Mécanique quantique — L3

Mécanique quantique — L3

Harold Erbin

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Version : 8 avril 2010

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Sommaire

I Concepts fondamentaux 1

1 Introduction 3

2 L’expérience Stern et Gerlach 5

3 Kets, bras et opérateurs 9

4 Bases de l’espace des états et représentation matricielle 15

5 Mesures et grandeurs physiques 19

6 Évolution temporelle 25

7 Produit tensoriel d’espaces d’états 27

8 Retour sur le spin 1/2 29

II Mécanique ondulatoire 31

9 Relations de commutation canonique 33

10 Fonction d’onde 35

11 Particule libre 37

12 Base des ondes planes 39

13 Particules dans une boite 41

14 Courant de probabilité 43

15 Effet tunnel 45

16 Généraltion à trois dimensions 49

17 Oscillateurs harmoniques quantiques 51

18 Système à deux niveaux 61

19 Spin 1/2 en champ magnétique 65

20 Évolution libre 67

21 Phénomène de résonance 69

22 Particules identiques en mécanique quantique 71

23 États intriqués 77

Outils mathématiques 85

Annexes 85

Index 87

Table des matières 89

Première partie

Concepts fondamentaux

Chapitre 1

Introduction

1.1 Préambule

La description habituelle part de la physique classique pour, progressive- ment, passer à la physique quantique (problème du corps noir. . .).

La mécanique quantique a commencé à être développée vers 1920. Le développe- ment du formalisme a été achevé vers 1926. L’invention de la mécanique quan- tique est dû au fait que la physique classique¹ ne permettait pas d’expliquer le comportement de la matière au niveau microscopique, par exemple :

– la conductivité des matériaux ; – la stabilité et la physique des atomes.

1.2 Expériences et effets précurseurs

– Rayonnement du corps noir : émission d’un rayonnement électromagné- tique par un corps en équilibre à température constante.

Planck expliqua correctement le phénomène, en 1900, avec la loi qui porte son nom.

– Spectres atomiques discrets : présence de raies correspondant à des valeurs d’énergie particulières pour lesquelles les atomes peuvent absorber ou émettre de la lumière.

1.3 Quantitication et constante de Planck

Dans toutes ces expériences, on observe le caractère discret des énergies mises en jeu. L’origine du mot "quantique" vient d’ailleurs de cette particularité : il vient de "quantum", qui désigne une unité discrète, une quantité bien définie.

Il a été nécessaire d’introduire une nouvelle constante fondamentale : la constante de Planck, notéeh, avec

h= 6.62×10⁻³⁴J·s (1.1)

1. La physique classique englobe : la mécanique classique, la thermodynamique et l’élec- tromagnétisme.

On utilise aussi beaucoup la constante de Planck réduite

~= h

2π ≈1.05×10⁻³⁴J·s (1.2)

hcorrespond au rapport entre l’énergie d’un rayonnement électromagnétique et de sa fréquence, ce qui nous donne

E=hν=~ω (1.3)

h est donc la constante fondamentale des phénomènes quantiques. Elle est très petite, ce qui entraine des difficultés pour observer les phénomènes quan- tiques (cet ordre de grandeur correspond à l’échelle des atomes).

1.3.1 Analyse dimensionnelle

[~] =M L²T⁻²×T

=M L²T⁻¹

= L

|{z}

longueur

× M LT⁻¹

| {z }

quantité de mouvement

ce qui correspond aux dimensions d’un moment cinétique. Nous verrons que ~ est un quantum de moment cinétique.

1.4 Aujourd’hui

Toute la compréhension du comportement de la matière des noyaux aux solides est basée sur la mécanique quantique. De plus, de nouveau phénomènes spécifiquement quantiques se sont développés, par exemple :

– résonance magnétique nucléiare (RMN) : excitation du spin des atomes ; – la physique des semiconducteurs ;

– les lasers (light amplification by stimulated emission of radiation).

Remarque: En mécanique quantique, il existe très peu de problèmes dont l’on peut trouver la solution exacte.

Chapitre 2

L’expérience Stern et Gerlach

2.1 Description

Cette expérience a été réalisée à Frankfort en 1922 par O. Stern et W.

Gerlach.

Le principe de cette expérience est de mesurer le moment magnétique d’atomes individuels en leur faisant traverser un champ magnétique non uniforme (fig- ure2.1).

Figure2.1 – Montage de l’expérience de Stern et Gerlach.

Résultat : le moment magnétique est quantifié, cela signifie qu’il ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs.

Des atomes d’argent sont émis par le four avec une vitesse parallèle à l’axe y. L’aimant crée un gradient de champ∂Bz/∂t <0.

L’argent est un élément électriquement neutre, paramagnétique : chaque atome se comporte comme un petit aimant permanent. Le magnétisme de la matière est dû au moment des particules chargées. Le moment magnétique #»µ est créé par le mouvement de ces dernières.

#»µ interagit avec #»

B, ce qui produit une énergie potentielle de −#»µ ·#»

B et, si B#»n’est pas uniforme, l’atome subit donc une force

F#»=∇(#»µ·B)#» (2.1)

avec

F_z≈µ_z∂B_z

∂z (2.2)

Cette force dévie la trajectoire des atomes. Elle est fixée par l’appareil, donc la déviation ne dépend que deµ_z (puisque le champ extérieur est connu).

Cette expérience consiste à mesurer la composant selon z du moment mag- nétique, à partir du point d’impact. À la sortie du four, il n’y a pas d’orientation privilégiée pour #»µ : ainsi, selon la mécanique classique, µz peut prendre n’im- porte quelle valeur entre − k#»µk et k#»µk : on devrait donc observer une tâche homogène sur l’écran.

