Solution de l’exercice I

E^XAMEN — lundi 4 janvier 2010, salle A400 Durée de l’épreuve : 3 heures

Ce sujet, de 3 exercices indépendants, comporte 1 page.

B Portables et calculatrices strictement interdits.

B Polycopiés, notes personnelles et livres autorisés.

Ï Le barême est donné à titre indicatif et est susceptible de varier.

Ï Aucun raisonnement vague ou insuffisant ne sera pris en compte par le correcteur. Toute question où les notations de l’énoncé ne seraient pas respectées se verra attribuer la note zéro. Enfin, il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’évaluation de la copie.

Exercice I

Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction f:R→R

x7→f(x)= x² ln(x²)−1 en répondant aux questions suivantes :

1. [1 point]domaine de définition

2. [1 point]comportement aux extrémités du domaine de définition 3. [3 point]extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations 4. [1 point]comportement en±∞(recherche d’asymptôtes)

5. [1 point]graphe

Exercice II

Soitf:R→Rune application définie par

f(x)=







x³cos_x¹, six>0, 0, six=0, x³sin¹_x, six<0.

1. [2 points]f est-elle continue enx=0 ?

2. [2 points]Calculerf⁰(x) pourx6=0. En déduire l’équation de la droite tangente àf enx=¹_π. 3. [2 points]f est-elle dérivable enx=0 ?

4. [2 points]f est-elle de classeC¹(R) ?

Exercice III

1. [1 points]Déterminer le développement limité de la fonctionf(x)=e^x−1+sinx−2x−^x₂² en 0 à l’ordre 4.

2. [3 points]Déterminer le développement limité de la fonctiong(x)=(1+sinx)^1x en 0 à l’ordre 2.

3. [2 points]Déterminer le développement limité asymtotique en−∞et en+∞de la fonction`(x)= x x−1

px²+1 à l’ordre 1.

4. [1 point]Déterminer le développement limité de la fonctionh(x)=_(1+x)^lnx2 en 1 à l’ordre 2.

5. [2 point]Calculer la limite lim

x→0

³1

x−_ln(1¹_+x)´ . 6. [1 points]Calculer la limite lim

x→0

sinx(tanhx−x)

ln(1+x) . (Rappel : tanhx=^e_e^xx−e_+e^−x−x.)

Vous avez tout fini bien avant les 3h ? Tant mieux ! Vous allez donc avoir le temps de vérifier la cohérence de vos résultats, d’améliorer certains rédactions, d’entourer vos conclusions. . .et surtout vous avez le temps de revenir sur une éventuelle question

que vous avez abandonnée et y réfléchir jusqu’à ce que vous trouviez. . .car un demi-point de plus ou de moins, cela vous donne l’examen ou pas.

Solution de l’exercice I

La fonction est paire,i.e. f(−x)=f(x) : on étudie donc seul la fonctionf⁺restriction def àR⁺. 1. Domaine de définition de f⁺:il faut

(ln(x²)−16=0 x²>0 donc

Df⁺=]0,p e[∪]p

e,+∞[.

2. Comportement de f⁺aux extrémités du domaine de définition : lim

x→0⁺f⁺(x)=0⁻, lim

x→(p e)⁻

f⁺(x)= −∞, lim

x→(p e)⁺

f⁺(x)= +∞, lim

x→+∞f⁺(x)= +∞.

3. Extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations de f⁺:la dérivée def⁺est l’application (f⁺)⁰:Df⁺→R

x7→(f⁺)⁰(x)=2x(2 lnx−1)−x^{2 2}_x

(2 lnx−1)² =4 x(lnx−1) (2 lnx−1)² DansDf⁺on a

(f⁺)⁰(x)>0 ssix∈]e;+∞[, (f⁺)⁰(x)=0 ssix=e, (f⁺)⁰(x)<0 ssix∈]0;p

e[∪]p e;e[

et lim_x→0+f⁰(x)=0. On conclut que

B ^f+est strictement croissante sur ]e;+∞[, B ^f+est strictement décroissante sur ]0;p

e[ et sur ]p e;e[, B ^x=eest un point de minimum local et on af⁺(e)=e². Le tableau des variations est alors le suivant :

x

(f⁺)⁰(x) f⁺(x)

0 p

e e +∞

− − 0 +

0 0

−∞

+∞ +∞+∞

e²

4. Comportement de f⁺en+∞(recherche d’un asymptôte) :

x→+∞lim f⁺(x)

x = +∞. Il n’y a pas d’asymptôtes en+∞.

5. Graphe de f :voir la figure 1.

Solution de l’exercice II

1. La fonction est clairement continue pourx6=0. Pourx=0 on a

xlim→0⁺f(x)= lim

x→0⁺x³cos1 x=0,

xlim→0⁻f(x)= lim

x→0⁻x³sin1 x=0, donc lim

x→0f(x)=f(0) :f est continue en 0.

x y

e e²

−e

−p

e p

0 e

FIGURE1:f(x)=_ln(x^x2²)−1

2. Pourx6=0 la fonction est clairement dérivable et on a f⁰(x)=

(3x²cos¹_x+xsin¹_x, six>0, 3x²sin¹_x−xcos¹_x, six<0.

