] VOLTERKA, V., Annales Ecole Norrn. Sup. 24 (1907) 401.

[I 11 WEINGARTEN, G., Atti Accad. Naz. Lincei Rc. (5), 10 (1901) 57.

[12] FRIEDEL, J., FRANK, F. C. et KLEMAN, M., en préparation.

(131 NYE, J., .4cta MetaIl. l(1953) 153.

[14] KROENER, E., Kontinuums theorie der Versetzungen und &@en-

spannungen (Springer-Verlag, Berlin) 1958.

[15] STEENROD, N., The Topology offîber bundles (Princeton Univ.

Press) 1957.

Hu, S. T., Homotopy theory, Acad. Press., 1959.

[16] T'HOOFT, G., NUCI. Phys. B 79 (1974) 276.

[17] POLYAKOV, A. M., J.E.T.P. Letr. 20 (1974) 194.

(181 BELIAVIN, A., POLYAKOV, A. M., SCHWARTZ, A. S. et TYUP-

KIN, YU. S., PhYs. Lett. 59B (1975) 85.

[19] FINKELSTEIN, D., J . Math. PhYs. 7 (1966) 1218.

(201 FINKELSTEIN, D. et WEIL, D., prétirage de I'Univ. Yeshiva,

N.Y. (1977).

[21] TOULOUSE, G., ce J . Physique Col(oq. 39 (1978).

[22] RWLJLA, D., Trenh in application of pure mathematics to

mechanics, édité par G . Fichera; Pitman Publ. Co, 1976.

(231 TOULOUSE, G., KLEMAN, M., J. Phys. Lect. 37L (1976) 149.

[24] KIEUAN, M., MICHEL, L. et TO~JLOUSE, G., J. Physique Lett.

38 (1977) L-195.

[25] KLEMAN, M., J. Physique Lett. 38 (1977) L-199.

[26] POENAKU, V., TOULOUSE, G., J . Physique 38 (1977) 887.

1271 FRIEDEL, J. et KLEMAN, M., in Fundamenral Aspects of Dislo-

cations Theory, J . A. Simmons, R. de Witt et R. Bul-

lough, Eds, Nat. Bur. St. U.S. Spec. Pub. 317, 1 (1970) 607.

[28] DE WIT, R., J. Appl. Phys. 42 (1971) 3305.

BOULIGAND, Y., J. Physique 33 (1972) 525, 715; 34 (1073)

603, 101 1 ; 35 (1974) 959.

[29] VOLOVIK, G. E. et MINEEV, V. P., Prétirage de l'Institut Landau

(Chernogolovka).

[30] MICHEL, L., Prétirage de I'IHES, Conférence donnée au

VIth International Colloqiwn on Croup Theoretical Methods in Physics, Tubingen (1 977).

[31] KLEMAN, M., Points, Lignes, Parois dans les Solides Crisrullins

et les Fluides Ani.sotropes (Editions de Physique, Orsay)

Références

Documents relatifs

Pour saisir le sens de cette évolution, il est utile de faire un petit peu d'historique, et en particulier de comparer l'évolution de la théorie des réactions

FRANCOIS LEGRAND Docteur, Université Caen Normandie Co-directeur de thèse Mme ANNA CADORET Professeur des universités, IMJ-PRG Président du jury. Thèse dirigée par BRUNO DESCHAMPS

nombre d’états conventionnel. Nous allons voir pourquoi l’inverse de la probabilité moyenne géométrique est une notion plus utile que-l’inverse.. de probabilités

théorie ne tient pas ainsi compte du fait que, en particulier dans un champ cristallin, les orbites d sont de divers types, mais, sans cette simplification,

Les coordonnées particulières utilisées s'inspirent des coordonnées isothermes de De Donder et Darmois; mais leur succès n'est que partiel : alors que, sur une variété

Il y a par conséquent, en chacun des points, perte de '——— A ———) régions, toutes limitées, résultat qu'on obtient en remplaçant m par n — i.. Mais, au delà, ce nombre

(1) Se rend-on bien compte de l'énergie et du mépris de l'opinion que cela nous demandait déjà? D'ailleurs les recherches furent commencées pour d'autres directions

L’effet de projeter le hamiltonien sur une bande précise n’est pas une opération anodine, et nous verrons par exemple que la réponse magnétique orbitale d’un modèle de cristal