2.2 Résultats

Dans les faits, deux tâches apparaissent sur l’écran, doncµ_zne peut prendre que deux valeurs,±µB, oùµ_B est lemagnéton de Bohr, et qui vaut

µB =± e~ 2me

≈9.27×10⁻²⁴J·T⁻¹ (2.3) oùeest la charge de l’électron etm_esa masse.

On sait maintenant que le moment #»µ de l’argent est dû à un électron parmi les quarante-sept électrons de l’atome, relié au moment cinétique intrinsèque de l’électron (dit de spin).

On note #»S le moment cinétique de spin (intrinsèque) et on a la relation

#»µ =γS#» (2.4)

oùγest le facteur gyromagnétique. Pour un électron, on a γ= −e

me

(2.5) d’où

S=±~

2 (2.6)

Cette expérience montre que le moment magnétique de l’électron et la com- posante selonzdu spin sont quantifiés¹. Ce dernier peut prendre deux valeurs :

S=±~

2 (2.7)

Remarque : Ici il n’y a aucun effet particulier associé à l’axe z : si nous renversions l’appareil, on obtiendrait les mêmes résultats avec la composantex (par exemple). La quantification ne dépend pas de l’axe considéré.

1. On parle de "spin up" et de "spin down".

CHAPITRE 2. L’EXPÉRIENCE STERN ET GERLACH

2.3 Séquences d’appareil de Stern et Gerlach

Le faisceau traverse plusieurs appareils en série.

2.3.1 Configuration 1

Deux Stern et Gerlach selon zen série (figure 2.2).

Figure2.2 – Expérience de Stern et Gerlach — Configuration 1.

À la sortie du deuxième appareil, un seul faisceau émerge.

Conclusion : le premier appareil prépare les atomes dans un état bien défini.

2.3.2 Configuration 2

Deux Stern et Gerlach en série, selonzpuisx(figure2.3).

Figure2.3 – Expérience de Stern et Gerlach — Configuration 2.

À la sortie du second appareil, nous obtenons deux faisceaux d’intensité égale. Nous avons donc une probabilité égale de mesurer±~/2 pourSx. Conclusion : À la sortie du deuxième appareil, deux faisceaux émergent, dont les états sontSz+Sx+ et Sz+S_x−.

2.3.3 Configuration 3

Trois Stern et Gerlach en série, selon zpuisxet enfinz (figure2.4).

Figure2.4 – Expérience de Stern et Gerlach — Configuration 3.

Cette configuration contredit l’hypothèse émise à la fin de l’expérience précé- dente. #»µ et #»

S ont ici un comportement complètement quantique ce qui nous oblie à abandonner toute intuition classique.

Les atomes sortant du premier appareil possèdent un #»µ quantifié selon la direction z et l’étatSz+ est bien défini. On le note|+i². De même les atomes du second faisceau sont dans l’état|−i. À la sortie du deuxième appareil, #»µ est quantifié selonx: les deux faisceaux sont respectivement dans les états|+i_xet

|−i_x.

Dans le dernier appareil entre l’état |+i_x et les faisceaux sortant sont dans les états |−iet |+i. Il y a donc une relation entre |+i_x et |−i et |+i. Quelle est-elle ? Il s’agit d’une relation vectorielle, qui est

|+i_x= 1

√2|+i+ 1

√2|−i (2.8)

Ces vecteurs appartiennent à l’espace dit des "états". Il s’agit d’un espace vectoriel de dimension 2.|+i_x est une combinaison linéaire des vecteurs|+iet

|−i. En mécanique quantique, on parle de superposition.

L’égalité des intensités à la sortie du troisième appareil est liée aux coeffi- cients égaux dans la superposition. Si on injecte dans l’état|+i_xaprès SGz, la probabilité d’avoir|+iest

√1 2

2

= 1

2. De même pour|−i.

On a aussi

|−i_x= 1

√2|+i − 1

√2|−i (2.9)

Si l’on avait un Stern et Gerlachy, comment peut-on les écrire une superpo- sition en fonction de |+i et |−iavec des coefficients égaux en valeur absolue ? On peut utiliser les nombres complexes.

|+i_y = 1

√2|+i+ i

√2|−i (2.10a)

|−i_y = 1

√2|+i − i

√2|−i (2.10b)

2. Notation de Dirac d’un état.

Chapitre 3

Kets, bras et opérateurs

3.1 Espaces des états

En mécanique quantique, un état physique est représenté par un vecteur d’état dans un espace vectoriel complexe.

Définition 3.1 (Notation de Dirac). Pour un vecteur d’état, on note |·i. On parle deket.

Définition 3.2 (Espace des états). L’espace des états est un espace vectoriel complexe abstrait, qui contient les vecteurs d’état.

Sa dimension dépend du problème physique considéré.

Exemple 3.1.

1. #»µ de l’électron : dimension 2.

2. Mouvement d’une particule : dimension infinie (il s’agit d’un espace de Hilbert).

|ψicontient toute l’information sur le système physique : tout ce que l’on peut mesurer s’obtient à partir de l’expression de|ψi.

Exemple 3.2.

À la sortie du Stern et Gerlachx, on a

|ψi= 1

√2|+i+ 1

√2|−i

Proposition 3.1. Soient |ψi et |φideux états, alors on a les propriétés suiv- antes :

– Additivité :

|ψi+|φi=|χi (3.1)

qui est lui aussi un état.

– Commutativité de la multiplication par un scalairec∈C

c|ψi=|ψic (3.2)

– Le vecteur nul est 0 et non|0iest tel que

|ψi+ 0 =|ψi (3.3)

Définition 3.3 (Opérateur). Unopérateur transforme un ket|ψien un autre ket|φi.

L’action d’un opérateur Asur un ket|ψis’écritA|ψi:

A|ψi=|φi (3.4)

En mécanique quantique, les grandeurs physiques sont représentées par des opérateurs. Il existe une séparation entre le système et les grandeurs physiques.