La droite tangente àf enx=x₀a équationy=f⁰(x₀)x+(f(x₀)−f⁰(x₀)x₀) donc pourx₀=_π¹on ay= −_π³2x+_π²3. 3. La fonction est dérivable enx=0 ssi existe finie la limite limx→0f(x)−f(0)

x−0 . On a

xlim→0⁺

f(x)−f(0) x−0 = lim

x→0⁺

x³cos¹_x−0 x−0 =0,

x→0lim⁻

f(x)−f(0) x−0 = lim

x→0⁻

x³sin¹_x−0 x−0 =0, donc lim

x→0

f(x)−f(0)

x−0 =0 :f est dérivable en 0 et on a

f⁰(x)=







3x²cos¹_x+xsin_x¹, six>0,

0, six=0,

3x²sin¹_x−xcos_x¹, six<0.

4. f⁰est clairement continue pourx6=0. Pourx=0 on a lim

x→0⁺f⁰(x)= lim

x→0⁺

µ

3x²cos1

x+xsin1 x

¶

=0,

x→0lim⁻f⁰(x)= lim

x→0⁻

µ

3x²sin1

x−xcos1 x

¶

=0, doncf⁰est continue en 0. Par conséquentf est de classeC¹(R).

Solution de l’exercice III

1. À partir des développements limités des fonctionse^xet sinxen 0 à l’ordre 4 e^x=1+x+x²

2 +x³ 6 +x⁴

24+o(x⁴), sinx=x−x³

6 +o(x⁴),

on conclut quef(x)=1+x+^x₂²+^x₆³+^x₂₄⁴−1+x−^x₆³−2x−^x₂²+o(x⁴)=^x₂₄⁴+o(x⁴).

2. On réécrit d’abord la fonctiong(x) sous forme exponentielle :

(1+sinx)^1x =e^{x−1ln(1+sinx)}.

On commence par déterminer le développement limité en 0 à l’ordre 2 dex7→x⁻¹ln(1+sinx). Comme on divise parx, il faut déterminer le développement limité à l’ordre 3 dex7→ln(1+sinx). Or,

sinx=x−x³

6 +o(x⁴), donc

ln(1+sinx)=ln µ

1+x−x³ 6 +o(x⁴)

¶ . On poseu=x−^x₆³+o(x⁴). Comme limx→0u=0 et

ln(1+u)=u−u² 2 +u³

3 +o(u³), on en déduit que

ln(1+sinx)= µ

x−x³ 6

¶

−1 2 µ

x−x³ 6

¶2

+1 3 µ

x−x³ 6

¶3

+o(x³)=x−x² 2 +x³

6 +o(x³) d’où

x⁻¹ln(1+sinx)=1−x 2+x²

6 +o(x²).

On a donc

e^{x−1ln(1+sinx)}=ee^−x2+x

2 6+o(x²). On posev= −^x₂+^x₆²+o(x²). Comme lim_x→0v=0 et

e^v=1+v+v²

2 +o(v²), on en déduit que

(1+sinx)^1x =e^{x−1ln(1+sinx)}=e

"

1+ µ

−x 2+x²

6

¶ +1

2 µ

−x 2+x²

6

¶² +o(x²)

#

=e−e 2x+7e

24x²+o(x²).

3. B Développement limité asymtotique en+∞: on posey=_x¹et on remarque que lim_x→+∞y=0⁺. Alors

`⁺(y)=1 y

y 1−y

s 1+y²

y²

(y>0)

= 1

y(1−y) q

1+y²

=1 y

¡1+y+y²+o(y²)¢ µ

1+y² 2 +o(y²)

¶

=1 y+1+3

2y+o(y²) d’où

`(x)=x+1+3 2 1

x+o(x⁻¹).

On en déduit que le graphe de la fonction`admet la droite d’équationy=x+1 comme asymptôte en+∞. B Développement limité asymtotique en−∞: on pose encorey=¹_x et on remarque que limx→−∞y=0⁻. Alors

`⁻(y)=1 y

y 1−y

s1+y² y²

(y<0)

= − 1 y(1−y)

q 1+y²

= −1 y

¡1+y+y²+o(y²)¢ µ

1+y² 2 +o(y²)

¶

=1 y+1+3

2y+o(y²) d’où

`(x)= −x−1−3 2 1

x+o(x⁻¹).

On en déduit que le graphe de la fonction`admet la droite d’équationy= −x−1 comme asymptôte en−∞. 4. On posey=x−1. Alorsg(x)=_(1+x)^lnx2 =^ln(1+y)_(2+y)2. Comme lim_x→1y=0, on calcul le développement limité de ^ln(1+y)

(2+y)²

en zéro. Or,

ln(1+y)=y−1

2y²+o(y²), (2+y)⁻²=1

4

³ 1+y

2

´₋2

=1 4 µ

1−2y

2+(−2)(−2−1) 2

y² 2²+o(y²)

¶

=1 4 µ

1−y+3

2y²+o(y²)

¶ , d’où

g(x)=1 4 µ

1−(x−1)+3

2(x−1)²+o((x−1)²)

¶ . 5. On remarque que

1

x− 1

ln(1+x)=ln(1+x)−x

xln(1+x) =x−^x₂²+o(x²)−x x²+o(x²) d’où

xlim→0

µ1

x− 1

ln(1+x)

¶

= −1 2.

6. En déterminant les développements limité en 0 à l’ordre 3 des fonctionsx7→sinx,x7→ln(1+x) etx7→tanhxon obtient

xlim→0

sinx(tanhx−x) ln(1+x) =lim

x→0

(x+o(x))(−^x₃³+o(x³)) x+o(x) =lim

x→0

(1+o(1))(−^x₃³+o(x³)) 1+o(1) =0.