Comment faire le lien entre un état |ψi et une grandeur physique A? Il faut écrire le vecteur |ψidans une base dont chaque état correspond à une valeur définie de la grandeurA.

Définition 3.4 (État propre). Soit un opérateurA,alors l’étatψ# »_n est un état propredeA si

A|ψni=an|ψni (3.5)

oùan est une valeur propre deA.

L’ensemble des valeurs propres d’un opérateur s’appelle le spectre de A.

Exemple 3.3.

Soit l’opérateur S_zassocié à la composante selonzdu moment cinétique du spin. Les deux états propres sont|+iet|−i. Les valeurs propres associées sont

±~/2, car

Sz|±i=±~ 2|±i

3.2 Produit scalaire et bras

L’espace des états est muni d’un produit scalaire complexe : on le note hψ|ϕi, où|ψiet |ϕisont deux kets.

Proposition 3.2. Soient|ψiet|ϕideux états, alors 1.

hψ|ϕi=hϕ|ψi^∗ (3.6)

donc il n’est pas commutatif.

2. hψ|ϕiest linéaire par rapport à ϕ.

3. Le produit scalaire est défini positif

hψ|ψi ≥0 (3.7)

4.

hψ|ψi= 0 =⇒ |ψi= 0 (3.8) Deux états sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Définition 3.5 (Bra). À chaque ket|ψi de l’espace des états est associé un élémenthψ|, appelé bra, de l’espace dual.

Définition 3.6 (Bracket). Le produit scalaire hψ|ϕiest un bra hψ| agissant agissant sur un ket|ϕi. Le symboleh · | · iest appelé un bracket (c’est à dire un crochet).

CHAPITRE 3. KETS, BRAS ET OPÉRATEURS

Proposition 3.3. Le bra associé au ket|ϕi=λ|ϕ1i+µ|ϕ2iest|ϕi=λ^∗hϕ1|+ µ^∗hϕ2|.

Le produit scalaire est donc antilinéaire par rapport au membre de gauche.

Démonstration.

Soit le ket |ϕi=λ|ϕ1i+µ|ϕ2i, alors l’action du bra associé sur un ket ketψ est

hϕ|ψi=hψ|ϕi^∗

=hψ|λϕ1+µϕ2i^∗

= (λhψ|ϕ₁i+µhψ|ϕ₂i)^∗

=λ^∗hψ|ϕ1i^∗+µ^∗hψ|ϕ2i^∗

=λ^∗hϕ₁|ψi+µ^∗hϕ₂|ψi

=hλ^∗ϕ1+µ^∗ϕ2|ψi

Définition 3.7 (Norme). On définit la norme du ket |ψipar k|ψik=p

hψ|ψi (3.9)

Définition 3.8 (Vecteur normé). Un vecteur est dit normé si

hψ|ψi= 1 (3.10)

En général, on utilise des vecteurs normés.

3.3 Opérateurs

Proposition 3.4. SoientA, B et C trois opérateurs, alors on a les propriétés suivantes :

1.

A|ψi=B|ψi ∀ |ψi=⇒A=B (3.11)

2.

A|ψi= 0 ∀ |ψi=⇒A= 0 (3.12)

3. L’addition de deux opérateurs est commutative et associative :

A+B=B+A (3.13)

A+ (B+C) = (A+B) +C (3.14) 4. Les opérateurs sont linéaires :

A

λ|ϕ1i+µ|ϕ2i

=λA|ϕ1i+µA|ϕ2i (3.15) Un opérateur agit de droite à gauche sur les bras, et de gauche à droite sur les kets. L’action deAsur un brahϕ|est notéehϕ|A.

La relation qui définit hϕ|A est

hϕ|(A|ψi) = (hϕ|A)|ψi=hϕ|A|ψi (3.16) Notation de Dirac : écriture compacte qui contient les mathématiques des espaces de Hilbert.

Définition 3.9 (Élément de matrice). hϕ|A|ψiest l’élément de matrice deA entrehϕ| et|ψi.

Définition 3.10 (Opérateur adjoint). Le bra associé àA|ψiest hψ|A^†, oùA^† est l’opérateur adjoint deA.

Le produit scalaire de |ϕi et A^†|ψi est égal au produit scalaire de |ψi et A|ϕi.

En règle générale, le dual de A|ψiest différent dehψ|A.

Produit d’opérateurs :

AB|ψi=A(B|ψi)

=A|ψ⁰i En général,AB6=BA.

Définition 3.11. Le commutateur de deux opérateurs est

[A, B] =AB−BA (3.17)

Si [A, B] = 0, alorsAetB commutent.

Définition 3.12. L’anticommutateur de deux opérateurs est

{A, B}=AB+BA (3.18)

Proposition 3.5.

(AB)^† =B^†A^† (3.19)

On a

AB|ψi−^dual−−→ hψ|(AB)^†

= (hψ|B^†)A^†

=hψ|B^†A^† Pour tout|ψi, on a

hϕ|A|ψi^∗=hψ|A^†|ϕi

Définition 3.13. Un opérateur est auto-adjoint (ou hermitien) si

A=A^† (3.20)

Pour un opérateur hermitien, on a donc hϕ|A|ψi^∗=hψ|A|ϕi

Soit un ket |ϕiet un brahψ|, alors|ϕi hψ|est un opérateur. On prend|χi |ϕi hψ|

|χi=hψ|χi |ϕi On a

|ϕi hψ|†

=|ψi hϕ|

Exemple 3.4.

Soit|+iet|−i, alors

|+i h−| |−i=|+i h − | − i

| {z }

=1

=|+i

CHAPITRE 3. KETS, BRAS ET OPÉRATEURS

3.3.1 Exemples d’opérateurs

– S_x, S_y et S_z sont les opérateurs associés aux composantes du moment cinétique de spin. Opérateur de dimension 2.

– S#»=S# »₁+S# »₂ est le spin total de deux particules de spin 1. Opérateur de dimension 4.

– H est l’opérateur hamiltonien associé à l’énergie.

– L’opérateur position associé à ˆx.

– L’opérateur impulsion associé à ˆp.

Tous les opérateurs qui précèdent sont "mesurables", donc hermitiens, mais il en existe qui ne sont pas hermitiens :

– |+i h−|=S+.

– Les opérateurs de création et d’annihilation a^† et a pour un oscillateur, où

a^†= rmω

2~

x− i mωp

(3.21)

Chapitre 4

Bases de l’espace des états et représentation matricielle

4.1 États propres d’un opérateur hermitien

Dans tout ce paragraphe,Asera hermitien, et|ψniun état propre deA.

Définition 4.1 (Vecteur propre). On a

A|ψni=an|ψni (4.1)

Proposition 4.1. Les valeurs propresa_n sont réelles.

Démonstration.

On a les propriétés

a_n|ψ_ni−^dual−−→a^∗_nhψ_n|=hψ_n|A^†=hψ_n|A et

hψn|A|ψni=hψn|(an|ψni) =anhψn|ψni

= (hψ_n|a_n)|ψ_ni=a^∗_nhψ_n|ψ_ni

d’où

an=a^∗_n (4.2)

donca_n est réel.

Proposition 4.2(Orthogonalité des vecteurs propres). Deux vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux pour un opérateur hermitien. Si on normalise les états propres|ψnideA, on a

hψp|ψni=δpn (4.3)

Les vecteurs propres d’un opérateur hermitien forment une base de l’espace des états.

Démonstration.

Soient deux états propres |ψpiet|ψniauxquels correspondent deux valeurs propresan et ap. On supposean6=ap, alors

hψ_p|A=a^∗_phψ_p|=a_p|ψ_pi A|ψni=a_n|ψni

hψp|A|ψni=aphψp|ψni=anhψp|ψni (a_p−a_n)hψ_p|ψ_ni= 0

=⇒ hψp|ψni= 0

Définition 4.2 (Décomposition d’un ket). Tout état |ψipeut s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire des vecteurs propres, c’est à dire

|ψi=X

n

cn|ψni (4.4)

Exemple 4.1 (Spin 1/2).

Pour un spin 1/2

|ψi=c₊|+i+c₋|−i avecc+, c₋ ∈C.

On obtient les coefficients ck de la décomposition par hψk|ψi=X

n

cnhψk|ψni

=X

n

c_nδ_kn

=ck

et on peut écrire

|ψi=X

n

hψn|ψi

| {z }

∈C

|ψni=X

n

|ψni hψn|

| {z }

opérateur

|ψi

|ψi=I|ψi

Définition 4.3(Relation de fermeture). On définit la relation de fermeture par I=X

n

|ψni hψn| (4.5)

et on appelleI opérateur identité.

Exemple 4.2 (Relation entre les produits scalaires et les coefficients).

hψ|ψi=hψ|X

n

|ψ_ni hψ_n|ψi

=X

n

hψ|ψni hψn|ψi=X

n

hψn|ψi^∗hψn|ψi

=X

n

|hψn|ψi|²=X

n

|cn|²

CHAPITRE 4. BASES DE L’ESPACE DES ÉTATS ET REPRÉSENTATION MATRICIELLE

Exemple 4.3.

Soient ψ=X

n

cn|ψnietϕ=X

n

dn|ϕni, alors

hϕ|ψi=hϕ|X

n

|ψni hψn|ψi

=X

n

hϕ|ψni hψn|ψi

=X

n

d^∗_nc_n

Un vecteur est normé siP

n

|c_n|²= 1.

Définition 4.4. L’opérateur |ψni hψn| est appelé projecteur associé à l’état

|ψi_n, c’est à dire

|ψni |ψni hψn|=c_n|ψni (4.6) Il sélectionne dans|ψile terme en|ψni.

Exemple 4.4 (Spin 1/2).

Spin 1/2 :

I=|+i h+|+|−i h−|

4.1.1 Représentation matricielle

Le produit scalairehϕ|ψipeut s’écrire hϕ|ψi=X

n

d^∗_nc_n

= d^∗₁ · · · d^∗₁





 c1

... c_n







On note aussi

hϕ|= hψ₁|ϕi^∗ · · · hψn|ϕi^∗

(4.7) le brahϕ|et

|ψi=







hψ1|ψi ... hψn|ψi





 (4.8)

le ket|ψi.

Soit un opérateurA, alors A=X

m

X

n

|ψmi hψm|A|ψni

| {z }

∈C

hψn|

=X

m,n

hψm|A|ψni |ψmi hψn|

Dans un espace de Hilbert de dimension N, il y aN² éléments de matrice de la formehψm|A|ψni. La matrice est de taillen×m(mindice de ligne etn indice de colonne).

On note

Amn=hψm|A|ψni (4.9)

et on a, dans la base des |ψni

A=









hψ1|A|ψ1i hψ1|A|ψ2i · · · hψ₂|A|ψ₁i . ..

... hψ_m|A|ψ_ni









On a

hψ_m|A|ψ_ni=hψ_n|A^†|ψ_mi^∗ d’où

Amn= (A^†_nm)^∗ (4.10)

Pour un opérateur hermitien, on obtient

A^†_nm=Anm=A^∗_mn (4.11)

L’opérateur C =AB est représenté dans la base|ψni par le produit de la matrice représentantAet de celle représentantB.

Exemple 4.5.

|ϕi=A|ψi=X

n

d_n|ψni Les composantes de|ϕisur la base des|ψnisont

dn=hψn|ϕi=hψn|A|ψi

=X

m

hψn|A|ψmi hψm|ψi

=X

m

Anmcm

Chapitre 5

Mesures et grandeurs physiques

5.1 Mesure en mécanique quantique

Comment faire le lien entre|ψiet la valeur d’une grandeur physique à l’aide des opérateurs ?

Postulat 5.1. Pour ce faire, on pose plusieurs postulats :

– Toute grandeur physiqueAest associée à un opérateur hermitien, que l’on notera ˆA, et agissant dans l’espace de Hilbert des états.

– Les seuls résultats possibles d’une mesure de la grandeurAsont les valeurs propres de l’opérateur associé.

– La probabilité d’obtenir la valeur propre an de vecteur propre |ψi_n est égale à|hψn|ψi|².

En écrivant cela, on fait l’hypothèse que les vecteurs propres sont normés et que les valeurs propresa_n ne sont pas dégénérées.

Définition 5.1 (Amplitude de probabilité). On définit l’amplitude de proba- bilitécn par

cn =hψn|ψi (5.1)

Proposition 5.1. La somme des probabilités de tous les résultats possibles est X

n

|cn|²= 1 (5.2)

Démonstration.

D’après (4.4), on déduit que la probabilité de mesure dean est

| hψn|ψi |²=

hψn|

* X

m

cm|ψm

+

2

=

X

m

cmhψn|ψmi

2

=|c_n|²

Remarques :

1. L’amplitude est un nombre complexe, au contraire de la probabilité.

2. La mesure est aléatoire. La loi de probabilité est bien définie (nombre réel positif).

3. La mesure individuelle ne donne pas toute l’information disponible : il est impossible de remonter aux lois statistiques.

On obtient donc la probabilité grâce à un très grand nombre de mesures sur des systèmes identiques (caractérisés par|ψi).

Si|ψi=|ψnialors la mesure deAdonneanavec une probabilité 1.|ψniest un état avec une valeur deA bien définie (repensez à l’expérience du Stern et Gerlach).

Le plus souvent, la mesure est destructrice.

Définition 5.2(Mesure projective). Une mesure idéale est une mesure projec- tive. C’est à dire que si la mesure deAdonne la valeur proprea_nimmédiatement après la mesure, le système est dans l’étatψ_n associé àa_n.

Remarque: On appelle parfois cette loi la loi de réduction du paquet d’ondes.

C’est une manière de préparer un état quantique bien déterminé.

5.1.1 Cas de valeurs propres dégénérées

Supposons qu’il existe plusieurs |ψnitels queA|ψni=an|ψni. On les note

|ψn,ii, aveci∈J1, g(n)K, oùg(n) est l’ordre de dégénérescence. Alors

|ψi=X

n





g(n)

X

i

c_n,i|ψ_n,ii



 et la probabilité de mesurera_n est

g(n)

X

i=1

|cn,i|²=

g(n)

X

i=1

hψn,i|ψi

2

(5.3) Proposition 5.2 (Valeur moyenne). La valeur moyenne deA dans l’état|ψni est donnée par par

hAi_ψ=hψ|A|ψi=X

n

|cn|²an (5.4)

Démonstration.

hAi_ψ=hψ|A|ψi

=hψ|AX

n

|ψni hψn|ψi=hψ|X

n

A|ψni hψn|ψi

=hψ|X

n

a_n|ψ_ni hψ_n|ψi=X

n

a_nhψ|ψ_ni hψ_n|ψi

=X

n

an

hψn|ψi

2

=X

n

|cn|²an

Il s’agit de la somme des valeurs possibles pondérées par leur probabilité.

CHAPITRE 5. MESURES ET GRANDEURS PHYSIQUES

5.2 Superposition

Soient A et B deux grandeurs physiques avec |ψniun état propre de A et

|χniun état propre deB. Soit|ψiun état du système.

– |ψi=|ψ1i, mesure deB :bn probabilité

hχn|ψ1i

2

. – |ψi=|ψ2i, mesure deB :bn probabilité

hχn|ψ2i

2

. Alors si|ψi=λ1|ψ1i+λ2|ψ2i, avec|λ1|²+|λ2|²= 1.

Mesure deB :b_n probabilité

hχ_n|ψi

2

=

hχ_n|λ₁|ψ₁i+λ₂|ψ₂i i

2

=

λ₁hχ_n|ψ₁i+λ₂hχ_n|ψ₂i

2

=

λ1hχn|ψ1i+λ2hχn|ψ2i

λ^∗₁hψ1|χni+λ^∗₂hψ2|χni

=|λ1|²

hχn|ψ1i

2

+|λ2|²

hχn|ψ2i

2

+ 2<

λ1λ^∗₂hχn|ψ1i hψ2|χni

| {z }

terme d’interférences quantiques

Les phasesλ₁ etλ^∗₂ comptent. On somme toujours les amplitudes et jamais les probabilités.

5.3 Grandeurs compatibles

Définition 5.3. Soient AetB deux grandeurs, alors si – [A, B] = 0, elles sont compatibles.

– [A, B]6= 0, elles sont incompatibles.

Proposition 5.3. Les vecteurs propres de deux grandeurs compatibles sont communs.

AB|ψ_ni=BA|ψ_ni=a_nB|ψ_ni

doncB|ψniest un état propre deAde valeur proprean →B|ψni ∝ |ψni, donc

|ψniest un état propre deB.

Si a_n est dégénérée,B|ψniappartient au sous-espaceEan des états propres deAde valeursa_n.

DansEa_n, il existe une base d’états propres deB, aussi états propres deA.

On peut construire une base de l’espace de Hilbert constituée d’états propres communs à A et B. Si la base est unique : A et B est un ensemble complet d’obsevables qui commutent. Parfois il faut{A, B, C, . . .} opérateurs.

Exemple 5.1.

– spin 1/2 :SzouSy ouSx

– oscillateur harmonique 1D : H (hamiltonien) – états atomiques :H,L²,Lz,Sz

5.3.1 Mesure de grandeurs compatibles

Si on mesureA→B→A, la mesure deB ne perturbe pas la mesure deA.

Dans le cas de grandeurs compatibles, les propriétés statistiques des mesures sont indépendantes. Il est possible de mesurerAet B.

5.4 Inégalités de Heisenberg

On a [A, B]6= 0. Les états propres deAsont différents de ceux deB. Il n’est pas possible de mesurer simultanémentAet B.

Définition 5.4. On définit la fluctuation d’une grandeurA, notée ∆A, par

∆A²=D

A− hAi2E

= A²

− hAi² (5.5)

On montre la seconde forme par

∆A²=D

A− hAi²E

=D

A²−2AhAi+hAi²E

= A²

−2hAi²+hAi²

= A²

− hAi²

Proposition 5.4 (Inégalités de Heisenberg). Soient A et B deux grandeurs incompatibles, alors

∆A∆B≥ 1 2

h[A, B]i

(5.6)

Démonstration.

Soit un état|ψi. On a

∆A²=hψ|A²|ψi − hψ|A|ψi² On notera

A− hAi= ˆA− hAiid On écrit [A, B] =C et on définit

A⁰= ˆA− hAiid B⁰ = ˆB− hBiid hψ|A⁰²|ψi= ∆A² hψ|B⁰²|ψi= ∆B²

On calcule la norme dehA⁰+λB⁰|ψi(avecλ∈R)

hA⁰+λB⁰|ψi

2

=hψ|(A⁰+λB⁰)(A⁰+λB⁰)|ψi

=hψ|A⁰²|ψi+λ²hψ|B⁰²|ψi+iλhψ|A⁰B⁰−B⁰A⁰|ψi

= ∆A²+λ²∆B²+iλh[A⁰, B⁰]i_ψ≥0

CHAPITRE 5. MESURES ET GRANDEURS PHYSIQUES

A⁰ et B⁰ sont hermitiens, donci[A⁰, B⁰] est hermitien etih[A⁰, B⁰]iest réel. On a [A⁰, B⁰] = [A, B].

C’est un binôme enλ, positif, donc le discriminant est négatif.

h[A⁰, B⁰]i²−4∆A²∆B²≤0

∆A²∆B²≥ h[A⁰, B⁰]i² 4

La forme la plus connue est celle reliantx, p:

∆x∆p≥ ~

2 (5.7)

car [x, p] =i~.

Exemple 5.2 (Oscillateur harmonique).

On a

H= 1

2 mω²x²+ p² 2m Soit|ϕniun état propre deH, alors

H|ϕni=

n+1 2

~ω|ϕni Dans la base des|ϕnion a





















0 −i 0

i . .. −i√ 2 . .. 0 i√

2 . .. −i√ 3 . .. i√

3 . .. . .. . .. . .. . ..





















qui est une matrice infinie. On a

hpi_n=hϕn|p|ϕni= 0 mais on peut montrer que

hϕn|p²|ϕni=

n+1 2

m~ω

Chapitre 6

Évolution temporelle

Quelle est l’évolution d’un ket |ψi représentant un état physique avec le temps ? On note|ψ(t)il’état|ψiau tempst.

Postulat 6.1 (Équation de Schrödinger).

i~ d

dt|ψ(t)i=H|ψi (6.1)

avecH= ˆH est l’opérateur hamiltonien associé à l’énergie du système.

Définition 6.1(État stationnaire). Un état stationnaire est un état propre de H, c’est à dire

H|ψni=En|ψni (6.2)

i~d

dt|ψn(t)i=En|ψn(t)i d

dt|ψn(t)i=−iEn

~ |ψn(t)i

On peut écrire|ψn(t)idans une base d’états propres|ϕni(4.4) et d

dt X

k

ck(t)|ϕki=−iEn

~ X

k

ck(t)|ϕki

=⇒ d

dtck(t) =−iEn

~ ck(t) d’où

ck(t) =ck(0) exp

−iEnt

~

(6.3) donc

|ψ_n(t)i=X

k

c_k(0) exp

−iE_nt

~

|ϕ_ki

|ψn(t)i= exp

−iE_nt

~

|ψn(0)i (6.4)

L’état stationnaire àt est le même qu’àt= 0 avec un facteur de phase.

Soit|ψiquelconque dans la base des|ψni, alors

|ψ(0)i=X

n

cn|ψn(0)i d’où finalement

|ψ(t)i=X

n

c_n|ψ_n(t)i=X

n

c_nexp

−iEnt

~

|ψ_n(0)i (6.5) Exemple 6.1.

Soient |ψi₁,|ψi₂,|ψi₀. On a

|ψ(0)i= 1

√3|ψ₁i+ r2

3|ψ₂i

|ψ(t)i= 1

√ 3exp

−iE1t

~

|ψ1i+ r2

3exp

−iE2t

~

|ψ2i

Remarques :

1. Le temps est un paramètre et non une grandeur physique que l’on mesure : aucun opérateur ne lui est associé.

2. Les valeurs moyennes d’une superposition peuvent varier dans le temps.

Chapitre 7

Produit tensoriel d’espaces d’états

Nécessaire : une particule à plusieurs degrés de liberté : position et spin, trois axesx, yet z. Plusieurs particules : deux spins 1/2.

Définition 7.1(Degré de liberté). Un degré de liberté est une grandeur physique nécessaire à la description du système.

Exemple 7.1.

Le spin est un degré de liberté.

Définition 7.2(Produit tensoriel). SoientEAetEBdeux espaces de dimensions respectivesNA etNB. On définit le produit tensoriel deEA parEB par

E=EA⊗ EB (7.1)

Soient |ψAi ∈ EA,|ψBi ∈ EB, alors on définit|ψi ∈ E par

|ψi=|ψAi ⊗ |ψBi=|ψAi |ψBi (7.2) Si |ui_i et |vi_j sont des bases respectivement deEA et EB, alors |ui_i|vi_j est une base deE.

Exemple 7.2 (Deux spins 1/2).

Soient (|+i_a,|−i_a) et (|+i_b,|−i_b), ×

×

. Alors une base deE est (|+i_a|+i_b,|+i_a|−i_b,|−i_a|+i_b,|−i_a|−i_b)

Soient

|ψai=X

i

c_i|uii |ψbi=X

j

d_j|vji alors

|ψai |ψbi=X

i,j

c_id_j|uii |vji

Définition 7.3 (États intriqués). Il existe des états de E du type |ψi = P

i,j

ai,j|uii |vjiqui ne peuvent s’écrire comme un produit|ψai ⊗ |ψbi. On parle d’états intriqués¹.

Exemple 7.3 (Deux spins 1/2).

|ψi= 1

√2|+i_a|−i_b+ 1

√2|−i_a|+i_b

Proposition 7.1(Produit tensoriel d’opérateurs). SoientAdansEAetB dans E_B, alors

(A⊗B)|ψ_Ai |ψ_Bi= (A|ψ_Ai)⊗(B|ψ_Bi) (7.3) Exemple 7.4 (Deux spins 1/2).

Sa⊗Sb|ψi_a|ψi_b=A|ψi_a⊗B|ψi_b

Proposition 7.2(Prolongement d’opérateurs). On prolonge les opérateursA∈ EA etB∈ EB par

– ˜A=A⊗idB

– ˜B = idA⊗B

Proposition 7.3 (Produit scalaire). Soient |ψAi |ψBiet |ψ⁰_Ai |ψ⁰_Bi |ψ_Ai |ψ_Bi

|ψ_A⁰ i |ψ_B⁰ i

=hψ⁰_A|ψ_Ai hψ_B⁰ |ψ_Bi

1. "Entangled" en anglais.

Chapitre 8

Retour sur le spin 1/2

En dimension 2, on considère la base des états propres deSz. Elle est notée (|+i,|−i) avec

|+i= 1 0

|−i= 0 1

(8.1) On écrit alors la matrice

Sz= ~ 2

1 0 0 −1

(8.2) On veut trouver l’expression de l’état propre selonxnoté |+i_x. On a

|h+|+i_x|²=1

2 |h − | − i_x|²=1 2 donc|+i_x=α|+i+β|−iavec|α|²=|β|²= 1/2.

|+i_x= 1

√2|+i+ 1

√2e^iδ|−i etxh+| − i_x= 0 car|−i_x et|+i_xsont orthogonaux. Donc

|−i_x= 1

√2|+i − 1

√2e^iδ|−i et donc

S_x=~

2 |+i_{x x}h+| −~

2|−i_{x x}h−|

=~

2 e^−iδ|+i h−|+~

2e^iδ|−i h+|

=~ 2

0 e^−iδ e^iδ 0

De meme pour

Sy =~ 2

0 e^−iγ e^iγ 0

On a aussi les équations

|yh+|+i_x|²=|yh − |+i_x|²= 1 2

⇐⇒

1 2+1

2e^i(δ−γ)

= 1 2−1

2e^i(δ−γ)

= 1

√ 2

=⇒δ−γ=±π 2 On choisitδ= 0 etγ=π/2. D’où

Sx= ~ 2

0 1 1 0

Sy= ~ 2

0 −i i 0

Sxet Sy sont incompatibles :

[Sx, Sy] =i~Sz

Deuxième partie

Mécanique ondulatoire

Chapitre 9

Relations de commutation canonique

On s’intéresse à la description quantique du mouvement d’une particule.

On décrit le déplacement à une dimension selon un axe x.

– x: position ;

– ˆx: opérateur position ;

– |xi: état propre de l’opérateur ˆxde valeur proprex; – ˆp: opérateur impulsion.

Si les forces dérivent d’un potentiel, ˆpest l’opérateur associé à mv.

ˆ

xet ˆpobéissent à

[ˆx,p] =ˆ i~id (9.1)

Définition 9.1 (Relation de commutation).

[x, p] =i~ (9.2)

On construit un opérateur e^iaˆp/~aveca∈R. On peut montrer que [ˆx,p] =ˆ i~id−→[ˆx,e^iaˆp/~] =−ae^iaˆp/~

ˆ

xe^iaˆp/~= e^iaˆp/~xˆ−ae^iaˆp/~

= e^iaˆp/~(ˆx−aid) et l’action de ˆxe^iaˆp/~sur|xiest

ˆ

xe^iaˆp/~|xi= e^iaˆp/~(ˆx−aid)|xi

= e^iaˆp/~(ˆx|xi −a|xi)

= e^iaˆp/~(x−a)|xi

= (x−a) e^iaˆp/~|xi

Ainsi e^iaˆp/~|xi est un état propre de ˆxde valeur propre (x−a). ˆx est un opérateur à spectre continu dans un espace de Hilbert de dimension infinie¹ :

|ψi= Z ∞

−∞

|xi hx|ψidx (9.3)

1. La somme discrète est remplacée par une intégrale.

|+iest donc une base indexée par un indicexcontinu.

La relation de fermeture est Z ∞

−∞

|xi hx|dx= id (9.4)

et la relation d’orthonormalisation devient

hx|x⁰i=δ(x−x⁰) (9.5)

Chapitre 10

Fonction d’onde

Définition 10.1(Fonction d’onde). On définit la fonction d’onde pour un état

|ψipar

ψ(x) =hx|ψi (10.1) Il s’agit d’un nombre complexe. Il s’agit du coefficient de |ψi dans la base

|xi. On l’appelle aussi fonction d’onde en représentationx.

|xiest un état de position bien défini et égale à x, tandis que ψ(x) est une amplitude de probabilité :

|ψ(x)|²=| hx|ψi |²

est la probabilité (densité) de présence. |ψ(x)|²dxcorrespond à la probabilité de trouver la particule dans un intervalle dx. On a donc

Z ∞

−∞

|ψ(x)|²dx= 1 (10.2)

siψ(x) est normée.

L’action de ˆxsur|ψiest ˆx|ψi. La fonction d’onde correspondante hx|ˆx|ψi mais ˆx|xi=x|xidonchx|ˆx=hx|xet

hx|ˆx|ψi=hx|x|ψi

=xhx|yi

=xψ(x)

L’action de ˆxsurψ(x) correspond à la multiplication parx.

hϕ|ψi= Z ∞

−∞

hϕ|xi hx|ψidx

= Z ∞

−∞

ϕ(x)^∗ψ(x)dx

Cherchons l’action de ˆp. On a un opérateur e^iaˆp/~= id +iεˆp

~ +O(ε²)

avecεpetit, donc

e^iaˆp/~|ψi=|ψi+iεpˆ

~ |ψi+O(ε²) La fonction d’onde associée est

hx|e^iaˆp/~|ψi

=ψ(x) +iε

~

hx|ˆp|ψi+O(ε²)

=D

x

e^iaˆp/~E

|ψi

=hx+ε|ψi

=ψ(x+ε) car

e^−iεˆp/~|xi=|x+εi e^iεˆp/~|xi=|x−εi hx+ε|=hx|e^iεˆp/~ donc

hx|ˆp|ψi= lim

ε→0

~ i

ψ(x+ε)−ψ(x) ε ce qui donne

hx|ˆp|ψi= ~ i

dψ

dx (10.3)

Chapitre 11

Particule libre

Soit une particule de massem dont l’énergie potentielle nulle. Le problème est à une dimensionx. Son hamiltonien est donné par

H = p²

2m (11.1)

On cherche les états stationnaires (c’est à dire les états propres de H) : Hψ(x) =Eψ(x)

p²

2mψ=Eψ 1

2m

~ i

d dx

~ i

dψ dx

=Eψ

−~² 2m

d²ψ dx² =Eψ On obtient l’équation différentielle

d²ψ

dx² = −2mE

~²

ψ (11.2)

On pose

k²= 2mE

~²

(11.3) ce qui donne

d²ψ

dx² +k²ψ= 0 (11.4)

La solution de l’équation est

ψk(x) =ce^ikx On choisit généralement

c= 1

√2π

Finalement, les fonctions propres du hamiltonien sont donc de la forme ψ_k(x) = 1

√2πe^ikx (11.5)

Si on fait l’analogie avec la mécanique classique, ces fonctions correspondent à des ondes planes.kpeut prendre toutes les valeurs comprises entre −∞et ∞: il n’y a pas de quantification.

Calculons maintenant ˆpψk(x) : pψˆ _k(x) = ~

i d dx

1

√2πe^ikx

=~k 1

√2πe^ikx

=~kψk(x)

Ainsi,ψ_k(x) est fonction propre de ˆp. Le vecteur propre associé est~k.

On peut aussi écrire une autre formulation deψ_k : ψp(x) = 1

√2π~

e^ipx/~ (11.6)

Il s’agit de la fonction d’onde associée à l’état|pi.

Calculons aussihψk⁰|ψki: hψk⁰|ψki=

Z ∞

−∞

√1

2πe^−ik0x 1

√2πe^−ikxdx

= 1 2π

Z

e^i(k−k0)xdx Si àt= 0 on a

ψ(x,0) = 1

√2πe^ikx alors

ψ(x, t) = 1

√2πe^ikxe^−iEt/~= 1

√2πe^i(kx−ωt) (11.7) carψest un état stationnaire et en utilisant l’énergie qui est donnée par

E= ~²k²

2m (11.8)

et

ω= E

~

Pour une particule libre, la solution générale à (11.4) est donnée par une superposition d’ondes planes :

ψ(x, t) = 1

√2π~ Z ∞

−∞

ψ(p) e˜ ^i(px−Et)/~dp (11.9) Si on représente une onde plane, elle correspond à une valeur bien définie de p. Si on calcule

|ψk(x)|²= 1

2π =cste

Cette probabilité est indépendante dex, donc même si l’impulsion est parfaite- ment définie, la particule est délocalisée. Ceci est dû aux inégalités de Heisenberg (5.6) :

∆x∆p≥~ 2

∆p= 0 =⇒∆x→ ∞

Chapitre 12

Base des ondes planes

(11.5) est la base de l’espace des fonctions d’onde : ψ(x) = 1

√2πe^ikx De fait, on a

hψk⁰|ψki=δ(k−k⁰) (12.1) oùδest la distribution de Dirac. On a les propriétés suivantes :

δ(x) = 0 x6= 0 Z ∞

−∞

f(x)δ(x)dx=f(0) (12.2a) Z ∞

−∞

f(x)δ(x−x0)dx=f(x0) (12.2b) Z ∞

−∞

δ(x)dx= 1 (12.2c)

On a

δ(k) = 1 2π

Z ∞

−∞

e^−ikxdx δ(p) = 1

2π~ Z ∞

−∞

e^−ipx/~dx

|φk(x)|²= 1 2π −→

Z ∞

−∞

|φk(x)|²dx diverge

φ_k(x) ne représente pas un état physique car il n’appartient pas à l’espace de Hilbert, et de même pour|kiet|pi.

Soitψ(x) un état stationnaire, etφ_p(x) une base continue, alors ψ(x) =

Z ∞

−∞

ψ(p)φ˜ p(x)dp= 1

√2π~ Z ∞

−∞

ψ(p) e˜ ^ipx/~dp Il s’agit de la transformée de Fourier de ˜ψ(p). De même, on a

ψ(p) =˜ 1

√2π~ Z ∞

−∞

ψ(x) e^−ipx/~dx= F[ψ(x)]